$\S 1$

Каждое решение дифференциального уравнения в частных производных $\Delta \varphi=0$, первые производные которого по $x, y, z$ однозначны и непрерывны в некотором пространстве, предстазляет возможное движение несжимаемой жидкости в этом пространстве. В общем случае потенциал скоростей будет зависеть от времени, но мы займемся теперь только тем случаем, когда это не имеет места, т. е. когда в каждой точке потенциал скоростей не изменяется с течением времени. Такое движение называют установившимся. Так как $\frac{\partial \varphi}{\partial x}, \frac{\partial \varphi}{\partial y}, \frac{\partial \varphi}{\partial z}$ – составляющие скорости по осям координат, то скорость везде перпендикулярна к поверхности $\varphi=$ const; движение происходит по линиям, перпендикулярно пересекающим эти поверхности; поэтому эти линии называются, как это было упомянуто выше, линиями тока. Если жидкость ограничена неподвижными стенками, то для всех элементов стенок должно быть $\frac{\partial f}{\partial n}=0$, или, что то же самое, эти стенки должны быть образованы линиями тока. Одним из способов нахождения решений этого дифференциального уравнения, представляющих некоторые движения жидкости, является введение вместо $x, y, z$ новых координат. Мы будем пользоваться этим способом и для этого преобразуем уравнение $\Delta \varphi$ к новым координатам, которые назовем через $u$, $v$, w. При этом мы можем рассматривать функцию $р$ как однозначную и непрерывную, потому что если в данном пространстве $\varphi$ этим свойством не обладает, то можно будет разделить это пространство на такие части, что для каждой части $甲$ будет однозначной непрерывной функцией или системой однозначных непрерьввных функций, которые, если р есть потенциал скоростей, различаются между собой добавочными постоянными. Тогда для каждой такой части будет иметь место дифференциальное уравнение, которое мы выведем при сделанном предположении. Уравнение $\Delta \varphi=0$ можно преобразовать, применяя теорему, доказанную в конце § 5 предыдущей лекции, именно теорему, что при $\Delta \varphi=0$ будет
\[
\delta \Omega=0,
\]

где $\Omega$ есть интеграл
\[
\Omega=\int d \tau\left[\left(\frac{\partial \varphi}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial \varphi}{\partial y}\right)^{2}+\left(\frac{\partial \varphi}{\partial z}\right)^{2}\right]
\]

распространенный на любую область, на поверхности которой $\varphi$ задано. Мы имеем
\[
\begin{array}{l}
d x=\frac{\partial x}{\partial u} d u+\frac{\partial x}{\partial v} d v+\frac{\partial x}{\partial w} d w, \\
d y=\frac{\partial y}{\partial u} d u+\frac{\partial y}{\partial v} d v+\frac{\partial y}{\partial w} d w, \\
d z=\frac{\partial z}{\partial u} d u+\frac{\partial z}{\partial v} d v+\frac{\partial z}{\partial w} d w .
\end{array}
\]

Допустим, что $u$, $v$, w обладают таким свойством, при котором имеют место уравнения
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial x}{\partial u} \frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial y}{\partial u} \frac{\partial y}{\partial v}+\frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial z}{\partial v}=0 \\
\frac{\partial x}{\partial v} \frac{\partial x}{\partial w}+\frac{\partial y}{\partial v} \frac{\partial y}{\partial w}+\frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partial z}{\partial w}=0 \\
\frac{\partial x}{\partial w} \frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial y}{\partial w} \partial y+\frac{\partial z}{\partial w} \frac{\partial z}{\partial u}=0
\end{array}
\]

и положим
\[
\begin{array}{l}
\frac{1}{U^{2}}=\left(\begin{array}{l}
\frac{\partial x}{\partial u}
\end{array}\right)^{2}+\left(\frac{\partial y}{\partial u}\right)^{2}+\left(\frac{\partial z}{\partial u}\right)^{2}, \\
\frac{1}{V^{2}}=\left(\frac{\partial x}{\partial v}\right)^{2}+\left(\begin{array}{l}
\partial y \\
\partial v
\end{array}\right)^{2}+\left(\frac{\partial z}{\partial \dot{v}}\right)^{2}, \\
\frac{1}{W^{2}}=\left(\frac{\partial x}{\partial w}\right)^{2}+\left(\frac{\partial y}{\partial w}\right)^{2}+\left(\frac{\partial z}{\partial w}\right)^{2}, \\
\end{array}
\]

при том ограничении, что $U, V, W$ положительны. Тогда из уравнения (2) получим
\[
d x^{2}+d y^{2}+d z^{2}=\left(\frac{d u}{U}\right)^{2}+\left(\frac{d v}{V}\right)^{2}+\left(\frac{d w}{W}\right)^{2} .
\]

Из этого можно заключить, что если рассматривать $d x, d y, d z$ как координаты точки, бесконечно близкой к точке ( $x, y, z$ ) относительно системы координат, начало которой есть $(x, y, z)$ и оси которой параллельны осям $x, y, z$, то $\frac{d u}{U}, \frac{d v}{V}, \underset{W}{d w}$ будут координатами той же точки относительно второ̀й системы прямоугольных координат с тем же началом, но оси которой имеют другое направление. Представим уравнения (2) в виде
\[
\begin{array}{l}
d x=U \frac{\partial x}{\partial u} \frac{d u}{U}+V \frac{\partial x}{\partial v} \frac{d v}{V}+W \frac{\partial x}{\partial w} \frac{d w}{W}, \\
d y=U \frac{\partial y}{\partial u} \frac{d u}{U}+V \frac{\partial y}{\partial v} \frac{d v}{V}+W \frac{\partial y}{\partial w} \frac{d w}{W} \\
d z=U \frac{\partial z}{\partial u} \frac{d u}{U}+V \frac{\partial z}{\partial v} \frac{d v}{V}+W \frac{\partial z}{\partial w} \frac{d w}{W}
\end{array}
\]

