$\S 1$

При рассмотренных в предыдущей лекции движениях жидкости, простирающейся во всех направлениях в бесконечность, обусловленных движением твердого тела, мы предполагали движение тел заданным. Теперь мы будем заниматься задачей, как определить это движение, если даны силы, действующие на тело и жидкость. При этом относительно силы, действующей на жидкую частицу, мы будем предполагать, что она имеет однозначный потенциал, так как предположение о существовании потенциала скоростей, которое мы там приняли, мы удержим и здесь.

Чтобы решить эту задачу, можно вычисленное с помощью уравнения (20) пятнадцатой лекции давление, пролзводимое жидкостью на элемент поверхности тела, ввести в дифференциальное уравнение движения неизменяемого тела. Эго можно сделать более коротким путем, если исходить из принципа Гамильтона, который применим также и к настоящему случаю, как мы это показали в § 6 одиннадцатой лекции, и который применялся Томсоном и Тэтом* в подобных случаях.

Ољозначим через $m$ массу матерхальной точки, принадлежащей б́езразлично твердому телу илх жддкости, через $\xi, \eta, \zeta$ – координаты ее в момент времени $t$ относительно неподвижной в пространстве системы координат, через $U^{\prime}$ – работу всех действующих сил для бесконечно малых возможных перемещений их точек приложения, каковым перемещениям будет соответствовать обозначение $\delta$, наконец, через $T$-живую силу всей системы. Тогда по принципу Гамильтона получим
\[
\left[\sum m \frac{d \zeta}{d t} \delta \xi\right]_{t_{0}}^{t_{i}}=\int_{t_{0}}^{t_{1}} d t\left(\delta T+U^{\prime}\right),
\]

где сумма взята как по всем массам, так и по всем координатам кажцой массы, и $t_{0}$, $t^{\prime}$ означа!от какие-нибудь два значения $t$. Относительно вариаций $\delta \xi$, к которым будем прхменять это уравнение, установим следующее: для твердого тела должны быть как для $t=t_{0}$, так и для $t=t^{\prime}$ все $\delta \xi=0$. При $t=t_{0}$ то же самое должно иметь место для жидкости. Для варьированного движения, т. е. для движения, при котором $\xi+\delta \xi$, $\eta+\delta \eta, \zeta+\delta \zeta$ – координаты массы $m$ в момент $t$, должен существовать потенциал скоростей, как и для движения, которое мы ицем. Тогда из значений $\delta \xi$ для частиц твердого тела будут вполне определены значения для всех частиц жидкости. Последние, вообще, не обращаются в нуль
* Handbuch der theoretischen Physik von W. Thomson und P. G. Tait. Немецкий перевод, т. I, стр. 296.

для $t=t^{\prime}$; однако, как мы это покажем, левая часть уравнения (1) обращается в нуль. Если, согласно сделанному определению, обозначим через $d \tau$ элемент заполненного жидкостью объема и через $\mu$ – ее плотность, то левая часть уравнения (1) будет равна
\[
\mu \int d \tau\left(\frac{d \xi}{d t} \delta \xi+\frac{d \eta}{d t} \delta \eta+\frac{d \xi}{d t} \delta \zeta\right)
\]

для $t=t^{\prime}$. Но мы имеем
\[
\frac{d \xi}{d t}=\frac{\partial \varphi}{\partial \xi}, \frac{d \eta}{d t}=\frac{\partial \varphi}{\partial \eta}, \frac{d \zeta}{d t}=\frac{\partial \varphi}{\partial \zeta},
\]

поэтому это выражение равно
\[
\mu \int d \tau\left(\frac{\partial \varphi}{\partial \xi} \delta \xi+\frac{\partial \varphi}{\partial \eta} \delta \eta+\frac{\partial \varphi}{\partial \zeta} \delta \zeta\right) .
\]

Вместо условия, что жидкость покоится в бесконечности, введем предположение, что она заключена в бесконечно большую твердую шаровую поверхность. Согласно доказанному в конце $\S 7$ шестнадцатой лекции, оба эти предположения равносильны. Обозначим через $d s$ элемент поверхности тела или упомянутого шара, через $n$ – направленную внутрь жидкости нормаль к $d s$; тогда искомая величина после интегрирования по частям превратится в
\[
\begin{array}{c}
-\mu \int d \tau \varphi\left(\frac{\partial \delta \xi}{\partial \xi}+\frac{\partial \delta \eta}{\partial .}+\frac{\partial \delta \xi}{\partial \xi}\right) \\
-\mu \int d s \varphi(\delta \xi \cos (n \xi)+\delta \eta \cos (n \eta)+\delta \xi \cos (n \xi)
\end{array}
\]

Благодаря несжимаемости жидкости, вообще, имеем
\[
\frac{\partial \delta \xi}{\partial \xi}+\frac{\partial \delta \eta}{\partial \eta}+\frac{\partial \delta \xi}{\partial \xi}=0 .
\]

Для каждого элемента поверхности тела при $t=t^{\prime}$ имеем
\[
\delta \xi \cos (n \xi)+\delta \eta \cos (n \eta)+\delta \zeta \cos \left(n_{\xi}^{\zeta}\right)=0,
\]

потому что для этого момента времени вариации координат точек тела должны обращаться в нуль ${ }^{33}$ и то же самое уравнение имеет место для каждого элемента ограничивающей шаровой поверхности, так как последняя неподвижна.
Поэтому уравнение (1) примет вид
\[
0=\int_{i_{0}}^{t^{\prime}} d t\left(\delta T+U^{\prime}\right) .
\]

Живая сила $T$ рассматриваемой системы составляется из живой силы твердого тела и жидкости. Первая по уравнению (2) шестой лекции есть однозначная функция второй степени $u, v, w, p, q, r$ с постоянными коэффициентами; вторая, именно
\[
{ }_{2}^{\mu} d \tau\left[\left(\frac{\partial \varphi}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial \varphi}{\partial y}\right)^{2}+\left(\frac{\partial \varphi}{\partial z}\right)^{2}\right],
\]

или, что то же самое,
\[
-\frac{\mu}{2} \int d s \varphi \frac{\partial \varphi}{\partial n},
\]

вследствие уравнения (22) предыдущей лекции, есть точно такая же функция. Поэгому $T$ есть также однородная функция $u, v, w, p, q, r$ с постоянными коэффициентами, значения которых зависят от формы тела, его массы и распределения ее так же, как и от плотности жидкости. Работа $U^{\prime}$ слагается из работы сил, действующих на тело, и работы сил, которые будут действовать на частицы жидкости. Относительно последних мы должны предположить, что они имеют однозначный потенциал. Из этого следует, что если бы твердое тело было заменено жидкой массой, однородной с внешней, то работа совокупности сил для перемещений всей жидкой массы была бы равна нулю ${ }^{34}$, поэтому работы сил, действующих на действительно имеющуюся жидкость, равны отрицательной работе сил, действующих на воображаемую жидкую массу, заменявшую твердое тело.

