$\S 1$

Обратимся теперь к исследованию равновесия и движения упругого твердого тела. Общие дифференциальные уравнения для этой задачи, при известных предположениях, уже составлены в $₹ 7$ одиннадцатой лекции. Сохраним эти предположения и сделаем выводы из приведенных уравнений. Принятые там обозначения применим и здесь, только перемещения $\xi, \eta, \zeta$ будем обозначать здесь через $u, v$, w. Таким образом, представим себе тело, точки которого могут быть приведены в такое относительное положение, что совокупные компоненты давления на них равны нулю. Состояние, в котором тело тогда находится, мы назовем естествгнным. Обозначим через $x, y, z$ координаты точки тела, когда оно находится в каком-нибудь положении в своем естественном состоянии, а через $x+u$, $y+v, z+w$ – координаты той же точки в момент $t ; u, v$, w-бесконечно малы. Положим
\[
\begin{array}{l}
x_{x}=\frac{\partial u}{\partial x}, \quad y_{z}=z_{y}=\frac{\partial v}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial y}, \\
y_{y}=\frac{\partial v}{\partial y}, \quad z_{x}=x_{z}=\frac{\partial w}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial z}, \\
z_{z}=\frac{\partial w}{\partial z}, \quad x_{y}=y_{x}=\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}
\end{array}
\]

и обозначим через $f$ некоторую однородную функцию второй степени шести аргументов $x_{x}, y_{y}, \ldots$ с постоянными коэффициентами; тогда получим
\[
\begin{array}{ll}
X_{x}=\frac{\partial f}{\partial x_{x}}, & Y_{z}=Z_{y}=\frac{\partial f}{\partial y_{z}}, \\
Y_{y}=\frac{\partial f}{\partial y_{y}}, \quad Z_{x}=X_{z}=\frac{\partial f}{\partial z_{x}}, \\
Z_{z}=\frac{\partial f}{\partial z_{z}}, \quad X_{y}=Y_{x}=\frac{\partial f}{\partial x_{y}}
\end{array}
\]

и
\[
\begin{array}{c}
\mu \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=\mu X-\frac{\partial X_{x}}{\partial x}-\frac{\partial X_{y}}{\partial y}-\frac{\partial X_{z}}{\partial z}, \\
\mu \frac{\partial^{2} v}{\partial t^{2}}=\mu Y-\frac{\partial Y_{x}}{\partial x}-\frac{\partial Y_{y}}{\partial y}-\frac{\partial Y_{z}}{\partial z}, \\
\mu \frac{\partial^{2} w}{\partial t^{2}}=\mu Z-\frac{\partial Z_{x}}{\partial x}-\frac{\partial Z_{y}}{\partial y}-\frac{\partial Z_{z}}{\partial z},
\end{array}
\]

где $\mu$-плотность, $X, Y, Z$-компоненты ускоряющей силы, действующей в точке $(x, y, z)$. Функция $f$ при этом обладает таким свойством, что $\int f d \tau$ (где $d \tau$-элемент объема) есть потенциал сил, зависящих от относительного перемещения частей тела, т. е. сил, которые мы уже назвали внутреннижи. Из этого замечания следует, что значение $f$ для какого-нибудь состояния бесконечно малой части тела, содержащей точку $(x y, z)$, не зависит от принятой системы координат, но коэффициеннты, входящие в $f$, которые называются постоянными упругости, обусловлэны направлением координатных осей. Число этих постоянных, вообще говоря, 21 , но если тело симметрично и направления осей координат выбраны надлежащим образом, то число их может быть значительно уменьшено.
Положим
\[
\begin{array}{c}
f=a_{11} x_{x}^{2}+2 a_{12} x_{x} y_{y}+2 a_{13} x_{x} z_{z}+2 a_{14} x_{x} y_{z}+2 a_{15} x_{x} z_{x}+2 a_{16} x_{x} x_{y}+ \\
+a_{22} y_{y}^{2}+2 a_{23} y_{y} z_{z}+2 a_{24} y_{y} y_{z}+2 a_{25} y_{y} z_{x}+2 a_{26} y_{y} x_{y}+ \\
+\cdots \\
+\cdots
\end{array}
\]

и будем считать, что в отношении упругости тела плоскость $O x y$ есть плоскость симметрии, если выражение $f$ не изменится, когда ось $z$ примет противоположное направление. Если направление оси $z$ изменится на противоположное, то $z$ и $w$ примут противоположное значение, $x, y, u$, $v$ не изменятся. Поэтому вследствие уравнений (1) $x_{x}, y_{y}, z_{z}, x_{y}$ сохранят свое первоначальное значение, но $y_{z}$ и $z_{x}$ изменят знак на обратный. При этом выражение (4), определяющее $f$, для которого $x_{x}$ являются аргументами, должно остаться без изменения, т. е.
\[
\begin{array}{llll}
a_{14}, & a_{23}, & a_{34}, & a_{46}, \\
a_{15}, & a_{25}, & a_{35}, & a_{56}
\end{array}
\]

должны обратиться в нуль. Поэтому, если плоскость $x O y$ есть плоскость симметрии, то
\[
\begin{array}{c}
f=a_{11} x_{x}^{2}+2 a_{12} x_{x} y_{y}+2 a_{13} x_{x} z_{z}+2 a_{16} x_{x} x_{y}+ \\
+a_{22} y_{y}^{2}+2 a_{23} y_{1 j} z_{z}+2 a_{26} y_{y} x_{y}+a_{33} z_{z}^{2}+2 a_{36} z_{z} x_{y}+a_{66} x_{y}^{2}+ \\
+a_{44} y_{z}^{2}+2 a_{45} y_{z} z_{x}+a_{55} z_{x}^{2}
\end{array}
\]

Если плоскости $x, y$ и $y, z$ – плоскости симметрии, то
\[
\begin{array}{c}
f=a_{11} x_{x}^{2}+a_{22} y_{y}^{2}+a_{33} z_{z}^{2}+a_{44} y_{z}^{2}+a_{55} z_{x}^{2}+a_{66} x_{y}^{2}+ \\
+2 a_{23} y_{y} z_{z}+2 a_{13} z_{z} x_{x}+2 a_{12} x_{x} y_{y}
\end{array}
\]

откуда следует, что тогда плоскость $z O x$ есть также плоскость симметрии.
Если три координатные плоскости суть плоскости симметрии, следовательно, имеет место уравнение (6), и если это уравнение удовлетворяется также при перестановке осей $x$ и $y$, то плоскости $y, z$ и $z, x$