тогда множители при $\frac{d u}{U}, \frac{d v}{V}, \frac{d w}{W}$ суть косинусы углов, образуемых между собой осями обеих систем. Уравнениям, выражающим $d u, d v, d w$ через $d x, d y, d z$, можно придать такой вид:
\[
\begin{array}{c}
\frac{d u}{U}=\frac{\frac{\partial u}{\partial x}}{U} d x+\frac{\frac{\partial u}{\partial y}}{U} d y+\frac{\frac{\partial u}{\partial z}}{U} d z, \\
\frac{d v}{V}=\frac{\frac{\partial v}{\partial x}}{V} d x+\frac{\frac{\partial v}{V}}{V} d y+\frac{\partial v}{V} d z, \\
\frac{d w}{W}=\frac{\frac{\partial w}{W}}{W} d x+\frac{\frac{\partial w}{W}}{W} d y+\frac{\frac{\partial z}{W}}{W} d z .
\end{array}
\]

Отсюда ${ }^{15}$ следует:
\[
\begin{array}{c}
U^{2}=\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^{2}+\left(\frac{\partial u}{\partial z}\right)^{2}, \\
V^{2}=\left(\frac{\partial v}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial v}{\partial y}\right)^{2}+\left(\frac{\partial v}{\partial z}\right)^{2} \\
W^{2}=\left(\frac{\partial w}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial w}{\partial y}\right)^{2}+\left(\frac{\partial w}{\partial z}\right)^{2}
\end{array}
\]

H
\[
\begin{array}{l}
0=\frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y} \frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial u}{\partial z} \frac{\partial v}{\partial z}, \\
0=\frac{\partial v}{\partial x} \frac{\partial w}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y} \frac{\partial w}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial z} \frac{\partial w}{\partial z}, \\
0=\frac{\partial w}{\partial x} \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial w}{\partial y} \frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z} \frac{\partial u}{\partial z}
\end{array}
\]

Три последних уравнения выражают тот факт, что поверхности
\[
u=\text { const, } v=\text { const, } w=\text { const }
\]

пересекаются взаимно ортогонально, в силу чего $u$, $v$, w назывзют ортогональными координатами. Этим условиям должны удовлетворять $u, v$, w, если соблюдены уравнения (3), и наоборот, если выполняются эти условия, то существуют уравнения (3). Из заключения, которое мы сделали по поводу уравнения (5), следует далее, что элемент объема $d \tau$ можно положить равным
\[
\frac{d u}{U} \cdot \frac{d v}{V} \cdot \frac{d w}{W},
\]

если взять $d u, d v, d w$ положительными.
Далее имеем
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=\frac{\partial \varphi}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial \varphi}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial \varphi}{\partial w} \frac{\partial w}{\partial x} \\
\frac{\partial \varphi}{\partial y}=\frac{\partial \varphi}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial \varphi}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial \varphi}{\partial w} \frac{\partial w}{\partial y} \\
\frac{\partial \varphi}{\partial z}=\frac{\partial \varphi}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial z}+\frac{\partial \varphi}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial z}+\frac{\partial \varphi}{\partial w} \frac{\partial w}{\partial z}
\end{array}
\]

так что по (6) и (7),

Поэтому уравнение (1) примет вид
\[
\Omega=\iiint d u d v d w\left[\frac{U}{V W}\left(\frac{\partial \varphi}{\partial u}\right)^{2}+\frac{V}{W V}\left(\frac{\partial \varphi}{\partial v}\right)^{2}+\frac{W}{U V}\left(\frac{\partial \varphi}{\partial w}\right)^{2}\right] .
\]

Если $\Delta \varphi=0$ и $\varphi$ задано на поверхности рассматриваемой области, то $\Omega$ получает значение минимум, т. е. для произвольного $\delta \varphi$, которое только должно обращаться в нуль на поверхности ${ }^{16}$, должно быть
\[
0=\iiint d u d v d w\left(\frac{U}{V W} \frac{\partial \varphi}{\partial u} \frac{\partial \delta \varphi}{\partial u}+\frac{V}{W U} \frac{\partial \varphi}{\partial v} \frac{\partial \delta \varphi}{\partial v}+\frac{W}{U V} \frac{\partial \varphi}{\partial w} \frac{\partial \delta \varphi}{\partial \omega}\right) ;
\]

если слагаемые этого интеграла проинтегрируем по частям, т. е. произведем такие же действия, посредством которых были выведены уравнения (14) предыдущей лекции, и воспользуемся тем, что на поверхности $\delta \varphi=0$. то получим
\[
0=\iiint_{e} d u d v d w\left[\frac{\partial}{\partial u}\left(\begin{array}{cc}
U & \frac{\partial \varphi}{V W} \\
V u
\end{array}\right)+\frac{\partial}{\partial v}\left(\frac{V}{W U} \frac{\partial \varphi}{\partial v}\right)+\frac{\partial}{\partial w}\left(\begin{array}{cc}
W & \partial \varphi \\
U V & \partial w
\end{array}\right)\right] \delta \varphi,
\]

или, наконец,

Это заключение основано на предположении, что пределы интегрирования по $u, v, w$ соответствуют границам рассматриваемого пространства – предположение, которое выполняется всегда, если мы разобьем пространство надлежащим образом на части и будем рассматривать эти части в отдельности.

Заметим еще, что уравнение (8), представляющее искомое преобразование уравнения $\Delta \varphi=0$, не изменится, если знак одной из величин $U, V, W$ мы изменим на противоположный. Следовательно, сделанное нами предположение, что эти величины должны быть положительными, излишне для настоящего результата.
§ 2
Предположим теперь, что $u, v, w$ – так называемые эллиптические координаты, и докажем, что они ортогональны.
Уравнение
\[
\frac{x^{2}}{a^{2}+\lambda}+\frac{y^{2}}{b^{2}+\lambda}+\frac{z^{2}}{c^{2}+\lambda}=1
\]

представляет поверхность второго порядка, центр которой совпадает с началом координат и главные оси которой совпадают с осями координат. Пусть
\[
a^{2}>b^{2}>c^{2} ;
\]

тогда расстояния фокусов главных сечений от центра будут
\[
\sqrt{a^{2}-b^{2}}, \sqrt{a^{2}-c^{2}}, \sqrt{b^{2}-c^{2}} .
\]

Две первые пары фокусов лежат на оси $x$, третья лежит на оси $y$. Таким образом фокусы не зависят от $\lambda$, и потому поверхности, представляемые уравнением (9) при различных $\lambda$, называются софокусными. Чтобы эти поверхности были действительными, $\lambda$ должно лежать межлу $+\infty$ и – $a^{2}$. По значениям $\lambda$ они распадаются на три группы. Если
\[
+\infty>\lambda>-c^{2} \text {, }
\]

