$\S 1$

Дифференциальные уравнения движения твердого тела вокруг неподвижной точки, полученные в предыдущей лекции, т. е. уравнения (16) и (17), можно проинтегриғовать в специальных случаях. Первый случай тот, когда не действуют никакие силы. В этом случае уравнения имеют вид
\[
\begin{array}{l}
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial p}=r \frac{\partial T}{\partial q}-q \frac{\partial T}{\partial r}, \\
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial q}=p \frac{\partial T}{\partial r}-r \frac{\partial T}{\partial p}, \\
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial r}=q \frac{\partial T}{\partial p}-p \frac{\partial T}{\partial q},
\end{array}
\]

и
\[
\begin{aligned}
\frac{d}{d t}\left(\alpha_{1} \frac{\partial T}{\partial p}+\alpha_{2} \frac{\partial T}{\partial q}+\alpha_{3} \frac{\partial T}{\partial r}\right) & =0 \\
\frac{d}{d t}\left(\beta_{1} \frac{\partial T}{\partial p}+\beta_{2} \frac{\partial T}{\partial q}+\beta_{3} \frac{\partial T}{\partial r}\right) & =0, \\
\frac{d}{d t}\left(\gamma_{1} \frac{\partial T}{\partial p}+\gamma_{2} \frac{\partial T}{\partial q}+\gamma_{3} \frac{\partial T}{\partial r}\right) & =0 .
\end{aligned}
\]

По замечанию, сделанному в конце § 4 четвертой лекции, они имеют место также при движении свободного тяжелого тела вокруг центра тяжести.

По объяснению, данному в предыдущей лекции, $T$ – однородная функция второй степени переменных $p, q, r$; допустим, что оси $x, y, z$ совпадают с направлением главных осей тела для начала координат, и обозначим через $P, Q, R$ моменты инерции тела относительно этих осей; тогда
\[
2 T=P p^{2}+Q q^{2}+R r^{2},
\]

а следовательно,
\[
\frac{\partial T}{\partial p}=P p, \quad \frac{\partial T}{\partial q}=Q q, \quad \frac{\partial T}{\partial r}=R r .
\]

Уравнения (1) примут при этом вид
\[
\begin{array}{l}
P \frac{d p}{d t}=(Q-R) q r, \\
Q \frac{d q}{d t}=(R-P) r p, \\
R \frac{d r}{\partial t}=(P-Q) p q .
\end{array}
\]

Чтобы найти их интегралы, сравним их с другими известными дифференциальными уравнениями, которые мы получим. Обозначим через $и$ и $\psi$ две действительные переменные, связанные уравнением
\[
u=\int_{0}^{\psi} \frac{d \psi}{\sqrt{1-x^{2} \sin ^{2} \psi}},
\]

в котором $x$ обозначет действительную правильную дробь и квадратный корень взят с положительным знаком. Тогда $u$ – однозначная непрерывная функция $\psi$ и наоборот, так как производная $\frac{d u}{d \psi}$ всегда имеет конечное положительное значение. Кроме того, $u$ пробегает все значения от $-\infty$ до $+\infty$, когда их пробегает $\psi$. В таком случае $\psi$ называют амплитудой $u$ по модулю $x$ и записывают так: $\psi=\operatorname{am} u$.
Ради краткости положим в дальнейшем
\[
\sqrt{1-x^{2} \sin ^{2} \psi}=\Delta \psi
\]

где $\Delta \psi$ – непрерывная положительная величина и $\frac{d \psi}{d u}=\Delta \psi$. При этом способе обозначения имеем тождественные уравнения
\[
\begin{aligned}
\frac{d \cos \psi}{d u} & =-\sin \psi \Delta \psi, \\
\frac{d \sin \psi}{d u} & =\cos \psi \Delta \psi, \\
\frac{d \Delta \psi}{d u} & =-\varkappa^{2} \sin \psi \cos \psi .
\end{aligned}
\]

Положим в них
\[
u=\lambda t+\mu, \quad p=a \cos \psi, \quad q=b \sin \psi, \quad r=c \Delta \psi,
\]

где под $\lambda, \mu, a, b, c$ подразумеваются действительные постоянные. Тогда получим
\[
\begin{array}{c}
\frac{d p}{d t}=-\frac{a \lambda}{b c} q r, \\
\frac{d q}{d t}=\frac{b \lambda}{c a} r p, \\
\frac{d r}{d t}=-\chi^{2} \frac{c \lambda}{a b} p q .
\end{array}
\]
57

Эти уравнения той же формы, что и уравнения (4); они тождественны уравнениям (4), если
\[
\begin{array}{l}
\frac{Q-R}{P}=-\frac{a \lambda}{b c}, \\
\frac{R-P}{Q}=\frac{b \lambda}{c a}, \\
\frac{P-Q}{R}=-\varkappa^{2} \frac{c \lambda}{a b} .
\end{array}
\]

Пусть шесть постоянных $\chi, \lambda, \mu, a, b, c$ определены согласно этим уравнениям и так, что все они действительные и $x^{2}$ меныше единицы, тогда в уравненнях (5) мы имеем интегралы уравнения (4), а именно общие интегралы, так как из шести названных постоянных только три определены уравнениями (6), а три другие остаются произвольными. Они должны определяться по значениям, которые переменные $p, q, r$ принимают при $t=0$; обозначим их через $p_{0}, q_{0}, r_{0}$.

