$\S 1$

При установившемся движении несжимаемой жидкости, при котором существует потенциал скоростей $\varphi$ и не действуют внешние силы, вследствие уравнения (20) пятнадцатой лекции имеем
\[
p=C-\frac{1}{2}\left[\left(\frac{\partial \varphi}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial \varphi}{\partial y}\right)^{2} \div\left(\frac{\partial \varphi}{\partial z}\right)^{2}\right],
\]

где через $p$ обозначено давление, через $C$ – постоянное, и плотность жидкости положена равной единице. Отсюда следует, что давление убывает, когда скорость возрастает, и делается равным – $\infty$, когда скорость равна бесконечности. Но, согласно опыту, давление в жидкости не может опуститься ниже некоторого отрицательного значения без того, чтобы не произошел разрыв жидкости, причем нарушилась бы и непрерывность движения. Тот факт, что вода образует струю, зытекая из отверстия сосуда в покоящуюся воду, объясняется именно этим. До сих пор мы предполагали; что скорость движения воды всюду непрерывно изменяется; теперь же сделаем другое предположение – будем считать, что существуют такие поверхности, по обе стороны от которых прилегающие к ним частицы жидкости имеют различную скорость; но при этом поставим условие, чтобы давление не опускалось ниже известного предела. Это условие равносильно требованию, чтобы скорость не превышала некоторого значения, вависящего от постоянного $C$. Поверхность, на которой скорость изменяется скачком, аналогична поверхности раздела двух различных жидкостей; на двух сторонах ее давление и компоненты скорости по нормали должны иметь одно и то же значение. Мы ограничимся исследованием случая, когда имеется только одна область движущейся жидкости, ограниченная пскоящейся жидкостью. Отсюда следует, что поверхности раздела должны быть образованы линиями тока и скорость на них должна иметь всюду одно и то же значение. Мы положим это значение равным единице. Предположим далее, что потенциал скоростей зависит только от двух координат $x$ и $y$. Рассмотрим переменные
\[
z=x+i y, \quad w=\varphi+i \psi
\]

н постараемся опредслить а как функцию $z$, так чтобы были удовлетворены поставленные услови. При этом воспользуемся тем, что
\[
\psi=\text { const }
\]

есть уравнение лтний тока. Выведем выражение для скорости из приведенного ниже исследованяя. $M$, имеем
\[
\frac{d w}{d z}=\frac{\partial \varphi}{\partial x}+i \frac{\partial \psi}{\partial x}=\frac{\partial \varphi}{\partial x}-i \frac{\partial \varphi}{\partial y} ;
\]

следовательно,

Положим теперь
\[
\frac{d z}{d w}=\zeta=\xi+i \eta=\rho(\cos \vartheta+i \sin \vartheta)
\]

и будем рассматривать $\xi$ и $\eta$ как прямоугольные координаты точки на плоскогти, когорую бу деи наз ввать плоскостью $\zeta$.

Выберем ось $\xi$ параллельно ос: $x$, ось $\eta$ параллельно оси $y$; тогда сразненхе уравненлй (2) и (3) показывзет, что если из точки $\zeta=0$ провести в точку $\zeta$ прямую ліню, то длина ее $\rho$ равна обратной величине скорости, а направление есть направление скорости в точке $z$.

Гранұцы пространства, заполиенного рассматриваемой жидкостью или, иначе говоря, границы ојласти $z$, составляются из трех различных частей. Одна часть образована линямя, через которые жидкость втекает и вытекает; вторая – твердым стенкамі, для н:х $\psi=$ const; наконец, третью составляют поверхностя, по которым движущаяся жидкость соприкасается с покояцейся; мы будем называть их свобоод tыни границами; для них также $\psi=$ const, но, кроме того, $\rho=1$. Чтобы найти такое двяжение, мы будем рассматривать $\varphi$ и $\psi$ как прячоугольные координаты точки некоторой плоскогти, которую нззовем плоскостью $ю$. Сделаем соответственные предположеняя относлтельно олластей $ш$ и $\zeta$ : найдем такое соотнопение между $w$ и $\zeta$, когорое позволлло бы оје эти области сделать подобными в малом и отобразить одну на другую, а затем с помсцью (3) вычислим из него $z$. наполненное движущейся жидкостью.
§ 2
Примем теперь за область $w$ полосу, границы которой выражаются уравнениями
\[
\begin{array}{l}
\psi=\psi_{0}, \quad \varphi=-\infty, \\
\psi=\psi_{0}+b, \quad \varphi=+\infty,
\end{array}
\]

где через $\Psi_{6}$ и $b$ обозначим два погтолнные, а за область $\zeta$ примем серп; уравнением одной из его дуг язллегсл
\[
p=1 \text {, }
\]

