$\S 1$

Один из наиболее интересных случаев движения жидкости представляют жидкие струи, образующиеся при истечении жидкости. До сих пор не удалось решить вычислением задачу о таком движении для случая, когда потенциал, скоростей, существование которого предполагается, зависит от трех координат $x, y, z$, но это вычисление возможно в предположении, что потенциал скоростей есть функция только $x$ и $y$. Упрощение, которое получают гидродинамические задачи при таком предположении, мы уже видели в одном примере предыдущей лекции. Главнейшее основание этого упрощения лежит в том, что уравнение в частных производных, которому удовлетворяет потенциал скоростей,
\[
\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial y^{2}}=0
\]

удовлетворяется действительной и также мнимой частью функции ком«лексного переменного $x+i y$.
Положим
\[
z=x+i y
\]

и составим какое-нибудь аналитическое выражение, содержащее $z$, которое эбозначим через $Z$ и которое, кроме действительных величин и $z$, может содержать еще $i$. Преобразуем его по правилам, известным для действительных величин, считая $i$ за неизвестное действительное постоянное, но при этом положим
\[
i^{2}=-1 .
\]

Как известно, таким образом можно привести $Z$ к виду
\[
Z=X+i Y \text {, }
\]

сде $X$ и $Y$ суть действительные функции $x$ и $y$. При этом $z$ и $Z$ назызаются комплексными величинами, $x$ и $X$, iy и $i Y$ – их действительными и мнимыми частями, $Z$ – функцией $z$. Две комплексные величины называются равными, если равны между собой их действительные и мнимые части. Взятый со знаком «+» корень $\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ называется модулем $z$.
При этих обозначениях имеем
\[
\frac{\partial Z}{\partial x}=\frac{\partial Z}{\partial z}, \frac{\partial Z}{\partial y}=i \frac{\partial Z}{\partial z}, \text { поэтому } i \frac{\partial Z}{\partial x}=\frac{\partial Z}{\partial y} .
\]

т. e.
\[
i \frac{\partial X}{\partial x}-\frac{\partial Y}{\partial x}=\frac{\partial X}{\partial y}+i \frac{\partial Y}{\partial y}
\]

следовательно,
\[
\frac{\partial X}{\partial x}=\frac{\partial Y}{\partial y}, \frac{\partial Y}{\partial x}=-\frac{\partial X}{\partial y} .
\]

Эти два уравнения мы можем рассматривать как определение функции 2 $z^{37}$, более общее, чем приведенное выше. Из них следует, что
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial^{2} X}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} X}{\partial y^{2}}=0, \frac{\partial^{2} Y}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} Y}{\partial y^{2}}=0 \\
\frac{\partial X}{\partial x} \frac{\partial Y}{\partial x}+\frac{\partial X}{\partial y} \frac{\partial Y}{\partial y}=0
\end{array}
\]

Последнее уравнение выражает, что линии $X=$ const и линии $Y=$ const взаимно ортогональны.

На основании сделанного разъяснения мы найдем возможное движение жидкости, если возьмем для $Z$ любое выражение, содержащее $z$, и за потенциал скоростей $\varphi$ примем одну из двух величин $X$ и $Y$; тогда другая из них будет иметь также простое значение. Обозначим ее через $\psi$; тогда
\[
\psi=\text { const }
\]

будет уравнением линий тока.
Рассмотрим некоторые простые примеры. Возьмем сперва $Z=\lg z$; следовательно, $z=e^{\mathrm{z}}$.
Положим
\[
x=r \cos \vartheta, y=r \sin \vartheta,
\]

откуда следует, что
\[
r(\cos \vartheta+i \sin \vartheta)=e^{X}(\cos Y+i \sin Y),
\]

или
\[
X=\lg r, Y=\vartheta,
\]

где под $\lg r$ понимается действительное значение этой величины.
Отсюда мы имеем или
\[
\varphi=\lg r \text { и } \psi=\vartheta,
\]

или
\[
\varphi=\vartheta \text { и } \psi=\lg r .
\]

В первом случае линиями тока будут проходящие через точку $z=0$ прямые, а линиями равного потенциала скоростей – описанные вокруг этой точки круги; во втором случае имеем обратное. В обоих случаях скорость равна $\frac{1}{r}$. Две линии тока всегда можно заменить твердыми стенками без изменения движения между ними. Поэтому выведенные формулы пригодны, если две из прямых, проходящих через точку $z=0$, или два из описанных вокруг этой точки как центра круга будут заменены гвердыми стенками.
Чтобы получить второй пример, возьмем
\[
Z=\lg \frac{z-c_{1}}{z-c_{2}},
\]

где через $c_{1}$ и $c_{2}$ обозначены две комплексные постоянные. Положим
\[
c_{1}=a_{1}+i b_{1}, \quad c_{2}=a_{2}+i b_{2}
\]

и
\[
\begin{array}{l}
x-a_{1}=r_{1} \cos \vartheta_{1}, \quad x-a_{2}=r_{2} \cos \vartheta_{2}, \\
y-b_{1}=r_{1} \sin \vartheta_{1}, \quad y-b_{2}=r_{2} \sin \vartheta_{2},
\end{array}
\]

откуда следует, что
\[
X=\lg \frac{r_{1}}{r_{2}}, Y=\vartheta_{1}-\vartheta_{2} .
\]

Положим $\varphi=X, \psi=Y$; тогда, как покажет элементарное геометрическое исследование, линиями тока будут дуги кругов, соединяющих точки $z=c_{1}$ и $z=c_{2}$. К одной из этих двух точек жи кость притекает, а из другой вытекает. Линиями равного потенциала будут круги, описаниые. как на диаметре, на отрезке между двумя точками, расположенными гармонически относительно точек $z=c_{1}$ и $z=c_{2}$. Какие-нибудь две линии тока, например обе части проходящего через эти точки круга, могут быть заменены твердой стенкой. Положим наоборот, что $\varphi=Y, \psi=X$; тогда обе системы кругов поменяются ролями.