следует называть равнозначными плоскостями симметрии. При перестановке осей $x$ и $y$, $x_{x}$ и $y_{y}$, так же как $z_{x}$ и $y_{z}$ перейдут одно в другое, в то время как $z_{z}$ и $x_{y}$ останутся неизменными; при этом данное (6) выражение $f$ не должно изменяться; следовательно, должно быть
\[
a_{11}=a_{22}, a_{14}=a_{55}, a_{13}=a_{23} .
\]

Отсюда следует, что если три плоскости координат будут равнозначными плоскостями симметрии, то
\[
f=a_{11}\left(x_{x}^{2}+y_{y}^{2}+z_{z}^{2}\right)+2 a_{23}\left(y_{y} z_{z}+z_{z} x_{x}+x_{x} y_{y}\right)+a_{44}\left(y_{z}^{2}+z_{x}^{2}+x_{y}^{2}\right) .
\]

Примером такого случая является каменная соль *.
Тело называется изотропным, если выражение $f$ одинаково в каждой системе координат. Чтобы найти выражение $f$ для такого тела, мы можем исходить из выражения (7), в котором искомый случай содержится как частный.

Заменим в уравнении (7) постоянные $a_{11}, a_{23}, a_{44}$ другими постоянным и $K, \theta, L$; тогда будем иметь
\[
\begin{array}{c}
f=-K\left[x_{x}^{2}+y_{y}^{2}+z_{z}^{2}+\frac{1}{2} y_{z}^{2}+\frac{1}{2} z_{x}^{2}+\frac{1}{2} x_{y}^{2}+\theta\left(x_{x}+y_{y}+z_{z}\right)^{2}\right]+ \\
+L\left(x_{x}^{2}+y_{y}^{2}+z_{z}^{2}\right) .
\end{array}
\]

Заметим, что
\[
x_{x}+y_{y}+z_{z}
\]

ต
\[
x_{x}^{2}+y_{y}^{2}+z_{z}^{2}+\frac{1}{2} y_{z}^{2}+\frac{1}{2} z_{x}^{2}+\frac{1}{2} x_{y}^{2}
\]

останутся неизменными при перемене системы координат; чтобы доказать это утверждение, мы введем главные удлинения, обозначив величины их через

а через
\[
\begin{array}{c}
\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}, \\
\alpha_{1}, \beta_{1}, \gamma_{1}, \alpha_{2}, \beta_{2}, \gamma_{2}, \alpha_{3}, \beta_{3}, \gamma_{3}
\end{array}
\]

обозначим косинусы углов, которые образуют направления этих и главных удлинений с осями координат. Тогда, по уравнениям (21) десятой лекции и (27a) одиннадцатой, имеем
\[
\begin{aligned}
x_{x} & =\alpha_{1}^{2} \lambda_{1}+\alpha_{2}^{2} \lambda_{2}+\alpha_{3}^{2} \lambda_{3}, \\
y_{y} & =\beta_{1}^{2} \lambda_{1}+\beta_{2}^{2} \lambda_{2}+\beta_{3}^{2} \lambda_{3}, \\
z_{z} & =\gamma_{1}^{2} \lambda_{1}+\gamma_{2}^{2} \lambda_{2}+\gamma_{3}^{2} \lambda_{3}, \\
\frac{1}{2} y_{z} & =\beta_{1} \gamma_{1} \lambda_{1}+\beta_{2} \gamma_{2} \lambda_{2}+\beta_{3} \gamma_{3} \lambda_{3}, \\
\frac{1}{2} z_{x} & =\gamma_{1} \alpha_{1} \lambda_{1}+\gamma_{2} \alpha_{2} \lambda_{2}+\gamma_{3} \alpha_{3} \lambda_{3}, \\
\frac{1}{2} x_{y} & =\alpha_{1} \beta_{1} \lambda_{1}+\alpha_{2} \beta_{2} \lambda_{2}+\alpha_{3} \beta_{3} \lambda_{3},
\end{aligned}
\]

откуда при помощи соотношений, существующих между величинами $\alpha, \beta$, $\gamma$, вытекает правильность нашего утверждения. Одновременно мы убеждаемся, что выражение в уравнении (8), умноженное на $L$, зависит от направления осей координат. Чтобы уравнение (8) выполнялось в каждой
* Untersuchung der Elasticitätsverhältnisse des Steinsalzes. Inauguraldissertation von Woldemar Voigt, 1874.

системе осей координат, необходимо
\[
L=0 .
\]

Таким образом мы пришли к такому же выражению для изотропного тела, какое уже было дано уравнением (30) одиннадцатой лекции.
$\S 2$
Для случая равновесия уравнения (3) перейдут в более простые
\[
\begin{array}{l}
\mu X=\frac{\partial X_{x}}{\partial x}+\frac{\partial X_{y}}{\partial y}+\frac{\partial X_{z}}{\partial z}, \\
\mu Y=\frac{\partial Y_{x}}{\partial x}+\frac{\partial Y_{y}}{\partial y}+\frac{\partial Y_{z}}{\partial z}, \\
\mu Z=\frac{\partial Z_{x}}{\partial x}+\frac{\partial Z_{y}}{\partial y}+\frac{\partial Z_{z}}{\partial z} .
\end{array}
\]

К этому добавляется следующее условие: если даны давления, действующие на элементы поверхности тела, то для этих элементов компоненты $X_{n}, Y_{n}, Z_{n}$ (где по-прежнему через $n$ обозначена направленная внутрь тела нормаль) полностью определяются. Кроме того, эти значения и значения $X, Y, Z$ должны удовлетворять шести известным соотношениям, а именно: суммы их компонент и моментов относительно осей координат должны обращаться в нуль, как это вытекает из уравнений (1) и (2) одиннадцатой лекции.