Уравнение (2) во всем согласуется с тем, из которого в § 2 шестой лекции мы вывели дифференциальные уравнения движения твердого тела в пустоте. Поэтому эти дифференциальные уравнения, именно уравнения (12) и (13) или (14) и (15) упомянутой лекции, имеют место также и для рассматриваемого случая, только здесь $X, Y, Z, M_{x}, M_{y}, M_{z}$ обозначают слагающие равнодействующей и момента вращения относительно осей $x, y, z$ : $\Sigma, H, Z, M_{\xi}, M_{\eta}, M_{\zeta}$ обозначают составляющие равнодействующей и момента вращения относительно осей $\xi, \eta, \zeta$ сил, действующих на тело, и взятых со знаком минус сил, которые действовали бы на жидкость, вытесненную телом, если бы таковая была. Кроме того, коэффициенты в выражении $T$ имеют здесь другие значения.
§ 2
Предположим теперь, что на твердое тело и жидкость не действуют силы. Однако результаты, к которым мы при этом придем, годятся также и в некоторых случаях, когда действуют силы, например в случае действия тяжести, причем тело имеет всюду постоянную плотность, равную плотности жидкости. Тогда уравнения (12) и (10) шестой лекции будут
\[
\begin{array}{l}
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial u}\right)=r \frac{\partial T}{\partial v}-q \frac{\partial T}{\partial w}, \\
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial v}\right)=p \frac{\partial T}{\partial w}-r \frac{\partial T}{\partial u}, \\
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial w}\right)=q \frac{\partial T}{\partial u}-p \frac{\partial T}{\partial v}, \\
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial p}\right)=w \frac{\partial T}{\partial v}-v \frac{\partial T}{\partial w}+r \frac{\partial T}{\partial q}-q \frac{\partial T}{\partial r}, \\
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial q}\right)=u \frac{\partial T}{\partial w}-w \frac{\partial T}{\partial u}+p \frac{\partial T}{\partial r}-r \frac{\partial T}{\partial p}, \\
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial T}{\partial r}\right)=v \frac{\partial T}{\partial u}-u \frac{\partial T}{\partial v}+q \frac{\partial T}{\partial p}-p \frac{\partial T}{\partial q} .
\end{array}
\]

Сперва обратим внимание на частное решение этих уравнений. Мы удовлетворим им, если положим $p=0, q=0, r=0$, а $u, v$, w равными постоянным, отношения которых удовлетворяют условию
\[
u: v: w=\frac{\partial T}{\partial u}: \frac{\partial T}{\partial v}: \frac{\partial T}{\partial w} .
\]

Тогда левые части уравнений (3) обратятся в нуль так же, как и правые, так как $u, v, w, p, q, r$ постоянны. Заметив, что, если $p, q, r$ обращаются в нуль, то $T$ будет однородной функцией второй степени и притом такой, которая постоянно положительна, так как живая сила не может быть отрицательной, мы видим, что определение отношений $u: v: w$ из приведенного выше условия аналогично с определением главных осей некоторого эллипсоида, именно эллипсоида, уравнение которого есть
\[
T=\text { const, }
\]

если рассматривать $u$, $v$, w как прямоугольные координаты точек. Возьмем оси $u, v$, $w$ параллельно осям $x, y, z$; тогда направление главных осей означенного эллипсоида суть три взаимно перпендикулярных и неизменных в теле направления, в каждом из которых тело может поступательно перемещаться в жидкости без вращения с постоянной скоростью. Других направлений, в которых скорость остается постоянной, не существует, если эллипсоид не есть эллипсоид вращения; но если имеет место этот случай, то направление оси вращения и каждое из перпендикулярных к нему направлений обладает указанным выше свойством. Этим свойством обладает всякое направление, если эллипсоид есть шар.

Мы не рассматривали, при каких условиях указанное движение будет устойчивым, т. е. при каких условиях всегда $p, q, r$ будут бесконечно малы, когда $u$, $v$, w до бесконечно малых имеют приведенные выше значения в какой-нибудь момент времени.

Не вводя дальнейших ограничений, можно найти три интеграла уравнений (3); для этого умножим их на
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline & & $\partial T$ & & $\partial T$ \\
\hline$u$, & или на & $\overline{\partial u}$ & или на & $\overline{\partial p}$ \\
\hline u & & $\partial T$ & & $\partial T$ \\
\hline 0 & & $\overline{\partial v}$ & & $\partial q$ \\
\hline$w$ & & $\partial T$ & & $\partial T$ \\
\hline & & $\overline{\partial w}$ & & $\partial r$ \\
\hline$p$ & & 0 & & $\underline{\partial T}$ \\
\hline & & 0 & & $\partial T$ \\
\hline$q$ & & U & & $\partial v$ \\
\hline$r$ & & 0 & & $\underline{\partial T}$ \\
\hline
\end{tabular}

и каждый раз сложим. Заметим, что при пользовании первой системой множителей по известному предложению, относящемуся к однородным функциям, получим
\[
2 T=u \frac{\partial T}{\partial u}+v \frac{\partial T}{\partial v}+w \frac{\partial T}{\partial w}+p \frac{\partial T}{\partial p}+q \frac{\partial T}{\partial q}+r \frac{\partial T}{\partial r}
\]

и
\[
\frac{d T}{d t}=\frac{\partial T}{\partial u} \frac{d u}{d t}+\frac{\partial T}{\partial v} \frac{d v}{d t}+\frac{\partial T}{\partial w} \frac{d w}{d t}+\frac{\partial T}{\partial p} \frac{d p}{d t}+\frac{\partial T}{\partial q} \frac{d q}{d t}+\frac{\partial T}{\partial r} \frac{d r}{d t} ;
\]

отсюда
\[
\frac{d T}{d t}=u \frac{d}{d t}-\frac{\partial T}{\partial u}+v \frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial v}+w \frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial w}+p \frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial p}+q \frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial q}+r \frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial r},
\]

таким образом
\[
\left(\frac{\partial T}{\partial u}\right)^{2}+\left(\frac{\partial T}{\partial v}\right)^{2}+\left(\frac{\partial T}{\partial w}\right)^{2}=M, \frac{\partial T}{\partial u} \frac{\partial T}{\partial p}+\frac{\partial T}{\partial v} \frac{\partial T}{\partial q}+\frac{\partial T}{\partial w} \frac{\partial T}{\partial r}=N,
\]