а для внутренних его точек всюду $\rho>1$. Согласно сделанному в $\S 5$ предыдушей лекции разъяснению, составим уразнение между $\omega$ и $\zeta$, с помощью когорого одну область возможно отобразить на другой. Это уравнение определит $w$ и $\zeta$ как однозначные функции внутри этой области; при этом три точки одной границы будуг соответствовать трем произвольным точкам другой границы. Положхм, что
\[
\begin{array}{l}
\zeta=\zeta_{1} \text { для } \varphi=-\infty, \\
\zeta=\zeta_{2} \text { для } \varphi=+\infty,
\end{array}
\]

и возьмем точку $\zeta_{2}$ на дуге круга $\rho=1$, тсчку $\zeta_{1}$ – на другой дуге круга границы облтети $\zeta$. Н2 определяя третьо пару ссответственных точек и не вникая ближе в уравнение мєжгу $w$ и $\zeta$, уже мсжно в оєщих чертах указать характер области $z$ и движения жидкости при сделанных пред положениях.
Из уравнения
\[
z=\int \zeta d w
\]

которое следует из (3), заключаем, прежде всего, что область $z$ простира. ется в бесконечность (так как такова и область $w$ ), а $\zeta$ нигде не обращается в нуль. Пусть $z_{1}$ будет точкой плогкости $z$ для $\varphi \rightleftharpoons-\infty$, и $z_{2}$-точкой, для которой $\varphi=+\infty$, так что $z_{1}$ и $z_{2}$, когорые лежат в бесконечности, соответствуюг точкам $\zeta_{1}$ и $\zeta_{2}$. Проведенные из точки $\zeta=0$ к точкам $\zeta_{1}$ и $\zeta_{2}$ прямые линии будем обозначать (по велхчине и напра злению) через $\rho_{1}$ и $\rho_{2}$, причем велтчнна $\rho_{2}=1$; тогда в $z_{1}$ (и на конечном ог него растоянии, где направление движения есть направление $\rho_{1}$ ) скорость равна $\rho_{\rho_{1}}^{1}$, а в $z_{2}$ (и на конечном от него расстоянии, где направлєние движения есть направление $\rho_{2}$ ) скорость рав-

Фиг. 1 на единице. Повсюду ојласть $z$ есть подобное в малом отображение области $w$, при котором все длины увеличены в отношении $1: \rho$. Поэтому мы имеем при $z_{2}$ область, конгруентную $\omega$, а $b$ есть ширина потока; при $z_{1}$ эта ширина равна $\rho_{1} b$. При $z_{1}$ границами погока должны быть твердые стенки, при $z_{2}$ – свободные границы. Свободные границы могут быть, вообще, частями границы области $z$, которые соответствуют частям границы оєласти $\zeta$, гля которых $\rho=1$, в то время как части границы области $\zeta$, предстарляющие твердые стснки, соответствуют частям второй дуги круга на гранцце области $\zeta$. Пусть $\zeta 3$ н $\zeta_{4}$ будут вершанами серпа, образованного в области $\zeta, z_{3}$ и $z_{4}$ – соответствующие точки в области $z$. Каждая из этих двух точек представляел конец твердой стенки и начало свободной границы. Фиг. 1 наглядно воспроизводит области $\zeta$ и $z$; толстые линии на ней представляют твердыө стенки, тонкие линии – свободные границы; последние изображают форму струй, вытекающих из сосуда, форма же сосуда определяется первыми.

Отметим еще одну особенность, колорую имеют точки $z_{2}$ и $z_{4}$. Линин тока, проходящие через них, имеют в этих точках касательные; они параллельны линиям $\rho_{3}$ и $\rho_{4}$ плоскости $\zeta$. Однако $z_{3}$ и $z_{4}$ будут точками перегиба и притом единственными для этих линий тока; это следует из того, что всюду касательные параллельны линиям $\rho$, проведенным тереэ соответствующе точки плоскости $\zeta$. Мы предполагаем при этом, как показано на ф.гуре, что из точки $\zeta_{0}$ нельзя пговести ни одной касательной х дуге круга $\zeta_{3 \rightarrow 1}^{\zeta} \zeta_{4}$.

Найдем радиус кривизны в точках $z_{3}$ или $z_{4}$. Пусть $d l$ будет элемент линии тока и $d \varphi$-изменение потенциала скоростей на этом протяжении; так как $\frac{1}{\rho}$ есть скорость, то тогда
\[
d \varphi=\frac{1}{\rho} \text { или } d l=\rho d \varphi .
\]

Воспользуемся опять величиной $\mathcal{V}$, определенной уравнением (3); тогда для радиуса кривизны в $d l$ получим выражение
\[
\frac{\rho d \varphi}{d_{0}},
\]

или, так как для каждой линии тока $\psi$ постоянно и поэтому можно подставить $d w$ вместо $d \varphi$, придем к выражению
\[
\frac{\rho d w}{d_{\theta}} \text {. }
\]

