1 Обычно эти силы называются поверхностными силами; отнесенные к единице поверхности, они называются напряжениями.
2 Если мы возьмем для нормали $n$ к поверхности соприкасания некоторое определенное направление, то направления внутренних нормалей к противоположным поверхностям рассматриваемого бесконечно малого объема будут — одно совпадагь с установленным направлением нормали к поверхности соприкасания, а другое ему противоположно. Поэтому, обозначая здесь через $X_n$ компоненту давления, взятую по установленному направлению нормали к поверхности соприкасания, мы будем иметь в интеграле $\int X_{n}ds$ формулы (1) $X_n$ положительным на одной стороне бесконечно малого объема и отрицательным — на противоположной.
${}^3$ В случае разрывности перемещений, возможные перемешения двух прилегаюиих частиц поверхности соприкасания двух тел состоят из общего перемещения по нормали и скольжения одной по другой.
${}_4$ Эти уравнения могут быть выведены таким же способом, как (28), причем множитель при постоянном $\ominus$ отпадает вследствие предположенной несжимаемости жидкости.
5 Под моментом вращения здесь подразумевается проекция на ось равнодействующего момента сил давления.
6 Под суммой компонент давления по оси здесь подразумевается проекция на ось равнодействующей давления.
7 Поверхность жидкости можно уподобить упругой перепонке; элементарная работа, потребная для растяжения поверхности, пропорциональна приращению поверхности, следовательно, элементарная работа капиллярных сил при сжатии поверхности пропорциональна бесконечно малому уменьшению поверхности, т. е. потенциал капиллярных сил пропорционален поверхности.
${}^8$ Сумма интегралов $\int d{s}_{31}z\cdot \cos \left(n_{3}x\right)+jd{s}_{23}z\cdot \cos \left(n_{3}x\right)=0$, так как эта сумма равна интегралу, распространенному по всей поверхности тела 3 .
9 При бесконечно малом перемещении, параллельном поверхности, приращения функции $W$ с той и другой стороны поверхности отличаются друг от друга на 4лi.
10 Задавая $V$ и $\frac{av}{dn}$ на поверхности, мы определяем функцию $V$ однозначно и вну. три объема; другими словами, не может существовать двух различных функций $V_1$ и $V_2$, удовлетворяющих уравнению Лапласа внутри объема и рассматриваемым условиям на его поверхности.
11 Для этого надо взять ось $x$ в направлении скорости течения жидкости в центре шара.
12 В этом месте линия тока, воощще, разветвляется на несколько линий.
13 При перемещении вдоль линии тока в выражении для приращения потенциала скоростей $dV=\frac{\partial V}{\partial x}dx+\frac{\partial V}{\partial y}dy+\frac{\partial V}{\partial z}dz$ дифференциалы $dx,dy,dz$ пропорциональны производным $\frac{\partial V}{\partial x},\frac{\partial V}{\partial y},\frac{\partial V}{\partial z}$; следовательно, $dV$ пропорционально
$${\left(\frac{\partial V}{\partial x}\right)}^2+{\left(\begin{array}{c}\partial V\\ \partial y\end{array}\right)}^2+{\left(\frac{\partial V}{\partial z}\right)}^2.$$
14 Если $\frac{\partial V_1}{\partial n}$ и $\frac{\partial V_2}{\partial n}$ даны с точностью до величин, для которых рассмотренный здесь интеграл равен нулю, то $\int ds\frac{(V_1-V_2)}{\partial n}=0$, следовательно, $V_1-V_2=$ const.
* Примечания составлены Л. С. Полаком.
15 Тогда коэффициенты при $dx,dy,dz$ в предыдущих уравнениях являются теми же самыми косинусами.
16 T. е. мы ищем вариацию $\delta \mathrm{\Omega }$, соответствующую рассматриваемой вариации $\delta \phi$ функции $\phi$.
17 Террема Иоахимсталя. См., например, Э. Гурса. Курс математического анализа, r. I, § 250 .
${}_{18}\mathrm{B}\mathrm{\S }2$ мы видели, что $u=+\mathrm{\infty }$ представляет шар с бесконечно большим радиусом $r=\sqrt{}u$.
10 Фунцция $u_1$ выражается эллиптическим интегралом, притем точки разветвления подынтегральнэй функции суть $-a^2,-b^2,-c^2$ и $\mathrm{\infty }$; мнэгозчачность $u_1$ является следствием обхода вокруг этих точек на плоскости переменного $u$.
20 Напомним, что здесь $\phi =u_1$ есть потенциал скоростей, который непрерывно возрастает или убывает вдоль линии тока (лекция шестнадцатая, § 6).
21 Вычисляя компоненты скорости $\frac{\partial u_1}{\partial x},\frac{\partial u_1}{\partial y},\frac{\partial u_1}{\partial z}$ при помощи формул (18), (16), (15) и (12), можно показать, что на площади эллипса (19), когда $u=-c^2$, будет $\frac{\partial u_1}{\partial x}=\frac{\partial u_1}{\partial y}=0$, тогда как $\frac{\partial u}{\partial z}eq0$, и можно убедиться, что при переходе через эту площадь $\frac{\partial u_1}{\partial z}$ изменяет знак на обратный.
22 На основании данного выше значения скорости на бесконечности и принятого условия относительно знака $\frac{d{u}_1}{du}$ имеем $\frac{d{u}_1}{dr}=-\frac{2}{r^2}$, откуда $u_1=\frac{2}{r}$.
${}^{23}$ Заключить обвод эллипса в трубчатую поверхность необходимо потому, что. как это следует из формулы (26), на обводе эллипса $u=v=-c^2$ скорость обращается в бесконечность и необходимо убедиться, что интеграл имеет смысл.
${}_{24}{c}^2+u=x^2$. Значение $u_1$ выбрано так, чтобы при $u=\mathrm{\infty }$ было $u_1=0$.
25 Первый член разложения содержит ${\rho }^{-1/2}$.
${}_{26}$ Так как для обеих сторон эллипса $u_1$ имеет одинаковог значение, равное интегралу (28), взятому вдоль края разреза, проведенного в плоскости и от точки — ${}^2$ до бесконечности.
27 Қвадратный корень из формулы (26а) при $u=-c^2$ дает искомое значение $d{u}_1$ ? чгобы получить $\frac{d{u}_2^{\prime }}{du}$, надо обойти вокруг точки $-c^2$, что изменит знак корня на обратный.
${}^{28}$ Применяя формулу $\mathrm{\S }7$ предыдущей лекции $M=\frac{1}{4\pi }\int dt\frac{\partial u_1}{\partial n}$, найдем, что $M=2$.
29 Потенциал в точке пластинки дан формулой (28), а электрическая масса равна двум.
30 Вычисляя, как указано в примечании 21 , компоненту скорости $\frac{\partial u_1}{\partial z}$, мы найдем, qто при $v=-c^2$ она равна нулю. Заметим, однако, что на обводе эллипса (19) скорость обращается в $\mathrm{\infty }$.