Чтобы найти значения, которые приписываются постоянным $\alpha, \lambda, \mu$, $a, b, c$, мы исходим из двух интегралов уравнений (4), которые легко получаются. Именно, умножим эти уравнения на $p, q, r$ (или на $P p, Q q$, $R r)$ и сложим их; тогда после интегрирования получим
\[
P p^{2}+Q q^{2}+R r^{2}=\text { const }
\]

H
\[
P^{2} p^{2}+Q^{2} q^{2}+R^{2} r^{2}=\text { const. }
\]

В момент времени, в который $\psi$ или, что то же, $\operatorname{am}(\lambda t+\mu)$ равно кратному $2 \pi, \cos \psi=1, \sin \psi=0, \Delta \psi=1$; поэтому из этих уравнений следует
\[
\begin{array}{c}
P a^{2}+R c^{2}=P p_{0}^{2}+Q q_{0}^{2}+R r_{0}^{2}, \\
P^{2} a^{2}+R^{2} c^{2}=P^{2} p_{0}^{2}+Q^{2} q_{0}^{2}+R^{2} r_{0}^{2}
\end{array}
\]

или
\[
\begin{aligned}
P\left(P-K^{\prime}\right) a^{2} & =P(P-R) p_{0}^{2}+Q(Q-R) q_{0}^{2}, \\
R(P-R) c^{2} & =Q(P-Q) q_{0}^{2}+R(P-R) r_{0}^{2} .
\end{aligned}
\]

Эти уравнения дают значения для $a^{2}$ и $c^{2}$, а именно – положительные значения, если, как мы это теперь примем, $Q$ по своей величине есть среднее трех моментов инерции $P, Q, R$. Определяем затем из уравнений (6) $b^{2}, \lambda^{2}$ и $x^{2}$; делением и умножением первых двух и затем делением первого уравнения на третье получаем
\[
\begin{aligned}
b^{2} & =a^{2} \frac{P(P-R)}{Q(Q-R)}, \\
\lambda^{2} & =c^{2} \frac{(P-R)(Q-R)}{P Q}, \\
x^{2} & =\frac{a^{2}}{c^{2}} \frac{P(P-Q)}{R(Q-R)},
\end{aligned}
\]

При сделанном относительно момента инерции $Q$ предположении $b^{2}, \lambda^{2}$, $x^{2}$ – положительные величины; но не всегда $x^{2}$ меньше единицы. Пусть последнее условие не выполняется, тогда, чтобы выполнить его, достаточно поменять ось $x$ и ось $z$ или (если хотят, чтобы новая и старая системы жоординат были конгруентными) считают, что новая ось $x$ направлена, как прежняя ось $z$, а новая ось $z$ направлена противоположно прежней оси $x$. При этом меняются значения $P$ и $R$ и одновременно значения $p_{0}^{2}$ и $r_{0}^{2}$, а поэтому также и значения $a^{2}$ и $c^{2}$ уравнений (7) и, следовательно, значение $x^{2}$, данное уравнением (8), превращается в обратную величину.

Уравнения (8) не заменяют полностью уравнений (6), из которых они выведены. Однако пусть это сделано; тогда нужно рассмотреть еще одно из них, например первое, и взять одинаковыми знаки обеих его частей. По этому уравнению будут определены знаки величин $a, b, c$, $\lambda$, если знаки других установлены. Мы возьмем $\lambda$ положительным; первое уравнение (6) определяет тогда знак $b$, если известны знаки $a$ и $c$. Поэтому нужно выбрать знак $c$ определенным образом из уравнений
\[
p_{0}=a \cos \mathrm{am} \mu, q_{0}=b \sin \mathrm{am} \mu, r_{0}=c \Delta \mathrm{am} \mu,
\]

которые имеют место вследствие уравнений (5), и это последние уравнения, которым мы должны еще удовлетворить. Из третьего уравнения следует, что если $\mu$ действительно (каким оно и должно быть), то $c$ должно иметь тот же знак, что и $r_{0}$, тогда $\Delta$ am $\mu$ положительно. Знак $a$ мы можем выбрать произвольно, мы примем его равным $\rho_{0}$; тогда знак $b$ определяется первым уравнением (6).

Уравнения (9) служат для определения последней из введенных шести постоянных – величины $\mu$. Из первого уравнения находим два значения для ат $\mu$, еслимы установим (что мы и хотим сделать), что эта величина лежит между $-\frac{\pi}{2}$ и $+\frac{\pi}{2}$, так как вследствие уравнений (7) $a^{2}$ больше, чем $\rho_{0}^{2}$. Bторое уравнение снимает остающуюся при этом двузначность, поскольку оно показывает, что ат $\mu$ заключена между – $\frac{\pi}{2}$ и нулем или между нулем и $\frac{\pi}{2}$, в зависимости от того, противоположны или одинаковы знаки $q_{0}$ и $b$.