Мы придем к частному случаю течения, рассмотренного в семнадцатой лекции, если положим
\[
Z=\arcsin z ; \text { следовательно, } z=\sin Z .
\]

Тогда
\[
\begin{array}{l}
x=\sin X \frac{e^{Y}+e^{-Y}}{2}, \\
y=\cos X \frac{e^{Y}-e^{-y}}{2},
\end{array}
\]

откуда следует, что
\[
\begin{array}{c}
\frac{x^{2}}{\sin ^{2} X}-\frac{y^{2}}{\cos ^{2} X}=1, \\
\frac{4 x^{2}}{\left(e^{Y}+e^{-Y}\right)^{2}}+\frac{4 y^{2}}{\left(e^{Y}+e^{-Y}\right)^{2}}=1 .
\end{array}
\]

Уравнения $X=$ const и $Y=$ const представляют здесь систему софокусных гипербол и эллипсов, фокусы которых имеют координаты $x= \pm 1, y=0$.
§ 2
В уравнении (1) предыдущего параграфа мы дали определение того, что $X+i Y$ или $Z$ есть функция $x+i y$ или $z$, которое не предполагает, что аналитическое выражение для $Z$ задано. Исходя из этого, мы докажем теперь, что если $Z$ есть функция $z$, то также и наоборот, $z$ есть функция $Z$. Положим
\[
\begin{array}{c}
M^{2}=\left(\frac{\partial X}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial Y}{\partial x}\right)^{2}=\left(\begin{array}{l}
\partial X \\
\partial y
\end{array}\right)^{2}+\left(\frac{\partial Y}{\partial y}\right)^{2}= \\
=\left(\frac{\partial X}{\partial y}\right)^{2}+\left(\frac{\partial X}{\partial x}\right)^{2}=\left(\frac{\partial Y}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial Y}{\partial y}\right)^{2}= \\
=\frac{\partial X}{\partial x} \frac{\partial Y}{\partial y}-\frac{\partial X}{\partial y} \frac{\partial Y}{\partial x}
\end{array}
\]

все эти выражения равны между собой вследствие уравнения (1). Решая тождественные уравнения
\[
1=\frac{\partial x}{\partial X} \frac{\partial X}{\partial x}+\frac{\partial x}{\partial Y} \frac{\partial Y}{\partial y}, \quad 0=\frac{\partial y}{\partial X} \frac{\partial X}{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial Y} \frac{\partial Y}{\partial x},
\]

\[
0=\frac{\partial x}{\partial X} \frac{\partial X}{\partial y}+\frac{\partial x}{\partial Y} \frac{\partial Y}{\partial y}, \quad 1=\frac{\partial y}{\partial X} \frac{\partial X}{\partial y}+\frac{\partial y}{\partial Y} \frac{\partial Y}{\partial y},
\]

получаем
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial x}{\partial X}=\frac{1}{M^{2}} \frac{\partial X}{\partial x}, \quad \frac{\partial y}{\partial X}=-\frac{1}{M^{2}} \frac{\partial Y}{\partial x}, \\
\frac{\partial x}{\partial Y}=-\frac{1}{M^{2}} \frac{\partial X}{\partial y}, \quad \frac{\partial y}{\partial Y}=\frac{1}{M^{2}} \frac{\partial Y}{\partial y},
\end{array}
\]

и отсюда следует, на основании уравнения (1), что
\[
\frac{\partial x}{\partial X}=\frac{\partial y}{\partial Y} \text { и } \frac{\partial x}{\partial Y}=-\frac{\partial y}{\partial X},
\]

чем и доказано высказанное утверждение.
Если $Z=X+i Y$ и $Z^{\prime}=X^{\prime}+i Y^{\prime}$ суть функции $z$, то $Z Z^{\prime}$ также есть функции $z$. Действительно,
\[
Z Z^{\prime}=X X^{\prime}-Y Y^{\prime}+i\left(X Y^{\prime}+X^{\prime} Y\right)
\]

далее
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial\left(X X^{\prime}-Y Y^{\prime}\right)}{\partial x}=X \frac{\partial X^{\prime}}{\partial x}+X^{\prime} \frac{\partial X}{\partial x}-Y \frac{\partial Y^{\prime}}{\partial x}-Y^{\prime} \frac{\partial Y}{\partial x}, \\
\frac{\partial\left(X Y^{\prime}+X^{\prime} Y\right)}{\partial y}=X \frac{\partial Y^{\prime}}{\partial y}+X^{\prime} \frac{\partial Y}{\partial y}+Y \frac{\partial X^{\prime}}{\partial y}+Y^{\prime} \frac{\partial X}{\partial y}, \\
\frac{\partial\left(X X^{\prime}-Y Y^{\prime}\right)}{\partial y}=X \frac{\partial X^{\prime}}{\partial y}+X^{\prime} \frac{\partial X}{\partial y}-Y \frac{\partial Y^{\prime}}{\partial y}-Y^{\prime} \frac{\partial Y}{\partial y}, \\
\frac{\partial\left(X Y^{\prime}-X^{\prime} Y\right)}{\partial x}=X \frac{\partial Y^{\prime}}{\partial x}+X^{\prime} \frac{\partial Y}{\partial x}+Y \frac{\partial X^{\prime}}{\partial x}+Y^{\prime} \frac{\partial X}{\partial x},
\end{array}
\]

