$\S 1$

Для простоты представления движений тела полезно, кроме сил, которые мы до сих пор рассматривали и которые действуют на частицы тела, ввести другие силы, распределенные по его поверхности. Эти силы называют давлениями ${ }^{1}$. Давление, действующее на элемент поверхности тела, подобно движущей силе, приложенной к точке; ему присущи некоторая величина и некоторое направленте. Мы будем говорить о компоненте давления по известному направлению, его моменте вращения относительно некоторой оси, его работе для известного перемещения в том же смысле, как о силе такого рода, который мы до сих пор рассматривали. Давление пропорционально величине элемента поверхности, к которому оно относится.
м: Мы не будем пытаться давать более полное определение этого обобщенного понятия силы, так же как и раньше мы не дали его для более частного случая. Мы только хотим установить, что проязойдет с движением тела, когда даны силы, действующие на его частицы, и давления, распределенные по его поверхности.

Для системы материальных точек, которые связаны между собой так, что допускают смещение в любом направлении и вращение вокруг каждой оси, без изменения относительных компонент, применимы выведенные в § 3 и 5 четвертой лекции теорема о движении центра тяжести и теорема площадей. Мы будем рассматривать тело как такую систему материальных точек.

Пусть на частицы тела действуют известные силы и на частицы его поверхности известные давления; тогда это предложение должно быть равносильно шести уравнениям, выражающим теорему о движении центра тяжести и теорему площадей, если только одни эти силы и давления принимаются в расчет.
Если $d \tau$ – элемент объема тела, $\mu$-плотность этого элемента, то $\mu X d \tau, \mu Y d \tau, \mu Z d \tau$
– компоненты действующей на него силы; далее, пусть $d s$ – элемент поверхности, $n$ – направленная внутрь тела нормаль к нему,
\[
X_{n} d s, Y_{n} d s, Z_{n} d s
\]
– компоненты действующего на элемент $d s$ давления, $x, y, z$ – координаты точки объема $d \tau$ или поверхности $d$ s и, наконец, $\frac{d^{2} x}{d t^{2}}, \frac{d^{2} y}{d t^{2}}, \frac{d^{2} z}{d t^{2}}$-компоненты ускорения этой точки.

По только что данному определению и согласно уравнениям (3) и (9) четвертой лекции имеем
\[
\begin{array}{l}
\int \mu \frac{d^{2} x}{d t^{2}} d \tau=\int \mu X d \tau+\int X_{n} d s, \\
\int \mu \frac{d^{2} y}{d t^{2}} d \tau=\int \mu Y d \tau+\int Y_{n} d s, \\
\int \mu \frac{d^{2} z}{d t^{2}} d \tau=\int \mu Z d \tau+\int Z_{n} d s
\end{array}
\]

и
\[
\begin{array}{l}
\int \mu\left(y \frac{d^{2} z}{d t^{2}}-z \frac{d^{2} y}{a t^{2}}\right) d \tau=\int \mu(y Z-z Y) d \tau+\int\left(y Z_{n}-z Y_{n}\right) d s, \\
\int \mu\left(z \frac{d^{2} x}{d t^{2}}-x \frac{d^{2} z}{d t^{2}}\right) d \tau=\int \mu(z X-x Z) d \tau+\int\left(z X_{n}-x Z_{n}\right) d s, \\
\int \mu\left(x \frac{d^{2} y}{d t^{2}}-y \frac{d^{2} x}{d t^{2}}\right) d \tau=\int \mu(x Y-y X) d \tau+\int\left(x Y_{n}-y X_{n}\right) d s .
\end{array}
\]
$\S 2$
Қаждая частица тела сама есть тело, к которому могут быть приложены уравнения (1) и (2). Из этого следует, что обозначения $X_{n}, Y_{n}, Z_{n}$ должны иметь смысл также для каждого элемента поверхности, взятой внутри тела. Их значения зависят от положения элемента поверхности и от направления нормали $n$ к нему. Мы найдем зависимость от последнего, если напишем уравнения (1) для частицы тела, размеры которой бесконечно малы. Положим, что они будут бесконечно малыми первого порядка; тогда, если предположить конечность сил и ускорений, интегралы
\[
\int \mu \frac{d^{2} x}{u t^{2}} d \tau \text { и } \int \mu X d \tau
\]

будут бесконечно малыми третьего порядка. Интеграл
\[
\int X_{n} d s
\]

есть, таким образом, бесконечно малое второго порядка. Мы рассмотрим этот вывод на примере прямоугольного параллелепипеда, ребра которого имеют длины $a, b, c$ и пролзвольные направления. Применительно к этому параллелепипеду мы можем интеграл (3) написать так:
\[
b c\left(X_{a}+X_{a}^{\prime}\right)+c a\left(X_{b}+X_{b}^{\prime}\right)+a b\left(X_{c}-1-X_{c}^{\prime}\right),
\]

причем обозначения $X_{a}, X_{b}, X_{c}$ относятся к трем его граням, проходящим через произвольно выбрараннуо вершину, а $X_{a}^{\prime}, X_{b}^{\prime}, X_{c}^{\prime}$ относятся к противоположным граням. Из того, что указанная сумма должна быть бесконечно малым третьего порядка, если $a, b, c$ – первого, и такими же могут быть также отношения $a: b: c$, следует, что
\[
X_{a}+X_{a}^{\prime}, X_{b}+X_{b}^{\prime}, X_{c}+X_{c}^{\prime}
\]