Введем здесь $d \zeta$ вместо $d \vartheta$; вследствие уравнения (3) получим
\[
\lg \zeta=\lg \rho+i \vartheta
\]

следовательно,
\[
\underline{d \zeta}=\frac{d \rho}{p}+i d \vartheta .
\]

Если теперь мы предположим, что $d l$ принадлежит свободной границе струй, то $\rho=1$; следовательно, $d \rho=0$ и
\[
d \vartheta=-i \frac{d \zeta}{\zeta}
\]

поэтому приведенғое в (4) выражение радиуса кривизны станет
\[
i \zeta \frac{d w}{d \zeta} \text {. }
\]

Пусть точка $z$ бесконечно близка к точкам $z_{3}$ и $z_{4}$; следовательно, гочка $\zeta$ будет также бесконечно близка к точкам $\zeta_{3}$ и $\zeta_{4}$; тогда $\frac{d w}{d z}$ сде лается бесконечно малым в предположении, что угол при вершинах серпа на плоскости $\zeta$ меньше $\pi$, так как соответственные части областей $\zeta$ и $w$, для которых $\zeta$ отклоняется бесконечно мало от $\zeta_{3}$ и $\zeta_{4}$, можно рассматривать как части клина, которыє взаимно отображаются посредством соотношения, существующего между ш и $\zeta$. Отсюда следует, что рассматриваемые радиусы кривизны бесконечно малы ${ }^{40}$.

Если $d l$ принадлежит твердым стенкам, то $d \rho$ не равно нулю. Дифференцируя соотношение между $\rho$ и $\vartheta$, которое представляет вторую дугу круга, ограничивающую область $\zeta$, получим уравнение между $d \rho$ и $d \vartheta$, нз ссли вторая дуга перейдет в прямую линию; в этом случе уравнением ее будет $v=$ const, т. е. $d v=0$. Отсюда получается для радиуса кривизны выражение, содержащее $\frac{d w}{d \zeta}$ множителем и, следовательно, обращающееся в нуль, когда точка $z$ приходит в точку $z_{3}$ или $z_{4}$. Но в этом исключигельном случае радиус кривизны бесконечно велик и перескакивает от бесконечности к нулю, когда точка $z$ переходит через точку $z_{3}$ или $z_{4}$.
§ 8
Применим теперь вычисление, намеченное в предыдущем параграфе, к одному частному случаю. Пусть из двух окружностей, ограничивающих область $\zeta$, одна – полуокружность, для которой $\rho=1$, другая же имеет бесконечно большой радиус; точка $\zeta_{2}$ делит пополам полуокружность, и точка $\zeta_{1}$ лежит в бесконечности на прямой, проведенной через точки $\zeta=0$ и $\zeta_{2}$. На фиг. 2 представлены области $\zeta$ и $z$ для этого случая. На ней, кроме границ областей, показаны введенные нами оси $\xi, \eta$ и $x, y$.

Возьмем в качестве границ полосы, образующей область линии $w$,
\[
\psi=0 \text { и } \psi=\pi ;
\]

тогда, по данному в связи с выражением (14) предыдущей лекции правилу и по уравнению (16) той же лекции, имеем
\[
\left(\frac{\zeta-1}{\zeta+1}\right)^{2}=K \frac{e^{w}-C}{e^{w}-C^{\prime}} .
\]
$\Phi_{\text {иг. }} 2$
Для нахождения трех постоянных $C, C^{\prime}$ и $K$ мы имеем, по сделанному уже определению, два условия
\[
\begin{array}{ll}
\text { для } \zeta=-i \infty & \varphi=-\infty, \\
\text { для } \zeta=-i \quad \varphi=-\infty .
\end{array}
\]

K этому добавим произвольно третье
\[
\text { для } \zeta=1 \quad w=0 .
\]

Отсюда получим
\[
K=-1, C=1, C^{\prime}=-1 \text {; }
\]

следовательно,
\[
\left(\frac{\zeta-1}{\zeta+1}\right)^{2}=\frac{1-e^{\omega}}{1+e^{\omega}} .
\]

Отсюда определим $\zeta$ и получим квадратное уравнение
\[
(\zeta-1)^{2} \frac{e^{-\omega}+1}{2}-(\zeta+1)^{2} \frac{e^{-\omega}-1}{2}=0,
\]
1. e.
\[
\zeta^{2}-2 \zeta e^{-w}+1=0,
\]

откуда следует, что
\[
\zeta=e^{-w}+\sqrt{e^{-2 w}-1} .
\]

Определим знак перед корнем, приняв, что для $\varphi=\infty$ величина $\zeta$ должна быть бесконечной (но не нулем); этим корень определен для всей области $w$, так как мы знаем, что для этой области $\zeta$ есть однозначная функция $w$. Теперь по (3) имеем
\[
z=\int\left(e^{-w}+\sqrt{e^{-2 w}-1}\right) d w,
\]