и отсюда, на основании уравнений (1) и уравнений
\[
\frac{\partial X^{\prime}}{\partial x}=\frac{\partial Y^{\prime}}{\partial y}, \quad \frac{\partial Y^{\prime}}{\partial x}=-\frac{\partial X^{\prime}}{\partial y},
\]

следует:
\[
\frac{\partial\left(X X^{\prime}-Y Y^{\prime}\right)}{\partial x}=\frac{\partial\left(X Y^{\prime}+X^{\prime} Y\right)}{\partial y} \text { и } \frac{\partial\left(X Y^{\prime}+X^{\prime} Y\right)}{d x}=-\frac{\partial\left(X X^{\prime}-Y Y^{\prime}\right)}{\partial y} .
\]

Рассмотрим теперь производную
\[
\frac{d Z}{d z}, \text { т. e. } \frac{d X+i d Y}{d x+i d y} ;
\]

она равна
\[
\frac{\left(\frac{\partial X}{\partial x}+i \frac{\partial Y}{\partial x}\right) d x+\left(\frac{\partial X}{\partial y}+i \frac{\partial Y}{\partial y}\right) d y}{d x+i d y}
\]

нли, по (1),
\[
\frac{\partial X}{\partial x}+i \frac{\partial Y}{\partial x} .
\]

Следовательно, производная не зависит от $d x$ и $d y$ и является функцией $x$ и $y$. Она есть функция $z$, в чем убедимся, если возьмем частные производные уравнений (1) по $x$.

Если в некоторой конечной части плоскости $x O y$ величина $Z$ есть однозначная функция $z$, т. е. $X$ и $Y$ – однозначные и непрерывные функции $x$ и $y$, удовлетворяющие уравнениям (1), то, как мы покажем, $\frac{d Z}{d z}$ есть также однозначная непрерывная функция $z$ в той же области. Пусть $X$ и $Y$ будут две однозначные непрерывные функции $x$ и $y$ для некоторой части плоскости $x O y$, элемент которой обозначим через $d f$; пусть $d l$ – элемент граничной линии этой части, $n$ – направленная внутрь нормаль к $d l$. Тогда, согласно предложению, неоднократно применявшемуся нами, имеем
\[
\begin{array}{l}
\int d f\left(\frac{\partial X}{\partial x}-\frac{\partial Y}{\partial y}\right)=-\int d l[X \cos (n x)-Y \cos (n y)], \\
\int d f\left(\begin{array}{l}
\partial X \\
\partial \vec{y}
\end{array}+\frac{\partial Y}{\partial x}\right)=-\int d l[X \cos (n y)+Y \cos (n x)] . \\
\end{array}
\]

Преобразуем прежде всего эти уравнения, вводя вместо двух углов $(n x)$ и (ny) один угол. Будем считать вращение прямой положительным, если оно происходит в том же направлении, в котором должна быть повернута на прямой угол ось $x$, чтобы совпасть с осью $y$. Обозначим через $v$ угол, на который должна быть повернута в положительном направлении прямая, параллельная оси $x$, для того, чтобы прийти в положение, параллельное нормали $n$. Тогда получим
\[
\cos (n x)=\cos v, \quad \cos (n y)=\sin v .
\]

Подставим эти значения $\cos (n x)$ и $\cos (n y)$ в уравнения (3), полагая, что $Z$, т. е. $X+i Y$, есть функция $z$, т. е. $x+i y$, причем левые части уравнений обращаются в нуль; умножим второе на $i$ и сложим его с первым. Тогда получим
\[
0=\int Z d l(\cos v+i \sin v) \text {. }
\]

Обозначим через $d z$ приращение, получаемое $z$, когда точка $(x, y)$, или точка $z$, как мы будем ее называть, проходит элемент $d l$ в направлении, которое получила бы нормаль $n$, повернутая на прямой угол в отрицательном направлении. Тогда будем иметь
\[
d z=d l\left[\cos \left(v-\frac{\pi}{2}\right)+i \sin \left(v-\frac{\pi}{2}\right)\right]=-i d l(\cos v+i \sin v),
\]

откуда следует, что
\[
0=\int Z d z .^{38}
\]

Пусть
\[
c=a+i b,
\]

где через $a$ и $b$ обозначены координаты точки поверхности, элемент которой мы назвали $d f$. Подставим в уравнение (5), что допустимо, $\frac{Z}{z-c}$ вместо $Z$, и приложим его этой к площади, за исключением круга, описанного бесконечно малым радиусом вокруг точки $c$.
На периферии этого круга имеем
\[
z-c=r(\cos v+i \sin v),
\]

и отсюда по (4) получаем
\[
\frac{d z}{z-c}=–i \frac{d l}{r} .
\]

следовательно,
\[
\int \frac{Z}{z-c} d z=-i 2 \pi Z_{c} \text {. }
\]