обращаются в нуль, т. е. что, вообще говоря, $X_{n}$ получает то же абсолютное значение, но изменяет знак при перемене направления нормали $n$ на противоположное. Пользуясь этим результатом, мы покажем теперь, как $X_{n}$ может быть выражено через значения, которые оно имеет, когда нормаль $n$ параллельна оси $x$ или оси $y$, или оси $z$; эти значения $X_{n}$ можно обозначить через $X_{x}, X_{y}, X_{z}$. Вообразим бесконечно близко к элементу поверхности, к которому относится $X_{n}$, со стороны, в которую направлена нормаль $n$, точку; проведем через нее три плоскости, параллельные плоскостям координат. Таким образом получится тетраэдр, для которого составим интеграл (3). Пусть $S$ – площадь грани тетраэдра, к которой относится $X_{n}$; тогда соответствующий ей элемент интеграла есть $s X_{n}$. Чтобы найти элемент последнего, относящийся к грани, перпендикулярной к оси $x$, надо различать два случая, когда внешняя нормаль параллельна положительному направлению оси $x$ или ему противоположна. В первом случае величина площади есть $s \cos (n x)$ и соответствующая величина $X$ есть – $X_{x}$, во втором эти две величины суть $-s \cos (n x)$ и $X_{x}$. Таким образом, относящийся к обоим случаям элемент интеграла (3) будет
\[
\text { – } X_{x} s \cos (n x) \text {. }
\]

Так как подобное заключение приложимо в отношении двух остальных граней тетраэдра, то весь интеграл (3) равен
\[
s\left[X_{n}-X_{x} \cos (n x)-X_{y} \cos (n y)-X_{z} \cos (n z)\right] \text {. }
\]

Так как это выражение должно быть высшего порядка, чем $s$, то
\[
X_{n}=X_{x} \cos (n x)+X_{y} \cos (n y)+X_{z} \cos (n z) \text {. }
\]

Вследствие этого соотношения интеграл (3) будет порядка малости выше второго для каждой частицы тела, размеры которой первого порядка малости, так как
\[
\int d s \cos (n x)=0, \int d s \cos (n y)=0, \int d s \cos (n z)=0 .
\]

Эти уравнения легко получаются из следующего предложения, которое мы будем применять неоднократно.

Если $V$ есть однозначная, непрерывная функция координат $x, y, z$ точек некоторого замкнутого объема, $d \tau$ – элемент этого объема, $d s$ элемент его поверхности и $n$, направленная внутрь объема, нормаль к $d s$, то
\[
\begin{array}{l}
\int \frac{\partial V}{\partial x} d \tau=-\int V \cos (n x) d s, \\
\int_{\partial y}^{\partial V} d \tau=-\int V \cos (n y) d s, \\
\int_{\partial z}^{\partial V} d \tau=-\int V \cos (n z) d s .
\end{array}
\]

Мы убедимся в правильности этих уравнений, если подставим в их левые части $d x d y d z$ вместо $d \tau$ и про пзведем интегрирование по $x$, $y$ или $z$. Достаточно положить в них $V=1$, ч1обы получить уравнения (5).

Поступая подобным же образом, мы можем добавить к уравнению (4) два аналогичных; тогда получим
\[
\begin{array}{l}
X_{n}=X_{x} \cos (n x)+X_{y} \cos (n y)+X_{z} \cos (n z), \\
Y_{n}=Y_{x} \cos (n x)+Y_{y} \cos (n y)+Y_{z} \cos (n z), \\
Z_{n}=Z_{x} \cos (n x)+Z_{y} \cos (n y)+Z_{z} \cos (n z) .
\end{array}
\]

Входящие сюда девять величин $X_{x}, X_{y}, \ldots$ мы будем, вообще, предполагать однозначными и непрерывными функциями $x, y, z$, Изменение их скачком может произойти единственно только на поверхностях соприкосновения различных тел. Тогда для какой-нибудь части одного тела по уравнениям (4) и (6) будем иметь
\[
\int X_{n} d s=-\int\left(\frac{\partial X_{x}}{\partial x}+\frac{\partial X_{y}}{\partial y}+\frac{\partial X_{z}}{\partial z}\right) d \tau
\]

๓ отсюда, в силу первого из уравнений (1),
\[
\int\left(\mu \frac{d^{2} x}{d t^{2}}-\mu X+\frac{\partial X_{x}}{\partial x}+\frac{\partial X_{y}}{\partial y}+\frac{\partial X_{z}}{\partial z}\right) d \tau=0 .
\]

Гак как это уравнение должно иметь место для каждой части тела, то множитель при $d \tau$ под знаком интеграла должен обратиться в нуль. K полученному таким образои уравнению мы по-прежнему можем добавить два подобных; тогда получим
\[
\begin{array}{l}
\mu \frac{d^{2} x}{d t^{2}}=\mu X-\frac{\partial X_{x}}{\partial x}-\frac{\partial X_{y}}{\partial y}-\frac{\partial X_{z}}{\partial z}, \\
\mu \frac{d^{2} y}{d t^{2}}=\mu Y-\frac{\partial Y_{x}}{\partial x}-\frac{\partial Y_{y}}{\partial y}-\frac{\partial Y_{z}}{\partial z}, \\
\mu \frac{d^{2} z}{d t^{2}}=\mu Z-\frac{\partial Z_{x}}{\partial x}-\frac{\partial Z_{y}}{\partial y}-\frac{\partial Z_{z}}{\partial z} .
\end{array}
\]

