$\S 1$

Из общих уравнений движения материальных точек, которые мы рассматривали в двух последних лекциях, мы, при определенных допущениях, сделаем теперь некоторые выводы относительно условий, которым подчиняется движение.

Связи не содержат времени, это – первое предположение, которое мы примем. Пусть смещения, получаемые точками при их движении за элемент времени $d t$, суть виртуальные смещения, которые определены уравнением (1) третьей лекции. Поэтому в производимых в третьей лекции вычислениях можно всюду вместо знака $\delta$ поставить знак $d$, который означает, что речь идет об изменениях, происходящих в действительном движении за элемент времени $d t$. Проделав это в уравнении (2) и проинтегрировав его, найдем
\[
T_{1}-T_{0}=\int_{t_{0}}^{t_{1}} \sum(X d x+Y d y+Z d z),
\]

где $T_{0}$ и $T_{1}$ – значения живой силы в произвольно выбранные моменты времени $t_{0}$ и $t_{1}$. Понятие работы, введенное уравнением (3) третьей лекции, до сих пор определено только для бесконечно малых смещений. Теперь мы обобщим это понятие и будем говорить также о работе сил при конечных перемещениях точек их приложения, понимая под этим сумму значений работ при бесконечно малых смещениях, равных в сумме конечным смещениям. Уравнение (1) показывает, что приращение, получаемое живой силой системы в некоторый интервал времени, равно работе действующей силы при смещениях, которые претерпевают точки. Эта теорема называется теоремой жизой силы.

Пусть действующие силы имеют потенциал $U$, и он не содержит времени; в этом случае правая часть уравнения (1) представляет собой разность значений, которые принимает $U$ при $t=t_{1}$ и $t=t_{0}$; уравнение можно поэтому записать в виде
\[
T=U+h,
\]

где $h=$ const. Пусть $U$ – однозначная функция, тогда, если все точки системы вернуть в исходное положение, то живая сила также примет значение, которое она имела прежде. Эта теорема известна под названием теоремь о сохранении живой силы.

В случае, если на систему не действует никакая сила или если действующие силы находятся в равновесии, то живая сила постоянна.

Теперь мы применим уравнение (2) к теории равновесия, которую дал Дирихле (Crelle’s Journal, Bd. 32, стр. 85). В предыдущей лекции при определении равновесия уже упоминалось, что речь идет только о таком случае, когда связи не зависят от времени, а следовательно, выполняется предположение, лежащее в основе настоящего изложения. Кроме этого, чтобы можно было применить уравнение (2), положим, что действующие силы имеют потенциал $U$, который также не содержит времени. По замечанию, сделанному в конце предыдущей лекции, равновесие между силами имеет место в положении системы, когда $U$ достигает максимума. В таком положении равновесие обладает замечательным свойством – устойчивостью. Это свойство не сохраняется, если в положении равновесия $U$ имеет минимум или не имеет ни минимума, ни максимума. Чтобы пояснить это свойство, представим себе систему в момент времени $t=0$ в положении, которое бесконечно мало отличается от упомянутого положения равновесия, и примем также, что все точки имеют бесконечно малые скорости. 1 уусть $U_{m}$ – максимальное значение $U$, которое, следовательно, соответствует положению равновесия. Тогда по уравнению (2) $T+\left(U_{m}-U\right)-$ константа, а именно. бесконечно малая константа, так как при $t=0$ и $T$ и $U_{m}-U$ – бесконечно малые величины. Поскольку $T$ – положительная величина, то можно заключить, что $U_{m}-U$ никогда не принимает положительного конечного значения. Переведем затем систему из положения равновесия (или бесконечно близкого к нему) в некоторое отличное от него положение, тогда, как следует из понятия максимума, $U_{m}-U$ – конечная положительная величина. Отсюда следует, что при сделанных предположениях система только бесконечно мало отклоняется от положения равновесия. При этом $T$ в каждой точке остается бесконечно малым, как и в положении равновесия.
$\S 3$
Примем теперь, что связи, которым подчинено движение точек, такого вида, что они допускают смещение точек в направлении оси $x$ без изменения их относительного положения. K такому смещению (которое мы обозначим через $u^{\prime}$ ) можно применить уравнение (2) третьей лекции, выражающее принцип Даламбера. Тогда мы должны положить в этом уравнения
\[
\delta x=u^{\prime}, \quad \delta y=0, \quad \delta z=0 ;
\]

отсюда получим, опуская множитель $u^{\prime}$,
\[
\sum m \frac{d x^{2}}{d t^{2}}=\sum X .
\]

Мы замечаем, что работа действующей силы для этого смещения равна
\[
u^{\prime} \sum X \text {. }
\]

Пусть возможны также смещения системы в направлении оси $y$ и оси $z$ без изменения относительного расположения точек; тогда находим аналогично
\[
\sum m \frac{d^{2} y}{d t^{2}}=\sum Y \quad \text { и } \quad \sum m \frac{d^{2} z}{d t^{2}}=\sum Z .
\]