где $Z_{c}$ есть значение $Z$ в точке $c$. Отсюда следует, наконец, что
\[
Z_{c}=-\frac{1}{i 2 \pi} \int \frac{Z}{z-c} d z,{ }^{39}
\]

где интегрирование должно быть распространено на граничную линию рассмотренной выше области $z$ в направлении, указанном уравнением (4). Направление это мы определим еще другим образом. Вообразим, что мы находимся по плоскости $x O y$ и, глядя вдоль положительного направления оси $x$, видим положительное направление оси $y$ слева. Тогда направление интегрирования должно быть таким, чтобы во время хода границы области $z$ сама область $z$ оставалась слева. Это можно выразить еще иначе, если область $z$ представляет односвлзную площадь, т. е. такую, которая может быть ограничена единственной, не пересекающей себя, замкнутой линией. Вообразим прямую линию, проведенную от точки такой площади к точке ее границы, и заставим эту последнюю точку совершить полный обход границы в том или другом направлении; тогда прямая линия поворачиваегся на угол $2 \pi$ в положительном или отрицательном направлении. Мы будем называть обход положительным, если линия поворачивается на $2 \pi$ в положительном направлении. Тогда интегрирование в (6) должно соответствовать положительному обходу. Если область $z$ не представляет односвязной площади, но граница ее состоит из нескольких замкнутых линий, то ее можно обратить в односвязную поперечными сечениями, т. е. линиями, из которых каждая соединяет две точки двух замкнутых граничных линий. В этом случае обе стороны каждого поперечного сечения следует рассматривать как принадлежащие границам области; при этом входящий в (6) интеграл не изменится, так как $\frac{Z}{z-c}$-однозначная непрерывная функция $z$ до тех пор, пока не будет $z \doteq c$.

Уравнение (6), которое мы могли бы вывести из уравнения (28) шестнадцатой лекции, доказывает высказанное утверждение, что $d z$ в той же области, как $Z$, есть однозначная непрерывная функция $z$. Мы присоединим к уравнению (5) еще одно следствие. Пусть будет $Z$ непрерывная однозначная функция $z$ в односвязной части шлоскости $z$. Вообразим произвольную линию, проведенную из некоторой точки $z_{0}$, или $\left(x_{0}, y_{0}\right)$, к точке $z$ той же области и рассмотрим интеграл
\[
\int Z d z=W=U+i V,
\]

взятый по этой линии в направлении от $z_{0}$ к $z$. Заменим эту линию какойнибудь другой, проведенной от $z_{0}$ к $z$; тогда мы можем применить уравнение (5) к площади, ограниченной этими двумя линиями. Мы получим, что для обеих линий $W$ имеет одно и то же значение, следовательно, оно не зависит от выбора линии. Поэтому $W$ есть функция $x$ и $y$, следовательно, $W^{\prime}$ есть функция $z$, так как мы имеем
\[
\begin{array}{l}
U=\int_{x_{0}, y_{0}}^{x, y}(X d x-Y d y), \\
V=\int_{x_{0}, y_{0}}^{x, y}(X d y+Y d x),
\end{array}
\]

и отсюда
\[
\begin{array}{l}
U=\int_{x_{0}, y_{0}}^{x_{1}, y}(X d x-Y d y) \\
V=\int_{x_{0}, y_{0}}^{x_{1}, y}(X d y+Y d x)
\end{array}
\]
\[
\frac{\partial U}{\partial x}=\frac{\partial V}{\partial y}=X, \frac{\partial U}{\partial y}=-\frac{\partial V}{\partial x}=-Y .
\]

$\S 3$
Обозначим через $x$ и $y$ прямоугольные координаты точки некоторой плоскости; мы можем также рассматривать $X$ и $Y$ как прямоугольные координаты точки другой плоскости. Если $Z$ будет функцией $z$, то также $z$ должно быть функцией $Z$; в соответственных друг другу областях $z$ и $Z$, которые мы будем рассматривать, $Z$ должно быть однозначной непрерывной функцией $z$, и $z$ однозначной непрерывной функцией $Z$. Тогда, согласно доказанному в предыдущем параграфе, и $\frac{d Z}{d z}$ есть также однозначная непрерывная функция $z$, а $d z$-такая же функция $Z$. Ни одна из этих производных не может сделаться бесконечной, и поэтому каждая из них не может быть ни нулем, ни бесконечностью.
Положим
\[
\frac{d Z}{d z}=M(\cos \vartheta+i \sin \vartheta),
\]

где $M$ – модуль этой производной, есть положительная величина, определяемая уравнением (2). Так как $\frac{d Z}{d z}$ не зависит от $d x$ и $d y$, то\” $M$ и $\theta-$ функции $x$ и $y$. Из предыдущего уравнения получаем
\[
d X+i d Y=M(\cos \vartheta+i \sin \vartheta)(d x+i d y) .
\]
т. e.
\[
\begin{array}{l}
d X=M(\cos \vartheta d x-\sin \vartheta d y), \\
d Y=M(\sin \vartheta d x+\cos \vartheta d y) .
\end{array}
\]