где через $L, M, N$ обозначены произвольныз постоянные.
Шесть других интегралов рассматриваемой задачи мы получим из второй формы ее дифференциальных уравнений (14) и (15) шестой лекции, если положим в них $\Xi, H, Z, M_{\xi}, M_{\eta}, M_{\zeta}$ равными нулю. Первые уравнения дадут
\[
\begin{array}{l}
\alpha_{1} \frac{\partial T}{\partial u}+\alpha_{2} \frac{\partial T}{\partial v}+\alpha_{3} \frac{\partial T}{\partial w}=A, \\
\beta_{1} \frac{\partial T}{\partial u}+\beta_{2} \frac{\partial T}{\partial v}+\beta_{3} \frac{\partial T}{\partial w}=B, \\
\gamma_{1} \frac{\partial T}{\partial u}+\gamma_{2} \frac{\partial T}{\partial v}+\gamma_{3} \frac{\partial T}{\partial w}=C,
\end{array}
\]

а вторые при помощи предыдущих –
\[
\begin{array}{l}
\alpha_{1} \frac{\partial T}{\partial p}+\alpha_{2} \frac{\partial T}{\partial q}+\alpha_{3} \frac{\partial T}{\partial r}=A^{\prime}+B \gamma-C \beta, \\
\beta_{1} \frac{\partial T}{\partial p}+\beta_{2} \frac{\partial T}{\partial q}+\beta_{3} \frac{\partial T}{\partial r}=B^{\prime}+C \alpha-A \gamma, \\
\gamma_{1} \frac{\partial T}{\partial p}+\gamma_{2} \frac{\partial T}{\partial q}+\gamma_{3} \frac{\partial T}{\partial r}=C^{\prime}+A \beta-B \alpha,
\end{array}
\]

где $A, B, C, A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}$ – произвольные постоянные, и двенадцать величин $\alpha, \beta, \gamma$ имегот значения, данные уравнениями (20) предыдущей лекции.

Два последние уравнения (4) суть следствия уравнений (5) и (6), и постоянные $M$ и $N$ могут быть выражены через постоянные $A, B, \ldots, C^{\prime}$. Действительно, возводя в квадрат уравнения (5) и складывая их, а потом перемножив уравнения (5) с уравнениями (6), при посредстве уравнений (4) и соотношений, существующих между косинусами, получим
\[
\begin{array}{c}
A^{2}+B^{2}+C^{2}=M, \\
A A^{\prime}+B B^{\prime}+C C^{\prime}=N .
\end{array}
\]

Если $u, v$, w определены из уравнений (3) как соответственные функции $t$, то полное решение предложенной задачи, т. е. определение двенадцати величин $\alpha, \beta, \gamma$, требует выполнения квадратур, как мы это теперь покажем.

Относительно произвольных постоянных $A, B, C$, входящих в уравнение (5), можно, не нарушая общности рассматриваемого движения, положить, что $A=0, B=0$ и $C$ положительно; для этого надо только выбрать направления оси $\zeta$. Именно, будем рассматривать $\frac{\partial T}{\partial u}, \frac{\partial T}{\partial v}, \frac{\partial T}{\partial w}$ как компоненты скорости точки по осям $x, y, z$; тогда уравнения (5) показывают, что компоненты этой скорости по осям $\xi, \eta, \zeta$ равны постоянным $A, B, C$. Дадим оси $\zeta$ направление этой скорости; тогда $A$ и $B$ будут равны нулю, между тем как $C$ будет положительно. Умножим при этом предположении уравнения (5) на $\alpha, \beta, \gamma$, или на $\alpha_{2}, \beta_{2}, \gamma_{2}$, или $\alpha_{3}, \beta_{3}, \gamma_{3}$ и каждый раз сложим их; тогда получим
\[
\Upsilon_{1}=-\frac{1}{C} \frac{\partial T}{\partial u}, \quad \Upsilon_{2}=\frac{1}{C} \frac{\partial T}{\partial v}, \quad \Upsilon_{3}=\frac{1}{C} \frac{\partial T}{\partial w} .
\]

Чтобы найти шесть других косинусов, введем определяемые из уравнений (8) пятой лекции углы $\vartheta, f, \varphi$. Тогда будем иметь
\[
\gamma_{1}=\cos f \sin \vartheta, \quad \gamma_{2}=\sin f \sin \vartheta, \quad \gamma_{3}=\cos \vartheta,
\]

откуда определим $f$ и $\vartheta$. Для определения $\varphi$ введем уравнение (13) седьмой лекции, именно уравнение
\[
d \varphi=\frac{\tau_{1} p+\tau_{2} q}{\tau_{1}^{2}+\tau_{2}^{2}} d t,
\]

из которого следует, что
\[
d \varphi=C \frac{p \frac{\partial T}{\partial \bar{u}+q} \frac{\partial T}{\partial \bar{v}}}{\left(\begin{array}{c}
\partial T \\
\partial u
\end{array}\right)^{2}+\left(\begin{array}{c}
\partial T \\
\partial v
\end{array}\right)^{2}} d t .
\]

Наконец, чтобы выразить координаты $\alpha, \beta, \gamma$ начала системы $x, y, z$ как функции $t$, положим входящие в уравнение (6) постоянные $A^{\prime}$ и $B^{\prime}$ равными нулю, также не нарушая этим общность рассматриваемого движения. Мы выберем произвольно только положение оси $\zeta$, потому что, как это следует из уравнений (6), изменение значений $A^{\prime}$ и $B^{\prime}$ может быть компенсировано доб̈авлением произвольных постоянных $\beta$ и $\alpha$.
Тогда два первые уравнения (6) дадут
\[
\begin{array}{c}
\alpha=\frac{1}{C}\left(\beta_{1} \frac{\partial T}{\partial p}+\beta_{2} \frac{\partial T}{\partial q}+\beta_{3} \frac{\partial T}{\partial r}\right), \\
\beta=-\frac{1}{C}\left(\alpha_{1} \frac{\partial T}{\partial p}+\alpha_{2} \frac{\partial T}{\partial q}+\alpha_{3} \frac{\partial T}{\partial r}\right)
\end{array}
\]