Из найденных действительных значений $\mu$ или $\psi$ следует затем, согласно сделанному ранее замечанию, только одно действительное значение $\mu$. Этим доказано, что уравнение (5) есть интеграл уравнения (4) и входящие в него постолнные определены однозначно. Остается еще установить угол, который определяет положение тела в пространстве неподвижных координат $\xi, \eta, \zeta$ в каждый момент времени.

Для этой цели обратимся к уравнению (2), из которого получаем, интегрируя и используя значение $T$, данное в (3):
\[
\begin{array}{l}
\alpha_{1} P p+\alpha_{2} Q q+\alpha_{3} R r=A, \\
\beta_{1} P p+\beta_{2} Q q+\beta_{3} R r=B, \\
\gamma_{1} P p+\gamma_{2} Q q+\gamma_{3} R r=C,
\end{array}
\]

где $A, B, C$ – постоянные. Между этими и введенными ранее постоянными существует некоторое соотношение; возводя в квадрат и складывая уравнения (10), получаем
\[
P^{2} p^{2}+Q^{2} q^{2}+R^{2} r^{2}=A^{2}+B^{2}+C^{2} ;
\]

отсюда следует
\[
A^{2}+B^{2}+C^{2}=P^{2} a^{2}+R^{2} c^{2} .
\]

Если рассматривать $P p, Q q, \operatorname{Rr}$ как прямоугольные координаты точки в системе $x, y, z$, то уравнения (10) показывают, что $A, B, C$ являются координатами этой же точки в системе координат $\xi, \eta, \zeta$. Эта точка не изменяется со временем, так как $A, B, C$ являются постоянными; отсюда прямую, проведенную через эту точку из начала координат, можно принять за ось $\zeta$. Пусть это сделано, тогда $A=0, B=0$ и, согласно (11)
\[
C=\sqrt{P^{2} a^{2}+R^{2} c^{2}}
\]

где величина корня берется положительной. После этого получают из уравнений (10), если их умножить на $\alpha_{1}, \beta_{1}, \Upsilon_{1}$, или $\alpha_{2}, \beta_{2}, \gamma_{2}$, или $\alpha_{3}, \beta_{3}, \Upsilon_{3}$ и каждый раз складывать:
\[
\gamma_{1}=\frac{P p}{\sqrt{P^{2} a^{2}+R^{2} c^{2}}}, \quad \gamma_{2}=\frac{Q q}{\sqrt{P^{2} a^{2}+R^{2} c^{2}}}, \quad \gamma_{3}=\frac{R r}{\sqrt{P^{2} a^{2}+R^{2} c^{2}}} .
\]

Введем в уравнения (8) пятой лекции определенные углы $\vartheta, f, \varphi$, которые определяют положение тела в каждый момент. Устанавливаем сначала $\vartheta$ из уравнения
\[
\gamma_{3}=\cos \vartheta
\]

для некоторого положения тела можно при этом выбрать $\vartheta$ между – $\pi$ и $+\pi$, или, как отмечено при рассмотрении уравнений (8) пятой лекции, можно выбрать $\vartheta$ произвольно между нулем и л. Последнее из уравнений (5) показывает, что $r^{2}$ не может быть болыше, чем $c^{2}$; по последнему уравнению (12) $\tau_{3}^{2}$ или $\cos ^{2} \vartheta$ не достигают значения единицы, и таким образом $\vartheta$ не переходит границ 0 и $\pi$. Можно отметить, что $\vartheta$ не превосходит также значения $\frac{\pi}{2}$, так как $r$ не может обратиться в нуль.
Для определения $f$ имеем
\[
\Upsilon_{1}=\cos f \cdot \sin \vartheta, \quad \Upsilon_{2}=\sin f \cdot \sin \vartheta
\]

и два первых уравнения (12). Этим самым для одного положения тела $f$ определено однозначно, если еще установить, что для него $f$ лежит между нулем и $2 \pi$; решение, что $f$ изменяется непрерывно с изменением положения тела, определяет тогда $f$ однозначно также для каждого другого положения, которое принимает тело при движении. Остается еще выяснить значение $\varphi$. Имеем, таким образом,
\[
\operatorname{tg} \varphi=\frac{\beta_{3}}{\alpha_{3}},
\]

откуда следует
\[
\cos ^{2} \varphi=\frac{\alpha_{3}^{2}}{1-\gamma_{3}^{2}}
\]

и поэтому
\[
d \varphi=\frac{\alpha_{3} d \beta_{3}-\beta_{3} d \alpha_{3}}{1-\gamma_{3}^{2}} .
\]

Но из уравнений (20) пятой лекции
\[
d \beta_{3}=\left(\beta_{1} q-\beta_{2} p\right) d t, \quad d \alpha_{3}=\left(\alpha_{1} q-\alpha_{2} p\right) d t,
\]