Положим, что плоскости $Z$ и $z$ совпадают с материальной плоскостью, ось $X$ – с осью $x$, ось $Y$ – о осью $y$, и будем рассматривать $x$ и $y$ как координаты материальной точки при одном состоянии плоскости, $X, Y$ – как координаты той же точки в цзмененном состоянии плоскости; тогда в уравнениях (7) мы будем иметь частный случай уравнений, рассмотренных в десятой лекции. По уравнениям (7) можно найти изменение, полученное бесконечно малой частью плоскости; они показывают, что это изменение состоит: из смещения, из вращения на положительный угол $\vartheta$ и из растяжения, одинакового для всех направлений, при котором все линейные размеры увеличиваются в отношении $1: M$. Из этого заключаем, что бесконечно малая часть материальной плоскости остается себе подобной. Изменение, которое она получает, мы можем представлять себе непрерывным и произведенным гак, что $M$ не делается ни нулем, ни бесконечностью; если оно происходит таким образом, то направление положительного обхода рассматриваемой части, если она односвязна, не останется при этом неопределенным и не может измениться скачком; следовательно, оно остается неизменным. Теперь откажемся от представления, что плоскости $z$ и $Z$ совпадают с одной материальной плоскостью; тогда все-таки останется в силе, что соответственные бесконечно малые части этих ллоскостей будут между собой подобны и направления положительного обхода вокруг них будут взаимно соответственны, если эти части односвязны.

Рассмотрим соответственные конечные куски обеих плоскостей; они не будут, вообще, подобны друг другу, но это будет иметь место для всех бесконечно малых частей их. Эти части благодаря соотношению. существующему между $Z$ и $z$, как говорят, в малых частях подобно отображаются один на другой. Точкам границы одного куска соответствуют исключительно точки границы другого; действительно, внутренней точке одного не может соответствовать точка границы другого, так как бесконечно малому кругу, центром которого является первая точка, должен соответствовать бесконечно малый круг, центром которого является вторая точка. Если один из этих кусков ограничен замкнутой линией, т. е. является односвязным, то таким же должен быть и другой. Положительному обходу на одном куске соответствует положительный обход на другом.
§ 4
Предположение, что $Z$ и $z$ суть однозначные функции одна другой, будет выполнено без ограничения их области, если одна из них есть целая линейная функция другой.

Совместим ось $X$ с осью $x$, ось $Y$ с осью $y$ и будем рассматривать, как прежде, $X, Y$ и $x, y$ как координаты одной и той же точки плоскости $x, y$ при ее двух различных состояниях. Тогда уравнение
\[
Z=a+i b+z
\]

будет соответствовать смещению плоскости на а параллельно оси $x$ и на $b$ параллельно оси $y$. Уравнение
\[
Z=(\cos \alpha+i \sin \alpha) z,
\]

из которого вытекают уравнения
\[
\begin{array}{l}
X=x \cos \alpha-y \sin \alpha, \\
Y=x \sin \alpha+y \cos \alpha,
\end{array}
\]

представляет вращение плоскости на угол $\alpha$. Уравнение
\[
Z=m z \text {, }
\]

где $m$ означает положительное постоянное, представляет растяжение плоскости, при котором все линии увеличиваются в отношении $1: m$, сохраняя свое направление, и точка $z=0$ остается на своем месте. Во всех этих случаях, т. е. всегда, когда $Z$ есть целая линейная функция $z$, подобны также конечные соответственные области обеих переменных. Положим $Z$ равным дробно-линейной функции $z$, т. е.
\[
Z=\frac{\alpha+\beta z}{\gamma+\partial z}, \quad z=-\frac{\alpha-\gamma Z}{\beta-\partial Z},
\]

где через $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ обозначены комплексные постоянные; тогда $Z$ и $z$ равным ојразом будут непременно однозначными функциями одна другой, но они не непрерывны всюду. Если $\gamma+\delta z=0$, то бесконечно $Z$, если $\beta-\delta Z=0$, то бесконечно $z$, и непрерывность в обоих случаях нарушится. Чтобы иметь возможность применить предложения, которые мы вывели в предположении, что $Z$ и $z$ однозначные непрерывные функции одна другой, ограничим область $z$ двумя замкнутыми линиями, из которых одна, бесконечно малая, содержит точку $\gamma+\delta z=0$, другая же линия бесконечно удалена. Тогда область $Z$ будет также ограничена бесконечно малой и бесконечно большой замкнутыми линиями, из которых малая соответствует большой граничной линии области $z$ и наоборот.

При соотношении между $z$ и $Z$, выражаемом уравнением (8), каждой окружности на плоскости $z$ соответствует окружность на плоскости $Z$. Чтобы доказать это, введем две новые переменные $z^{\prime}$ и $Z^{\prime}$, причем положим
\[
z=a+b z^{\prime}, \quad Z=A+B Z^{\prime}
\]

и выберем комплексные постоянные $a, b, A, B$ так, чтобы уравнение (8) цревратилось в
\[
Z=\frac{1}{z^{\prime}}
\]

Чтобы получить уравнения, из которых определяются $a, b, A, B$, надо только, чтобы одна из величин $z^{\prime}$ и $Z^{\prime}$ обращалась в нуль, когда другая обращается в бесконечность, и если одна равна единице, другая получит то же значение. Из этого следует, что
\[
\begin{array}{l}
\beta-A \delta=0, \\
\gamma+a \delta=0, \\
\alpha+a \beta=B b \delta .
\end{array}
\]

Соответственно этим уравнениям всегда можно подобрать значения $a, b$, $A, B$, если только $\delta$ не равно нулю; но в этом случае $Z$ есть линейная функция $z$ и мы можем его исключить, так как для этого случая рассматриваемое предположение уже было доказано. Окружности же в плоскости $z^{\prime}$ соответствует окружность в плоскости $Z^{\prime}$. Действительно, если
\[
z^{\prime}=x^{\prime}+i y^{\prime}, \quad Z^{\prime}=X^{\prime}+i Y^{\prime},
\]