Величины $u, v$, w этими условиями еще не вполне определены; они входят как в уравнения (9), так и в граничные условия только через $x_{x}$, $y_{y}, z_{z}, y_{z}, z_{x}, x_{y}$. Если положим, что последние определены, то $u$, $v$, w надо будет найти из дифференциальғых уравнений (1). Когда будут найдены выражения для $u, v, w$, удовлетворяющие этим уравнениям, к ним можно добавить соответственно $u^{\prime}, v^{\prime}, w^{\prime}$, если
\[
\begin{array}{ll}
0=\frac{\partial u^{\prime}}{\partial x}, & 0=\frac{\partial v^{\prime}}{\partial z}+\frac{\partial \omega^{\prime}}{\partial y}, \\
0=\frac{\partial v^{\prime}}{\partial y}, & 0=\frac{\partial w^{\prime}}{\partial x}+\frac{\partial u^{\prime}}{\partial z}, \\
0=\frac{\partial w^{\prime}}{\partial z}, & 0=\frac{\partial u^{\prime}}{\partial y}+\frac{\partial v^{\prime}}{\partial x} .
\end{array}
\]

Легко найти самое общее решение этих уравнений. Действительно, дифференцируя каждое из них еще раз по $x, y$ и $z$, мы получим, что совокупность вторых производных $u^{\prime}, v^{\prime}, w^{\prime}$ по $x, y, z$ обращается в нуль; поэтому $u^{\prime}, v^{\prime}, w^{\prime}$ будут линейными функциями $x, y, z$ с постоянными коэффициентами. Подставляя эти функции в (10), мы найдем между этими коэффициентами такие соотношения
\[
\begin{aligned}
u^{\prime} & =a_{0}+b z-c y, \\
v^{\prime} & =b_{0}+c x-a z, \\
w^{\prime} & =c_{0}+a y-b x,
\end{aligned}
\]

где $a_{0}, b_{0}, c_{0}, a, b, c$-произвольные постоянные. Изменение состояния тела, соответствующее прибавлению этих выражений к $u$, v, w, согласно разъяснению, сделанному в пятой лекции, состоит из смещения и вращения вокруг начала координат, компоненты которых соответственно $a_{0}, b_{0}$, $c_{0}$ и $a, b, c$. Иначе говоря, изменению величин $a_{0}, b_{0}, c_{0}, a, b, c$ соответствует изменение положения тела и перемещение его в естественное состояние из того положения, для которого были вычислены перемещения $u, v, w$. Если $u, v$, w должны быть определены вполне, когда определены $x_{x}, y_{y}, \ldots$, то должны быть еще установлены условия для определения шести постоянных $a_{0}, b_{0}, c_{0}, a, b, c$. Такими условиями будут, например, условия, что для $x=0, y=0, z=0$ будет
\[
\begin{aligned}
u=0, & v=0, & & w=0, \\
\frac{\partial u}{\partial z}=0, & \frac{\partial v}{\partial z}=0, & & \frac{\partial v}{\partial x}=0 .
\end{aligned}
\]

Из трех первых условий следует, что начало координат не получает никакого перемещения; значения же трех последних легко уясняются при помощи уравнений (7) десятой лекции. При принятых там обозначениях, как показывают уравнения (27a) одиннадцатой лекции, три последних из уравнений (11) будут
\[
a_{13}=0, \quad a_{23}=0, \quad a_{21}=0 ;
\]

поэтому уравнения (7) десятой лекции примут вид
\[
\begin{array}{l}
r^{\prime} \alpha^{\prime}=r\left(a_{11} \alpha+a_{12} \beta\right), \\
r^{\prime} \beta^{\prime}=\quad r a_{22} \beta, \\
r^{\prime} \gamma^{\prime}=r\left(a_{31} \alpha+a_{32} \beta+a_{33} \gamma\right) .
\end{array}
\]

Откуда следует, во-первых: если $\alpha=0$ и $\beta=0$, то $\alpha^{\prime}=0$ и $\beta^{\prime}=0$, т. е. линейный элемент, параллельный оси $z$ и проходящий через начало координат, не претерпевает вращения; во-вторых: если $\beta=0$, то также $\beta^{\prime}=0$, т. е. элемент площади, параллельный плоскости $z O x$, проходящий через начало координат, остается параллельным себе.

Если бы мы пожелали в уравнениях (1) принять $x_{x}, y_{y}, \ldots$ за произвольные функции $x, y, z$, то, так как эти уравнения содержат только три функции $u, v$, $w$, подлежащие определению, возникает некоторое противоречие. Заметим, что они совместны всегда, когда $x_{x}, y_{y}, \ldots$ не зависят от $x, y, z$, хотя имеют произвольные значения. Действительно, пусть $u, v, w-$ линейные функции $x, y, z$; тогда двенадцать коэффициентов можно определть так, чтобы $x_{x}, y_{y}, \ldots$ получали любые данные значения и одновременно были удовлетворены условия (11).

Мы воспользуемся этим замечанием, чтобы вывести важное свойство функции $f$, которое до сих пор не было упомянуто. Предположим, что когда на части тела не действуют никакие силы и на его поверхностьникакие давления, и тело подчинено условиям (11), оно находится в устойчивом равновесии, если всюду $u=0, v=0$, $=0$. Тогда, согласно значению $f$ из’§ 2 четвертой лекции при условиях (11), интеграл
\[
\int f d \tau
\]

должен иметь максимум, если всюду $u=0, v=0$, w $=0$, т. е. если всюду $x_{x}, y_{y}, \ldots$ обращ „огся в нуль. Этот максимум также должен иметь место, если $x_{x}, y_{y}$… подлежат ограничению, а именно: что они не зависят от $x, y, z$, но значения их остаются произвольными. Поэтому $f$ должно иметь максимум для $x_{x}=0, y_{y}=0, \ldots$, если рассматривать $x_{x}, y_{y}, \ldots$ как незавлсимые переменные. Так как $f$ есть однородная функция указанных аргументов, то это выражение равнозначно следующему: $f$ не может быть положительным и обращхется в нуль только при обращении в нуль каждого из его аргументов. Последним свойством $f$ не обладает, если тело представляет сжммемую жидкость без трения. Мы мэжем рассиатривать таковую как изотропное тело, для которого постоянные $K$ и $\theta$, взеденные для изотропного тела, имеют такие значения, что $K^{\prime}=0$ и $K \theta$ конечно. В этом случае $f$ обращается в нуль всегда, когда $x_{x}+y_{y}+z_{z}=0$.