то три члена левой части уравнения (9) положительны; поверхность есть эллипсоид, который каждой из трех осей координат пересекается в действительных точках. Если
\[
-c^{2}>\lambda>-b^{2} \text {, }
\]

то только два первых из трех членов положительны, а третий отрицателен; поверхность пересекается в действительных точках только с осями $\boldsymbol{x}$ и $y$, но не с осью $z$. Эта поверхность есть однополостный гиперболоид. Если, наконец,
\[
-b^{2}>\lambda>-a^{2},
\]

то лишь первый из трех членов положителен; поэтому только одна ось $x$ пересекает поверхность в действительных точках. Следовательно, это двуполостный гиперболоид. Таким образом при данных $a, b, c$ через каждую точку $x, y, z$ проходит одна поверхность каждого из трех родов. Действительно, уравнение (9) есть уравнение третьей степени относительно $\lambda$, и три корня его всегда лежат в трех указанных интервалах. Чтобы убедиться, что между $\infty$ и – $c^{2}$ должен лежать один корень, надо обратить внимание на то, что левая часть уравнения обрацается в нуль для $\lambda=+\infty$ и равна $+\infty$ для $\lambda=-c^{2}+\varepsilon$, где $\varepsilon$ означает положительную бесконечно малую величину, т. е. левая часть уравнения для первого значения $\lambda$ будет меньше, а для второго больше, чем правая. Между – $c^{2}$ и – $b^{2}$ должен лежать корень, потому что левая часть равна – $\infty$ для $\lambda=-c^{2}-r$ и $+\infty$ для $\lambda=-b^{2}+r$. Из аналогичного ра\”суждения следует, что и между – $b^{2}$ и – $a^{2}$ точно так же должен лежать корень. Три корня уравнения (9), соответствующие точке ( $x, y, z$ ), называются ее эллиптическими координатажи. Обозначим их через $u, v, w$ и положим, что
\[
u>v>w \text {. }
\]

Тогда будем иметь
\[
\begin{array}{l}
\frac{x^{2}}{a^{2}+u}+\frac{y^{2}}{b^{2}+u}+\frac{z^{2}}{c^{2}+u}=1, \quad+\infty>u>-c^{2}, \\
\frac{x^{2}}{a^{2}+v}+\frac{y^{2}}{b^{2}+v}+\frac{z^{2}}{c^{2}+v}=1,-c^{2}>v>-b^{2}, \\
\frac{x^{2}}{a^{2}+w}+\frac{y^{2}}{b^{2}+w}+\frac{z^{2}}{c^{2}+w}=1,-b^{2}>w>-a^{2} .
\end{array}
\]

Поэюму каждой точке $(x, y, z)$ соответствует только одна система значений $u, v$, w. Пусть, наоборот, даны $u, v, w$; тогда $x^{2}, y^{2}, z^{2}$ будут определены однозначно, потому что их придется вычислять из линейных уравнений, но знаки $x, y, z$ останутся неопределенными; таким образом, каждой системе значений $u$, $v$, w будет соответствовать вообще восемь точек. каждая из которых лежит в одном из восьми координатных углов.

Проще всего найдем выражения $x^{2}, y^{2}, z^{2}$, если заметим, что так как $u, z, w$ должны быть корнями уравнения (9), то для каждого значения $\lambda$ должно быть
\[
\frac{x^{2}}{a^{2}+\lambda}+\frac{y^{2}}{b^{2}+\lambda}+\frac{z^{2}}{c^{2}+\lambda}-1=\frac{(u-\lambda)(v-\lambda)(w-\lambda)}{\left(a^{2}+\lambda\right)\left(b^{2}+\lambda\right)\left(c^{2}+\lambda\right)},
\]

и приравняем здесь $a^{2}+\lambda$, или $b^{2}+\lambda$, или $c^{2}+\lambda$ бесконечно малой величине. Тогда получим
\[
\begin{array}{l}
x^{2}=\frac{\left(a^{2}+u\right)\left(a^{2}+v\right)\left(a^{2}+w\right)}{\left(a^{2}-b^{2}\right)\left(a^{2}-c^{2}\right)}, \\
y^{2}=\frac{\left(b^{2}+u\right)\left(b^{2}+v\right)\left(b^{2}+w\right)}{\left(b^{2}-c^{2}\right)\left(b^{2}-a^{2}\right)}, \\
z^{2}=\frac{\left(c^{2}+u\right)\left(c^{2}+v\right)\left(c^{2}+w\right)}{\left(c^{2}-a^{2}\right)\left(c^{2}-b^{2}\right)} .
\end{array}
\]

Выведем еще одно следствие из тождественного уравнения (11). Дифференцируя его по $\lambda$, получим
\[
\begin{array}{c}
\frac{x^{2}}{\left(a^{2}+\lambda\right)^{2}}+\frac{y^{2}}{\left(b^{2}+\lambda\right)^{2}}+\frac{z^{2}}{\left(c^{2}+\lambda\right)^{2}}= \\
=\frac{(u-\lambda)(v-\lambda)(w-\lambda)}{\left(a^{2}+\lambda\right)\left(b^{2}+\lambda\right)\left(c^{2}+\lambda\right)}\left(\frac{1}{u-\lambda}+\frac{1}{v-\lambda}+\frac{1}{w-\lambda}+\frac{1}{a^{2}+\lambda}+\frac{1}{b^{2}+\lambda}+\frac{1}{c^{2}+\lambda}\right) ;
\end{array}
\]

полагая $u-\lambda$, или $v-\lambda$, или $w-\lambda$ бесконечно малыми, будем иметь
\[
\begin{array}{l}
\frac{x^{2}}{\left(a^{2}+u\right)^{2}}+\frac{y^{2}}{\left(b^{2}+u\right)^{2}}+\frac{z^{2}}{\left(c^{2}+u\right)^{2}}=\frac{(u-v)(u-w)}{\left(a^{2}+u\right)\left(b^{2}+u\right)\left(c^{2}+v\right)}, \\
\frac{x^{2}}{\left(a^{2}+v\right)^{2}}+\frac{y^{2}}{\left(b^{2}+v\right)^{2}}+\frac{z^{2}}{\left(c^{2}+v\right)^{2}}=\frac{(v-w)(v-u)}{\left(a^{2}+v\right)\left(b^{2}+v\right)\left(c^{2}+v\right)}, \\
\frac{x^{2}}{\left(a^{2}+w\right)^{2}}+\frac{y^{2}}{\left(b^{2}+w\right)^{2}}+\frac{z^{2}}{\left(c^{2}+w\right)^{2}}=\frac{(w-u)(w-v)}{\left(a^{2}+w\right)\left(b^{2}+w\right)\left(c^{2}+w\right)} .
\end{array}
\]