следовательно, принимая во внимание уравнения (6) и (7) пятой лекции,
\[
d \varphi=\frac{\Upsilon_{1} p+\gamma_{2} q}{\Upsilon_{1}^{2}+\Upsilon_{2}^{2}} d t .
\]

Поэтому как следствие уравнения (12) получаем

Вспомним об интеграле уравнений (4), из которых выводятся уравнения (7); тогда мы можем записать
\[
d \varphi=\sqrt{P^{2} a^{2}+R^{2} c^{2}} \frac{P a^{2}+R c^{2}-R r^{2}}{P^{2} a^{2}+R^{2} c^{2}-R^{2} r^{2}} d t
\]

или, если подставить значение $r$ из (5),
\[
d \varphi=\sqrt{P^{2} a^{2}+R^{2} c^{2}} \frac{P a^{2}+R c^{2} \varkappa^{2} \sin ^{2} a m(\lambda t+\mu)}{P^{2} a^{2}+R^{2} c^{2} \varkappa^{2} \sin ^{2} a m(\lambda t+\mu)} d t .
\]

Интегрирование этого уравнения приводит к эллиптическому интегралу третьего рода.
§ 2
Интегралы задачи вращения тел, на которое не действуют никакие силы, вокруг неподвижной точки интересно применить к случаю, при котором модуль эллиптической функции, встречающейся в этих интегралах, т. е. $x$, есть нуль или бесконечно малая величина. Эллиптические функции сводятся тогда к тригонометрическим.

Данное в (8) выражение для $x^{2}$ показывает, что $x$ бесконечно мало, если $a$ – бесконечно мало, $c$ – конечно и $P, Q, R$ – какие-нибудь величины, не принимающие только значений, для которых множитель $\frac{a^{2}}{c^{2}}$ в выражении для $x^{2}$ становится бесконечно большим. По первому уравнению (8) $b$ также будет бесконечно малым. Уравнения (7) показывают, что а бесконечно мало, если таковы $p_{0}$ и $q_{0}$, что мы и предположим. Уравнения (5) дают тогда, если пренебречь бесконечно малыми величинами высших порядков:
\[
p=a \cos (\lambda t+\mu), \quad q=b \sin (\lambda t+\mu), \quad r=c \sqrt{1-x^{2} \sin ^{2}(\lambda t+\mu)} .
\]

Что касается значений $\vartheta, f, \varphi$, то последнее из этих уравнений дает совместно с последним уравнением (12) (если подставить $x^{2}$ его значение и пренебречь бесконечно малыми величинами высших порядков)
\[
\sin ^{2} \vartheta=\frac{P a^{2}}{R c^{2}}\left(\frac{P}{R}+\frac{P-Q}{Q-R} \sin ^{2}(\lambda t+\mu)\right) .
\]

Поэтому $\sin \vartheta-$ бесконечно малая величина. Пусть, как мы теперь примем, ось $z$ выбрана так, что $r$ или (что то же) $c$ положительно, следовательно, положителен $\cos \vartheta$, поэтому и по общему предположению, сделанному относительно $\vartheta, \vartheta$ само бесконечно мало и при этом положительно, т. е. уравнение однозначно определяет $\vartheta$. Далее имеем
\[
\operatorname{tg} f=\frac{Q b}{P a} \operatorname{tg}(\lambda t+\mu) .
\]

Угол $\varphi$, который вместе с $\vartheta$ определяет положение оси $z$, легче всего найти следующим путем. Рассуждением, аналогичным тому, которым мы вывели уравнение (13), получаем
\[
\begin{array}{c}
\operatorname{tg} f=\frac{\gamma_{2}}{\gamma_{1}}, \quad \cos ^{2} f=\frac{\gamma_{1}^{2}}{\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}}, \\
d f=\frac{\gamma_{1} d \gamma_{2}-\gamma_{2} d \gamma_{1}}{\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}}=\frac{\gamma_{1}\left(\gamma_{3} p-\gamma_{1} r\right)-\gamma_{2}\left(\gamma_{2} r-\gamma_{3} q\right)}{\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}} d t= \\
=\frac{\gamma_{3}\left(\gamma_{1} p+\gamma_{2} q\right)-\left(\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}\right) r}{\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}} d t .
\end{array}
\]

Вследствие уравнения (13) отсюда получаем
\[
d f=\cos \vartheta d \varphi-r d t .
\]

Так как при нашем выборе $\vartheta$ бесконечно мало и $r$ бесконечно мало отличается от $c$, то, пренебрегая бесконечно малыми величинами, имеем
\[
\varphi=f+c t+\text { const, }
\]