з1 Для перехода на другую сторону разреза надо в плоскости переменного $u$ выполнить интегрирование вдоль обеих сторон разреза ( $-c^2,\mathrm{\infty }$ ) от бесконечно удаленной точки, лежащей с одной стороны разреза, до бесконечно удаленной точки, лежащей с другой стороны разреза, взяв за начальное значение для и значение нуль. Интеграл вдоль этого пути равен удвоенному интегралу; (28).
32 Здесь следует добавить к р постоянный множитель, имеющий измерение, обрат. ное скорости $W$.
3 Левая часть предыдущей формулы представляет выражение нормального к телу церемещения жидкой частицы, прилегающей к поверхности тела; так как в момент $t=t_1$ тело неподвижно, то это нормальное перемещение должно быть равно нулю.
34 При замене тела жидкостью мы голучим односвязное пространство, заполненное жидкостью, покоящейся в бесконечности.
${}^{35}$ Так как произведение площади поперечного сечения $q$ вихревой нити на угловую скорость $\zeta$ не зависит от времени, а $q$ постоянно вследствие постоянства массы длины элементарной вихревой нити, то $\zeta$ также не зависит от времени.
36 Живая сила прямолинейной вихревой нити бесконечно велика, порядка логарифмической бесконечности, так как, с одной стороны, скорость на бесконечности не убывает достаточно быстро, а с другой стороны, вблизи бесконечно тонкой вихревой нити скорость бесконечно велика; но если мы имеем, например, две вихревые нити (пару вихрей с угловыми скоростями $+\zeta$ и — ), то скорость на бесконечности равна нулю и живая сила для вихревых нитей конечной толщины будет конечной. Поэтому вихри наєлюдаются обыкновенно парами.
Условия (1) суть необходимые и достаточные условия того, чтобы функция Z была аналитической функцией $\mathit{z}$. См., например, Э. Гурса. Курс малематического анализа, т. II, § 261 .
${}_{38}$ Эта теорема принадлежит Коши. См., например, Э. Гурса. Курс математического анализа, т. II, § 281 .
39 Эта теорема принадлежит Коши. См. там же, § 295.
40 Когда точка $\zeta$ описывает стороны бесконечно малого клина с вершиной ${\zeta }_3$ и о углом при вершине $\alpha$, точка $w$ описывает бесконечно малый прямолинейный отрезок, Следовательно, мы имеем (см. предыдушую лекцию, § 5)
$$w=A{\zeta }_{\zeta }^n,$$

где $n\alpha =\pi$. Поэтому
$$\frac{dw}{d\zeta }=An{\zeta }^{n-1}=An{\zeta }^{\frac{\pi }{a}-1},$$

и если $\alpha <л$, то при $\zeta =0$ производная равна нулю. Заметим, что соотношение (а) можно получить из соотношения, представляющего изображение серпа плоскоспи $\zeta$ на области плоскости $W$, ограничиваясь бесконечно малыми частями этих областей. прнлегающими к рассматриваемым точкам, и соответственно удерживая лишь члены низшего порядка малости.
4 Первая задача есть задача Дирихле, вторая — задача Неймана. В настоящее время существование функция $\psi$ для задачи Дирихле установлено в весьма общих случаях.
12 Если можно пренебречь величиной $k^2\mathrm{U}$.
\» Так как $\int (\frac{\partial \phi }{\partial x}dx+\frac{\partial \phi }{\partial y}dy+\frac{\partial \phi }{\partial z}dz)$ равно разности значений потен\» циала скоростей в двух рассматриваемых точках, и движение отличается бесконечно мало от установившегося.
44 На поверхности $z$ будет функцией $x,y$, причем при сделанных предположениях абсолютное значение этой функции в рассматриваемой области бесконечно мало.
45 Производные равны нулю, вследствие принятого направления оси $x$ и плоско. сти $x0y$.
46 Этот термин в таком понимании не удержался в науке.