где нижняя граница интеграла может быть выбрана пронзвольно и сделана равной нулю. Тогда точка $z=0$ соответствует точке $\zeta=1$; следовательно, есть точка, обозначенная через $z_{4}$. Интегрирование первого члена выражения, найденного для $z$, производится непосрсдственно; чтобы проинтегрировать второй, введем вместо $w$ переменную интегрирования $\sqrt{ } e^{-2 w}-1$.
Таким образом получим
\[
z=1-e^{-w}-\sqrt{e^{-2 w}-1}+\operatorname{arctg} \sqrt{e^{-2 w}-1},
\]

где $\operatorname{arctg}$ для $w=0$ обращается в иуль. Отсюда надо определить границы области $z$.
Если $\psi=0$ и $\varphi$ изменяется между 0 и – , то из (8) следует, что
\[
x=1-e^{-\varphi}-\sqrt{e^{-2 \varphi}-1}+\operatorname{arctg} \sqrt{e^{-2 \varphi}-1}, \quad y=0,
\]

где корень (как всякий действительный корень) положительный, и $\operatorname{arctg}$ лежит в первом квадранте. Это уравнение представляет отрицательную ось $x$, которая образует твердую стенку. Отсюда для $\varphi=-\infty$ и $\psi=0$ имеем
\[
x=1-2 e^{-\varphi}+\frac{\pi}{2}, \quad y=0 .
\]

Если $\varphi$ имеет постоянное бесконечно большое отрицательное значение, и $\psi$ возрастает от нуля до $\pi$, то
\[
\left.\begin{array}{c}
x=1-2 e^{-\varphi} \cos \psi+\frac{\pi}{2}, \\
y=2 e^{-\varphi} \sin \psi .
\end{array}\right\}
\]

При этом заключении мы предположили, что $\operatorname{arctg} u$, т. е.
\[
\int_{0}^{u} \frac{d u}{1+u^{2}}
\]

не изменяет своего значения, ксгда точка $u$ двигается по бесконечно удаленной прямой. Уравнение (9) представляет полуокружность, центр которой имеет координаты $x=1+\frac{\pi}{2}, y=0$, и радиус равен $2 e^{-\varphi}$. Через эту полуокружность жидкость течет к центру со скоростью, равной обратной величине ее радиуса. Для $\varphi=-\infty$ ү $\psi=\pi$ имеем
\[
x=1+2 e^{-\varphi}+{ }_{2}^{-}, y=0 .
\]

Если $\psi=\pi$ и $\varphi$ лежит между $-\infty$ и нулем, то
\[
x=1+e^{-\varphi}+\sqrt{e^{-2 \varphi}-1}+\pi-\operatorname{arctg} \sqrt{e^{-2 \varphi}-1}, \quad y=0,
\]

где опять $\operatorname{arctg}$ надо выбрать в первом квадранте. Эти уравнения представляют часть оси $x$ между точками $x=2+\pi$ и $x=\infty$; ось также должна быть твердой стенкой. Для $\psi=\pi, \varphi=0$, так же как для $\psi=0, \varphi=0$, как это вытекает из уравнения (7), $\frac{d \zeta}{d w}=\infty ; w=0$ и $w=\infty$ являются единственными двумя точками области $w$, в которых это имеет место. Отсюда следует, что точка $x=2+\pi, y=0$ должна быть обозначена через $z_{3}$. Если $\psi=\pi$ и р положительно, то, так как
\[
\operatorname{arctg} i u=i \frac{1}{2} \lg \frac{1+u}{1-u}
\]

и $y$ теперь должен быть отрицагельным, мы получим
\[
\begin{array}{l}
x=1+e^{-\varphi}+\pi, \\
y=\sqrt{1-e^{-2 \varphi}}-\frac{1}{2} \lg \begin{array}{c}
1+\sqrt{1-e^{-2 \varphi}} \\
1-\sqrt{1-e^{-2 \varphi}}
\end{array} . \\
\end{array}
\]

Эта линия есть свободная граница струй.
Для $\psi=\pi, \varphi=+\infty$ имеем
\[
x=1+\pi, y=1-\lg 2-\varphi .
\]

Пусть $\varphi$ будет постоянной бесконечно большой положительной величи. ной, а $\psi$ пусть убывает от л до нуля; тогда
\[
\begin{array}{c}
x=1+\psi ; \\
y=1-\lg 2-\varphi .
\end{array}
\]

Эти уравнения представляют линию длиной $\pi$, параллельную оси $x$, для которой $y=-\infty$. Через эту линию жидкость течет со скоростью, равной единице, в направлении отрицательной оси $y$.
Для $\varphi=+\infty$ и $\psi=0$ имеем
\[
x=1, y=1-\lg 2-\varphi .
\]