где постоянная интегрирования определяется по начальному значению $\varphi$.
Вследствие предположения, которое сделано при выводе уравнений (8), осью $z$ может быть ось наибольшего или наименьшего, но не среднего главного момента инерции. Проведенные вычисления показывают, что если мгновенная ось вращения при $t=0$ бесконечно мало отклонена от оси наибольшего или наименьшего главного момента инерции, то она всегда остается бесконечно близкой к этой оси. Поэтому говорят, что врацение тела вокруг оси наибольшего и вокруг оси наименьшего главных моментов инерции устойчиво. Пусть тело может вращаться также вокруг оси среднего главного момента инерции, тогда уравнения (4) выполняются, если предположить $p=0, q=0, r=$ const; ноэто вращение неустойчиво, т. е. если бесконечно мало отклонить мгновенную ось вращения при $t=0$ от рассматриваемой главной оси, то это отклонение станет конечным с течением времени (хотя бы но истечении бесконечно большого промежутка времени). Именно, пусть $p_{0}$ и $q_{0}$ бесконечно малы, т. е. в силу уравнений (7) и (8) $x^{2}$ бесконечно мало отличается от единицы, эллиптические функции $f$, которые входят в уравнение (5), превращаются в показательные функции, и обсуждение этого случая приводит к высказанной теореме, что, однако, не должно здесь рассматриваться.
$\S 3$
Последнее из уравнений (8) показывает, что $x$ обращается в нуль, если $P=0$; мы рассмотрим теперь этот случай, т. е. случай равенства двух главных моментов инерции. Уравнения (7) дают:
\[
a^{2}=p_{0}^{2}+q_{0}^{2}, \quad c=r_{0} .
\]

Уравнениям (6) (которые выражают то же, что и уравнения (8), но снимают неопределенность относітельно знака, которую оставляют эти уравнения) удовлетворяют, полагая
\[
b=a, \quad \hat{\lambda}=r_{0} \frac{R-P}{P} .
\]

при этом уравнения (5) примут следующий вид:
\[
p=\sqrt{p_{0}^{2}+q_{0}^{2}} \cos (\lambda t+\mu), \quad q=\sqrt{p_{0}^{2}+q_{0}^{2}} \sin (\lambda t+\mu), \quad r=r_{0} .
\]

Уравнения (12) дают
\[
\cos \vartheta=\frac{R r_{0}}{\sqrt{P^{2}\left(p_{0}^{2}+q_{0}^{2}\right)+R^{2} r_{0}^{2}}}
\]

и, следовательно, $\cos \vartheta=$ const и
\[
\operatorname{tg} f=\operatorname{tg}(\lambda t+\mu)
\]

что значит
\[
f=\lambda t+\mu+n \pi,
\]

где $n$-целое число. Из уравнения (16) следует, наконец,
\[
\cos \vartheta \cdot \varphi=f+r_{0} t+\text { const }=\left(\lambda+r_{0}\right) t+\text { const },
\]

или, если для $\lambda$ и $\cos \vartheta$ подставить их значения,
\[
\varphi=\frac{\sqrt{P^{2}\left(p_{0}^{2}+q_{0}^{2}\right)+R^{2} r_{0}^{2}}}{P} t+\text { const },
\]

что еще проще, чем уравнение (14).
§ 4
Рассмотрим теперь вращение тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. Рассуждения четвертой лекции приводят к способу нахождения двух интегралов дифференциальных уравнений, относящихся к этой задаче; теорема о живой силе дает один интеграл, теорема площадей относительно горизонтальной плоскости – второй. Примем ось $\zeta$ направленной вертикально вниз, обозначим координаты центра тяжести тела через $\xi, \eta, \zeta$, массу – $m$ и силу тяжести $-g$. При обозначениях, употребляемых в уравнениях (16) и (17) шестой лекции, имеем тогда по формулам, установленным в конце пятой лекции,
\[
M_{\xi}=m g \eta, \quad M_{\eta}=-m g \xi, \quad M_{\xi}=0 .
\]

Если ось $z$ проходит через центр тяжести, а $s$ обозначает расстояние ее от неподвижной точки и при этом
\[
\xi=\alpha_{3} s, \quad \eta=\beta_{3} s, \quad \zeta=\gamma_{3} s,
\]

то получим
\[
M_{x}=-m g s \gamma_{2}, \quad M_{y}=m g s \gamma_{1}, \quad M_{z}=0 .
\]

Отсюда уравнения (17) шестой лекции дают
\[
\gamma_{1} \frac{\partial T}{\partial p}+\gamma_{2} \frac{\partial T}{\partial q}+\gamma_{3} \frac{\partial T}{\partial r}=C,
\]

где $C$-постоянная. Это уравнение выражает теорему сохранения пющадей для плоскости $\xi О \eta$.
Уравнения (16) шестой лекции примут вид
\[
\begin{array}{l}
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial p}=r \frac{\partial T}{\partial q}-q \frac{\partial T}{\partial r}-m g_{S_{\gamma_{2}}}, \\
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial q}=p \frac{\partial T}{\partial r}-r \frac{\partial T}{\partial p}+m g_{S \gamma_{1}}, \\
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial r}=q \frac{\partial T}{\partial p}-p \frac{\partial T}{\partial q} .
\end{array}
\]