то
\[
X^{\prime}+i Y^{\prime}=\frac{1}{x^{\prime}+i y^{\prime}}=\frac{x^{\prime}-i y^{\prime}}{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}}
\]

следовательно,
\[
X^{\prime}=\frac{x^{\prime}}{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}}, \quad Y^{\prime}=-\frac{y^{\prime}}{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}}
\]

и
\[
x^{\prime}=\frac{X^{\prime}}{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}}, \quad y^{\prime}=-\frac{Y^{\prime}}{X^{\prime 2}+y^{\prime 2}} .
\]

Если между $x^{\prime}$ и $y^{\prime}$ существует уравнение
\[
a_{1}\left(x^{\prime 2}+y^{\prime 2}\right)+a_{2} x^{\prime}+a_{3} y^{\prime}+a_{4}=0,
\]

то из него получим уравнение между $X^{\prime}$ и $Y^{\prime}$ :
\[
a_{1}+a_{2} X^{\prime}-a_{3} Y^{\prime}+a_{4}\left(X^{\prime 2}+Y^{\prime 2}\right)=0,
\]
т. е. окружности в плоскости $z^{\prime}$ соответствует окружность в плоскости $Z^{\prime}$. Но так как, согласно предыдущему, окружности в плоскости $z$ соответствует окружность в плоскости $z^{\prime}$ и окружности в плоскости $z^{\prime}$ соответствует окружность же в плоскости $Z$, то, следовательно, каждой окружности в плоскости $z$ соответствует окружность в плоскости $Z$.

В уравнения (8), определяющие соотношение между $z$ и $Z$, входят три независимых комплексных постоянных, именно отношения $\alpha: \beta: \gamma: \delta$, так как эти четыре величины можно умножить на одно и то же постоянное, не изменяя соотношения. Эти три постоянных можно определить из трех линейных уравнений так, чтобы три любые точки $a, b, c$ плоскости $z$ попарно соответствовали трем любым точкам $A, B, C$ плоскости $Z$. Тогда окружности, которые можно провести через точки $a, b, c$ и $A, B, C$, будут также соответственными. Мы обозначим площади, ограниченные этими окружностями, через $f$ и $F$. Они будут соответственными, если только точка $\gamma+\delta z=0$ не лежит внутри окружности $f$; действительно, тогда $f$ будет односвязной областью $z$, и ей должна соответствовать односвязная часть области $Z$. Но если точка $\gamma+\delta z=0$ лежит внутри площади $f$, то $f$ и $F$ не будут соответственными, но каждой из этих площадей соответствует дополнительная площадь круга, если назовем дополнительной площадью $f$ ту часть области $z$, которая останется по исключении $f$. Действительно, тогда надо будет исключить из площади $f$ бесконечно малую часть, содержащую точку $\gamma+\delta z=0$, чтобы получить из нее часть области $z$. Но границе этой бесконечно малой части будет соответствовать бесконечно большая замкнутая линия в плоскости 2. Очевидно, что зто заключение годится также для случая, когда $f$ и $F$ – две какие-нибудь односвязные части плоскостей $z$ и $Z$, границы которых соответственны одна другой. Соответственны ли эти площади или их дополнительные площади, легче всего решить посредством следуюшего исследования. В случае, когда точка $\gamma+\delta z=0$ лежит внутри $f$, превратим поперечным сечением двусвязную площадь, которая образуется после исключения из $f$ бесконечно малой части, содержащей точку $\gamma+\delta z=0$, в односвязную, и проведем соответственное поперечное сечение в дополнительной площаяи $F$. Припомним теперь положение, что если $z$ и $Z$ – однозначные непрерывные функции одна другой, то соответственные обходы вокруг соответ спвенных односвязных площадей будут одного знака, и назовем через $a, A, b, B, c, C$ соответственные точки граничных линий $f$ и $F$; тогда увидим, что эти площади оказываются сами соответственными, если обходы вокруг них $a b c a$ и $A B C A$ одного знака, и что в противном случае площадям $f$ и $F$ соответствуют их дополнительные площади.

Окружностям, проходящим через точки $a, b$ плоскости $z$, соответствуют в плоскости $Z$ окружности, проходящие через соответственные точки $A, B$ и пересекающиеся под такими же углами, так как одна плоскость в бесконечно малых частях подобно изображается на другой. Если точка $B$ удаляется в бесконечность, то проходящие через точку $A$ круги сделаются прямыми линиями. Мы будем называть серпом площадь, ограниченную двумя круговыми дугами; если же одна из двух вершин удаляется в бесконечность, то будем называть эту площадь клином. Поэтому уравнения (8) позволят любой серп плоскости $z$ отобразить на любой серп равного угла плоскости $Z$ так, что вершинам первого $a, b$ будут соответствовать вершины второго $A, B$ и сверх того будут соответственными две произвольно выбранные точки границы $c$ и $C$ при условии, что $c$ и $C$ выбраны так, что обходы вокруг серпов $a b c a$ и $A B C A$ будут одного знака. Частным случаем такого отображения будет отображение серпа на клин равного угла.
$\S 5$
В предыдущем параграфе мы приняли, что $Z$ и $z$ без ограничения суть однозначные функции одна другой; теперь мы положим, что между этими переменными установлено соотношение, вследствие которого $Z$ и $z$, вообще, суть многозначные непрерывные функции одна другой. Но они могут рассматриваться как однозначные, т. е. каждой точке области $Z$ будет соответствовать одна точка области $z$ и наоборот, если надлежащим образом разграничить эти области.