Введем эти значения $\mu \frac{d^{2} y}{d t^{2}}$ и $\mu \frac{d^{2} z}{d t^{2}}$ в первое из уравнений (2), пользуясь гем, что вследствие (6) имеем
\[
\begin{array}{l}
-\int z \frac{\partial Y_{x}}{\partial x} d \tau=\int z Y_{x} \cos (n x) d s, \\
-\int z \frac{\partial Y_{y}}{\partial y} d \tau:=\int z Y_{y} \cos (n y) d s, \\
-\int z \frac{\partial Y_{z}}{\partial z} d \tau=\int z Y_{z} \cos (n z) d s+\int Y_{z} d \tau, \\
-\int y \frac{\partial Z_{x}}{\partial x} d \tau=\int y Z_{x} \cos (n x) d s, \\
-\int y \frac{\partial Z_{y}}{\partial y} d \tau=\int y Z_{y} \cos (n y) d s+\int Z_{y} d \tau, \\
-\int y \frac{\partial Z_{z}}{\partial z} d \tau=\int y Z_{z} \cos (n z) d s,
\end{array}
\]

и опираясь на два последних из уравнений (7); таким образом получим
\[
\int\left(Y_{z}-Z_{y}\right) d \tau=0 .
\]

Отсюда следует, что
\[
Y_{z}=Z_{y} \text {. }
\]

K этому уравнению можем добавить два аналогичных; тогда будем иметь
\[
Y_{z}=Z_{y}, Z_{x}=X_{z}, X_{y}=Y_{x} .
\]

Давление на элемент поверхности, вооще, наклонно к нему, но ғ каждом месте имеются три взаимно перпендикулярные площадки, к которым давления перпендикулярны. Мы докажем это предположение следующим образом.

Пусть будет $n$ – нормаль к элементу поверхности, на который действует перпендикулярное давление, и $p$-величина этого давления; тогдә
\[
X_{n}=p \cos (n x), Y_{n}=p \cos (n y), Z_{n}=p \cos (n z) .
\]

Следовательно, по (7),
\[
\begin{array}{l}
\left(X_{x}-p\right) \cos (n x)+X_{y} \cos (n y)+X_{z} \cos (n z)=0 \\
Y_{x} \cos (n x)+\left(Y_{y}-p\right) \cos (n y)+Y_{z} \cos (n z)=0 \\
Z_{x} \cos (n x)+Z_{y} \cos (n y)+\left(Z_{z}-p\right) \cos (n z)=0 .
\end{array}
\]

Эти уравнения в связи с уравнением
\[
\cos ^{2}(n x)+\cos ^{2}(n y)+\cos ^{2}(n z)=1
\]

определяют четыре неизвестных; $p, \cos (n x), \cos (n y), \cos (n z)$. Вследствие соотношений (9) эти уравнения того же вида, как те уравнения, к которым приходят при нахождении длины и направления полуоси поверхности второго порядка, уравнение которой есть
\[
X_{x} \xi^{2}+Y_{y} \eta^{2}+Z_{z} \zeta^{2}+2 Y_{z} \eta \zeta+2 Z_{x} \zeta \xi+2 X_{y} \xi \eta=1,
\]

где $\xi, \eta, \zeta$-текущие координаты. В самом деле, обозначим через р длину радиуса-вектора, образующего с осями координат углы, косинусы которых $\alpha, \beta, \gamma$; тогда, так как
\[
\xi=\rho \alpha, \eta=\rho \beta, \zeta=\rho \gamma,
\]

уравнение (11) примет вид
\[
\frac{1}{\rho^{2}}=X_{x} \alpha^{2}+Y_{y} \beta^{2}+Z_{z} \gamma^{2}+2 Y_{z} \beta \gamma+2 Z_{x} \gamma \alpha+2 X_{y} \alpha \beta .
\]

Мы найдем полуоси поверхности, если будем искать максимум и минимум выражения $\frac{1}{\rho^{2}}$ при условии
\[
\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}-1=0 .
\]

Для этого служат уравнения
\[
\begin{array}{c}
\left(X_{x}-\lambda\right) \alpha+X_{y} \beta+X_{z} \gamma=0, \\
Y_{x} \alpha+\left(Y_{y}-\lambda\right) \beta+Y_{z} \gamma=0, \\
Z_{x} \alpha+Z_{y} \beta+\left(Z_{z}-\lambda\right) \gamma=0,
\end{array}
\]

которые дают для $\lambda$ кубическое уравнение
\[
\left|\begin{array}{ccc}
X_{x}-\lambda, & X_{y}, & X_{z} \\
Y_{x}, & Y_{y}-\lambda, & Y_{z} \\
Z_{x}, & Z_{y}, & Z_{z}-\lambda
\end{array}\right|=0 .
\]

Три корня последнего соответствуют трем полуосям и дают обратные величины их квадратов, что легко видеть, если умножить уравнения (13) на $\alpha, \beta, \gamma$, сложить и сравнить результат с (12). Мы сделаем уравнения (10) тождественными с уравнениями (13), если положим
\[
p=\lambda, \cos (n x)=\alpha, \cos (n y)=\beta, \cos (n z)=\gamma .
\]

Отсюда следует, что главные оси поверхности (11) суть нормали к площадкам, к которым дывления перпендикулярны. Величины этих давлений равны обратным величинам квадратов полуосей этой поверхности. Эти давления называют главными, их направления-главными осями давлений.