Умножим их на $p, q, r$ и сложим, чтобы интегрированием получить уравнение, которое выражает теорему о живой сяле. Так как $T$ – однородная функция второй степени переменных $p, q, r$, то
\[
2 T=p \frac{\partial T}{\partial p}+q \frac{\partial T}{\partial q}+r \frac{\partial T}{\partial r}
\]

поэтому
\[
\frac{d T}{d t}=\frac{\partial T}{\partial p} \frac{d p}{d t}+\frac{d T}{\partial q} \frac{d q}{d t}+\frac{\partial T}{\partial r} \frac{d r}{d t},
\]

откуда следует
\[
\frac{d T}{d t}=p \frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial p}+q \frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial q}+r \frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial r} .
\]

Приняв во внимание, что
\[
\Upsilon_{1} q-\Upsilon_{2} p=-\frac{d \Upsilon_{3}}{d t}
\]

найдем
\[
T=m g s \tau_{3}+H
\]

где $H$ – постоянная.
Найти третий общий интеграл рассматриваемых дифференциальных уравнений не удается. Мы упростим нашу проблему, прежде всего предположив, что ось $z$, т. е. линия, проходящая через неподвижную точку и центр тяжести тела, есть главная ось для неподвижной точки. Можно затем так выбрать оси $x$ и $y$, чтобы они являлись двумя другими главными осями, так что имеет место данное уравнением (3) выражәние для $T$. Примем теперь, кроме того, что $P=Q$; в таком случае последнее уравнение (17) интегрируемо и дает
\[
r=\text { const. }
\]

Одновременно уравнения (16a) и (19) превращаются в
\[
\begin{array}{l}
P\left(p \gamma_{1}+q \gamma_{2}\right)+R r \gamma_{3}=C, \\
P\left(p^{2}+q^{2}\right)+R r^{2}=2 m g s \gamma_{3}+2 H \text {. } \\
\end{array}
\]

Введем теперь снова углы $\vartheta, \varphi, f$, определяемые уравнениями (8) пятой лекции. Тогда уравнение (18) можно записать в виде
\[
\sin \vartheta \frac{d \vartheta}{d t}=\gamma_{2} p-\gamma_{1} q
\]

а уравнение (13) в виде
\[
\sin ^{2} \vartheta \frac{d \vartheta}{d t}=\gamma_{1} p+\gamma_{2} q .
\]

Возведя в квадрат и сложив эти уравнения, получим
\[
\left(p^{2}+q^{2}\right) d t^{2}=d \vartheta^{2}+\sin ^{2} \vartheta d \varphi^{2} .
\]

Поэтому уравнения (20) преобразуются в следующие:
\[
\begin{array}{c}
P \sin ^{2} \vartheta d \varphi=(C-R r \cos \vartheta) d t, \\
P\left(d \vartheta^{2}+\sin ^{2} \vartheta d \varphi^{2}\right)=\left(2 m g s \cos \vartheta+2 H-R r^{2}\right) d t^{2} .
\end{array}
\]

Так как в них не входят сами переменные $\varphi$ и $t$, а только их дифференциалы, то, интегрируя эти уравнения, можно представить $\varphi$ и $t$ как функции переменной $\vartheta$, а также $\vartheta$ и $\varphi$ как функции $t$; после того как это сделано, уравнения (16) позволяют вычислить также $f$ как функцию $t$. Функции, к которым мы придем таким образом, являются эллиптическими функциями.
$\S 5$
Мы проведем приведенные выше вычисления только для некоторых специальных случаев. Примем прежде всего, что $p$ и $q$ при $t=0$ обращаются в нуль, т. е. что в момент времени $t=0$ мгновенная ось врацения есть ось $z$. Уравнения (21) показывают, что тогда при $t=0$ обращаются в нуль также и $\frac{d \vartheta}{d t}$, и $\frac{d \varphi}{d t}$. Пусть $\vartheta_{0}$ – значение $\vartheta$ при $t=0$, тогда по уравнениям (22)
\[
0=C-R r \cos \vartheta_{0}
\]

и
\[
0=2 m g s \cos \vartheta_{0}+2 H-R r^{2} .
\]

Эти же уравнения, следовательно, примут вид
\[
\begin{array}{c}
P \sin ^{2} \vartheta d \varphi=\operatorname{Rr}\left(\cos \vartheta_{0}-\cos \vartheta\right) d t \\
P\left(d \vartheta^{2}+\sin ^{2} \vartheta d \varphi^{2}\right)=2 m g s\left(\cos \vartheta-\cos \vartheta_{0}\right) d t^{2} .
\end{array}
\]

Исключаем из них $d \varphi$ и вводим вместо $\vartheta_{0}$ и $\vartheta$ половины этих углов; получаем тогда
\[
\begin{array}{c}
P^{2} \sin ^{2} \frac{\vartheta}{2} \cos ^{2} \frac{\vartheta}{2} d \vartheta^{2}= \\
\left(\sin ^{2} \frac{\vartheta \theta}{2}-\sin ^{2} \frac{\vartheta}{2}\right)\left\{4 m g s P \sin ^{2} \frac{\vartheta}{2} \cos ^{2} \frac{\vartheta}{2}-\right. \\
\left.-R^{2} r^{2}\left(\sin ^{2} \frac{\vartheta \theta}{2}-\sin ^{2} \frac{\vartheta}{2}\right)\right\} d t^{2} .
\end{array}
\]