и $\Upsilon$ определится из уравнения
\[
\frac{d \gamma}{d t}=\gamma_{1} u+\gamma_{2} v+\gamma_{3} w,
\]
T. $\mathrm{e}$
\[
\frac{d \Upsilon}{d t}=\frac{1}{C}\left(u \frac{\partial T}{\partial u}+v \frac{\partial T}{\partial v}+w \frac{\partial T}{\partial w}\right) .
\]
$\S 3$
Число постоянных, входящих в выражение для $T$, вообще, равно 21 ; но при известных условиях это число можно уменьшить, бла одаря чему облегчается интегрирование дифференциальных уравнений (3). Подобное упрощение имеет место, если поверхность тела и распределение в нем масс симметрично относительно некоторой плоскости. Чтобы показать это, примем во внимание сначала ту часть $T$, которая образована живой силой жидкости. Удвоенную величину этой живой силы положим равной
\[
\begin{array}{c}
a_{11} u^{2}+2 a_{12} u v+2 a_{13} u w+2 a_{14} u p+2 a_{15} u q+2 a_{16} u r+a_{22} v^{2}+ \\
+2 a_{23} v w+2 a_{24} v p+2 a_{25} v q+2 a_{26} v r+a_{33} w^{2}+\ldots
\end{array}
\]

Тогда это выражение, как мы видели в § 1, равно
\[
-\mu \int d s \varphi \frac{\partial \varphi}{\partial n} \text {. }
\]

Вследствие уравнения (22) предыдущей лекции отсюда имеем
\[
\begin{array}{l}
a_{11}=-\mu \int d s \varphi_{1} \frac{\partial \varphi_{1}}{\partial n}, \\
a_{12}=-\mu \int d s \varphi_{1} \stackrel{d \varphi_{2}}{\partial n}=-\mu \int d s \varphi_{2} \frac{\partial \varphi_{1}}{\partial n}, \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . } \\
\end{array}
\]

Введем теперь предположение, что поверхность тела симметрична относительно плоскости $x O z$, т. е. что если $x, y, z$ – координаты точки поверхности, то госледняя содержит также точку ( $x,-y, z$ ). Две такие точки будем называть соответственными. Тогда в двух соответственных точках поверхности вследствие уравнений (23) предыдущей лекции $\frac{\partial \varphi_{1}}{\partial n}, \frac{\partial \varphi_{3}}{\partial n}, \frac{\partial \varphi_{5}}{\partial n}$ имеют равные и противоположные по знаку $\underset{\partial n}{\partial n}, \frac{\partial \varphi_{4}}{\partial n}, \frac{\partial \varphi_{6}}{\partial n}$ значения. Отсюда можно доказать, что в каких-нибудь двух соответственных точках наполненного жидкостью пространства $\varphi_{1}, \varphi_{3}, \varphi_{5}$ имеют равные и противоположные $\varphi_{2}, \varphi_{4}, \varphi_{6}$ значения. Действительно, обозначим через $\varphi_{1}^{\prime}$ значение $\varphi_{1}$ в точке $(x,-y, z)$, понимаемое как функция $x, y, z$ (ксординат точки, к которой относится $\varphi_{1}$ ); тогда $\varphi_{1}$ – $\varphi_{1}^{\prime}$ удовлетворяет тому же дифференциальному уравнению в частных производных и тому же условию неразрывности, что и $\varphi$, и как $\varphi$, функция $\varphi_{1}-\varphi_{1}^{\prime}$ в бесконечности равна 0 ; на поверхности же тела
\[
\frac{d\left(\varphi_{1}-\varphi_{1}^{\prime}\right)}{d n}=0 ;
\]

отсюда следует, что $\varphi_{1}^{\prime}=\varphi_{1}$.
Аналогичным способом можно доказать высказанное утверждение для $\varphi_{2}, \varphi_{3}, \ldots$. Так как вследствие этого для соответственных элементов поверхности тела $\varphi_{1}, \varphi_{3}, \varphi_{5}$ также имеют равные и противоположные $\varphi_{2}, \varphi_{4}, \varphi_{6}$ значения, то уравнения (9) показывают, что обращаются в нуль те значения $a$, одному индексу которых соответствует ряд $1,3,5$, а другому-ряд $2,4,6$.

Удвоенная живая сила тела, если обозначить через $d m$ элемент его массы, имеющей координаты $x, y, z$, как это уже дано уравнением (2) шестой лекции, равна
\[
\begin{array}{c}
\int d m\left\{u^{2}+v^{2}+w^{2}+\left(y^{2}+z^{2}\right) p^{2}+\left(z^{2}+x^{2}\right) q^{2}+\left(x^{2}+y^{2}\right) r^{2}+\right. \\
+2 x(v r-w q)+2 y(w p-u r)+ \\
+2 z(u q-v p)-2 y z q r-2 z x r p-2 x y p q\} .
\end{array}
\]

Если распределение масс симметрично относительно плоскости $x O z$, то те члены, которые содержат множители
\[
\text { wp-ur, } q r, p q \text {, }
\]

обратятся в нуль. Поэтому если положим, вообще, удвоенную живую силу тела равной
\[
\begin{array}{c}
b_{11} u^{2}+2 b_{12} u v+2 b_{13} u w+2 b_{14} u p+\ldots \\
+b_{22} v^{2}+2 b_{23} v w+2 b_{24} v p+\ldots,
\end{array}
\]

то, как легко видеть, обратятся в нуль те $b$, у которых одному индексу соответствует ряд $1,3,5$, а другому – ряд $2,4,6$.
Отсюда следует, что если положим
\[
\begin{array}{c}
2 T=c_{11} u^{2}+2 c_{12} u v+2 c_{13} u w+2 c_{14} u p+\ldots \\
+c_{22} v^{2}+2 c_{23} v \omega+\ldots \\
\ldots \ldots . \cdots
\end{array}
\]

то обратятся в нуль те $c$, при которых один индекс есть 1,3 или 5, а другой 2,4 или 6 , лишь бы тело как по форме, так и по распределению масс было симметрично относительно плоскости $x O z$.

Если такая симметрия имеет место относительно плоскости $x O y$ или плоскости $y \mathrm{Oz}$, то вместо рядов $1,3,5$ и 2, 4, 6 войдут ряды 2, 1, 6 и $3,5,4$ или $3,2,4$ и $1,6,5$.