Из того, что $f$ никогда не положительно и обращается в нуль только когда каждый из аргументов равен нулю, следует далее, что $u, v, w$ будут определены однозначно уравнениями (9), а также условиями, что на поверхости $X_{n}, Y_{n}, Z_{n}$ имеют заданные значения, и уравнением (11). Чтобы доказать это, надо только показать, что эти условия приведут к $\iota=0, v=0, w=0$, если $X, Y, Z, X_{n}, Y_{n}, Z_{n}$ всюду обращаются в нуль. Для этого сложим уравнения (9) после умножения их на $u d \tau, v d \tau$, $\varpi d \tau$ и проинтегрируем по объему тела. С полученным таким образом уравнением проделаем преобразование, подобное приведшему нас к уравнению (18) одиннадцатой лекции. Тогда, пользуясь тем, что
\[
2 f=X_{x} x_{x}+Y_{y} y_{y}+Z_{z} z_{z}+Y_{z} y_{z}+Z_{x} z_{x}+X_{y} x_{y},
\]

найдем для данного случая
\[
\int f d \tau=0 .
\]

Но отсюда следует, на основании свойства, которым обладает $f$, что $x_{x}$, $y_{y}, \ldots$ всюду обращаются в нуль, и потом далее, что $u$, $v$, $w$ также всюду обращаются в нуль.

Если устранить условия (11), то уравнения (9) и значения $X_{n}, Y_{n}, Z_{n}$ определят, как мы будем выражаться, состояние тела, именно относительное смещение его частей, в то время как положение тела останется неизвестным.
§ 3
Если силы $X, Y, Z$ обращаются в нуль, то уравнения (9) примут вид
\[
\begin{array}{l}
0=\frac{\partial X_{x}}{\partial x}+\frac{\partial X_{y}}{\partial y}+\frac{\partial X_{z}}{\partial z}, \\
0=\frac{\partial Y_{x}}{\partial x}+\frac{\partial Y_{y}}{\partial y}+\frac{\partial Y_{z}}{\partial z}, \\
0=\frac{\partial Z_{x}}{\partial x}+\frac{\partial Z_{y}}{\partial y}+\frac{\partial Z_{z}}{\partial z} .
\end{array}
\]

Составим частные решения этих уравнений, совместимые с условиями (1).
Мы получим такое решение, если шесть компонент давления $X_{x}, Y_{y}, \ldots$ приравняем любым постоянным. Действительно, тогда величины $x_{x}, y_{y}, \ldots$ сделаются постоянными, и, как мы уже это видели в предыдущем параграфе, уравнения (1) в этом случае будут удовлетворены и $u$, $v$, w окажутся линейными функциями $x, y, z$. Пэследнее обстоятельство указывает, что при таком предположении изменение, которое тело претерпевает при переходе из своего естественного состояния, является таким, что новые координаты каждой его точки будут линейными функциями старых, так что каждая плоскость перейдет в плоскость, каждый шар – в эллипсоид.
Пусть будут
\[
\begin{array}{l}
X_{x}=Y_{y}=Z_{z}=p, \\
Y_{z}=Z_{x}=X_{y}=0,
\end{array}
\]

где $p$-постоянная; тогда каждый элемент плоцади внутри тела и каждый элемент его поверхности испытывает перпендикулярное давление, равное $p$. При произвольной форме тела этот случай осуществляется, когда тело погружено в жидкость, на которую производится увеличенное давление; влиянием тяжести при этом пренебрегаем. В этом случае, вообще говоря, тело не остается себе подобным; это имеет место, только если
тело изотропно или если тело имеет три равнозначных взаимно перпендикулярных плоскости симметрии. Под всесторонней сжимаемостью тела мы будем понимать объемное расширение для $p=1$, взятое с обратным знаком. Для изотропного тела (исходя из уравнений (28) одиннадцатой лекции) всестороннюю сжимаемость положим равной
\[
\frac{3}{2 K(1+3 \theta)} \text {. }
\]

Если
\[
X_{x}, Y_{y}, X_{y}, Y_{z}, Z_{x}
\]

обращаются в нуль и $Z_{z}$ имеет постоянное значение, то любой элемент плсщади, пағаллельный оси $z$, не исгыпығает никакого давлєния, а элемент, перпендикулярный к этой оси, испытывает перпендикулярное давление $Z_{z}$. Этот случай осуществляется, когда тело имеет форму прямого параллельного оси $z$ цилиндра с произвольным поперечным сечением, причем боковая поверхность его остается свободной, а на каждый элемент площади оснований производится перпендикулярное постоянное давление Тогда значение выражения
\[
-\frac{Z_{z}}{z_{z}}
\]

называется козффициентол упругости вещества в направлении оси $z$; он всегда зависит от направления оси $z$, кроме случая, когда тело изотропно. Для изотропного тела, вследствие уравнений (28), он равен
\[
\begin{array}{c}
2 K \frac{1+3 \theta}{1+2 \theta} . \\
\text { § } \mathbf{4}
\end{array}
\]

Если тело изотропно, то нетрудно найти самое общее решение уравнений (12), совместимое с условиями (1) при
\[
X_{x}=0, X_{y}=0, Y_{y}=0 .
\]

Если, кроме того, тело ограничено цилиндрической поверхностью, параллельной оси $z$, и ее двумя поперечными сечениями, то это решение можно приспособить к случаю, когда циллиндрическая поверхность свободна и на элементы поперечного сечения действуют давления, суммы компонент которых и моменты заданы произвольно. Такое решение имеет особенную важность, потому что оно характеризует с большсй точностью изменение формы цилиндрического стержня, на концы которого действуют произвольные давления; необходимо только, чтобы длина стержня была велика по сравнению с размерами поперечного сечения. В двух следующих лекциях мы будем подробно заниматься вопросами изменения формы тонкого стержня, причем прежде всего введем предположение, что размеры его поперечного сечения бесконечно малы, в то время как длина конечна. Исследования, которые мы сейчас произведем, с одной точки зрения имеют более частный, а с другой- солее общий характер, чем последующие.