Положим теперь
\[
\sin \frac{\vartheta_{0}}{2}=\sin ^{2} \frac{\vartheta_{0}}{2}-M^{2} \cos ^{2} \psi,
\]

где $M$ – постоянная.
Отсюда найдем
\[
\sin \frac{\vartheta}{2} \cos \frac{\vartheta}{2} d \vartheta=2 M^{2} \sin \psi \cdot \cos \psi d \psi .
\]

Уравнение (24) приобретает поэтому множитель $M^{2} \cos ^{2} \psi$ и по сокращении его дает
\[
\begin{array}{c}
4 P^{2} M^{2} \sin ^{2} \psi d \psi^{2}= \\
=\left\{4 m g s P\left(\sin ^{2} \frac{\vartheta_{0}}{2}-M^{2} \cos ^{2} \psi\right)\left(\cos ^{2} \frac{\vartheta_{0}}{2}+M^{2} \cos ^{2} \psi\right)-R^{2} r^{2} M^{2} \cos ^{2} \psi\right\} d t^{2} .
\end{array}
\]

Множитель при $d t^{2}$ представляет собой функцию второй степени относительно $\cos ^{2} \psi$, а также и относительно $\sin ^{2} \psi$; определим величину $M$ так, чтобы член этого множителя, не зависяний от $\sin ^{2} \psi$, обращался в нуль;

тогда делением на $\sin ^{2} \psi$ это уравнение приводится к форме
\[
d \psi^{2}=\lambda^{2}\left(1-x^{2} \sin ^{2} \psi\right) d t^{2},
\]

где $\lambda$ и $x$-известные постоянные. Пусть затем $M^{2}$ должно быть определено из квадратного уравнения
\[
4 m g s p\left(\sin ^{2} \frac{\vartheta 0}{2}-M^{2}\right)\left(\cos ^{2} \frac{\vartheta}{2}+M^{2}\right)-R^{2} r^{2} M^{2}=0
\]

I пусть
\[
\begin{array}{l}
\lambda^{2}=\frac{4 m g s P\left(2 M^{2}+\cos \vartheta_{0}\right)+R^{2} r^{2}}{4 P^{2}}, \\
x^{2}=\frac{4 m g s P M^{2}}{4 m g s P\left(2 M^{2}+\cos \vartheta_{0}\right)+R^{2} r^{2}} .
\end{array}
\]

Квадратное уравнение для $M^{2}$ можно записать так:
\[
M^{4}+M^{2}\left(\frac{R^{2} r^{2}}{4 m g s P}+\cos \vartheta_{0}\right)-\frac{1}{4} \sin ^{2} \vartheta_{0}=0,
\]

и один его корень положителен, другой отрицателен; мы выберем положительный, т. е. мы положим
\[
M^{2}=\frac{1}{2}\left\{-\frac{R^{2} r^{2}}{4 m g s P}-\cos \vartheta_{0}+\sqrt{\left(\frac{R^{2} r^{2}}{4 m g s P}+\cos \vartheta_{0}\right)^{2}+\sin ^{2} \vartheta_{0}}\right\},
\]

где корень берется с положительным знаком. Поэтому
\[
\begin{array}{c}
\lambda^{2}=\frac{m g s}{P} \sqrt{\left(\frac{R^{2} r^{2}}{4 m g s P}+\cos \vartheta_{0}\right)^{2}+\sin ^{2} \vartheta_{0}}, \\
1-2 \chi^{2}=\frac{\frac{R^{2} r^{2}}{4 m g s P}+\cos \vartheta_{0}}{\sqrt{\left(\frac{R^{2} r^{2}}{4 m g s P}+\cos \vartheta_{0}\right)^{2}+\sin ^{2} \vartheta_{0}}} .
\end{array}
\]

Полученное для $1-2 x^{2}$ выражение заключено между -1 и +1 , $x^{2}$ за ключено поэтому между 0 и $1 ; \lambda^{2}$ положительно. Отсюда мы можем записать интеграл уравнения (26)
\[
\psi=\operatorname{am}(\lambda t+\mu), \quad \operatorname{Mod} x,
\]

где $\mu$ – произвольная постоянная интегрирования.
Мы исследуем далее случай, когда $r$ может считаться бесконечно бон. шим. Тогда $x=0$, и, следовательно,
\[
\psi=\lambda t+\mu
\]

II по (25)
\[
\sin ^{2} \frac{\theta}{2}=\sin ^{2} \frac{\theta_{0}}{2}-M^{2} \cos ^{2}(\lambda t+\mu),
\]

кроме того,
\[
\begin{array}{c}
M^{2}=\frac{m g s P}{R^{2} r^{2}} \sin ^{2} \vartheta_{0}, \\
\lambda=\frac{R r}{2 P} .
\end{array}
\]