Преобразуем эти уравнения, введя некоторые новые обозначения. Положим
\[
\begin{aligned}
M & =\sum m, \\
M \xi=\sum m x, \quad M \eta & =\sum m y, \quad M \zeta=\sum m z
\end{aligned}
\]
сти. Очевидно, что по этому определению центр тяжести системы не зависит от выбора системы координат. В самом деле, введем наряду с системой $x, y, z$, вторую систему $x^{\prime}, y^{\prime}$. $z^{\prime}$, как мы это уже неоднократно делали; умножим уравнения (1) первой лекции (которые в этом случае имеют место) на $m$, просуммируем их по всем точкам системы и получим аналогично уравнениям (6)
\[
M \xi^{\prime}=\sum m x^{\prime}, M \eta^{\prime}=\sum m y^{\prime}, M \zeta^{\prime}=\sum m z^{\prime} ;
\]

разделив на $M$, имеем
\[
\begin{array}{l}
\xi^{\prime}=a+\alpha_{1} \xi+\alpha_{2} \eta+\alpha_{3} \xi, \\
\eta^{\prime}=b+\beta_{1} \xi+\beta_{2} \eta+\beta_{3} \zeta, \\
\zeta^{\prime}=c+\gamma_{1} \xi+\gamma_{2} \eta+\gamma_{3} \zeta,
\end{array}
\]
т. е. уравнения, которые означают, что $\xi^{\prime}, \eta^{\prime}, \zeta^{\prime}$ и $\xi, \eta, \zeta$ являются координатами одной и той же точки в двух системах координат.

Так как массы – положительные величины, то центром тяжести системы точек является определенная средняя точка; это значит, что каждая координата центра тяжести заключена между наиболышим и наименьшим значениями соответствующих координат отдельных точек системы.

Полезно отметить, что при вычислении положения центра тяжести данных масс произвольные группы их могут быть представлены сконцентрированными в их центрах тяжести и что центр тяжести масс, лежащих на одной прямой, находится на этой же прямой. Правильность первого утверждения следует непосредственно из уравнений (6), содержащих определение; правильность второго очевидна, если принять прямую, на которой должны лежать массы, за ось $x$; в таком случае $y=0, z=0$ и, следовательно, $\eta=0$ и $\zeta=0$.

Употребляя введенные обозначения, можно записать уравнения (3) и (5) в виде
\[
M \frac{d^{2} \xi}{d t^{2}}=\sum X, \quad M \frac{d^{2} \eta}{d t^{2}}=\sum Y, \quad M \frac{d^{2} \xi}{d t^{2}}=\sum Z
\]

эти формулы выражают так называемые теоремы движения центра тяжести. Их можно свести в одну теорему: центр тяжести системы масс движется так, как если бы в нем была сосредоточена вся масса системы и на него действовали бы все. силы. При этом движение системы может быть подчинено произвольным связям; они должңы только допускать смещения в трех взаимно перпендикулярных направлениях без изменения относительного расположения точек.

Пусть действующие силы таковы, что при смещении, параллельном оси $x$, их работа равна нулю; тогда по уравнению (4) $\Sigma X=0$; это уравнение, а также оба аналогичных – для осей $y$ и $z$ – выполняются, если силы имеют потенциал, зависящий только от относительного положения точек. В действительности потенциал не изменяется, если все соответственные координаты точек изменяются на одну и ту же величину. В качестве примера можно привести нашу планетную систему, если пренебречь влиянием неподвижных звезд. Тогда уравнения (7) дают
\[
\frac{d^{2} \xi}{d t^{2}}=0, \frac{d^{2} \eta}{d t^{2}}=0, \quad \frac{d^{2} \zeta}{d t^{2}}=0 ;
\]
т. е. центр тяжести движется прямолинейно с постоянной скоростью. Эту теорему называют теоремой сохранения движения центра тяжести.

Пусть на точки системы не действуют никакие силы, кроме силы тяготения, тогда уравнения (7) (если принять ось $z$ направленной вертикально вниз) имеют вид
\[
\frac{d^{2} \xi}{d t^{2}}=0, \frac{d^{2} \eta}{d t^{2}}=0, \frac{d^{2} \zeta}{d t^{2}}=g ;
\]

это значит, что центр тяжести движется по параболе, как отдельная тяжелая материальная точка. Примером является жесткое тяжелое тело, которое можно рассматривать как систему жестко соединенных друг с другом материальных точек; что их бесконечно много – д данном случае несущественно.
$\S 4$
Приведенные примеры показывают, что иногда в особо простых случаях можно указать движение центра тяжести системы материальных точек. Рекомендуется относить движение точек не к неподвижной в пространстве системе координат, а к системе, начало координат которой совпадает с движущимся центром тяжести, а оси имеют постоянные направления. Но при такой координатной системе нельзя непосредственно использовать уравнения, которые мы установили для неподвижных систем.