К этим уравнениям добавим те, которые получим из уравнений (10), вычитая их одно из другого; это будут уравнения
\[
\begin{array}{l}
\frac{x^{2}}{\left(a^{2}+u\right)\left(a^{2}+v\right)}+\frac{y^{2}}{\left(b^{2}+u\right)\left(b^{2}+v\right)}+\frac{z^{2}}{\left(c^{2}+u\right)\left(c^{2}+v\right)}=0, \\
\frac{x^{2}}{\left(a^{2}+v\right)\left(a^{2}+w\right)}+\frac{y^{2}}{\left(b^{2}+v\right)}+\frac{z^{2}}{\left(b^{2}+w\right)} \overline{\left(c^{2}+w\right)}=0, \\
\frac{x^{2}}{\left(a^{2}+w\right)\left(a^{2}+u\right)}+\frac{y^{2}}{\left(b^{2}+w\right)\left(b^{2}+u\right)}+\frac{z^{2}}{\left(c^{2}+w\right)\left(c^{2}+u\right)}=0 . \\
\end{array}
\]

Взяв частные производные уравнений (12) по $u$, $v$, w и деля каждый раз результат на то уравнение, из которого он выведен, мы найдем
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial x}{\partial u}=\frac{1}{2} \frac{x}{a^{2}+u}, \frac{\partial x}{\partial v}=\frac{1}{2} \frac{x}{a^{2}+v}, \frac{\partial x}{\partial w}=\frac{1}{2} \frac{x}{a^{2}+w}, \\
\frac{\partial y}{\partial u}=\frac{1}{2} \frac{y}{b^{2}+u}, \quad \frac{\partial y}{\partial v}=\frac{1}{2} \frac{y}{b^{2}+v}, \frac{\partial y}{\partial w}=\frac{1}{2} \frac{y}{b^{2}+w}, \\
\frac{\partial z}{\partial u}=\frac{1}{2} \frac{z}{c^{2}+u}, \frac{\partial z}{\partial v}=\frac{1}{2} \frac{z}{c^{2}+v}, \frac{\partial z}{\partial w}=\frac{1}{2} \frac{z}{c^{2}+w} .
\end{array}
\]

Из уравнений (15) и (14) будем иметь уравнение (3), которое является критерием того, что $u$, $v$, w представляют ортогональные координаты. Из уравнений (15), (13) и (4) можно вычислить $U^{2}, V^{2}, W^{2}$; они дают
\[
\begin{aligned}
U^{2} & =4 \frac{\left(a^{2}+u\right)\left(b^{2}+u\right)\left(c^{2}+u\right)}{(u-v)(u-v)}, \\
V^{2} & =4 \frac{\left(a^{2}+v\right)\left(b^{2}+v\right)\left(c^{2}+v\right)}{(v-w)(v-u)}, \\
W^{2} & =4 \frac{\left(a^{2}+w\right)\left(b^{2}+w\right)\left(c^{2}+w\right)}{(w-u)(w-v)} .
\end{aligned}
\]

Присовокупим к этим еще одно уравнение, которое получается из (15) и которым мы воспользуемся впоследствии. Из тождественного уравнения
\[
u=u \text {, }
\]

в котором в правой части $u$ должно быть выражено через $x, y$, $z$, а $x$, $y, z$ – через $u, v, w$, следует
\[
1=\frac{\partial u \partial x}{\partial x \partial u}+\frac{\partial u \partial y}{\partial y \partial u}+\frac{\partial u \partial z}{\partial z \partial u} ;
\]

следовательно, на основании (15), будем иметь
\[
2=\frac{x}{a^{2}+u} \partial x+\frac{\partial u}{b^{2}+u}-\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{z}{c^{2}+u} \frac{\partial u}{\partial z} .
\]

Производные $u, v$, w по $x, y, z$ легко вычислить из производных $x, y, z$ по $u, v$, w при помощи соотношений
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial u}{\partial x}=U^{2} \frac{\partial x}{\partial u}, \frac{\partial v}{\partial x}=V^{2} \frac{\partial x}{\partial v}, \frac{\partial w}{\partial x}=W^{2} \frac{\partial x}{\partial w}, \\
\frac{\partial u}{\partial y}=U^{2} \frac{\partial y}{\partial u}, \frac{\partial v}{\partial y}=V^{2} \frac{\partial y}{\partial v}, \frac{\partial w}{\partial y}=W^{2} \frac{\partial y}{\partial w}, \\
\frac{\partial u}{\partial z}=U^{2} \frac{\partial z}{\partial u}, \frac{\partial v}{\partial z}=V^{2} \frac{\partial z}{\partial v}, \frac{\partial w}{\partial z}=W^{2} \frac{\partial z}{\partial w},
\end{array}
\]

которые получаются из замечания, сделанного в предыдущем параграфе по поводу коэффициентов уравнений между $d x, d y, d z$ и $\frac{d u}{U},{ }_{V}^{d v}, \frac{d w}{W}$.

Посмотрим теперь, каковы будут те поверхности, в которые перейдут поверхности $u=$ const, $v=$ const, $w=$ const, когда $u$, $v$ или $w$ будут приближаться к границам интервала, в котором они должны заключаться. Мы найдем эти поверхности из уравнений (10).

Пусть $u=\infty$; тогда первое из этих уравнений определяет бесконечно большой шар, радиус которого равен $\sqrt{ } u$.

Пусть будет $u=-c^{2}+r$, где по-прежнему $r$ – бесконечно малое положительное количество; тогда это уравнение дает
\[
z=0 \text { и } \frac{x^{2}}{a^{2}-c^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}-c^{2}}<1,
\]

и, следовательно, представляет площадь, лежащую внутри эллипса плоскости $x O y$, полуоси которого имеют длины $\sqrt{a^{2}-c^{2}}, \sqrt{b^{2}-c^{2}}$ и направления осей совпадают с осями $x$ и $y$.