Путь будет $z_{0}$ значение $z$, или, как мы будем выражаться, точка плоскости $z$. Если ей соответствует много значений $Z$ или много точек плоскости $Z$, то выберем из них одну $Z_{0}$. Тогда достаточно малой области $z$, содержащей точку $z_{0}$, соответствует подобная в малых частях область $Z$, содержащая точку $Z_{0}$, совершенно так, как если бы мы имели дело с безусловно однозначной функцией. Отношение соответственных бесконечно малых размеров повсюду будет определено модулем производной $\frac{d Z}{d z}$. Теперь будем понемногу расширять границы обеих областей, причем бесконечно малые части плоскости $z$ будем изображать на плоскости $Z$, и наоборот, сохраняя подобие в отношении, определенном указанным выше модулем. При этом мы будем избегать точек, в которых $\frac{d Z}{d z}$ обращается в нуль или бесконечность и в которых, следовательно, это отношение было бы нулем или бесконечностью. Может случиться, что в то время как область $z$ ограничена замкнутой, не пересекающей себя линией, соответствующая линия плоскости $Z$ пересекает себя; тогда две части области $Z$ совпадают и $z$ пєрестает быть однозначной функцией $Z$; пока это не имеет места, $z$ есть однозначная функция : $Z$. Отсюда мы сделаем следующее заключение.

Если область $z$ не содержит точки, в которой $\frac{d Z}{d z}$ равно нулю или бесконечности, если она ограничена замкнутой не пересекающейся линией и соответствующая последней линия плоскости $Z$ себя не пересекает, то эта линия ограничивает область $Z$, точки которой однозначно соответствуют точкам области $z$. Тогда в этих областях $Z$ и $z$ суть однозначные функции одна другой. При этом границы области $z$ могут бесконечно близко подходить к точкам, для которых $\frac{d Z}{d z}$ есть нуль или бесконечность; только в таком смысле мы можем говорить, что такие точки могут лежать на граничной линии области.

Мы приведем некоторые относящиеся сюда отображения, которые нам придется применять в дальнейшем.
Положим сперва
\[
Z=Z^{n},
\]

где $n$ означает действительную постоянную. Положим
\[
\begin{array}{l}
X=R \cos \theta, \quad x=r \cos \vartheta, \\
Y=R \sin \theta, \quad y=r \sin \vartheta,
\end{array}
\]

тогда из этих уравнений следует, что
\[
R=r^{n}, \theta=n \vartheta .
\]

Кругу $r=$ const соответствует круг $R=$ const, прямой $\vartheta=$ const соответствует прямая $\theta=$ const. Вообразим себе область $z$, ограниченную двумя кругами $r=$ const и двумя прямыми $\vartheta=$ const; тогда границами области $Z$ будут два круга $R=$ const и две прямые $\theta=$ const. Меньший из кругов может быть выбран бесконечно малым, большой – бесконечно большим. Тогда обе области будут два клина неравных углов. Если эти углы назовем $\alpha$ и $A$, то
\[
A=n \alpha .
\]

Соответствие между $z$ и $Z$ будет однозначным, если ни один из углов $\alpha$ и $A$ не больше, чем $2 \pi$. Так как
\[
\frac{d Z}{d z}=n z^{n-1},
\]

то для $z=0$ производная $\frac{d Z}{d z}$ равна нулю или бесконечности в зависимости от того, будет ли $n$ больше или меньше единицы.

Найдем теперь, как можно отобразить один на другой два серпа различных углов так, чтобы соответствовали друг другу обе вершины и две произвольно выбранные точки на их границах. При этом мы предположим (и в подобных случаях будем предполагать, не оговариваясь), что точки границ, которые должны соответствовать друг другу, выбраны так, что соответствующие обходы рассматриваемых площадей имеют один знак. Предполагая, что между $z$ и $Z$ существует уравнение (9), положим
\[
z=k \frac{z^{\prime}-c_{1}}{z^{\prime}-c_{1}} \text { и } Z=K \frac{Z^{\prime}-C_{1}}{Z^{\prime}-C_{2}} \text {. }
\]

Вследствие этого два клина, изображающих области $z$ и $Z$, перейдут соответственно в два серпа с углами $\alpha$ и $A$ в плоскостях $z^{\prime}$ и $Z^{\prime}$, вершины
которых лежат в точках $z^{\prime}=c_{1}, z^{\prime}=c_{2}, Z^{\prime}=C_{1}, Z^{\prime}=C_{2}$. Комплексные постоянные $k$ и $K$ могут быть выбраны так, чтођы две соответствующие, впрочем произвольные, точки границы клина соответствовали двум любым точкам границы серпа. Исключим $z$ и $Z$ из уравнений (9) и (10) и положим
\[
N=\frac{K}{k^{2}} ;
\]

тогда получим
\[
N \frac{Z^{\prime}-C_{1}}{Z^{\prime}-\iota_{2}}=\left(\frac{z^{\prime}-c_{1}}{z^{\prime}-c_{2}}\right)^{\frac{A}{\alpha}} .
\]

Этим уравнением оба серпа отображаются один на другом так, что соответственными являются обе вершины и точки, которые были произвольно выбраны на границах. В вершинах $\frac{d Z^{\prime}}{a z^{\prime}}$ равно нулю или бесконечности в зависимости от того, больше $A$ или меньше, чем $\alpha$.