Обозначим через $p_{1}, p_{2}, p_{3}$ главные давления, через $\alpha, \beta, \gamma$ с индексами $1,2,3$ – косинусы углов, которые главные оси давлений образуют с осями координат; тогда из уравнений (13), если принять во внимание соотношения, выражающие взаимную перпендикулярность главных осей, получим
\[
\begin{array}{c}
X_{x}=p_{1} \alpha_{1}^{2}+p_{2} \alpha_{2}^{2}+p_{3} \alpha_{3}^{2}, \\
Y_{y}=p_{1} \beta_{1}^{2}+p_{2} \beta_{2}^{2}+p_{3} \beta_{3}^{2}, \\
Z_{z}=p_{1} \gamma_{1}^{2}+p_{2} \gamma_{2}^{2}+p_{3} \gamma_{3}^{2}, \\
Y_{z}=Z_{y}=p_{1} \beta_{1} \gamma_{1}+p_{2} \beta_{2} \gamma_{2}+p_{3} \beta_{3} \gamma_{3}, \\
Z_{x}=X_{z}=p_{1} \gamma_{1} \alpha_{1}+p_{2} \gamma_{2} \alpha_{2}+p_{3} \gamma_{3} \alpha_{3}, \\
X_{y}=Y_{x}=p_{1} \alpha_{1} \beta_{1}+p_{2} \alpha_{2} \beta_{2}+p_{3} \alpha_{3} \beta_{3} .
\end{array}
\]
$\S 4$
На поверхности соприкосновения двух тел компоненты давления $X_{x}$, $X_{y}, \ldots$ могут претерпевать разрыв; если $n$ – нормаль к поверхности соприкосновения, то $X_{n}, Y_{n}, Z_{n}$ все-таки будут непрерывны, если предполагать, что силы, распределенные по поверхности соприкосновения, не бесконечно велики. Чтобы это доказать, рассмотрим любую конечную часть поверхности сопрякосновения, во всех точках ее проведем нормали и на них по обе стороны отложим отрезки бесконечно малой длины $\varepsilon$. K заполненному этими отрезками объему применим уравнения (1). Входящие сюда интегралы по $d \tau$ бесконечно малые порядка $\varepsilon$; взятые по $d s$ интегралы должны быть того же порядка малости. Для этого необходимо, чтобы значения $X_{n}, Y_{n}, Z_{n}$ на обеих сторонах поверхности соприкосновения не различались между собой на конечные величины. При этом надо заметить, что в то время как в уравнениях (1) мы понимали под $t$ нормаль к $d s$, направленную внутрь рассматриваемого объема, то здесь мы определили $n$ как одну из двух нормалей к поверхности соприкосновения. Отсюда следует, что $n$ на одной стороне здесь и там имеет одно и то же значение, а на другой направлена противоположно ${ }^{2}$.
$\S 5$
После того как во второй лекции мы получили лагранжевы уравнения движения для системы дискретных материальных точек, мы вывели из них в третьей лекции принцип Даламбера и из него принцип Гамильтона. С уравнениями, полученными нами теперь для движения тела, мы произвецем действия, которые соответствуют тем, которые раныше привели нас к принципу Гамильтона. Обозначим, как это мы делали до сих пор, через $x, y, z$ – координаты некоторой материальной точки тела в момент $t$, а через $\delta x, \delta y, \delta z$ – составляющие бесконечно малого возможного перемещения этой точки. Возможные перемещения здесь совершенно произвольны и должны только непрерывно изменяться с положением точки. Умножим уравнения (8) на $\delta x, \delta y, \delta z$, сложим их, умножим на элемент объема $d \tau$, занимаемого телом в момент $t$, и проинтегрируем по этому объему. Мы обозначаем при этом через $d \tau$ известную совокупность материальных точек, массу которых назовем $d m$, так что
\[
\mu d \tau=d m .
\]

Мы воспользуемся тем, что
\[
\frac{\partial X_{n}}{\partial x} \delta x=\frac{\partial\left(X_{x} \delta x\right)}{\partial x}-X_{x} \frac{\partial \delta x}{\partial x},
\]

и преобразуем соответственным образом восемь аналогичных членов. Тогда, при помощи уравнений (6) и (7), придем к сумме
\[
\int d m(X \delta x+Y \delta y+Z \delta z)+\int d s\left(X_{n} \delta x+Y_{n} \delta y+Z_{n} \delta z\right),
\]

где через $d s$ обозначен элемент поверхности тела. Эта сумма есть работа, которую при рассматриваемом перемещении произведут силы, действующие на частицы тела, и давления, распределенные по его поверхности; мы обозначим ее через $U^{\prime}$. Тогда, используя уравнения (9), получим
\[
0=\int d m\left(\frac{d^{2} x}{d t^{2}} \delta x+\frac{d^{2} y}{d t^{2}} \delta y+\frac{d^{2} z}{d t^{2}} \delta z\right)-U^{\prime}-F^{\prime},
\]