Чтобы получить указанное решение, установим сперва, какие соотношения должны быть между шестью величинами $x_{x}, y_{y}, \ldots$, чтобы были выполнены уравнения (1); мы получим последние, установив уравнения, из которых должны быть вычислены по $x_{x}, y_{y}, \ldots$ функции $u, v$, w, если они существуют. Представим себе, что из точки ( $x=0, y=0, z=0$ ), которую возьмем внутри тела, проведена произвольная линия в точку $(x, y, z)$. Проекции элемента єе на оси косрдинат осозначим через $d x, d y$, $d z$. Если $u_{0}$ есть значение $u$ при $x=0, y=0, z=0$, то тогда имеем
\[
u=u_{0}+\int\left(\frac{\partial u}{\partial x} d x+\frac{\partial u}{\partial y} d y+\frac{\partial u}{\partial z} d z\right) \text {. }
\]

Здесь надо рассматривать $\frac{\partial u}{\partial x}$ как непосредственно заданное, потому что оно равно $x_{x}$, а $\frac{\partial u}{\partial y}$ и $\frac{\partial u}{\partial z}$ надо прежде всего вычислить. Из уравнений (1) легко следует, что
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}=\frac{\partial x_{x}}{\partial y}, \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=\frac{\partial y_{x}}{\partial y}-\frac{\partial y_{y}}{\partial x}, \frac{\partial^{2} u}{\partial y \partial z}=\frac{1}{2}\left(-\frac{\partial y_{z}}{\partial x}+\frac{\partial z_{x}}{\partial y}+\frac{\partial x_{y}}{\partial z}\right) \\
\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial z}=\frac{\partial x_{x}}{\partial z}, \frac{\partial^{2} u}{\partial y \partial z}=\frac{1}{2}\left(-\frac{\partial y_{z}}{\partial x}+\frac{\partial z_{x}}{\partial y}+\frac{\partial x_{y}}{\partial z}\right), \frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}=\frac{\partial z_{x}}{\partial z}-\frac{\partial z_{z}}{\partial x} .
\end{array}
\]

Эти значения должны быть подставлены в уравнения
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial u}{\partial y}=\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)_{0}+\int\left(\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y} d x+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} d y+\frac{\partial^{2} u}{\partial y \partial z} d z\right), \\
\frac{\partial u}{\partial z}=\left(\frac{\partial u}{\partial z}\right)_{0}+\int\left(\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial z} d x+\frac{\partial^{2} u}{\partial y \partial z} d y+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}} d z\right),
\end{array}
\]

в которых индекс 0 имеет только что указанное значение. Выражение взятое для $\begin{array}{l}\partial u \\ \partial x\end{array}$, именно $x_{x}$, есть функция $x, y, z$; такими же функциями должны быть и выражения, полученные для $\frac{\partial u}{\partial y}$ и $\frac{\partial u}{\partial z}$, т. е. они должны быть независимы от пути интегрирования; следовательн о входящие под знак интегралов выражения должны быть полными дифференциалами. Условия этого выражаются пятью уравнениями:
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial^{2} x_{x}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} y_{y}}{\partial x^{2}}=\frac{\partial^{2} x_{y}}{\partial x \partial y}, \\
\frac{\partial^{2} z_{z}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} x_{x}}{\partial z^{2}}=\frac{\partial^{2} z_{x}}{\partial z \partial x}, \\
2 \frac{\partial^{2} x_{x}}{\partial y \partial z}+\frac{\partial^{2} y_{z}}{\partial x^{2}}=\frac{\partial^{2} y_{x}}{\partial z \partial x}+\frac{\partial^{2} z_{x}}{\partial y \partial x}, \\
2 \frac{\partial^{2} y_{y}}{\partial z \partial x}+\frac{\partial^{2} z_{x}}{\partial y^{2}}=\frac{\partial^{2} z_{y}}{\partial x \partial y}+\frac{\partial^{2} x_{y}}{\partial z \partial y}, \\
2 \frac{\partial^{2} z_{z}}{\partial x \partial y}+\frac{\partial^{2} x_{y}}{\partial z^{2}}=\frac{\partial^{2} x_{z}}{\partial y \partial z}+\frac{\partial^{2} y_{z}}{\partial x \partial z} .
\end{array}
\]

То обстоятельство, что выражения, получаемые для $\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z}$, будут частными производными только одной функции, не приводит при этом ни к каким новым условиям.

Заменив в произведенном исследовании $u$ на $v$ или $w$, мы получим таким образом только одно новое уравнение
\[
\frac{\partial^{2} y_{y}}{\partial z^{2}}+\frac{\partial^{2} z_{z}}{\partial y^{2}}=\frac{\partial^{2} y_{z}}{\partial y \partial z},
\]

которое надо добавить к уравнениям (13).
Подставляя в уравнения (1) полученные выражения для первых произубедимся, что они будут выполнены для всех значений $x, y, z$, если только $\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)_{0},\left(\frac{\partial u}{\partial z}\right)_{0},\left(\frac{\partial v}{\partial z}\right)_{0},\left(\frac{\partial v}{\partial x}\right)_{0},\left(\frac{\partial w}{\partial x}\right)_{0}\left(\frac{\partial w}{\partial y}\right)_{0}$ будут выбраны так, что они будут удовлетворены в точке $x=0, y=0, z=0$.

В результате этих исследований находим, что уравнения (13) и (14) являются полными условиями того, что $u$, $v, w$, в соответствии с уравнениями (1), могут быть определены как функции от $x, y, z$. Чтобы найти соотношения, которые при этом должны быть между компонентами давлений $X_{x}, Y_{y}, \ldots$, надо только заметить, что $x_{x}, y_{y}, \ldots$ – линейные однородные функции этих давлений, коэффициенты которых известным образом зависят от постоянных упругости.

Мы уже видели, что уравнения (1) совместимы с предположением, что $X_{x}, Y_{y}, \ldots$ имеют любые постоянные значения. Теперь мы видим, что они позволяют также принять за $X_{x}, Y_{y}, \ldots$ любые линейные функции $x, y, z$, так как уравнения (13) и (14) содержат только вторые производные по $x, y, z$.

Положим, что тело изотропно; тогда по уравнениям (28) одиннадцатой лекции получим
\[
\begin{array}{l}
x_{x}=\frac{-1}{2 K}\left[X_{x}-\frac{\theta}{1+3 \theta}\left(X_{x}+Y_{y}+Z_{z}\right)\right], \\
y_{y}=\frac{-1}{2 K}\left[Y_{y}-\frac{\theta}{1+3 \theta}\left(X_{x}+Y_{y}+Z_{z}\right)\right], \\
z_{z}=\frac{-1}{2 K}\left[Z_{z}-\frac{\theta}{1+3 \theta}\left(X_{x}+Y_{y}+Z_{z}\right),\right. \\
y_{z}=-\frac{1}{K} Y_{z}, \\
z_{x}=-\frac{1}{K} Z_{x}, \\
x_{y}=-\frac{1}{K} X_{y} .
\end{array}
\]

Введем далее предположение, что
\[
X_{x}=0, \quad X_{y}=0, \quad Y_{y}=0 ;
\]