Теперь мы покажем, как могуг быть огојражены один на другом два серпа различных углов, чтобы три пролзвольные точки границы одного соответствовали трем произвольным точкам границы другого. Предположим, что серп в плоскости $Z^{\prime}$, к которой относится уравнение (11), полный круг; следовательно,
\[
A=\pi \text {. }
\]

Две какие-нибудь точки его границы мы можем рассматривать как его вершины. Опуская штрихи при буквах $z^{\prime}$ и $Z^{\prime}$, получим
\[
N \frac{Z-C_{1}}{Z-\iota_{2}}=\left(\frac{z-c_{1}}{z-\iota_{2}}\right)^{\frac{\pi}{\alpha}} \text {. }
\]

Определим постоянчые $N, C_{1}, C_{2}$ в эго у урзвнении, так чтобы при любых точках границы серпа плоскости $z$ соогветгтвовали трем точкам, взятым в плоскости $Z$; при этом серп огојраздгся на площади круга так, что граница его пройдет через эти трл точки. Теперь введем опять новое переменное $z^{\prime}$ и вообразим себе в плоскости $z^{\prime}$ серп, вершины которого лежат в точках $z^{\prime}=c_{1}^{\prime}$ и $z^{\prime}=c_{2}^{\prime}$ и угол которого есть $\alpha^{\prime}$. Положим затем
\[
N^{\prime} \frac{Z-C_{1}^{\prime}}{Z-C_{2}^{\prime}}=\left(\frac{z^{\prime}-c_{1}^{\prime}}{z^{\prime}-c_{2}^{\prime}}\right)^{\pi^{\prime}}
\]

и определим постоянные $N^{\prime}, C_{1}^{\prime}, C_{2}^{\prime}$, так чтобы три любые точки границы этого серпа соответствовала тем трем точкам плоскости $Z$, которые были уже взягы при рассмотрении серпа на плоскости $z$. Тогда оба серпа будут отображены на один и тот же круг, следовательно, также один на другой, и именно так, что три точки, произвольно взятые на одной границе, соответствуют трем точкам, произвольно выбранным на другой границе. Мы получим уравнение между $z$ и $z^{\prime}$, которое это выражает, исключая $Z$ из (12) и (13); при это. одна из двух величин
\[
\left(\frac{z-c_{1}}{z-c_{2}}\right)^{\frac{\pi}{\alpha}},\left(\frac{z^{\prime}-c_{1}^{\prime}}{z^{\prime}-c_{2}^{\prime}}\right)^{\frac{\pi}{\alpha^{\prime}}}
\]

будет выражена как дробно-линейная функция другой. Три постоянные, которые входят в эту функцию, определяогся тремя парами точек, которые должны соответствовать друг другу. Как новое следствие, рассмотрим случай, когда один из двух серпов переходит в полосу, ограниченную двумя параллельными прямыми, и рассмотрим еще этот случай. Предположим, что
\[
-c_{1}=c_{2}=m(\cos \gamma+i \sin \gamma)
\]

тогда $m$ обозначает половину расстояния между вершинами серпа, предполагаемого в плоскости $z, \gamma$ – угол, который прямая, соединяющая вершины, образует с осью $x$. Пусть далее $2 u$ и $2 v$ будут длины дуг окружностей, образующих серп, выраженные в частях радиуса так, что
\[
v-u=\alpha
\]

пусть, наконец, $b$ будет ширина серпа, т. е. расстояние между точками пересечения его границы с линией центров кругов, ограничивающих серп (фиг. 1). Тогда из простого геометрического рассмотрения мы получим

Фиг. 1
\[
b=m\left(\operatorname{tg} \frac{v}{2}-\operatorname{tg} \frac{i}{2}\right) .
\]

Серп превратится в полосу указанного вида, если $m$ сделается бесконечно большим, а $v$ и $u$, и следовательно также $\alpha$, бесконечно малыми. Тогда ширина $b$ получится из (15):
\[
b=\frac{m \alpha}{2},
\]

и $ү$ будет углом, образованным с осыю $x$ направлением длины полосы Обозначим еще общее бесконечно больше значение – $c_{1}$ и $c_{2}$-чере $c$; тогда для выражения
\[
\left(\frac{z-c_{1}}{c_{2}-z}\right)^{\frac{\pi}{\alpha}},
\]

которое отличается от первого из выражений (14) только постоянным множителем, именно множителем $(-1)^{\frac{\pi}{\alpha}}$, получим
\[
\left(\frac{z-c_{1}}{c_{2}-z}\right)^{\frac{\pi}{\alpha}}=\left(1+2 \frac{z}{c}\right)^{\frac{\pi}{\alpha}}=\left(1+\frac{\alpha 2 \pi}{\pi \alpha c} z\right)^{\frac{\pi}{\alpha}} .
\]

Положим теперь, что $\alpha$ приближается к нулю, в то время как $\alpha c$ сохра няет постоянное значение; тогда отсюда следует, как показывает разложение по биноминальному закону, что
\[
\left(\frac{z-c_{1}}{c_{2}-z}\right)^{\frac{\pi}{\alpha}}=e^{\frac{2 \pi z}{\alpha c}}=e^{\frac{\pi z}{b}(\cos \gamma-i \sin \gamma)}
\]