где
\[
\begin{array}{c}
F^{\prime}=\int d \tau\left[X_{x} \frac{\partial \delta x}{\partial x}+Y_{y} \frac{\partial \delta y}{\partial y}+Z_{z} \frac{\partial \delta z}{\partial z}+\right. \\
\left.+Y_{z}\left(\frac{\partial \delta y}{\partial z}+\frac{\partial \delta z}{\partial y}\right)+Z_{x}\left(\frac{\partial \delta z}{\partial x}+\frac{\partial \delta x}{\partial z}\right)+X_{y}\left(\frac{\partial \delta x}{\partial y}+\frac{\partial \delta y}{\partial x}\right)\right] .
\end{array}
\]

Уравнение (17) выражает припцип Даламбера для нашего тела, Для случая равновесия будем иметь условие
\[
0=U^{\prime}+F^{\prime} \text {, }
\]

выражающее принцип возможных перемещений.
При этом вычислении существенно предположение, что в рассматриваемом теле компоненты давления $X_{x}, Y_{y}, \ldots$ и перемещений $\delta x, \delta y, \delta z$ повсюду непрерывно изменяются с положением тела, потому что без этого не могло бы быть оправдано применение уравнений (6). Вообразим теперь систему тел, для каждого из которых в отдельности это предположение выполнено. На поверхности соприкосновения двух тел те или другие компоненты давлений или перемещений могут иметь разрыв, как мы это видели в § 4 этой и в § 6 предыдущей лекции. Особенностью этого разрыва является то, что $X_{n}, Y_{n}, Z_{n}$ (где $n$ обозначает для обоих тел внутреннюю нормаль) для обоих тел имеют противоположные значения, и что компоненты перемещения ( $\delta x, \delta y, \delta z$ ) по нормали равны между собой. Составим уравнения (17) для всех тел, заменив в них $U^{\prime}$ и $F^{\prime}$ их значениями из (16) и (18), и возьмем их сумму для всех тел. Сумма соответственных интегралов, под знак которых входит $d m$ или $d \tau$, может быть представлена одним интегралом, распространенным на массы или объем всей системы. Сумма интегралов, под знаком которых стоит $d s$, слагается из интеграла, который распространен на поверхность всей системы, и интегралов (того же вида), относящихся к поверхностям соприкосновения каждых двух тел. Қаждый элемент $\delta x, \delta y, \delta z$ встречается в соответственном интеграле дважды, как принадлежащий поверхности двух тел. Рассмотрим только такие перемещения $\delta x, \delta y, \delta z$, которые и на поверхности соприкосновения тел не претерпевают разрыва, тогда множитель при $d s$
\[
X_{n} \delta x+Y_{n} \delta y+Z_{n} \delta z
\]

на обеих сторонах поверхности соприкосновения имеет противоположное значение. Вследствие этого интегралы, относящиеся к поверхности соприкосновения, обратятся в нуль, и уравнения (17) и (19) будут иметь место при значениях $U^{\prime}$ и $F^{\prime}$, определяемых (16) и (18), также и для системы тел, на поверхностях соприкосновения которых компоненты давлений претерпевают разрыв. Это, вообще, не будет иметь места для перемещений, непрерывность которых нарушается на этих поверхностях, но верно в случае, который мы будем подробно разбирать для поверхностей соприкосновения, когда давление, компоненты которого суть $X_{n}, Y_{n}, Z_{n}$, всюду нормально к этим поверхностям. В самом деле, в этом случае выражение (20) имеет для обоих тел противоположные знаки, так как оно равно произведению величины равнодействующей компонент давления $X_{n}, Y_{n}, Z_{n}$, на компоненту перемещения ( $\delta x, \delta y, \delta z$ ) по той или другой из двух нормалей к $d s$, причем эти компоненты должны иметь противоположные значения ${ }^{3}$.

Умножим уравнения (17) на $d t$ и проинтегрируем их для произвольноге промежутка времени; тогда, тем же способом и при тех же обозначениях, какими мы пользовались при рассмотрении системы дискретных материальных точек, мы получим
\[
\left[\int d m\left(\frac{d x}{d t} \delta x+\frac{d y}{d t} \delta y+\frac{d z}{d t} \delta z\right)\right]_{t_{0}}^{t_{1}}=\int_{t_{0}}^{t_{1}} d t\left(\delta T+U^{\prime}+F^{\prime}\right),
\]

где через $T$ обозначена живая сила
\[
T=\frac{1}{2} \int d m\left[\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d y}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d z}{d t}\right)^{2}\right] .
\]

Предположим еще, что вариации $\delta x, \delta y, \delta z$ все обращаются в нуль при $t=t_{0}$ и $t=t_{1}$; тогда уравнение (21) примет вид
\[
0=\int_{t_{0}}^{t_{1}} d t\left(\delta T+U^{\prime}+F^{\prime}\right)
\]

Это – выражение принципа Гамильтона для рассмотренного теперь случая.
Мы видим, что при желании применить принцип Даламбера или принцип Гамильтона к телу, частицы которого получают относительные перемещения, надо к работе $U^{\prime}$ сил $X, Y, Z$ и давлений, действующих на поверхность, добавить величину $F^{\prime}$, определяемую уравнением (18). Эту последнюю можно рассматривать как работу некоторых сил для рассматриваемых перемещений. Иногда эти силы называют внутренними, и в противоположность этому внешними силами – силы, работу которых обозначают через $U^{\prime}$.
§ 6
Опыт учит, что для достижения простейшего описания движения тела можно допустить, что компоненты давления $X_{x}, Y_{y} \ldots$ для каждой бесконечно малой частицы тела зависят только от состояния и изменения состояния этой частицы. Выражения, которыми можно представить компоненты давления, различны для разных классов тел.