тогда отсюда будем иметь
\[
\begin{array}{ll}
x_{x}=\frac{1}{2 K} \frac{\theta}{1+3 \theta} Z_{z}, & y_{z}=-\frac{1}{K} Y_{z}, \\
y_{y}=\frac{1}{2 K} \frac{\theta}{1+3 \theta} Z_{z}, & z_{x}=-\frac{1}{K} Z_{x}, \\
z_{z}=-\frac{1}{2 K} \frac{1+2 \theta}{1+3 \theta} Z_{z}, & x_{y}=0 .
\end{array}
\]

При этом уравнения (12) будут
\[
\frac{\partial X_{z}}{\partial z}=0, \quad \frac{\partial Y_{z}}{\partial z}=0, \quad \frac{\partial Z_{z}}{\partial z}=-\frac{\partial X_{z}}{\partial x}-\frac{\partial Y_{z}}{\partial y} .
\]

Поэтому из уравнений (13) и (14) найдем
\[
\frac{\partial^{2} Z_{z}}{\partial x^{2}}=0, \quad \frac{\partial^{2} Z_{z}}{\partial y^{2}}=0, \quad \frac{\partial^{2} Z_{z}}{\partial z^{2}}=0, \quad \frac{\partial^{2} Z_{z}}{\partial x \partial y}=0,
\]

и
\[
\begin{aligned}
\frac{\theta}{1+3 \theta} \frac{\partial^{2} Z_{z}}{\partial y \partial z} & =\frac{\partial^{2} Y_{z}}{\partial x^{2}}-\frac{\partial^{2} X_{z}}{\partial x \partial y}, \\
\frac{\theta}{1+3 \theta} \frac{\partial^{2} Z_{z}}{\partial x \partial z} & =\frac{\partial^{2} X_{z}}{\partial y^{2}}-\frac{\partial^{2} Y_{z}}{\partial x \partial y} .
\end{aligned}
\]

Первые четыре из этих шести уравнений показывают, что $Z_{z}$ есть линейная функция относительно каждой из величин $x, y, z$ и не содержит произведения $x y$; поэтому
\[
Z_{z}=a+a_{1} x+a_{2} y+z\left(b+b_{1} x+b_{2} y\right),
\]

где $a, a_{1}, a_{2}, b, b_{1}, b_{2}$ – произвольные постоянные. Вследствие этого два последних уравнения примут вид
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial Y_{z}}{\partial x}-\frac{\partial X_{z}}{\partial y}\right)=\frac{\theta}{1+3 \theta} b_{2}, \\
\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial Y_{z}}{\partial x}-\frac{\partial X_{z}}{\partial y}\right)=-\frac{\theta}{1+3 \theta} b_{1} .
\end{array}
\]

Отсюда следует, что
\[
\frac{\partial Y_{z}}{\partial x}-\frac{\partial X_{z}}{\partial y}=c+\overline{1}_{1+3 \theta}^{\theta}\left(b_{2} x-b_{1} y\right),
\]

где $c$-произвольная величина, которая не зависит от $x, y$ и, вследствие (17), не зависит также от $z$. Присоединим к этому уравнению уравнение
\[
\frac{\partial X_{z}}{\partial x}+\frac{\partial Y_{z}}{\partial y}=-\left(b+b_{1} x+b_{2} y\right)
\]

которое следует из (17) и (18). Положим, что $X_{z}^{\prime}$ и $Y_{z}^{\prime}$ – разности значений $X_{z}$ и $Y_{z}$ в двух различных решениях уравнений (19) и (20); тогда
\[
\frac{\partial Y_{z}^{\prime}}{\partial x}-\frac{\partial X_{z}^{\prime}}{\partial y}=0, \quad \frac{\partial X_{z}^{\prime}}{\partial x}+\frac{\partial Y_{z}^{\prime}}{\partial y}=0 ;
\]

следовательно,
\[
X_{z}^{\prime}=\frac{\partial \Omega}{\partial x}, \quad Y_{z}^{\prime}=\frac{\partial \Omega}{\partial y}, \quad \frac{\partial^{2} \Omega}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} \Omega}{\partial y^{2}}=0 .
\]

Поэтому можно определить общее решение уравнений (19) и (20), если найдено частное. Но последнее найдем, приняв за $X_{z}$ и $Y_{z}$ выражения второй степени от $x$ и $y$, определив надлежащим образом их коэффициенты; при этом остается еще некоторый простор для произвола. Таким образом, общим решением уравнений (19) и (20) будет
\[
\begin{array}{l}
X_{z}=-\frac{b}{2} x-\frac{c}{2} y-\frac{b_{1}}{4} \frac{1+2 \theta}{1+3 \theta}\left(x^{2}+y^{2}\right)-\frac{b_{2}}{2} \frac{1+4 \theta}{1+3 \theta} x y+\frac{\partial \Omega}{\partial x}, \\
Y_{z}=\frac{c}{2} x-\frac{b}{2} y-\frac{b_{2}}{4} \frac{1+2 \theta}{1+3 \theta}\left(x^{2}+y^{2}\right)-\frac{b_{1}}{2} \frac{1+4 \theta}{1+3 \theta} x y+\frac{\partial \Omega}{\partial y},
\end{array}
\]

где $\Omega$ должно быть выбрано соответственно уравнению (21).
Положим теперь, что рассматриваемое тело ограничено цилиндрической поверхностью, параллельной оси $z$, и двумя перпендикулярными поперечными сечениями, а выведенные формулы применим к случаю, когда цилиндрическая поверхность свободна от давлений. Пусть $d l$ будет элемент контура нормального к оси $z$ сечения, $n$ – направленная внутрь его нормаль к $d l$; тогда должно быть
\[
\begin{array}{l}
0=X_{x} \cos (n x)+X_{y} \cos (n y)+X_{z} \cos (n z), \\
0=Y_{x} \cos (n x)+Y_{y} \cos (n y)+Y_{z} \cos (n z), \\
0=Z_{x} \cos (n x)+Z_{y} \cos (n y)+Z_{z} \cos (n z) .
\end{array}
\]

На основании уравнений (15), а также того, что $\cos (n z)=0$, первые два из этих уравнений выполнены, а третье будет
\[
0=X_{z} \cos (n x)+Y_{z} \cos (n y) .
\]

Подставив сюда $X_{z}$ и $Y_{z}$ из (22), получим выражение для
\[
\frac{\partial \Omega}{\partial x} \cos (n x)+\frac{\partial \Omega}{\partial y} \cos (n y) \text {, т. е для } \frac{\partial \Omega}{\partial n},
\]

которое определяет функцию $\Omega$, данную пока только уравнением (21), с точностью до аддитивной постоянной, значение которой безразлично.