Пусть $v=-c^{2}-\varepsilon$; тогда из второго из этих уравнений следует
\[
z=0 \text { и } \frac{x^{2}}{a^{2}-c^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}-c^{2}}>1 ;
\]

но это – уравнение части плоскости $x O y$, лежащей вне только что названного эллипса.
Если $v=-b^{2}+r$, то имеем
\[
y=0 \text { и } \frac{x^{2}}{a^{2}-b^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}-c^{2}}<1 ;
\]

но этим определяется площадь, представляющая связную часть плоскости $z, x$, ограниченную гиперболой, уравнение которой получим из предыдущего неравенства, если заменим знак неравенства знаком равенства, Пусть $w=-b^{2}-r$; тогда
\[
y=0 \text { и } \frac{x^{2}}{a^{2}-b^{2}}-\frac{z^{2}}{b^{2}-c^{2}}>1,
\]

чем будут представлены обе несвязные части плоскости $z O x$, ограниченные той же самой гиперболой.
Пусть, наконец, $w=-a^{2}+\varepsilon$; тогда будем иметь
\[
x=0
\]

без дальнейших ограничений, т. е. поверхность, о которой идет речь, есть вся плоскость $y O z$.

Таким образом, все эти поверхности, вместе взятые, представляют бесконечно большой шар и три плоскости координат. Одновременно усматриваем, что равенство двух из трех величин $u$, $v$, ш имеет место только для эллипса
\[
z=0, \frac{x^{2}}{a^{2}-c^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}-c^{2}}=1,
\]

где
\[
u=v=-c^{2},
\]

и для гиперболы
\[
y=0, \frac{x^{2}}{a^{2}-b^{2}}-\frac{z^{2}}{b^{2}-c^{2}}=1,
\]

где
\[
v=w=-b^{2} .
\]

Плоскости этих кривых взаимно перпендикулярны, и каждая из кривых проходит через фокус другой.

Если бы понадобилось рассмотреть вместо точки пространства $(x, y, z)$ точку $(y, z)$ плоскссти, то имели бы место заключения и формулы, аналогичные только что полученным.
$\S 3$
Чтобы составить уравнение (8) в эллиптических координатах, найдеми с помощью (16) значения $\frac{U}{V W}, \frac{V}{W U}, \frac{W}{U V}$, т. е. получим
\[
\left(\begin{array}{c}
U \\
V W
\end{array}\right)^{2}=-\frac{1}{4} \frac{\left(a^{2}+u\right)\left(b^{2}+u\right)\left(c^{2}+u\right)(v-w)^{2}}{\left(a^{2}+v\right)\left(b^{2}+v\right)\left(c^{2}+v\right)\left(a^{2}+v\right)\left(b^{2}+w\right)\left(c^{2}+w\right)} .
\]

Следовательно, $\frac{U}{V W}$ есть функция $u$, умноженная на функцию $z$ и 1.4

Ясно, что соответственные предложения имеют место для $\frac{V}{W U}$ и $\frac{W}{U V}$ На этом обстоятельстве основывается возможность представить дифференциальное уравнение, о котором идет речь, еще проще, если ввести вместо $u, v$, w некоторые функции только одной из этих величин. Действительно, пусть $u_{1}$ – функция только $u$; тогда
\[
\frac{\partial \varphi}{\partial u}=\frac{\partial \varphi_{-}}{\partial u_{1}} \frac{d u_{1}}{d u},
\]

так что
\[
\frac{U}{V W} \frac{\partial \varphi}{\partial u}=\frac{U}{V W} \frac{d u_{1}}{d u} \frac{\partial \varphi}{\partial u_{1}} .
\]

Теперь на основании сделанного замечания можно так определить функцию $u_{1}$, чтобы в этом уравнении множитель при $\frac{\partial \varphi}{\partial u_{1}}$ не зависел от $u$; при этом мы будем иметь
\[
\frac{\partial}{\partial u}\left(\frac{U}{V W} \frac{\partial \varphi}{\partial u}\right)=\frac{U}{V W}\left(\frac{d u_{1}}{d u}\right)^{2} \frac{\partial^{2} \varphi}{\partial u_{1}^{2}} .
\]

Обозначим через $v_{1}$ и $w_{1}$ соответственным образом составленные функции 0 и ш и умножим уравнение (8) на $U V W$; тогда это уравнение примет вид
\[
U^{2}\left(\begin{array}{c}
d u_{1} \\
d u
\end{array}\right)^{2} \frac{\partial^{2} \varphi}{\partial u_{1}^{2}}+V^{2}\left(\begin{array}{c}
d v_{1} \\
d v
\end{array}\right)^{2} \frac{\partial^{2} \varphi}{\partial v_{1}^{2}}+W^{2}\left(\begin{array}{c}
d w_{1} \\
d w
\end{array}\right)^{2} \frac{\partial^{2} \varphi}{\partial w_{1}^{2}}=0 .
\]

Заметим, что непосредственно будем иметь

на основании выражения, которое мы получим для левой части этого уравнения при выводе уравнения (8).
Требуемые условия для $u_{1}, v_{1}, w_{1}$ будут соблюдены, если положим
\[
\begin{array}{l}
d u_{1}=\frac{d u}{\sqrt{\left(a^{2}+u\right)\left(b^{2}+u\right)\left(c^{2}+u\right)}}, \\
d v_{1}=\frac{d v}{\sqrt{-\left(a^{2}+v\right)\left(b^{2}+v\right)\left(c^{2}+v\right)}}, \\
d w_{1}=\frac{d w}{\sqrt{\left(a^{2}+w\right)\left(v^{2}+w\right)\left(v^{2}+w\right)}} .
\end{array}
\]

Тогда уравнения (21) и (22) преобразуются в следующие:
H.Nin
\[
(v-w) \frac{\partial^{2} \varphi}{\partial u_{1}^{2}}-(w-u) \stackrel{\partial^{2} \varphi}{\partial v_{1}^{2}}+(u-v) \frac{\partial^{2} \varphi}{\partial w_{1}^{2}}=0
\]