Рассмотрим сперва жидости. Если отвлечься от явлений, которые. наблюдаются как следствие трения, то здесь можно положить
\[
\begin{array}{l}
Y_{z}=Z_{x}=X_{y}=0, \\
X_{x}=Y_{y}=Z_{z} .
\end{array}
\]

Обозначим общее значение $X_{x}, Y_{y}, Z_{z}$ через $p$ и назовем его просто давлением в рассматриваемой точке в момент $t$.

Уравнения (7) показывают, что элемент поверхности любого направления испытывает одно и то же перпендикулярное давление $p$. Это тот самый случай, на который было указано при исследовании выражения (20). Уравнения (8) примут вид
\[
\begin{array}{l}
\mu \frac{d^{2} x}{d t^{2}}=\mu X-\frac{\partial p}{\partial x}, \\
\mu \frac{d^{2} y}{d t^{2}}=\mu Y-\frac{\partial p}{\partial y}, \\
\mu \frac{d^{2} z}{d t^{2}}=\mu Z-\frac{\partial p}{\partial z} .
\end{array}
\]

К этим трем уравнениям между пятью неизвестными $x, y, z, \mu, p$ добавляются в качестве четвертого уравнения соотношение между давлением $p$ и плотностью, которое обусловлено природой жидкости, и пятое уравнение, которое мы получим следующим образом. Пусть $d \tau$ – объем некоторой совокупности материальных точек в момент $t$; тогда $\mu d \tau$ есть масса этой совокупности [как об этом уже говорилось в (15)], т. е. $\mu d \tau$ не зависит от времени. Обозначим изменения, получаемые $\mu$ и $d \tau$ в элемент времени $d t$, через $d \mu$ и $d d \tau$; тогда
\[
\frac{d \mu}{\mu}+\frac{d d \tau}{d \tau}=0 .
\]

Второй член в левой части этого уравнения есть объемное расширение, происходящее за время $d t$, равное по (29) предыдущей лекции
\[
\left(\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}\right) d t,
\]

где через $u$, $v$, w обозначены компоненты скорости в момент $t$ в точке $(x, y, z)$, т. e.
\[
u=\frac{d x}{d t}, \quad v=\frac{d y}{d t}, \quad w=\frac{d z}{d t} .
\]

Отсюда следует, что
\[
\frac{d \mu}{d t}+\mu\left(\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}\right)=0 .
\]

Для определяемой соотношением (18) величины $F^{\prime}$ получим
\[
F^{\prime}=\int d \tau p\left(\frac{\partial \delta x}{\partial x}+\frac{\partial \delta y}{\partial y}+\frac{\partial \delta z}{\partial z}\right) .
\]

Рассуждая так же, как при выводе уравнения (24), найдем
\[
\frac{\delta \mu}{\mu}+\frac{\partial(\delta x)}{\partial x}+\frac{\partial(\delta y)}{\partial y}+\frac{\partial(\delta z)}{\partial z}=0,
\]
откуда
\[
F^{\prime}=-\int d \tau p \stackrel{\delta \mu}{\mu}-\int d m p \stackrel{\delta}{\mu^{2}} .
\]

Представим себе, что с помощью существующего между $p$ и $\mu$ соотношения составлено выражение
\[
f=\int p \frac{d \mu}{\mu^{2}},
\]

причем нижнему пределу этого интеграла может быть дано какое-нибудь неизменное значение; тогда будем иметь
\[
\delta f=p \frac{\delta \mu}{\mu^{2}}
\]

и
\[
F^{\prime}=-\delta \int f d m
\]

Так как $F^{\prime}$ обозначает работу внутренних сил, то из этого можно заключить, что для нашей жидкости внутренние силы имеют потенциал, равный
\[
-\int f d m \text {. }
\]

Во многих случаях изменение плотности так незначительно, что приблизительно можно рассматривать жидкость как несжимаемую. Тогда в уравнениях (23) $\mu$ будет постоянно, и уравнение (24) примет вид
\[
\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}=0 .
\]

По данному уравнением (25) выражению для $F^{\prime}$ оно будет равно нулю, если
\[
\frac{\partial \delta x}{\partial x}+\frac{\partial \delta y}{\partial y}+\frac{\partial \delta z}{\partial z}=0,
\]
т. е. если вариация плотности равна нулю. Под возможным перемещением несжимаемой жидкости понимают только такое, при котором плотность не меняется; поэтому для несжимаемой жидкости для всех возможных перемещений $F^{\prime}=0$, принцип. Даламбера, принцип возможных перемещений и принцип Гамильтона применимы для нее в той же форме, как для системы дискретных материальных точек.
$\S 7$
Рассмотрим теперь упругое твердое тело, причем предположим, что все его точки могут получать лишь бесконечно малые отклонения от положения, при котором все компоненты давления равны нулю. Далее предположим, что тело одинаково по своим свойствам по всем направлениям или, как говорят, изот ропно. Для такого тела допускают, что главные давления имеют то же направление, как и главные удлинения, и являются линейными однородными функциями последних. Мы обозначим главные давления через $p_{1}, p_{2}, p_{3}$, соответствующие главные удлинения через $\lambda_{1}$, $\lambda_{2}, \lambda_{3}$ и положим
\[
\begin{array}{l}
p_{1}=-2 K\left[\lambda_{1}+\theta\left(\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3}\right)\right], \\
p_{2}=-2 K\left[\lambda_{2}+\theta\left(\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3}\right)\right], \\
p_{3}=-2 K\left[\lambda_{3}+\theta\left(\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3}\right)\right],
\end{array}
\]