Чтобы существовала функция, удовлетворяющая поставленным для $\Omega$ условиям, как мы видели в шестнадцатой лекции, должно быть
\[
\int \frac{\partial \Omega}{\partial n} d l=0 .
\]

Составим это уравнение с помощью (22) и (23); тогда из него получим, что обращается в нуль сумма членов вида
\[
\int V \cos (n x) d l \text { или } \int V \cos (n y) d l,
\]

где $V$ – функция $x$ и $y$, непрерывная по всему поперечному сеченик цилиндрического тела. Но если $d f$ есть элемент поперечного сечения, то, соответственно уравнениям (6) одиннадцатой лекции, имеем
\[
\begin{array}{l}
\int V \cos (n x) d l=-\int \frac{\partial V}{\partial x} d f, \\
\int V \cos (n y) d l=-\int \frac{\partial V}{\partial y} d f .
\end{array}
\]

Расположим ось $z$ так, чтобы
\[
\int x d f=0 \text { и } \int y d f=0,
\]
r. е. выберем за ось $z$ прямую, проходящую через центры тяжести поперечных сечений; тогда из уравнения (22) ясно, что уравнение (24) прерратится в
\[
b \int d f=0, \text { т. е. } b=0 .
\]

Шесть остальных постоянных, которые мы ввели,
\[
a, \quad a_{1}, \quad a_{2}, \quad b_{1}, \quad b_{2}, \quad c
\]

остаются неопределенными и могут быть выбраны так, чтобы суммы компонент и моментов давлений, действующих на элементы концевых сече ний, именно величины
\[
\begin{array}{c}
\int X_{z} d f, \quad \int Y_{z} d f, \quad \int Z_{z} d f \\
\int\left(y Z_{z}-z Y_{z}\right) d f, \quad \int\left(z X_{z}-x Z_{z}\right) d f, \quad \int\left(x Y_{z}-y X_{z}\right) d f,
\end{array}
\]

принимали любые данные значения.
Мы продолжим вычисления только для случая, когда поперечное сечение тела есть круг радиуса $R$, следовательно, уравнение контура егө есть
\[
x^{2}+y^{2}=R^{2} .
\]
Уравнение (21) будет удовлетворено функцией
\[
\Omega=A_{1} x+A_{2} y+B_{1}\left(x^{3}-3 x y^{2}\right)+B_{2}\left(y^{3}-3 x^{2} y\right),
\]

де $A_{1}, A_{2}, B_{1}, B_{2}$ – произвольные постоянные. Здесь надо показать, что они могут быть определены так, что $\frac{\partial \Omega}{\partial n}$ получит требуемое значение. Так как
\[
\cos (n x)=-\frac{x}{R}, \cos (n y)=-\frac{y}{R},
\]
ro
\[
-R \frac{\partial \Omega}{\partial n}=x \frac{\partial \Omega}{\partial x}+y \frac{\partial \Omega}{\partial y},
\]

что равно
\[
A_{1} x+A_{2} y+3 B_{1}\left(x^{3}-3 x y^{2}\right)+3 B_{\mathrm{s}}\left(y^{3}-3 x^{2} y\right),
\]

яли, так как $\frac{\partial \Omega}{\partial n}$ относится только к контуру поперечного сечения,
\[
\begin{array}{c}
-R \frac{\partial \Omega}{\partial n}=A_{1} x+A_{2} y+3 B_{1}\left(x^{3}-3 x y^{2}\right)+3 B_{2}\left(y^{3}-3 x^{2} y\right)+ \\
+\left(C_{1} x+C_{2} y\right)\left(x^{2}+y^{2}-R\right)^{2},
\end{array}
\]

әде $C_{1}, C_{2}$ – две новые постоянные. С другой стороны, из уравнений (22) (23) следует, что
\[
\begin{array}{c}
-R \frac{\partial \Omega}{\partial n}=\frac{b_{1} x}{4(1+3 \theta)}\left[(1+2 \theta) x^{2}+(3+10 \theta) y^{2}\right]+ \\
+\frac{b_{2} y}{4(1+3 \theta)}\left[(3+10 \theta) x^{2}+(1+.2 \theta) y^{2}\right] .
\end{array}
\]

Оба выражения, составленные для $-R \frac{\partial \Omega}{\partial n}$, сделаются тождественными если положить
\[
\begin{array}{ll}
A_{1}=R^{2} \frac{b_{1}}{8} \frac{3+8 \theta}{1+3 \theta}, & A_{2}=R^{2} \frac{b_{2}}{8} \frac{3+8 \theta}{1+3 \theta}, \\
B_{1}=-\frac{b_{1}}{24} \frac{1+4 \theta}{1+3 \theta}, & B_{2}=-\frac{b_{2}}{24+4 \theta}, \\
C_{1}=\frac{b_{1}}{8} \frac{3+8 \theta}{1+3 \theta}, & C_{2}=\frac{b_{2}}{8} \frac{3+8 \theta}{1+3 \theta} .
\end{array}
\]

При этих значениях $A_{1}, A_{2}, B_{1}, B_{2}$ уравнения (22) будут
\[
\begin{array}{l}
X_{z}=-\frac{c}{2} y+\frac{b_{1}}{8} \frac{(3+8 \theta)\left(R^{2}-x^{2}\right)-y^{2}}{1+3 \theta}-\frac{1+4 \theta}{1+3 \theta} \frac{b_{2}}{4} x y, \\
Y_{z}=\frac{c}{2} x-\frac{1+4 \theta}{1+3 \theta} x y+\frac{b_{2}}{8} \frac{(3+8 \theta)\left(R^{2}-y^{2}\right)-x^{2}}{1+3 \theta},
\end{array}
\]

к которым мы добавим уравнение
\[
Z_{z}=a+a_{1} x+a_{2} y+z\left(b_{1} x+b_{2} y\right) .
\]