Введем наряду с неподвижной в пространстве системой координат $x$, $y, z$ вторую, подвижную – $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$, в которой для каждой точки имеют место соотношения
\[
x=\xi+x^{\prime}, \quad y=\eta+y^{\prime}, \quad z=\zeta+z^{\prime},
\]

где $\xi, \eta, \zeta$ – данные функции времени. В новых координатах уравнение (2) гретьей лекции, выражающее принцип Даламбера, имеет следующий вид:
\[
\begin{array}{l}
0=\sum\left(m \frac{d^{2} x^{\prime}}{d t^{2}}+m \frac{d^{2} \xi}{d t^{2}}-X\right) \delta x^{\prime}+ \\
+\left(m \frac{d^{2} y^{\prime}}{d t^{2}}+m \frac{d^{2} \eta}{d t^{2}}-Y\right) \delta y^{\prime}+ \\
+\left(m \frac{d^{2} z^{\prime}}{d t^{2}}+m \frac{d^{2} \zeta}{d t^{2}}-Z\right) \delta z^{\prime},
\end{array}
\]

и это уравнение должно выполняться для всех возможных вариаций $\delta x^{\prime}, \delta y^{\prime}, \delta z^{\prime}$; т. е. принцип Даламбера можно применять в одной и той же форме как в движущейся, так и в покоящейся системах координат, если только к каждой силе $(X, Y, Z$ ) добавлять силу, компоненты которой
\[
-m \frac{d^{2} \xi}{d t^{2}}, \quad-m \frac{d^{2} \eta}{d t^{2}}, \quad-m \frac{d^{2} \xi}{d t^{2}} .
\]

Если точка $(\xi, \eta, \zeta)$ является центром тяжести системы масс, для которых выполняется теорема сохранения движения центра тяжести (например, центр тяжести нашей системы планет), то эти дополнительные силы равны нулю; массы движутся вокруг центра тяжести так, как будто он неподвижен.

Если ( $\xi, \eta, \zeta$ ) – центр тяжести системы материальных точек, на которые действует только сила тяжести и которые связаны друг с другом так, что в направлениях осей координат возможны перемещения без изменения их относительного расположения, то будут иметь место уравнения (8) (если по-прежнему ось $z$ направлена вертикально вниз); и одновременно
\[
X=0, \quad Y=0, \quad Z=m g .
\]

Отсюда следует, что точки движутся вокруг центра тяжести так, как если бы они не подвергались действию сил и их центр тяжести находился бы в покое.
$\S 5$
Наконец, предположим, что связи точек системы таковы, что они допускают вращение вокруг оси $z$ без изменения относительного положения точек. Положим
\[
x=\rho \cos \vartheta, \quad y=\rho \sin \vartheta,
\]

тогда бесконечно малому вращению вокруг оси $z$ соответствует увеличение всех углов $\vartheta$, относящихся к отдельным точкам системы, на такую же бесконечно малую величину, которую мы обозначим $r^{\prime}$; отсюда имеем для такого вращения
\[
\begin{array}{l}
\delta x=-\rho \sin \vartheta r^{\prime}=-y r^{\prime}, \\
\delta y=\rho \cos \vartheta r^{\prime}=x r^{\prime}, \\
\delta z=0
\end{array}
\]

при сделанном предположении эти величины можно подставить как виртуальные смещения в уравнение (2) третьей лекции. По сокращении множителя $r^{\prime}$ получаем
\[
\sum m\left(x \frac{d^{2} y}{d t^{2}}-y \frac{d^{2} x}{d t^{2}}\right)=\sum(x Y-y X) .
\]

Мы отмечаем, что работа действующей силы для упомянутого вращения равна
\[
r^{\prime} \sum(x Y-y X)
\]

множитель при $r^{\prime}$ в этом выражении, или правую часть уравнения (9), называют моментом вращения действующей силы относительно оси $z$.

Қак мы уже видели при рассмотрении первого закона Кеплера в первой лекции,
\[
x \frac{d^{2} y}{d t^{2}}-y \frac{d^{2} x}{d t^{2}}=\frac{d}{d t}\left(x \frac{d y}{d t}-y \frac{d y}{d t}\right)=\frac{d}{d t}\left(\rho^{2} \frac{d \vartheta}{d t}\right)
\]

и $\rho^{2} d \vartheta$ – удвоенная площадь, которую радиус-вектор $\rho$ описывает при возрастании $\vartheta$ за элемент времени $d t$. Поэтому уравнение (9) можно записать следующим образом:
\[
\frac{d}{d t} \sum m \rho^{2} \frac{d \vartheta}{d t}=\sum(x Y-y X) .
\]

Это уравнение выражает так называемую теорему площадей для плоскости $x y$.

Если момент вращения силы относительно оси $z$ равен нулю, то уравғение (11) интегрируемо и дает
\[
\sum m \rho^{2} \frac{d v}{d t}=\text { const. }
\]

Выраженную этим уравнением теорему называют пеоремой сохранения площадей для плоскости $x O y$.

Рассуждения, которые мы провели для оси $z$, будут справедливыми для осей $x$ и $y$, если соответствующим образом заменить $x, y, z$.

Если силы имеюот потенциал, который зависит только от относительного расположения точек, то он не изменяется при вращении системы вокруг какой-либо оси координат; поэтому момент вращения сил относительно каждой оси координат равен нулю; если связи точек допускают вращение вокруг каждой оси координат, то теорема сохранения площадей имеет место для каждой координатной плоскости. Примером этого является наша планетная система.