причем под $K$ и $\theta$ мы подразумеваем постоянные, зависящие от природы тела. Эти уравнения составлены так, что получаются одно из другого посредством какой-нибудь перестановки индексов $1,2,3$. Пусть $\alpha_{1}, \beta_{1}$, $\gamma_{1}, \alpha_{2}, \beta_{2}, \gamma_{2}, \alpha_{3}, \beta_{3}, \gamma_{3}$ – косинусы углов, образуемых направлениями главных давлений и главных удлинений с осями координат; тогда имеют место уравнения (14), а также уравнения (21) предыдущей лекции, если припасать величинам $a_{11}, a_{12}, \ldots$ некоторые определенные значения. Эти значения определены посредством уравнений (26) предыдущей лекции. Изменим примененные там обозначения. Пусть $x, y, z$ – координаты материальной точки тела в предполагаемом нами состоянии, при котором все компоненты давлений равны нулю; $x+\xi, y+\eta, z+\xi$-координаты той же точки в момент $t$, так что под $\xi, \eta$, $\zeta$ подразумеваются бесконечно малые перемещения точки в момент $t$. Тогда из уравнений (25) получим
\[
\begin{array}{l}
a_{11}-1=\frac{\partial \xi}{\partial x}, \quad a_{12}=-\frac{\partial \xi}{\partial y}, \quad a_{13}=\frac{\partial \xi}{\partial z}, \\
a_{21}=\frac{\partial \eta}{\partial x}, \quad a_{22}-1=\frac{\partial \eta}{\partial y}, \quad a_{23}=\frac{\partial \eta}{\partial z}, \\
a_{31}=\frac{\partial \zeta}{\partial x}, \quad a_{32}=\frac{\partial \eta}{\partial y}, \quad a_{33}-1=\frac{\partial \zeta}{\partial z} . \\
\end{array}
\]

Соединим уравнения, из которых получились уравнения (21) предыдущей лекции, с уравнениями (24) и (27) этой лекции; тогда получим
\[
\begin{array}{l}
X_{x}=-2 K\left[\frac{\partial \xi}{\partial x}+\theta\left(\frac{\partial \xi}{\partial x}+\frac{\partial \eta}{\partial y}+\frac{\partial \zeta}{\partial z}\right)\right] \\
Y_{y}=-2 K\left[\frac{\partial \eta}{\partial y}+\theta\left(\frac{\partial \xi}{\partial x}+\frac{\partial \eta}{\partial y}+\frac{\partial \xi}{\partial z}\right)\right], \\
Z_{z}=-2 K\left[\frac{\partial \xi}{\partial z}+\theta\left(\frac{\partial \xi}{\partial x}+\frac{\partial \eta}{\partial y}+\frac{\partial \xi}{\partial z}\right)\right], \\
Y_{z}=-K\left(\frac{\partial \eta}{\partial z}+\frac{\partial \xi}{\partial y}\right) \\
Z_{x}=-K\left(\frac{\partial \zeta}{\partial x}+\frac{\partial \xi}{\partial z}\right) \\
X_{y}=-K\left(\frac{\partial \xi}{\partial y}+\frac{\partial \eta}{\partial x}\right) .
\end{array}
\]

Эти уравнения без изменения пригодны для всякой системы координат, как это следует из их вывода.
При измененных обозначениях уравнения (8) примут вид
\[
\begin{array}{c}
\mu \frac{d^{2} \xi}{d t^{2}}=\mu X-\frac{\partial X_{x}}{\partial x}-\frac{\partial X_{y}}{\partial y}-\frac{\partial X_{z}}{\partial z}, \\
\mu \frac{d^{2} \eta}{d t^{2}}=\mu Y^{Y}-\frac{\partial Y_{x}}{\partial x}-\frac{\partial Y_{y}}{\partial y}-\frac{\partial Y_{z}}{\partial z}, \\
\mu \frac{\partial^{2 \zeta}}{d t^{2}}=\mu Z-\frac{\partial Z_{x}}{\partial x}-\frac{\partial Z_{y}}{\partial y}-\frac{\partial Z_{z}}{\partial z} .
\end{array}
\]

Если бы мы не сделали предположения, что $\xi, \eta, \zeta$ бесконечно малы (это требуется для того, чтобы $X, Y, Z$ были также бесконечно малы), то мы должны были бы в правых частях повсюду заменить $x, y, z$ через $x+\xi$, $y+\eta, z+\zeta$.

Упомянутое предположение делает это необязательным; оно дает также право рассматривать в этих уравнениях $\mu$ как постоянное.