Вычисление постоянных $a, a_{1}, a_{2}, b_{1}, b_{2}, c$ по суммам компонент и моментов давлений, действующих на конец цилиндра, здесь очень просто. Мы примем этот конец за плоскость $x O y$ и воспользуемся тем, что
\[
\begin{array}{c}
\int x^{2} d f=\int y^{2} d f=\frac{\pi}{4} R^{4}, \\
\int x y d f=\int x^{2} y d f=\int x y^{2} d f=0
\end{array}
\]

тогда найдем
\[
\begin{array}{ll}
\int X_{z} d f=b_{1} \frac{\pi}{4} R^{4}, & \int\left(y Z_{z}-z Y_{z}\right) d f=a_{2} \frac{\pi}{4} R^{4}, \\
\int Y_{z} d f=b_{2} \frac{\pi}{4} R^{4}, & \int\left(z X_{z}-x Z_{z}\right) d f=-a_{1} \frac{\pi}{4} R^{4}, \\
\int Z_{z} d f=a \pi R^{2}, & \int\left(x Y_{z}-y X_{z}\right) d f=c \frac{\pi}{4} R^{4} .
\end{array}
\]

Относительно дальнейшего и более общего исследования выведенных в этом параграфе формул мы сошлемся на Қлебша* и Сен-Венана**.
§ 5
Для изотропного тела, вследствие уравнений (28) одиннадцатой лекции, если положим
\[
\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}=\sigma
\]

и по-прежнему обозначим
\[
\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial z^{2}}=\Delta \varphi,
\]

мы сможем представить уравнения (3) в виде
\[
\begin{array}{l}
\mu \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=\mu X+K\left[\Delta u+(1+2 \theta) \frac{\partial s}{\partial x}\right], \\
\mu \frac{\partial^{2} v}{\partial t^{2}}=\mu Y+K\left[\Delta v+(1+2 \theta) \frac{\partial s}{\partial y}\right], \\
\mu \frac{\partial^{2} w}{\partial t^{2}}=\mu Z+K\left[\Delta w+(1+2 \theta) \frac{\partial s}{\partial z}\right] . \\
\end{array}
\]

Для случая, когда существует равновесие и на части тела не действуют никакие силы, последние перейдут в
\[
\begin{array}{l}
0=\Delta u+(1+2 \theta) \frac{\partial \Xi}{\partial x}, \\
0=\Delta v+(1+2 \theta) \frac{\partial \sigma}{\partial y}, \\
0=\Delta w+(1+20) \frac{\partial \sigma}{\partial z},
\end{array}
\]

откуда следует, что
\[
0=\Delta \sigma .
\]

Легко найти частное решение уравнений (25) и (27), значение которого представляет интерес. Для этого предположим, что $\sigma=a$, где $a$ означает произвольное постоянное, и
\[
u=\frac{\partial V}{\partial x}, \quad v=\frac{\partial V}{\partial y}, \quad w=\frac{\partial V}{\partial z},
\]
* Theorie der Flasticität fester Korper von A. Clebsch. Leipzig, 1862.
** Mém. sur la flexion des prismes. Liouville Journal, dexième serie, t. 1, 1856.
где $V$ удовлетворяет уравнению
\[
\Delta V=a .
\]

Соответственно этому можно положить
\[
V=\frac{a}{b} r^{2}+\frac{b}{r},
\]

где
\[
r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2},
\]

и $b$-новое произвольное постоянное. Тогда для компонент давления получим выражения
\[
\begin{array}{ll}
X_{x}=-2 K\left(\frac{\partial^{2} V}{\partial x^{2}}+\theta a\right), & Y_{z}=-2 K \frac{\partial^{2} V}{\partial y \partial \bar{z}}, \\
Y_{y}=-2 K\left(\frac{\partial^{2} V}{\partial y^{2}}+\theta a\right), & Z_{x}=-2 K \frac{\partial^{2} V}{\partial z \partial x}, \\
Z_{z}=-2 K\left(\frac{\partial^{2} V}{\partial z^{2}}+\theta a\right), & X_{y}=-2 K \frac{\partial^{2} V}{\partial x \partial y},
\end{array}
\]
T. e.
\[
\begin{array}{ll}
X_{x}=-2 K\left[(1+3 \theta) \frac{a}{3}-\frac{b}{r^{3}}+\frac{3 x^{2}}{r^{5}} b\right], & Y_{z}=-2 K \frac{3 y z}{r^{5}} b, \\
Y_{y}=-2 K\left[(1+3 \theta) \frac{a}{3}-\frac{b}{r^{3}}+\frac{3 y^{2}}{r^{5}} b\right], & Z_{x}=-2 K \frac{3 z x}{r^{5}} b, \\
Z_{z}=-2 K\left[(1+3 \theta) \frac{a}{3}-\frac{b}{r^{3}}+\frac{3 z^{2}}{r^{5}} b\right], & X_{y}=-2 K \frac{3 x y}{r^{5}} b .
\end{array}
\]

Эти значения $X_{x}, Y_{y}, \ldots$ имеют свойство удовлетворять уравнениям
\[
\begin{array}{c}
\left(X_{x}-p\right) x+X_{y} y+X_{z} z=0, \\
Y_{x} x+\left(Y_{y}-p\right) y+Y_{z} z=0, \\
Z_{x} x+Z_{y} y+\left(Z_{z}-p\right) z=0,
\end{array}
\]

если положим
\[
p=-2 K\left[(1+3 \theta) \frac{a}{3}+2 \frac{b}{r^{3}}\right] \text {. }
\]

Вспомнив определение понятия главного давления, данное в § 3 одиннадцатой лекции, сделаем заключение, что прямая, проведенная через начало координат и точку $(x, y, z)$, имеет направление главной оси давления для этой точки, и величина соответствующего главного давления есть данное для $p$ выражение. Так как это выражение есть функция $r$ и содержит две произвольные постоянные, то далее следует, что установленные формулы могут быть приспособлены к случаю, когда тело ограничено двумя сферическими поверхностями, описанными вокруг центра – начала координат, на каждую из которых действует постоянное перпендикулярное давление. Если $r_{1}$ и $r_{2}$ – раднусы двух шаровых поверхностей и $p_{1}$ и $p_{2}$ – соответствующие давления, то $a$ и $b$ определяются из уравнений
\[
\begin{array}{l}
p_{1}=-2 K\left[(1+39) \frac{a}{3}+2 \frac{b}{r_{1}^{3}}\right] . \\
p_{2}=-2 K\left[(1+3 \theta) \frac{a}{3}+2 \frac{b}{r_{2}^{3}}\right] .
\end{array}
\]