H
\[
\begin{array}{l}
\left(\begin{array}{c}
\partial \varphi \\
\partial x
\end{array}\right)^{2}+\left(\frac{\partial \varphi}{\partial y}\right)^{2}+\left(\frac{\partial \varphi}{\partial z}\right)^{2}= \\
=\frac{4}{(u-v)(u-w)}\left(\frac{\partial \varphi}{\partial u_{1}}\right)^{2}-\frac{4}{(v-w)(v-u)}\left(\frac{\partial \varphi}{\partial v_{1}}\right)^{2}+\frac{4}{(w-u)(w-v)}\left(\frac{\partial \varphi}{\partial w_{1}}\right)^{2} . \\
\end{array}
\]

Для одной точки значения $u_{1}, v_{1}, w_{1}$ и знак перед корнем в (23) можно выбрать произвольно; но тогда для остальных точек эти знаки должны быть определены так, чтобы $\frac{\partial \varphi}{\partial x}, \frac{\partial \varphi}{\partial y}, \frac{\partial \varphi}{\partial z}$ были непрерывны в той области, в которой они должны быть непрерывны.
$\S 4$
С первого взгляда на дифференциальное уравнение (24) можно определить некоторые его частные решения: таковыми должны быть сами $u_{1}, v_{1}$, $w_{1}$. Исследуем ближе первое из них, т. е. положим
\[
\varphi=u_{1} .
\]

Тогда поверхности $\varphi=$ const будут софокусными эллипсоидами $u=$ $=$ const. Будем рассматривать $\varphi$ как потенциал скоростей; тогда линии тока, которые должны быть перпендикулярны к этим эллипсоидам, будут образованы линиями пересечения гиперболоидов $v=$ const и $w=$ const. Эти линии образуют, чего мы не будем здесь доказывать, систему линий кривизны, которые имеют общими эти гиперболоиды ${ }^{17}$. В частном случае, когда $a=b$, это будут гиперболы, плоскость которых проходит через ось $z$, имеющие фокусы на окружности, в которую тогда іереходит эллипс (19). Через каждую точку площади указанного эллипса всегда проходит одна из этих линий, пепесекающая ее перпендикулярно. В бесконечности, где $u$ бесконечно велико, на основании уравнений (12) отношения $x^{2}: y^{2}: z^{2}$, а следовательно, также и отношения $x: y: z$, не зависят от $u$, т. е. эти линии тока обращаются в прямые линии, проходящие через начало координат и направленные к нему или от него. Квадрат скорости вследствие уравнения (25) равен
\[
\frac{4}{(u-v)(u-w)},
\]

или, по первому из уравнений (13), равен
\[
\frac{4}{\left(a^{2}+u\right)\left(b^{2}+u\right)\left(c^{2}+u\right)\left[\frac{x^{2}}{\left(a^{2}+u\right)^{2}}+\frac{y^{2}}{\left(b^{2}+u\right)^{2}}+\frac{z^{2}}{\left(c^{2}+u\right)^{2}}\right]} .
\]

Отсюда следует, что скорость всюду на конечном расстоянии имеет определенное, конечное, непрерывно изменяющееся значение, за исключением только точек эллипса (19), для которого $u=v$, где она бесконечна. В бесконечности скорость равна
\[
\frac{2}{r^{2}}
\]

если $r$ означает расстояние рассматриваемой точки от начала; в самом деле, мы видели в предыдущем параграфе, что тогда $u=r^{2}$. Направление движения в каждой точке есть одно из двух направлений, которое имеет проходящая через эту точку линия тока. Отсюда следует, что $\varphi$ или $u_{1}$, даже если не принимать во внимание добавочную постоянную, которая остается произвольной, еще может иметь различные ветви ${ }^{19}$. Несомненно, что направление движения внутри жидкости не может скачком измениться на противоположное, но это возможно на поверхности, которой нарушается связность жидкости. Изменение направления движения на противоположное соответствует перемене знака корня в первом из уравнений (23), так как при перемене этого знака $\frac{\partial u_{1}}{\partial x}, \frac{\partial u_{1}}{\partial y}, \frac{\partial u_{1}}{\partial z}$ изменяют свой знак на обратный. Внутри жидкости этот корень не может изменить знаки, не обращаясь в нуль; он равен нулю на поверхности неоднократно упомянутого эллипса (19), и только для нее имеем $u=-c^{2}$. Если его площадь не представляет пограничной поверхности, то при переходе через эту площадь знак корня должен измениться; в самом деле, du меняет знак, так как – $c^{2}$ есть наименьшее значение, которое только может принять $u$, и сверх того $u_{1}$ при движении вдоль этой линии тока может или только возрастать или только убывать ${ }^{20}$. Ни в какой другой точке жидкости не может быть перемены знака корня. Из этого следует, что движение, представляемое уравнением $\varphi \rightleftharpoons u_{1}$, невозможно, если в жидкости нет поверхности, нарушающей ее связность ${ }^{21}$. В качестве такой поверхности может служить каждая из поверхностей, ограниченных эллипсом (19). Тогда можно представить себе, что из каждого элемента выбранной поверхности с обеих ее сторон жидкость вытекает или поглощается. Если предположить, что вся поверхность лежит на конечном расстоянии, еще можно принять, что в бесконечности $u_{1}$ обращается в нуль и что $\frac{\partial u_{1}}{\partial u}$ отрицательно; поэтому при принятом для скорости обозначении для бесконечно большого $r$
\[
u_{1}=\frac{2}{r} .
\]

Этим $u_{1}$ будет определено вполне ${ }^{22}$. Если поверхность изменяется, то в силу этого $u_{1}$ изменяется только в пространстве, описанном этой поверхностью при ее изменении.