Пусть теперь тело будет симметрично по форме и распределению масс относительно двух взаимно перпендикулярных плоскостей; примем их за плоскости $x O z$ и $y O z$; тогда получим
\[
2 T=c_{11} u^{2}+c_{22} v^{2}+c_{33} w^{2}+c_{44} p^{2}+c_{55} q^{2}+c_{66} r^{2}+2 c_{15} u q+2 c_{24} v p .
\]

Мы еще более ограничим рассматриваемый случай, предположив, что существует еще одна пара перпендикулярных плоскостей, проходящих через ось $z$, относительно которых имеет место симметрия. Введем вторую систему координат $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$, в которой плоскости $x^{\prime} O z^{\prime}$ и $y^{\prime} O z^{\prime}$ суть эти плоскости симметрии; тогда для одной и той же точки
\[
\begin{array}{l}
x=x^{\prime} \cos \vartheta+y^{\prime} \sin \vartheta \\
y=-x^{\prime} \sin \vartheta+y^{\prime} \cos \vartheta \\
z=z^{\prime}
\end{array}
\]

где через $\vartheta$ обозначен один из углов, образуемых плоскостью $x O z$ с плоскостью $x^{\prime} O z^{\prime}$. Обозначим буквамя со штряхами те величины относительно новой системы координат, которые в старой системе были обозначены буквами без штрихов; тогда одновременно получим
\[
\begin{array}{ll}
u=u^{\prime} \cos \vartheta+v^{\prime} \sin \vartheta, & p=p^{\prime} \cos \vartheta+q^{\prime} \sin \vartheta, \\
v=-u^{\prime} \sin \vartheta+v^{\prime} \cos \vartheta, & q=-p^{\prime} \sin \vartheta+q^{\prime} \cos \vartheta \\
w=w^{\prime}, & r=r^{\prime}
\end{array}
\]

ต
\[
\begin{array}{c}
2 T=c_{11}^{\prime} u^{\prime 2}+c_{22}^{\prime} v^{\prime 2}+c_{33}^{\prime} \omega^{\prime 2}+c_{44}^{\prime} p^{\prime 2}+c_{55}^{\prime} q^{\prime 2}+c_{66}^{\prime} r^{\prime 2}+ \\
+2 c_{15} u^{\prime} q^{\prime}+2 c_{24}^{\prime} v^{\prime} p^{\prime} .
\end{array}
\]

Положим оба выражения $2 T$ равными друг другу; тогда получим уравнение, которое должно быть тождеством на основании соотношения между $u, v, w, p, q, r$ и $u^{\prime}, v^{\prime}, w^{\prime}, p^{\prime}, q^{\prime}, r^{\prime}$. Выразим шесть первых величин через шесть последних; тогда, сравнивая коэффициенты при $u^{\prime} v^{\prime}$, $p^{\prime} q^{\prime}$ и $u^{\prime} p^{\prime}-v^{\prime} q^{\prime}$, найдем
\[
c_{11}-c_{22}=0, c_{44}-c_{55}=0, c_{15}+c_{24}=0
\]

и из сравнения коэффициентов остальных членов увидим, что величины $c^{\prime}$ равны соответственным величинам $c$. Отсюда имеем
\[
2 T=c_{11}\left(u^{2}+v^{2}\right)+c_{33} w^{2}+c_{44}\left(p^{2}+q^{2}\right)+c_{66} r^{2}+2 c_{15}(u q-v p) .
\]

Это выражение можно еще упростить, выбирая надлежащим образом начало координат на оси $z$. Чтобы это показать, введем наряду с системой координат $x, y, z$ вторую – $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$, когорую выберем так, чтобы для каждой точки
\[
x=x^{\prime}, y=y^{\prime}, z=z^{\prime}+\alpha .
\]

При обозначениях, подобных примененным, получим
\[
\begin{array}{ll}
u=u^{\prime}-a q^{\prime}, & p=p^{\prime}, \\
v=v^{\prime}+a p^{\prime}, & q=q^{\prime}, \\
w=w^{\prime}, & r=r^{\prime}
\end{array}
\]

H
\[
\begin{array}{l}
c_{11}\left(u^{2}+v^{2}\right)+c_{33} w^{2}+c_{44}\left(p^{2}+q^{2}\right)+c_{66} r^{2}+2 c_{15}(u q-v p)= \\
=c_{11}^{\prime}\left(u^{\prime 2}+v^{\prime 2}\right)+c_{33}^{\prime} \omega^{\prime 2}+c_{44}^{\prime}\left(p^{\prime 2}+q^{\prime 2}\right)+c_{66}^{\prime r^{\prime 2}}+2 c_{15}^{\prime}\left(u^{\prime} q^{\prime}-v^{\prime} p^{\prime}\right), \\
\end{array}
\]

откуда следует, что
\[
\begin{array}{l}
c_{11}=c_{11}^{\prime}, \quad c_{33}=c_{33}^{\prime}, \quad c_{66}=c_{66}^{\prime}, \\
c_{44}=c_{44}^{\prime}+2 a c_{15}^{\prime}+a^{2} c_{11}^{\prime}, \\
c_{15}=c_{15}^{\prime}+a c_{11}^{\prime} .
\end{array}
\]

Отсюда вытекает, что если начало $z^{\prime}$ выбрано произвольно, то $a$ может быть определено так, чтобы
\[
c_{15}=0 .
\]

Тогда получим
\[
2 T=c_{11}\left(u^{2}+v^{2}\right)+c_{33} w^{2}+c_{44}\left(p^{2}+q^{2}\right)+c_{66} r^{2} .
\]

Предположения, положенные в основу этого вывода, выполняются, когда форма тела и расположение масс соответствуют телу вращения. Но они могут быть также выполнены в различных других случаях, например, когда тело есть однородная прямая призма или однородная прямая пирамида с квадратным или правильным шестиугольным поперечным сечением; в подобных случаях мы будем говорить, что оно имеет характер тела вращения.

Пусть имеем тело вращения относительно двух взаимно перпендикулярных осей, т. е. оно есть или шар, в котором массы распределены симметрично относительно центра, или имеет характер тела вращения относительно двух перпендикулярных осей, что будет, например, в случае однородного куба или однородного правильного октаэдра. Возьмем эти оси за две оси координат; тогда
\[
2 T=c_{11}\left(u^{2}+v^{2}+w^{2}\right)+c_{44}\left(p^{2}+q^{2}+r^{2}\right) .
\]

Определенное этим выражением $T$ оказывается той же формы, как живая сила самого твердого тела; только его масса и моменты инерции относительно осей координат кажутся увеличенными вследствие наличия жидкости. Задача о́́ определении его движения в жидкости также и в случае действия произвольных сил такова же, как задача об определении его движения в пустоте. Пусть тело-шар; тогда увеличение момента инерции жидкости не имеет места; увелячение массы, если $R$ означает радиус, на основании уравнения (26) предыдущей лекции и вследствие уравнения (9) будет равно
\[
\frac{1}{2} \frac{4 \pi}{3} R^{3} \mu,
\]
т. е. половине массы вытесненной шаром жидкости.
$\S 4$
Положим теперь, что движущееся в жидкости тело есть тело вращения или имеет характер такового, так что получим урзвнение (10). В этом случае уравнения (3) можно интегрировать до конца. Последнее из них будет
\[
\frac{d r}{d t}=0, \text { т. е. } r=\text { const; }
\]