Вычислим еще определяемую уравнениями (18) величину $F^{\prime}$. Для сокращения положим
\[
\begin{array}{ll}
x_{x}=\frac{\partial \xi}{\partial x}, & y_{z}=z_{y}=\frac{\partial \eta}{\partial z}+\frac{\partial \xi}{\partial y}, \\
y_{y}=\frac{\partial \eta}{\partial y}, & z_{x}=x_{z}=\frac{\partial \xi}{\partial x}+\frac{\partial \xi}{\partial z}, \\
z_{z}=\frac{\partial \zeta}{\partial z}, & x_{y}=y_{x}=\frac{\partial \xi}{\partial y}+\frac{\partial \eta}{\partial x},
\end{array}
\]

тогда это уравнение будет иметь вид
\[
F^{\prime}=\int d \tau\left(X_{x} \delta x_{x}+Y_{y} \delta y_{y}+Z_{z} \delta z_{z}+Y_{z} \delta y_{z}+Z_{x} \delta z_{x}+X_{y} \delta x_{y}\right) .
\]

Положим
\[
f=-K\left[x_{x+}^{2}+y_{y}^{2}+z_{z}^{2}+\frac{1}{2} y_{z}^{2}+\frac{1}{2} z_{x}^{2}+\frac{1}{2} x_{y}^{2}+\theta\left(x_{x}+y_{y}+z_{z}\right)^{2}\right],
\]

или, что то же самое,
\[
f=-K\left[\lambda_{1}^{2}+\lambda_{2}^{2}+\lambda_{3}^{2}+\theta\left(\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3}\right)^{2}\right] ;
\]

тогда найдем
\[
\begin{aligned}
X_{x}=\frac{\partial f}{\partial x_{x}}, & Y_{z}=\frac{\partial f}{\partial y_{z}}, \\
Y_{y}=\frac{\partial f}{\partial y_{y}}, & Z_{x}=\frac{\partial f}{\partial z_{x}}, \\
Z_{z}=\frac{\partial f}{\partial z_{z}^{-}}, & X_{y}=\frac{\partial f}{\partial x_{y}} .
\end{aligned}
\]

Отсюда следует, что
\[
F^{\prime}=\int d \tau \delta f,
\]

или, так как при пренебрежении бесконечно малыми высшего порядка можнс рассматривать $d \tau$ как постоянное, то
\[
F^{\prime}=\delta \int f d \tau .
\]

Из этого следует, что здесь внутренние силы также имеют потенциал. именно, потенциал, равный $\int f d \tau$.

То же самое имеет место и для неизотропных тел, например кристаллов. Для них также существуют уравнения (31), в которых $f$ обозначает однородную функцию второй степени от шести аргументов: $x_{x}, y_{y}, z_{z}, y_{z}$, $z_{x}, x_{y}$, но которая, однако, имеет иную форму, чем данная выражением (30).

Мы опять возвратимся к исследованию жидкости и составим выражения компонент давления для случая, когда должно быть принято во вниманиє трение жидкости. Обозначим через $u$, $v$, w компоненты скорости в точке $(x, y, z)$ в момент $t$; согласно объяснениям, данным в предыдущей лекции, относительное давление внутри бесконечно малой частицы жидкости в момент $t$ зависит от шести величин:

\[
\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial v}{\partial y}, \frac{\partial w}{\partial z}, \frac{\partial v}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial y}, \frac{\partial w}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial z}, \frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x} .
\]

Если они обращаются в нуль, то относительное давление не имеет места, но возможны смещения и вращения частицы, как целого. Мы предположим также, что в этом случае трения нет, т. е. величины
\[
X_{x}-p, Y_{y}-p, Z_{z}-p, Y_{z}, Z_{x}, X_{y}
\]

при подходящем выборе $p$ обратятся в нуль; в самом деле, в § 6 мы предположили относительно этих величин, что если можно пренебречь трением, то они всегда равны нулю. Мы примем далее, что величины (33) это линейные функции величин (32), и положим
\[
\begin{array}{l}
X_{x}=p-2 k \frac{\partial u}{\partial x}, \quad Y_{z}=-k\left(\frac{\partial v}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial y}\right), \\
Y_{y}=p-2 k \frac{\partial v}{\partial y}, \quad Z_{x}=-k\left(\frac{\partial w}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial z}\right), \\
Z_{z}=p-2 k \frac{\partial w}{\partial z}, \quad X_{y}=-k\left(\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}\right)
\end{array}
\]

где через $k$ обозначена некоторая константа жидкости. Эти уравнения, как и аналогично составленные уравнения (28), обладают свойством оставаться неизменными при любой замене системы координат ${ }^{4}$.

Три уравнения, которые мы получим после подстановки в (8) этих значений компонент давления, содержат, в предположении, что жидкость рассматривается как несжимаемая (исследованием этого случая мы и ограничимся), четыре неизвестные функции, именно $x, y, z, p$, так как $u$, $v$, wпроизводные $x, y, z$ по $t$. $\mathrm{K}$ ним добавляется условие несжимаемости
\[
\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}=0
\]

Выражения, которыми в трех последних параграфах представлены компоненты давления, рассматриваются как произвольные предположения. Они могут быть сделаны, так как при любых предположениях относительно компонент давления всякое движение тела будет представлено уравнениями (8), лишь бы силы $X, Y, Z$ были выбраны подходящим образом. Сделанные предположения отличаются тем, что при них произвольные движения тела если не вполне точно, то с высокой степенью приближения получаются при простом значении этих сил.

Предметом следующей лекции будет исследование выведенных уравнений при простейших предположениях относительно названных сил. Мы познакомимся в этой лекции с предположениями, хорошо согласующимися с действительностью.