Покажем, что $u_{1}$ можно представить в виде суммы потекцилов простого слоя масс и двойного слоя, которые лежат на выбранной поверхности. Для этого вообразим, что последняя заключена внутри замкнутой поверхности, элемент которой обозначим через $d s$, а нормаль к $d s$, направленную внутрь, через $n$. Тогда для какой-нибудь внешней точки, по уравнению (17) предыдущей лекции и его обобщению, сделанному в § 7 той же лекции, получим
\[
u_{1}=\frac{1}{4 \pi} \int d s u_{1} \frac{\partial^{\frac{1}{r}}}{\partial n}-\frac{1}{4 \pi} \int \frac{d s}{r} \frac{\partial u_{1}}{\partial n} .
\]

Теперь представим себе поверхность, элемент которой обозначен через $d s$, составленную из двух кусков поверхности, совпадающих с проведенной вначале поверхностью, ограниченной эллипсом (19), и из бесконечно тонкой трубчатой поверхности (внутри нее проходит кривая, ограничивающая эллипс), перпендикулярные сечения которой – круги бесконечно малого радиуса $r$, с центрами в точках этого эллипса ${ }^{23}$. Распространенные на эту трубчатую поверхность оба входящих в выражение (27) интеграла обращаются в нуль, потому что $u_{1}$ для $\beta=0$ не бесконечно. Действительно, для $\rho=0$ значение $u_{1}$ не обращается в бесконечность ${ }^{2+}$, но будет равно
\[
\int_{-c^{2}}^{\infty} \frac{d u}{\sqrt{\left(a^{2}+u\right)\left(b^{2}+u\right)\left(c^{2}+u\right)}}=2 \int_{0}^{\infty} \frac{d x}{\sqrt{\left(a^{2}-c^{2}+x^{2}\right)\left(b^{2}-c^{2}+x^{2}\right)}} .
\]

Мы убедимся, что действительно первый из входящих в (27) интегралов, распространенный на трубчатую поверхность, обращается в нуль, $\partial^{1}$ нечные значения, а площадь трубчатой поверхности есть величина порядка $\rho$. Что касается второго из двух интегралюв, то $\frac{\partial u_{1}}{\partial n}$, т. е. $\frac{\partial u_{1}}{\partial \rho}$, всюду бесконечно велико, но $\rho \frac{\partial u_{1}}{\partial \rho}$ бесконечно мало, так как $u_{1}$ для $\rho=0$ не будет бесконечно велико и $\frac{\partial u_{1}}{\partial \rho}$, т. е. $\begin{array}{l}d u_{1} \partial u \\ \partial u \text { д }\end{array}$, может быть разложено в ряд по восходяцим дробным степеням $\rho^{25}$. Так как поверхность трубки есть величина порядка $\rho$, то отсюда следует, что второй интеграл, распространенный на поверхность трубки, также обращается в нуль. Поэтому при составлении уравнения (27) надо принимать в расчет только тот кусок поверхности, который совпадает с первоначально взятой ограниченной эллипсом (19) площадью. Мы будем теперь понимать под $d s$ элемент этой поверхности за исключением бесконечно узкой полоски, прилегающей к пограничному эллипсу. Тогда в оба интеграла уравнения (27) каждый элемент $d s$ войдет дважды. Мы будем различать обе стороны этого элемента как внутреннюю и внешнюю, а именно, внутренней должна быть та, с которой нельзя пройти в бесконечность, не проходя через поверхность, которой принадлежит $d s$, или через площадь эллипса (19). Далее, пусть $n$-нормаль к $d s$, направленная внутрь; обозначение $u_{1}$ под знаком интеграла мы будем относить к внутренней стороне $d s$, тогда как для внешней стороны мы воспользуемся обозначением $u_{1}^{\prime}$. Тогда уравнение (27) перейдет в
\[
u_{1}=\frac{1}{4 \pi} \int d s\left(u_{1}-u_{1}{ }^{\prime}\right) \frac{\partial \frac{1}{r}}{\partial n}-\frac{1}{4 \pi} \int \frac{d s}{r}\left(\frac{\partial u_{1}}{\partial n}-\frac{\partial u_{1}^{\prime}}{\partial n}\right) ;
\]

эта формула представляет $u_{1}$ в том виде, в каком эта величина и должна быть выражена.

Допустим, что поверхность, элемент которой обозначен через $d$ s, есть площадь самого эллипса (19); тогда первый из двух входящих в (29) интегралов обратится в нуль, так как для площади эллипса $u=-c^{2}$ и, следовательно, $u_{1}$ и $u_{1}^{\prime}$ имеют данное в (28) значение ${ }^{26}$. Тогда
\[
u_{1}=\int \frac{d s}{r} h
\]

следовательно, $u_{1}$ представлено как потенциал простого слоя масс плотности

За $n$ здесь может быть взята по произволу направленная в ту или другую сторону нормаль к площади эллипса. Воспользуемся тем, что эта площадь пересекается нормально линиями тока; тогда из определения скорости, данного в (26a), причем $\frac{z^{2}}{c^{2}+u^{2}}$ должно быть исключено при помощи первого из уравнений (10), получим ${ }^{27}$
\[
h=\frac{1}{\pi \sqrt{\left(a^{2}-c^{2}\right)\left(b^{2}-c^{2}\right)} \sqrt{1-\frac{x^{2}}{a^{2}-c^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}-c^{2}}}} .
\]

Найдем непосредственно массу всего слоя, приняв во внимание сделанное выше замечание, что на бесконечности $u_{1}=\frac{2}{r}$; отсюда следует, что эта масса ${ }^{28}$ равна двум.

Попутно мы отметим, что эти результаты особенно важны для учения об электричестве, так как они позволяют изучить распределение количества электричества на проводящей эллиптической пластинке. Количество электричества, сообщающее проводнику потенциал, равный единице, определяет его емкость. Следовательно, по (28) емкость эллиптической пластинки с полуосями $\sqrt{a^{2}-c^{2}}$ и $\sqrt{b^{2}-c^{2}}$ равна обратной величине интеграла ${ }^{29}$ :
\[
\int_{0}^{\infty} \frac{d x}{\sqrt{\left(a^{2}-c^{2}+x^{2}\right)\left(b^{2}-c^{2}+x^{2}\right)}} .
\]

Если поверхность, элемент которой обозначен в (29) через $d s$, не есть площадь эллипса (19), то найденное здесь выражение для $u_{1}$ годится также для всего пространства, за исключением части его, заключенной между названными выше поверхностями. В этом случае по каждой линии тока $u_{1}$ возрастает совершенно так же, как в предыдущем случае оно здесь убывало. Представим себе, что названная поверхность продолжена в бесконечность и притом так, что лежащая на конечном расстоянии часть ее совпадает с частью плоскости $x O y$, внешней относительно эллипса (19); тогда на каждой линии тока в части ее, лежащей на конечном расстоянии, движение не изменяет своего направления. Лежащая вне эллипса часть плоскости $x O y$ образует твердую стенку, вдоль которой движутся частицы жидкости ${ }^{30}$. В то время как с одной стороны ее в бесконечности $u_{1}=0$, с другой стороны ${ }^{31}$
\[
u_{1}=4 \int_{0}^{\infty} \frac{d x}{\sqrt{\left(a^{2}-c^{2}+x^{2}\right)\left(b^{2}-c^{2}+x^{2}\right)}} .
\]