остальные будут
\[
\begin{array}{l}
c_{11} \frac{d u}{d t}=c_{11} v r-c_{33} w q, \\
c_{11} \frac{d v}{d t}=-c_{11} u r+c_{33} w p, \\
c_{33} \frac{d w}{d t}=c_{11}(u q-v p), \\
c_{44} \frac{d p}{d t}=\left(c_{11}-c_{33}\right) v w+\left(c_{44}-c_{66}\right) q r, \\
c_{44} \frac{d q}{d t}=\left(c_{33}-c_{11}\right) u w+\left(c_{66}-c_{44}\right) p r .
\end{array}
\]

Вместо $u, v, p, q$ здесь надо будет ввести четыре других переменных. По уравнениям (7), (8) и (10) имеем
\[
\frac{v}{u}=\operatorname{tg} f,
\]

поэтому можно положить
\[
\begin{array}{ll}
u=s \cos f, & p=\sigma \cos (f+\psi), \\
v=s \sin f, \quad q=\sigma \sin (f+\psi),
\end{array}
\]

причем
\[
\begin{array}{cl}
u^{2}+v^{2}=s^{2}, & p^{2}+q^{2}=\sigma^{2}, \\
u p+v q=s \sigma \cos \psi, & u q-v p=s \sigma \sin \psi .
\end{array}
\]
Пользуясь еще тем, что отсюда
\[
\begin{array}{l}
s d s=u d u+v d v, \sigma d \sigma=p d p+q d q, \\
s^{2} d f=u d v-v d u, \quad \sigma^{2}(d f+d \psi)=p d q-q d p,
\end{array}
\]

легко найдем из уравнений (11)
\[
\begin{array}{l}
c_{33} \frac{d w}{d t}=c_{11} S: G \sin \psi, \\
c_{11} \frac{d s}{d t}=-c_{33} \omega \sigma \sin \psi, \\
c_{44} \frac{d s}{d t}=\left(c_{33}-c_{11}\right) \operatorname{wos} \sin \psi \text {, } \\
c_{11} \frac{d f}{d t}=c_{33} w \stackrel{\sigma}{s} \cos \psi-c_{11} r \text {, } \\
c_{44}^{d \psi}=\left[\left(c_{33}-c_{11}\right) \frac{s}{\sigma}-\frac{c_{33} c_{44}}{c_{11}} \frac{\sigma}{s}\right] \omega \cos \psi+c_{66} r . \\
\end{array}
\]

Три интеграла этих уравнений мы имеем в уравнениях (4). При вновь введенных обозначениях они таковы:
\[
\begin{array}{ll}
c_{11} s^{2}+c_{33} w^{2}+c_{44} \sigma^{2}+c_{66} r^{2}=L, \\
c_{11}^{2} s^{2}+c_{13}^{2} w^{2} & =M, \\
c_{33} c_{66} w r+c_{11} c_{44} s \sigma \cos \psi & =N .
\end{array}
\]

Введем новые постоянные $a, b, g, a^{\prime}, b^{\prime}, g^{\prime}$, которые определенным образом свяжем с $L, M, N$ и величинами $c$; тогда те же самые уравнения можно написать так:
\[
\begin{aligned}
s & =\sqrt{a-a^{\prime} w^{2},} \\
\sigma & =\sqrt{b-b^{\prime} w^{2}}, \\
s \sigma \cos \psi & =g-g^{\prime} w .
\end{aligned}
\]

Отсюда следует, что
\[
s \sigma \sin \psi=\sqrt{\left(a-a^{\prime} w^{2}\right)\left(b-b^{\prime} w^{2}\right)-\left(g-g^{\prime} w\right)^{2}} .
\]

Первое и четвертое из уравнений (12) при этом дадут
\[
\begin{array}{c}
d t=\frac{c_{33}}{c_{11}} \frac{d w}{\sqrt{\left(a-a^{\prime} w^{2}\right)\left(b-b w^{2}\right)-\left(g-g^{\prime} w\right)^{2}}}, \\
d f=-r d t+\left(\frac{c_{33}}{c_{11}}\right)^{2} \frac{\left(g-g^{\prime} w\right) w d w}{\left(a-a^{\prime} w^{2}\right) \sqrt{\left(a-a^{\prime} w^{2}\right)\left(b-b^{\prime} w^{2}\right)-\left(g-g^{\prime} w\right)^{2}}} .
\end{array}
\]

Эти уравнения интегрируются, что дает интегралы уравнений (12).
$\S 5$
Мы приведем вычисление движения лишь для одного случая, который рассмотрен в предыдущем параграфе как частный случай и характеризуется начальными значениями величин $u, v, w, p, q, r$. Уравнения (11) будут удовлетворены, если положим
\[
v=0, \quad p=0, \quad r=0
\]

и надлежащим образом определим $u$, w, $q$; тогда движение имеет ту особенность, что плоскость $x O Z$ остается неподвижной в пространстве.

Вследствие сделанного предположения два из уравнений (11) будут выполнены тождественно, а три остальных дадут
\[
\begin{aligned}
c_{11} \frac{d u}{d t} & =-c_{33} w q, \\
c_{33} \frac{d w}{d t} & =c_{11} u q, \\
c_{44} \frac{d q}{d t} & =\left(c_{33}-c_{11}\right) u w .
\end{aligned}
\]

Сравнив их с тождественными уравнениями
\[
\begin{aligned}
\frac{d \sin \mathrm{am} \lambda t}{d t} & =\lambda \cos \operatorname{am} \lambda t \Delta \operatorname{am} \lambda t, \\
\frac{d \cos \operatorname{am} \lambda t}{d t} & =-\lambda \sin \operatorname{am} \lambda t \Delta \operatorname{am} \lambda t, \\
\frac{d \Delta \operatorname{am} \lambda t}{d t} & =-\lambda k^{2} \sin \operatorname{am} \lambda t \cos \operatorname{am} \lambda t,
\end{aligned}
\]

в которых применен способ осозначения, разъясненный в § 1 седьмой лекции, и где $k$ означает модуль эллиптических функций, заметим, что они будут удовлетворены, если мы величинам $u$, w, $q$ дадим значения
\[
l \sin \operatorname{am} \lambda t, \quad m \cos \operatorname{am} \lambda t, n \Delta \operatorname{am} \lambda t
\]