Положим, наконец, $\psi=0$ и $\varphi$ положительным; тогда получим
\[
\begin{array}{c}
x=1-e^{-\psi}, \\
y=\sqrt{1-e^{-2 \varphi}}-{ }_{2}^{1} \lg -\frac{1}{1-\sqrt{1-e^{-2 \varphi}}}
\end{array} .
\]

Представленная этими уравнениями линия есть вторая свободная граница струй. Положив в эгих уравнениях $\varphi=0$, мы возвратимся таким образом к точке $z=0$, от которой мы исходили при нахождении граниш области $z$.
$\S 4$
Перейдем теперь к задаче, для которой только чио рассмотренный слу. чай является частным. Область $w$ будет ограничена, как прежде, линиями
\[
\begin{array}{ll}
\psi=0, & \varphi=-\infty, \\
\psi=\pi, & \varphi=+\infty ;
\end{array}
\]

область же $\zeta$ ограничена дугой круга (описанного из точки $\zeta=0$ ради\” усом, равным единице), имеюще дллину $\alpha$; в концевых точках дуга $\zeta$ имеет значения $\zeta_{3}$ и $\zeta_{4}$. Эту область $\zeta$, на основании разъяснения, сделанного в связи с уравнением (9) предыдущей лекции, можно отобразить подстановхой
\[
Z=\zeta^{\frac{\pi}{4}}
\]

на область переменного $Z$, которая ограничена полукругом с радиусом, равным единице, продолжением радиусов, проведенных в его конечные точки, и бесконечно большой концентрической полуокрукностью. Значения, которые получает $Z$ для $\zeta=\zeta_{3}$ и $\zeta=\zeta_{4}$, мы обозначим через $Z_{3}$ и $Z_{4}$, так что
\[
Z_{3}=\zeta_{3}^{\frac{\pi}{a}}, \quad Z_{4}=\zeta_{4}{ }^{\frac{\pi}{a}} .
\]

Но область $Z$ на конечном расстоянии совпадает с областью $\zeta$, которую мы рассмотрели в предыдущем параграфе, а поэтому ее можно изобразить на области $w$ уравнением
\[
\left(\frac{Z-Z_{3}}{Z-Z_{4}}\right)^{2}=K \frac{e^{(t)}-C}{e^{\infty}-C^{\prime}},
\]

в которое перейдет уравнение (6). Отсюда следует такое соотношение между $\zeta$ и $ш:$
\[
\left(\frac{\zeta^{\frac{\pi}{\alpha}}-\zeta_{3}^{\frac{\pi}{a}}}{\zeta^{\frac{\pi}{\alpha}}-\zeta_{4}^{\frac{\pi}{a}}}\right)=K \frac{e^{w}-C}{e^{w}-C^{\prime}} .
\]

Обозначим опять через $\zeta_{1}$ и $\zeta_{2}$ произвольно выбранные точки границы эбласти $\zeta$, для которых $\varphi=-\infty$ и $\varphi=+\infty$; если сверх того мы
Фиг. 3

определим еще две точки границ областей $\zeta$ и ш как соответственные одна другой, то найдем постоянные $K, C, C^{\prime}$.

Возьмем точку $\zeta_{1}$ в бесконечности, $\zeta_{2}$ – на дуге круга, описанного радиусом, равным единице. Соответствующие области $\zeta$ и $z$ показаны на фиг. 3 .

Части области $z$, для поторых $\varphi=-\infty$ или $\varphi=+\infty$, лежат в бесконечности. Твердые стенки прямолинеӥны на всем протяжении и имеют направление $\rho_{3}$ и $\rho_{4}$. Струя в бесконечности имеет направление $\rho_{2}$ и ширину $\pi$.
Рассмотрим еще один особый относящийся сюда случай. Пуеть будет
\[
\alpha=2 \pi, \quad \zeta_{3}=\zeta_{4}=i, \quad \zeta_{2}=-i
\]

и для $w=0$
\[
\zeta=i, \quad z=0 .
\]

Фиг. 4
Области $\zeta$ и $z$ представлены на фиг. 4.

Применив уравнения (10), мы введем величины $\sqrt{\zeta_{3}}$ и $\sqrt{\zeta_{4}}$; хотя $\zeta_{3}$ и $\zeta_{4}$ равны между собой, корни $\sqrt{\zeta_{3}}$ и $\sqrt{\zeta_{4}}$ не будут равными-они противоположны. В самом деле, один из них можно перевести в другой по пути, лежащему в области точки $\zeta$. Поэтому, а также вследствие условий, что
\[
\begin{array}{rlrl}
\text { для } \varphi=-\infty & & \zeta=\infty, \\
\varphi=+\infty & \zeta=-i, \\
w=0 & \zeta=i,
\end{array}
\]