Рассмотренные здесь значения может принимать потенциал скоростей жидкости, заполняющей пространство, ограничиваемое поверхностью, образуемой линиями, уравнения которых $v=$ const, $=$ const. Этот случай имеем, если жидкость ограничена твердой стенкої, образованной какимнибудь однополостным гиперболоидом $v=$ const, и наполняет односвязное пространство, ограниченное этой говерхностью. Найдем для этого случая объем жидкости, протекающей в единицу времени через поперечное сечение; под этим названием мы подразумеваем какую-нибудь не пересекающую себя поверхность, вполне ограниченную лин ґей пересечения со стенкой. Это сечение делит наполненное жидкостью пространство на две отдельные части; поэтому задача сводится к тому, чтобы найти объем жидкости, проходящей из первой части во вторую. Обозначим через $d s$ элемент поперечного сечения, через $n$ – направленную внутрь второй части нормаль к $d s$; тогда искомый объем будет равен
\[
\int d s \frac{\partial u_{1}}{\partial n} \text {. }
\]

Этот интеграл не зависит от формы и положения поперечного сечения, что следует из уравнения (16) предыдущей лекции. Поэтому, чтобы найти его значение, мы можем выбрать в качестве поперечного сечения часть шаровой поверхности, описанной бесконечно большим радиусом $r$. Возьмем нормаль в направлении течения; тогда, как мы видели раньше,
\[
\frac{\partial u_{1}}{\partial n}=\frac{2}{r^{2}} \text {. }
\]

Предположим, что часть шаровой поверхности, отсеченная гиперболической стенкой, равна
\[
K r^{2} \text {, }
\]
т. е. мы обозначим через $K$ отверстие асимптотического конуса гиперболоида; поэтому искомый объем жидкости будет равен
\[
2 K \text {. }
\]

Применим теперь одно выражение, введенное для электрического тока, к рассмотренным здесь движениям жидкости. Именно, мы будем говорить о сопротивлении жидкости, протекающей в пространстве, ограниченном твердой стенкой и двумя поверхностями равных потенциалов скоростей; мы будем под этим подразумевать разность значений потенциала скоростей на обеих поверхностях, разделенную на объем жидкости, проходящей в единицу времени через поперечное сечение. Тогда сопротивление пространства, ограниченного рассмотренным гиперболоидом и простирающегося в обе стороны в бесконечность, будет равно
\[
\frac{2}{K} \int_{0}^{\infty} \frac{d x}{\sqrt{\left(a^{2}-c^{2}+x^{2}\right)\left(b^{2}-c^{2}+x^{2}\right)}} .
\]

Исследование, произведенное для частного решения дифференциального уравнения (24), может быть с некоторыми изменениями применено к решениям $\varphi=v_{1}$ и $\varphi=w_{1}$. Отметим для них только следующее. Каждое из них представляет возможное движение жидкости, линиями тока в них будут того или другого рода линии кривизны эллипсоидов $u$ = const. Қаждая из этих линий будет замкнутой. Если линии тока не прерываются поверхностями, из которых жидкость вытекает или в которые вливается, то, следовательно, потенциал скоростей многозначен и наполненное жидкостью пространство должно быть многосвязным. Это пространство всегда может быть ограничено твердыми стенками, образованными линиями тока.

Положим $\varphi=v_{1}$; тогда линиями тока будут линии пересечения эллипсоидов $u=$ const $и$ двуполостных гиперболоидов $w=$ const. Жидкость может заполнять двусвязное пространство, лежащее вне такого эллипсоида и представляющее часть связного пространства, ограниченного одним из этих гиперболоидов. По (25) квадрат скорости равен
\[
-\frac{4}{(v-w)(v-u)} ;
\]

следовательно, скорость будет бесконечна на эллипсе (19), где $v=u$, и на гиперболе (20), где $v=w$. Обе эти линии лежат не внутри занятного жидкостью пространства, а на его границе, когда эллипсоид переходит в эллипс (19), а гиперболоид – в обе не связанные части плоскости $x O z$, ограниченные гиперболой (20).

Положим $\varphi=w_{1}$; тогда линиями тока будут линии пересечения эллипсоидов $u=$ const с однополостным гиперболоидом $v=$ const. Жидкость может заполнять двусвязное пространство, ограниченное одним из этих гиперболоидов. Квадрат скорости по (25) равен
\[
\frac{4}{(w-u)(w-v)} \text {. }
\]

Здесь скорость бесконечна только на гиперболе (20), котбрая лежит не внутри указанного пространства, а на его границе, если гиперболоид переходит в связную часть шлоскости $z O x$, которая ограничена гиперболой (20).

Продолжим исследование движения, представляемого уравнением $\varphi=w_{1}$, для случая, когда жидкость ограничена стенкой, представляющей поверхность вращения, ось которой есть ось $z$. Тогда мы имеем $a=a b$ или, скорее, должны принять $a-b$ бесконечно малым, чтобы можно было воспользоваться выведенными формулами. Линиями тока будут круги, плоскость которых перпендикулярна к оси $z$ и центры которых лежат на этой оси. Остается только вычислить еще скорость. Если $a-b$ бесконечно мало, то $w$, которое всегда лежит между – $a^{2}$ и – $b^{2}$, отличается бесконечно мало от – $a^{2}$; поэтому квадрат скорости равен
\[
\frac{4}{\left(a^{2}+u\right)\left(a^{2}+-v\right)} .
\]

Но при таком предположении суммирование двух из первых уравнений (12) даст
\[
x^{2}+y^{2}=\frac{\left(a^{2}+u\right)\left(a^{2}+v\right)}{a^{2}-c^{2}} ;
\]

откуда следует, что скорость равна
\[
\frac{2}{\sqrt{\left(a^{2}-c^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)}} .
\]

Так как потенциал скоростей имеет измерение: скорость, помноженная на длину, то, чтобы сохранить физический характер уравнений, следует в § 5 добавить к $\varphi$ постоянный множитель с размерностью, обратной размерности потенциала скоростей $W$.