1 Обычно эти силы называются поверхностными силами; отнесенные к единице поверхности, они называются напряжениями.
2 Если мы возьмем для нормали $n$ к поверхности соприкасания некоторое определенное направление, то направления внутренних нормалей к противоположным поверхностям рассматриваемого бесконечно малого объема будут – одно совпадагь с установленным направлением нормали к поверхности соприкасания, а другое ему противоположно. Поэтому, обозначая здесь через $X_{n}$ компоненту давления, взятую по установленному направлению нормали к поверхности соприкасания, мы будем иметь в интеграле $\int X_{n} d s$ формулы (1) $X_{n}$ положительным на одной стороне бесконечно малого объема и отрицательным – на противоположной.
${ }^{3}$ В случае разрывности перемещений, возможные перемешения двух прилегаюиих частиц поверхности соприкасания двух тел состоят из общего перемещения по нормали и скольжения одной по другой.
${ }_{4}$ Эти уравнения могут быть выведены таким же способом, как (28), причем множитель при постоянном $\ominus$ отпадает вследствие предположенной несжимаемости жидкости.
5 Под моментом вращения здесь подразумевается проекция на ось равнодействующего момента сил давления.
6 Под суммой компонент давления по оси здесь подразумевается проекция на ось равнодействующей давления.
7 Поверхность жидкости можно уподобить упругой перепонке; элементарная работа, потребная для растяжения поверхности, пропорциональна приращению поверхности, следовательно, элементарная работа капиллярных сил при сжатии поверхности пропорциональна бесконечно малому уменьшению поверхности, т. е. потенциал капиллярных сил пропорционален поверхности.
${ }^{8}$ Сумма интегралов $\int d s_{31} z \cdot \cos \left(n_{3} x\right)+j d s_{23} z \cdot \cos \left(n_{3} x\right)=0$, так как эта сумма равна интегралу, распространенному по всей поверхности тела 3 .
9 При бесконечно малом перемещении, параллельном поверхности, приращения функции $W$ с той и другой стороны поверхности отличаются друг от друга на 4лi.
10 Задавая $V$ и $\frac{a v}{d n}$ на поверхности, мы определяем функцию $V$ однозначно и вну. три объема; другими словами, не может существовать двух различных функций $V_{1}$ и $V_{2}$, удовлетворяющих уравнению Лапласа внутри объема и рассматриваемым условиям на его поверхности.
11 Для этого надо взять ось $x$ в направлении скорости течения жидкости в центре шара.
12 В этом месте линия тока, воощще, разветвляется на несколько линий.
13 При перемещении вдоль линии тока в выражении для приращения потенциала скоростей $d V=\frac{\partial V}{\partial x} d x+\frac{\partial V}{\partial y} d y+\frac{\partial V}{\partial z} d z$ дифференциалы $d x, d y, d z$ пропорциональны производным $\frac{\partial V}{\partial x}, \frac{\partial V}{\partial y}, \frac{\partial V}{\partial z}$; следовательно, $d V$ пропорционально
\[
\left(\frac{\partial V}{\partial x}\right)^{2}+\left(\begin{array}{c}
\partial V \\
\partial y
\end{array}\right)^{2}+\left(\frac{\partial V}{\partial z}\right)^{2} .
\]
14 Если $\frac{\partial V_{1}}{\partial n}$ и $\frac{\partial V_{2}}{\partial n}$ даны с точностью до величин, для которых рассмотренный здесь интеграл равен нулю, то $\int d s \frac{\left(V_{1}-V_{2}\right)}{\partial n}=0$, следовательно, $V_{1}-V_{2}=$ const.
* Примечания составлены Л. С. Полаком.
15 Тогда коэффициенты при $d x, d y, d z$ в предыдущих уравнениях являются теми же самыми косинусами.
16 T. е. мы ищем вариацию $\delta \Omega$, соответствующую рассматриваемой вариации $\delta \varphi$ функции $\varphi$.
17 Террема Иоахимсталя. См., например, Э. Гурса. Курс математического анализа, r. I, § 250 .
${ }_{18} \mathrm{~B} \S 2$ мы видели, что $u=+\infty$ представляет шар с бесконечно большим радиусом $r=\sqrt{ } u$.
10 Фунцция $u_{1}$ выражается эллиптическим интегралом, притем точки разветвления подынтегральнэй функции суть $-a^{2},-b^{2},-c^{2}$ и $\infty$; мнэгозчачность $u_{1}$ является следствием обхода вокруг этих точек на плоскости переменного $u$.
20 Напомним, что здесь $\varphi=u_{1}$ есть потенциал скоростей, который непрерывно возрастает или убывает вдоль линии тока (лекция шестнадцатая, § 6).
21 Вычисляя компоненты скорости $\frac{\partial u_{1}}{\partial x}, \frac{\partial u_{1}}{\partial y}, \frac{\partial u_{1}}{\partial z}$ при помощи формул (18), (16), (15) и (12), можно показать, что на площади эллипса (19), когда $u=-c^{2}$, будет $\frac{\partial u_{1}}{\partial x}=\frac{\partial u_{1}}{\partial y}=0$, тогда как $\frac{\partial u}{\partial z}
eq 0$, и можно убедиться, что при переходе через эту площадь $\frac{\partial u_{1}}{\partial z}$ изменяет знак на обратный.
22 На основании данного выше значения скорости на бесконечности и принятого условия относительно знака $\frac{d u_{1}}{d u}$ имеем $\frac{d u_{1}}{d r}=-\frac{2}{r^{2}}$, откуда $u_{1}=\frac{2}{r}$.
${ }^{23}$ Заключить обвод эллипса в трубчатую поверхность необходимо потому, что. как это следует из формулы (26), на обводе эллипса $u=v=-c^{2}$ скорость обращается в бесконечность и необходимо убедиться, что интеграл имеет смысл.
${ }_{24} c^{2}+u=x^{2}$. Значение $u_{1}$ выбрано так, чтобы при $u=\infty$ было $u_{1}=0$.
25 Первый член разложения содержит $\rho^{-1 / 2}$.
${ }_{26}$ Так как для обеих сторон эллипса $u_{1}$ имеет одинаковог значение, равное интегралу (28), взятому вдоль края разреза, проведенного в плоскости и от точки – ${ }^{2}$ до бесконечности.
27 Қвадратный корень из формулы (26а) при $u=-c^{2}$ дает искомое значение $d u_{1}$ ? чгобы получить $\frac{d u_{2}^{\prime}}{d u}$, надо обойти вокруг точки $-c^{2}$, что изменит знак корня на обратный.
${ }^{28}$ Применяя формулу $\S 7$ предыдущей лекции $\quad M=\frac{1}{4 \pi} \int d t \frac{\partial u_{1}}{\partial n}$, найдем, что $M=2$.
29 Потенциал в точке пластинки дан формулой (28), а электрическая масса равна двум.
30 Вычисляя, как указано в примечании 21 , компоненту скорости $\frac{\partial u_{1}}{\partial z}$, мы найдем, qто при $v=-c^{2}$ она равна нулю. Заметим, однако, что на обводе эллипса (19) скорость обращается в $\infty$.