приведенное выше уравнение перейдет в
\[
\left(\frac{\sqrt{\zeta}-\sqrt{i}}{\sqrt{\zeta}+\sqrt{i}}\right)^{2}=\frac{1-e^{w}}{1+e^{w}},
\]
т. e.
\[
\zeta-2 \sqrt{\zeta} \sqrt{i} e^{-\omega}+i=0 .
\]

Сумма двух значений $\sqrt{\zeta}$, которую отсюда \”получим, \”равна $2 \sqrt{i} e^{-\infty}$, произведение их равно $+i$; сумма двух значений $\zeta$ равна $2 i\left(2 e^{-2 w}-1\right)$ и их произведение равно -1 . Поэтому для $\zeta$ имеем уравнение
\[
\zeta^{2}-2 \zeta i\left(2 e^{-2 t}-1\right)-1=0,
\]

из которого следует
\[
\zeta=\left(2 e^{-2 w}-1+2 e^{-w} \sqrt{e^{-2 w}-1}\right) .
\]

Знак входящего сюда корня определен тем, что при $\varphi=-\infty$ должно быть $\zeta=\infty$, но не $\zeta=-\infty$.
Сле довательно, из уравнения
\[
z=\int_{0}^{w} \zeta d w
\]

будем иметь
$\Phi_{\text {иг. }} 5$
\[
z=-i\left[e^{-2 \omega}+w-1+e^{-w} \sqrt{e^{-2 \omega}-1}-\lg \left(e^{-\omega}+\sqrt{e^{-2 \omega}-1}\right],\right.
\]

причем для $ә=0$ логарифм обращается в нуль.
Когда $\psi=0$ и $\varphi$ убывает от нуля до – $\infty$, то по предыдущему будет
\[
\begin{array}{c}
x=0, \\
y=-\left[e^{-2 \varphi}+\varphi-1+e^{-\varphi} \sqrt{e^{-2 \varphi}-1}-\lg \left(e^{-\varphi}+\sqrt{e^{-2 \varphi}-1}\right)\right] .
\end{array}
\]

Эти уравнения представляют отрицательную ось $y$.
Когда $\varphi$ имеет постоянное бесконечно большое отрицательное значение и $\psi$ возрастает от нуля до $\pi$, то
\[
\begin{array}{c}
x=-2 e^{-2 \varphi} \sin 2 \psi+2 \psi . \\
y=-2 e^{-2 \varphi} \cos 2 \psi-2 \varphi+1+\lg 2 .
\end{array}
\]

Если $\psi=\pi$ и $\varphi$ отрицательно, то
\[
\begin{array}{c}
x=2 \pi, \\
y=-\left[e^{-2 \varphi}+\varphi-1+e^{-\varphi} \sqrt{e^{-2 \varphi}-1}-\lg \left(e^{-\varphi}+\sqrt{e^{-2 \varphi}-1}\right)\right] .
\end{array}
\]

Эти уравнения представляют вторую твердую стенку, которая, следсвательно, находится на расс оянии $2 \pi$ от перзой. Ширлна струи на основании предыдущего о5щего исследования равна $\pi$.

Рассмотренный случай жидкой струи был впервые математически обработан Гельмгольцем *.

Цадим точке $\xi_{2}$ на круге $\rho=1$ другое положение, не вводя никаких других изменений в предположения, принятые на фаг. 5; тогда границы области $z$ будут такой формы, как представлено на фиг. 5. Эги границы пересекаются; соответственное им двлжение жидкости незозможно.
$\S 5$
Теперь сделаем относительно области ш другое предположение. Пусть область ю ограничена линиями
\[
\begin{array}{ll}
\psi=-\frac{\pi}{2}, & \varphi=-\infty, \\
\psi=+\frac{\pi}{2}, & \varphi=+\infty
\end{array}
\]

и обеими сторонами линии, для которой
\[
\psi=0 \text { и } \varphi>0 .
\]

Приводимое ниже исследозание покажет, что эту область можно также изобразить на серпе.

ОБласть, которая получится из этой, если не считать линию $\psi=0$, $\varphi>0$ принадлежащей границе, изобразим на круге плоскости $Z$ уравнением
\[
e^{w}=\frac{1+Z}{1-Z},
\]

причем так, что для
\[
\begin{array}{ll}
\varphi=-\infty, & Z=-1, \\
\varphi=+\infty, & Z=+1, \\
\omega=i \frac{\pi}{2}, & Z=i .
\end{array}
\]

Радиус круга в этом случае равен единице, его центр есть точка $Z=0$, которая соответствует точке $w=0$. Когда $\psi=0, \varphi>0, Z$ действительно и меньше единицы. Линии $\psi=0, \varphi>0$ соответствует радиус, проведенный из точки $Z=0$ в точку $Z=1$. Следовательно, уравнение (11) отображает область $w$, введенную в начале этого параграфа, на область переменного $Z$, которая ограничена упомянутым выше кругом и радиусом. Эту последнюю область при помощи соотношения
\[
Z=Z^{\prime}
\]

отобразим на полукруг радиуса $R=1$ в плоскости $Z^{\prime}$, как на серпе; угол при вершине этого серпа равен $\frac{\pi}{2}$, и для его вершины $Z^{\prime}= \pm 1$. Следа $\qquad$
* Monatsberichte der Bèrliner Akademie. April. 1868.