и определим надлежащим образом постоянные $k, \lambda, l, m, n$. Две из этих постоянных остаются при этом опять произеольными; они суть две из произвольных постоянных интегрирования, которье должны содержать полные интегралы рассматриваемых дифференциальных уравнений; третье может быть введено прибавлением добавочной постоянной к $t$. Данные значения могут быть распределены между $u$, w, $q$ так, чтобы все рассматриваемые величины были действительны и $K$ было правильной дробью. Чтобы сделать это, будем исходить из уравнений
\[
\begin{array}{l}
c_{11} u^{2}+c_{33} w^{2}+c_{44} q^{2}=L, \\
c_{11}^{2} u^{2}+c_{33}^{2} w^{2}=M,
\end{array}
\]

в которые перейдут уравнения (4) при определенном (10) значении $T$ и при сделанном относительно $v, p, r$ предположении и которые являются интегралами дифференциальных уравнений, о которых идет речь. Заметив, что при выполнении указанного выше тресования $\cos ^{2} a m$ и $\Delta^{2}$ am убывают, в то время как $\sin ^{2} a m$ возрастает, сделаем заключение; из второго из этих уравнений следует, что одна из величин $u$ и $ш$ должна быть выражена через $\sin$ am, так как вследствие этого уравнения $u^{2}$ и $w^{2}$ должны изменяться одновременно в противоположном смысле. Далее, из обоих уравнений получим
\[
\begin{array}{l}
c_{11}\left(c_{33}-c_{11}\right) u^{2}+c_{33} c_{44} q^{2}=\text { const }, \\
c_{33}\left(c_{11}-c_{33}\right) w^{2}+c_{11} c_{44} q^{2}=\text { const. }
\end{array}
\]

Так как $c_{11}, c_{33}, c_{44}$ – величины положительные (потому что $T$ никогда не может быть отрицательным), то из свойства эллиптических функций следует, что $и$ или $ш$ должны быть выражены через sin am в зависимости от того, меньше $c_{11}$ или больше, чем $c_{33}$. Каждый из этих случаев распадается опять на два, которые различаются знаком одной из входящих в (13) постоянных. Пусть $c_{11}$ будет меньше $c_{33}$, тогда $u$ должно быть выражено через $\Delta \mathrm{am}$, а $w$ через cos am, так как $\cos a m$ для некоторых значений аргумента обращается в нуль. Если постоянное отрицательно, то имеет место обратное. Подобное исследование приложимо и к случаю, когда $c_{11}$ больше $c_{33}$.

Относительно формул, которыми в этих четырех случаях выражаются все неизвестные задачи как действительные функции времени, мы отсылаем к со гинению*, в котором разобран также случай движения тела вращения в жидкости, когда $v, p$ и $r$ не равны нулю, случай, в котором начало координат системы $x, y, z$ движется по винтовой линии.
§ 6
В $§ 4$ предыдущей лекции \”мы вычислили потенциал скоростей для случая, когда в жидкости двигаются за данным образом два шара, радиусы которых бесконечно малы сравнительно с их расстоянием. Поэтому теперь мы можем составить дифференциальные уравнения движения этих шаров, если на них действуют данные силы. Для этого необходимо вычислить живую силу жидкости. Если положим плотность жидкости равной единице, то живая сила равна интегралу
\[
-\frac{1}{2} \int d s \varphi \frac{\partial \varphi}{\partial n},
\]

распространенному на обе шаровые поверхности. Значение последнего для первой шаровой поверхности получим из уравнения (30) предыдущей лекции, если воспользуемся тем, что здесь
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial \varphi}{\partial n}=u \cos (n x)+v \cos (n y)+w \cos (n z), \\
\int d s \cos (n x)=0, \quad \int d s \cos (n y)=0, \quad \int d s \cos (n z)=0, \\
\int d s \cos ^{2}(n x)=\int d s \cos ^{2}(n y)=\int d s \cos ^{2}(n z)=\frac{4 \pi}{3} R^{2}, \\
\int d s \cos (n y) \cos (n z)=\int d s \cos (n z) \cos (n x)=\int d s \cos (n x) \cos (n y)=0 \text {. } \\
\end{array}
\]

Заменив в полученном таким образом из уравнения (30) выражении буквы со штрихами на буквы без штрихов, найдем значение того же интеграла для второй шаровой поверхности. Таким образом будем иметь
\[
\frac{\pi}{3} R^{2}\left(u^{2}+v^{2}+w^{2}\right)+\frac{\pi}{3} R^{\prime 2}\left(u^{\prime 2}+v^{\prime 2}+w^{\prime 2}\right)+V,
\]

где
\[
\begin{aligned}
V=- & \pi R^{3} R^{\prime 3}\left[u u^{\prime} \frac{\partial^{2} \frac{1}{r_{0}}}{\partial a^{2}}+\left(v w^{\prime}+v^{\prime} w\right) \frac{\partial^{2} \frac{1}{r_{0}}}{\partial b}+\right. \\
& +v^{\prime} \frac{\partial^{2} \frac{1}{\partial c}}{\partial b^{2}}+\left(w u^{\prime}+w^{\prime} u\right) \frac{\partial^{2} \frac{1}{r_{0}}}{\partial c \partial a}+ \\
& \left.+w w^{\prime} \frac{\partial^{2} \frac{1}{r_{0}}}{\partial c^{2}}+\left(u v^{\prime}+u^{\prime} v\right) \frac{\partial^{2} \frac{1}{r_{0}}}{\partial a}\right] .
\end{aligned}
\]

Это выражение точно до бесконечно малых величин, если будем рассматривать расстояние шаров как конечное и скорости жидких частиц на конечном расстоянии от шаров тоже как конечные. Чтобы получить
* Kirchhoff. Ueber die Bewegung eines Rotationskörpers in einer Flüssigkeit. Borchardt’s Journal, Bd. 71.

живую силу всей системы, надо прибавить еще живую силу шаров. Мы примем, что каждый шар имеет центр тяжести в центре и не вращается. Пусть $m$ и $m^{\prime}$ будут массы шаров; тогда живая сила их равна
\[
\frac{m}{2}\left(u^{2}+y^{2}+w^{2}\right)+\frac{m^{\prime}}{2}\left(u^{\prime 2}+v^{\prime 2}+w^{\prime 2}\right) .
\]

Если имеет место вращение шаров вокруг их центров, то оно происходит совершенно так же, как если бы жидкости не было, и не имеет никакого влияния на движение жидкости и центров шаров.