з1 Для перехода на другую сторону разреза надо в плоскости переменного $u$ выполнить интегрирование вдоль обеих сторон разреза ( $-c^{2}, \infty$ ) от бесконечно удаленной точки, лежащей с одной стороны разреза, до бесконечно удаленной точки, лежащей с другой стороны разреза, взяв за начальное значение для и значение нуль. Интеграл вдоль этого пути равен удвоенному интегралу; (28).
32 Здесь следует добавить к р постоянный множитель, имеющий измерение, обрат. ное скорости $W$.
3 Левая часть предыдущей формулы представляет выражение нормального к телу церемещения жидкой частицы, прилегающей к поверхности тела; так как в момент $t=t_{1}$ тело неподвижно, то это нормальное перемещение должно быть равно нулю.
34 При замене тела жидкостью мы голучим односвязное пространство, заполненное жидкостью, покоящейся в бесконечности.
${ }^{35}$ Так как произведение площади поперечного сечения $q$ вихревой нити на угловую скорость $\zeta$ не зависит от времени, а $q$ постоянно вследствие постоянства массы длины элементарной вихревой нити, то $\zeta$ также не зависит от времени.
36 Живая сила прямолинейной вихревой нити бесконечно велика, порядка логарифмической бесконечности, так как, с одной стороны, скорость на бесконечности не убывает достаточно быстро, а с другой стороны, вблизи бесконечно тонкой вихревой нити скорость бесконечно велика; но если мы имеем, например, две вихревые нити (пару вихрей с угловыми скоростями $+\zeta$ и – ), то скорость на бесконечности равна нулю и живая сила для вихревых нитей конечной толщины будет конечной. Поэтому вихри наєлюдаются обыкновенно парами.
Условия (1) суть необходимые и достаточные условия того, чтобы функция Z была аналитической функцией $\boldsymbol{z}$. См., например, Э. Гурса. Курс малематического анализа, т. II, § 261 .
${ }_{38}$ Эта теорема принадлежит Коши. См., например, Э. Гурса. Курс математического анализа, т. II, § 281 .
39 Эта теорема принадлежит Коши. См. там же, § 295.
40 Когда точка $\zeta$ описывает стороны бесконечно малого клина с вершиной $\zeta_{3}$ и о углом при вершине $\alpha$, точка $w$ описывает бесконечно малый прямолинейный отрезок, Следовательно, мы имеем (см. предыдушую лекцию, § 5)
\[
w=A \zeta_{\zeta}^{n},
\]

где $n \alpha=\pi$. Поэтому
\[
\frac{d w}{d \zeta}=A n \zeta^{n-1}=A n \zeta^{\frac{\pi}{a}-1},
\]

и если $\alpha<л$, то при $\zeta=0$ производная равна нулю. Заметим, что соотношение (а) можно получить из соотношения, представляющего изображение серпа плоскоспи $\zeta$ на области плоскости $W$, ограничиваясь бесконечно малыми частями этих областей. прнлегающими к рассматриваемым точкам, и соответственно удерживая лишь члены низшего порядка малости.
4 Первая задача есть задача Дирихле, вторая – задача Неймана. В настоящее время существование функция $\psi$ для задачи Дирихле установлено в весьма общих случаях.
12 Если можно пренебречь величиной $k^{2} \mathrm{U}$.
\” Так как $\quad \int\left(\frac{\partial \varphi}{\partial x} d x+\frac{\partial \varphi}{\partial y} d y+\frac{\partial \varphi}{\partial z} d z\right)$ равно разности значений потен\” циала скоростей в двух рассматриваемых точках, и движение отличается бесконечно мало от установившегося.
44 На поверхности $z$ будет функцией $x, y$, причем при сделанных предположениях абсолютное значение этой функции в рассматриваемой области бесконечно мало.
45 Производные равны нулю, вследствие принятого направления оси $x$ и плоско. сти $x 0 y$.
46 Этот термин в таком понимании не удержался в науке.