вательно, рассмотренная выше область $w$ отобразится на этом серпе соотношением
\[
e^{w}=\frac{1+Z^{\prime 2}}{1-Z^{\prime 2}}
\]

и, согласно разъяснению, сделанному в § 5 двадцать первой лекции, может быть отображена на всяком другом серпе, и притом так, что три любые точки его границы будут соответствовать трем любым точкам границы другого серпа.

В качестве границ области $\zeta$ возьмем опять полукруг радиуса, равного единице, и бесконечно большую дугу круга и примем, что если $\zeta_{1}, \zeta_{2}$, Ђs есть три точки полуокружности, то
\[
\begin{array}{ll}
\text { для } \quad \varphi=-\infty & \zeta=\zeta_{1}, \\
\psi<0, \varphi=+\infty & \zeta=\zeta_{2}, \\
\psi>0, \varphi=+\infty & \zeta=\zeta_{3} .
\end{array}
\]

В этом случае легко уяснить общий характер области $z$. На фиг. 6 представлены области $\zeta$, $\boldsymbol{z}$ и .
$\Phi_{\text {иг. }} 6$
Из бесконечности приходит струя, которая там имеет ширину $\pi$, скорость, равную единице, и направление радиуса $\rho_{1}$; в бесконечность уходят две струи, которые там имеют ширину ${ }_{2}^{\pi}$, скорость, равную единице, и направления $\rho_{2}$ и $\rho_{3}$. Границы первой струи переходят во внешние траницы последних по линиям, соответствуюцм дугам круга $\zeta_{1}$ и $\zeta_{1} \zeta_{3}$. Внутренние границы двух струй, уходящхх в бесконечность, переходят одна в другую по линии, которая является частично свободной границей, частично твердой стенкой. Концы последней соответствуют вершинам обВся стенка находится на конечном расстоянии и представляет прямую, параллельную бесконечно большой дуге границы области $\zeta$, поскольку последняя лежит на конечном расстоянии. В этой области находится точка, соответствующая точке $w=0$, где скорость равна нулю, и линия тока раздваивается.

Изучим подробнее еще один случай, хотя частично мы его уже рассматривали.

Пусть границами области $\zeta$ будут те границы, которые представлены на фиг. 6, но область $w$ будет бесконечной плоскостью, которая ограничена двумя сторонами линии $\psi=0, \varphi>0$. При этом пусть будет для
\[
\begin{array}{ll}
w=\infty & \zeta=-i, \\
w=1 & \zeta= \pm 1
\end{array}
\]

последнее условие выполнено, так как точка $w=1$ встречается дважды в границе области $w$ и поэтому должна соответствовать двум точкам области $\zeta$. Соотношение между ш и $\zeta$, с помощью которого области обоих переменных отображаются одна ңа другую, легко найти из следующего рассуждения. Соотношением
\[
w=Z^{2}
\]

область $w$ будет отображена на полуплоскости $Z$ таким образом, что для
\[
\begin{array}{ll}
w=\infty & Z=\infty, \\
w=1 & Z= \pm 1 .
\end{array}
\]

Эта область $Z$ есть круг бесконечно большого радиуса; на нем серп, воспроизводящий область $\zeta$, изобразится при помощи соотношения
\[
\left(\frac{1-\zeta}{1+\zeta}\right)^{2}=\frac{1-z}{1+Z}
\]

так что будет
\[
\begin{array}{l}
\zeta=-i, \quad Z=\infty, \\
\zeta=+1, \quad Z=+1, \\
\zeta=-1, \quad Z=-1 .
\end{array}
\]

Отсюда получим соотношение между $\zeta$ и w
\[
\left(\frac{1-\zeta}{1+\zeta}\right)^{2}=\frac{1-\sqrt{w}}{1+\sqrt{w}} .
\]

Отсюда найдем
\[
\zeta^{2}-2 \zeta \frac{1}{\sqrt{w}}+1=0
\]

следовательно,
\[
\zeta=\frac{1}{\sqrt{w}}+\sqrt{\frac{1}{w}-1} .
\]

Определим знак второго корня (из двух значений, входящих сюда), приняв, что $\zeta=-i$ для $w=\infty$; знак первого же определится тем, что для $\omega=0 \zeta$ бесконечно, а не равно нулю, так как в области $\zeta$ нет значений, модуль которых был бы меньше единицы. Положив еще, что $z$ и w обра: щаются в нуль одновременно, мы получим из (12)
\[
z=2 \sqrt{w}+w \sqrt{\frac{1}{w}-1}+\arcsin \sqrt{w},
\]

где $\arcsin$ равен нулю для $w=0$. Для твердой стенки $\sqrt{w}$ действителен и изменяется от -1 до +1 ; следовательно, для нее $y=0$, а $x$ изменяется между
\[
-2-\frac{\pi}{2} \text { и } 2+\frac{\pi}{2} \text {. }
\]

Фиг. 7 представляет для рассматриваемого случая области $\boldsymbol{,} \zeta$ и $z$.