Обозначим через $X, Y, Z$ и $X^{\prime}, Y^{\prime}, Z^{\prime}$ суммы компонент сил, действующих на оба шара; тогда дифференциальные уравнения движения их центров, т. е. точек $(a, b, c)$ и $\left(a^{\prime}, b^{\prime}, c^{\prime}\right)$ по принципу Гамильтона, т. е. по уравнениям (2), будут
\[
\begin{array}{c}
\frac{d a}{d t}=u, \frac{d b}{d t}=v, \frac{d c}{d t}=w, \\
\frac{d a^{\prime}}{d t}=u^{\prime}, \frac{d b^{\prime}}{d t}=v^{\prime}, \quad \frac{d c^{\prime}}{d t}=w^{\prime}, \\
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial u}=\frac{\partial T}{\partial a}+X, \quad \frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial u^{\prime}}=\frac{\partial T}{\partial a^{\prime}}+X^{\prime}, \\
\frac{d \partial T}{d t \partial v}=\frac{\partial T}{\partial b}+Y, \quad \frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial v^{\prime}}=\frac{\partial T}{\partial b^{\prime}}+Y^{\prime}, \\
\frac{d \partial T}{d t \partial w}=\frac{\partial T}{\partial c}+Z, \quad \frac{d \partial T}{d t \partial w^{\prime}}=\frac{\partial T}{\partial c^{\prime}}+Z^{\prime} .
\end{array}
\]

Мы не будем здесь исходить при интегрировании этих уравнений из частных предположений относительно сил $X, Y, Z, X^{\prime}, Y^{\prime}, Z^{\prime}$, но вычислим из них, какие значения должны иметь эти силы, чтобы шары двигались при этом известным образом. Мы рассмотрим при этом только случай, когда каждый шар будет обладать равномерным движением, так что $u$, $v$, w и $u^{\prime}, v^{\prime}$, w’ будут постоянными. Если бы имелся только один шар, то он двигался бы равномерно, если бы никакие силы не действовали на него; поэтому силы, компоненты которых суть $-X,-Y$, $-Z$ и $-X^{\prime},-Y^{\prime},-Z^{\prime}$, можно рассматривать как те силы, с которыми действуют друг на друга оба шара. Вследствие предположения, что $u, v$, $w, u^{\prime}, v^{\prime}, w^{\prime}$ постоянны, мы должны в уравнения (15) вместо $T$ подставить выражение для $V$ (14). Положим
\[
P=-\pi R^{3} R^{3}\left[u^{\prime} \frac{\frac{1}{r_{0}}}{\partial a}+v^{\prime} \frac{\partial \frac{1}{r_{0}}}{\partial b}+w^{\prime} \frac{\partial \frac{1}{r_{0}}}{\partial c}\right] ;
\]

тогда
\[
V=u \frac{\partial P}{\partial a}+v \frac{\partial P}{\partial b}+w \frac{\partial P}{\partial c} .
\]

Так как $P$ не зависит от $u$, то отсюда следует, что
\[
\frac{\partial V}{\partial u}=\frac{\partial P}{\partial a},
\]

и затем далее, из того, что $P$ есть функция $a-a^{\prime}, b-b^{\prime}, c-c^{\prime}$, получим
\[
\frac{d \partial V}{d t \partial u}-\frac{\partial V}{\partial a}=-\frac{\partial}{\partial a}\left(u^{\prime} \frac{\partial P}{\partial a}+v^{\prime} \frac{\partial P}{\partial b}+w^{\prime} \frac{\partial P}{\partial c}\right) .
\]

Это выражение равно $X$. Поэтому $-X,-Y,-Z$ суть частные производные по $a, b, c$ выражения
\[
\begin{array}{l}
-\pi R^{3} R^{\prime 3}\left[u^{\prime 2} \frac{\partial^{2} \frac{1}{r_{0}}}{\partial a^{2}}+v^{\prime 2} \frac{\partial^{2}}{\partial b^{2}}+w^{\prime 2} \frac{\partial^{2} \frac{1}{r_{0}}}{\partial c^{2}}+\right. \\
\left.+2 v^{\prime} w^{\prime} \frac{\partial^{2} \frac{1}{r_{0}}}{\partial b \partial c}+2 w^{\prime} u^{\prime} \frac{\partial^{2} \frac{1}{r_{0}}}{\partial c \partial a}+2 u^{\prime} v^{\prime} \frac{\partial^{2} \frac{1}{r_{0}}}{\partial a \partial b}\right] \text {, } \\
\end{array}
\]

и, как это получится из подобного же вычисления, $-X^{\prime},-Y^{\prime},-Z^{\prime}$ суть частные производные по $a^{\prime}, b^{\prime}, c^{\prime}$ выражения
\[
\begin{array}{l}
-\pi R^{3} R^{\prime 3}\left[u^{2} \frac{\partial^{2} \frac{1}{r_{0}}}{\partial a^{2}}+v^{2} \frac{\partial^{2} \frac{1}{r_{0}}}{\partial b^{2}}+w^{2} \frac{\partial^{2} \frac{1}{r_{0}}}{\partial c^{2}}+\right. \\
\left.+2 v w \frac{\partial^{2} \frac{1}{r_{0}}}{\partial b \partial c}+2 w u \frac{\partial^{2} \frac{1}{r_{0}}}{\partial c \partial a}+2 u v \frac{\partial^{2} \frac{1}{r_{0}}}{\partial a \partial b}\right] . \\
\end{array}
\]

Здесь следует обратить внимание на то, что сила, с которой один шар действует на другой, не зависит от скорости последнего, и что гилы, с которыми шары взаимодействуют, вообще, не явлются равными и противоположными. Это имеет место только тогда, когда скорости обоих шаров равны по величине и одинаковы или противоположны по направлению. Можно упомянуть, что сила, с которой второй шар действует на первый, имеет ту же величину, но противоположное направление с силой, с которой магнитная молекула, находящаяся на втором шаре, действует на молекулу первого, если магнитные оси обоих параллельны направленио движений второго шара и магнитные моменты их равны произведению его скорости на
\[
R^{3} \sqrt{\pi} \text { и } R^{\prime 3} \sqrt{\pi} \text {. }
\]

Если $R=R^{\prime}, u=u^{\prime}, v=v^{\prime}$ и $w=-w^{\prime}$, т. е. существует симметрия относительно плоскости $x O y$, то частицы жидкости, которые в некоторый момент лежат в этой плоскости симметрии, в ней же и остаются; тогда можно, не изменяя движения, принять эту плоскость за неподвижную стенку. Отсюда мы можем прийти к случаю движения одного шара вблизи плоской стенки. Установленные формулы дадут силу, с которой стенка действует на шар.

Не представит трудности подобным же образом вычислить силы, с которыми взаимодействуют шары в случае, когда $u, v, w, u^{\prime}, v^{\prime}$, $\omega^{\prime}$ переменны во времени. Если это имеет место, то можно найти среднюю силу, с которой действует один шар, совершающий малые колебания, на другой, покоящийся.