Поэтому $\vartheta$ колеблется с бесконечно коротким периодом между двумя бесконечно близкими границами. Интегрирование первого из уравнений (23) облегчено тем, что в левую часть его вместо 0 можно подставить $\mathscr{v}_{0}$; тогда это уравнение, принимая во внимание (25) и (27), имеет вид
\[
P \sin ^{2} \vartheta_{0} d \varphi=-\frac{2 R r M^{2}}{\lambda} \cos ^{2} \psi d \varphi,
\]

или после подстановки значения $M^{2}$
\[
d \varphi=-\frac{2 m g s}{R r \lambda} \cos ^{2} \psi d \psi .
\]

Так как
\[
\int \cos ^{2} \varphi d \psi=\frac{\psi}{2}+\frac{\sin 2 \psi}{4},
\]

то отсюда следует при использовании (27)
\[
\varphi=-\frac{m g s}{R r}\left(t+\frac{1}{2 \lambda} \sin 2 \psi\right)+\text { const }
\]

или, так как $\lambda$ бесконечно велико по сравнению с $r$, то, пренебрегая бесконечно малыми членами,
\[
\varphi=-\frac{m g s}{R r} t+\text { const. }
\]

Угол $f$, наконец, легко получается из (16), если подставить туда $\vartheta_{0}$ вместо ๆ; находим
\[
f=\varphi \cos \vartheta_{0}-r t+\text { const },
\]

или
\[
f=-\left(r+\frac{m g s}{R r} \cos v_{0}\right) t+\text { const. }
\]
§ 6
Вместо предположения, которому мы следовали в предыдущем иараграфе, именно, что $p$ и $q$ исчезают при $t \ldots 0$, мы примем теперь, что при $t=0$ всегда $r=0$. Тогда уравнения (22) примут следующий вид:
\[
\begin{array}{c}
P \sin ^{2} \vartheta d \varphi=C d t, \\
P\left(d \vartheta^{2}-\sin ^{2} \vartheta d \varphi^{2}\right)=2(m g s \cos \vartheta-H) d t^{2} .
\end{array}
\]

Они с точностью до обозначений тождественны уравнениям (12) второй лекции, из чего следует, что в рассматриваемом здесь случае прямая линия, проходящая через неподвижную точку и центр тяжести тела, движется так, как простой маятник известной длины. Эта длина $l$ определяется уравнением
\[
l=\frac{P}{m s} .
\]

Пусть постоянная $C$ в уравнениях (22) или, что то же, постоянная $c$ в уравнениях (12) второй лекции равна нулю, тогда
\[
\begin{array}{c}
\varphi==\text { const } \\
\left(\frac{d \frac{9}{2}}{d t}\right)^{2}=\frac{g}{l}\left(h-\sin ^{2} \frac{\vartheta}{2}\right),
\end{array}
\]

где $h$ – произвольная постоянная. Она должна быть положительной, так как положительна левая часть уравнения (29), но она может иметь любое значение между нулем и $+\infty$. Пусть $h<1$, тогда можно положить $h=$ $=\sin ^{2} \frac{\alpha}{2}$, считая приблизительно, что $\alpha$ лежит между нулем и л. Пусть $\alpha$ – амплитуда упомянутого выше колебания, которое совершает тело или маятник; возьмем
\[
\sin \frac{\vartheta}{2}=\sin \frac{\alpha}{2}-\sin \psi,
\]

тогда, как уже многократно отмечалось,
\[
\sqrt{\frac{g}{l}} d t=\frac{d \psi}{\sqrt{1-\sin ^{2} \frac{\alpha}{2} \sin ^{2} \psi}}
\]

и, следовательно,
\[
\psi=\operatorname{am}\left(t \sqrt{\frac{g}{l}}+\mu\right), \quad \operatorname{Mod} \sin \frac{\alpha}{2},
\]

где $\mu$-произвольная постоянная, или
\[
\sin \frac{\theta}{2}=\sin \frac{\alpha}{2} \sin \operatorname{am}\left(t \sqrt{\frac{g}{l}+\mu}\right), \quad \operatorname{Mod} \sin \frac{\alpha}{2}
\]

Пусть, однако, в уравнении (29) $h>1$, тогда можно поюжить
\[
h=\frac{1}{x^{2}},
\]

где $x$ – действительная правильная дробь; таким образом получаем
\[
\left(\frac{d^{-}-2}{d t}\right)^{2}=\frac{g}{l x^{2}}\left(1-x^{2} \sin ^{2} \frac{\theta}{2}\right)
\]

или
\[
\frac{\vartheta}{2}=\operatorname{am}\left(\frac{t}{x} \sqrt{\frac{g}{l}}+\mu\right), \quad \operatorname{Mod} x,
\]

где $\mu$ также означает произвольную постоянную и где $x$ может считаться положительным или отрицательным в зависимости от того, увеличивается или уменьшается $\vartheta$ при возрастании $t$.