Поток бесконечно большой ширины, всюду имеющий в бесконечности скорость, равную единице, и направление отрицательной оси $y$, встречает стенку шириной $4+\pi$, перпендикулярную к оси $y$; по свободным граиицам, идущим от концов стенки, он соприкасается с покоящейся жидкостью.
§ 6
Теперь мы произведем исследование давления, испытываемого твердой стенкой при таком движении жидкости, какое было изучено в данной лекции. Давление $p$ в какой-нибудь точке движущейся жидкости: определим из уравнения (1):
\[
p=C-\frac{1}{2}\left[\left(\frac{\partial \varphi}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial \Phi}{\partial y}\right)^{2}\right],
\]

или
\[
p=C-\frac{1}{2} \frac{1}{\rho^{2}} .
\]

В покоящейся жидкости давление постоянно; \”г мы обозначим его че рез $C_{0}$. На свободной границе движущейся и покоящейся жидкости, по обе ее стороны, давление одинаково и равно $p=1$. Отсюда следует, чте
\[
C_{0} \doteq C-\frac{1}{2} \text {, }
\]

гак что
\[
p=C_{0}+\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right) \text {. }
\]

Пусть теперь $d l$ будет элементом стенки, которая с одной сторонь соприкасается с движущейся жидкостью, а с другой – с покоящейся. Превышение давления первой жидкости над давлением второй, которое испытывает стенка, мы будем называть для краткости давлением на элемент $d t$ :
\[
\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{\rho^{2}}\right) d l \text {. }
\]

Чтобы с помощью этого выражения вычислить давление на конечную часть стенки или на всю стенку, целесообразно ввести как переменную интегрирования $w$. Как мы уже видели в конце $\S 2, d l=\rho d \varphi$, или, так как для стенки $\psi=0$, то $d l=p d w$. При этом заметим, что $d \varphi$ и $d w$, так же как $d l$, должны быть взяты положительными. Тогда давление. испытываемое элементом $d l$, равно
\[
\frac{1}{2}\left(\rho-\frac{1}{\rho}\right) d w .
\]

Для дальнейшего вычисления мы ограничимся случаем, когда стенка прямая и параллельна оси $x$. Тогда на ней $\zeta$ действительно, и, следовательно,
\[
\rho= \pm \zeta,
\]

где знак должен быть определен условием, что $\rho$ положительно.
Следовательно, давление, испытываемое всей стенкой, равно
\[
\int \pm \frac{1}{2}\left(\zeta-\frac{1}{\zeta}\right) d w
\]

где интегрирование распространено на всю стенку, и знак должен быть выбран так, чтобы все элементы интеграла были положительны.
В случае, изображенном на фиг. 5, вследствие уравнения (12) имеем
\[
\frac{1}{2}\left(\zeta-\frac{1}{\zeta}\right)=\sqrt{w-1} .
\]
вление, испытываемое стенкой, в этом случае равно $\pi$.
§ 7
Теперь, наконец, мы освободились от некоторых предположений, сделанных в этой лекции с целью упрощения формул.

В уравнәнии, представляющем движение жидкости рассматриваемого вида, введем ${ }_{n}^{w}$ вместо $w$, где $n$ – положлтельноз постоянное; тогда новое уравнение представит движение, в котором лхнии тока останутся прежними, скорость всюду будет пропорциональна $n$, давление, испытываемое стенкой, пропорционально $n^{2}$.

Введем в то же уравнение ${ }_{m}^{z}$ и ${ }_{m}^{w}$ вместо $z$ и $w$, где $m$ опять положительное постоянное: тогда это видоизмененное уравнение представит новое движение, в котором линии тока подобны прежним, а скорость в соответственных точках та же. Линейные размеры линий тока пропорциональны $m$, также пропорционально $m$ и давление, испытываемое стенкой.

Если плотность жидкости равна не единице, а $\mu$, то давление, испытываемое стенкой, пропорционально $\mu$. Возвратимся еще раз к исследованию течения, изображенного на фиг. 5, но положим, что $l$ есть длина стенки, $v$-скорость движения жидкости на свободной границе или в бесконечности, $\mu$-плотность жидкости. Тогда давление, испытываемое твердой стенкой, равно
\[
\mu v^{2} \frac{l \pi}{4+\pi} .
\]