$\S 1$

Займемся теперь интегрированием ‘дифференциального уравнения для поверхности раздела двух жидкостей 1 и 2. Примем за плоскость $x O y$ плоскость уровня; тогда уравнение будет иметь вид дифференциального уравнения (14) предыдущей лекции
\[
z=\frac{a^{2}}{2}\left(\frac{1}{r^{\prime}}+\frac{1}{r^{\prime \prime}}\right)
\]

где
\[
a^{2}=-2 \frac{A_{12}}{g\left(\mu_{1}-\mu_{2}\right)} .
\]

Примем постоянное $A_{12}$ отрицательным. Только при этом условии возможно устойчивое равновесие, так как, согласно данному в § 2 четвертой лекции разъяснению, для него необходимо, чтобы потенциал действующих сил имел максимум; однако максимум не может иметь места для поверхности несжимаемой жидкости, простираюцейся в область положительных значений, а, следовательно, поверхность должна простираться в отрицательную сторону. Далее, обозначим более плотную жидкость через 1 , менее плотную – через 2 ; тогда $a^{2}$ будет положительно. Если мы определим $a$ тоже как величину положительную, то это будет длина, что видно из уравнения (1). Тогда из уравнений (4) и (6) предыдущей лекции будем иметь
\[
\frac{1}{r^{\prime}}+\frac{1}{r^{\prime \prime}}=-\left(\frac{\partial \alpha}{\partial x}+\frac{\partial \beta}{\partial y}\right)
\]

и
\[
\alpha: \beta: \gamma=-\frac{\partial z}{\partial x}:-\frac{\partial z}{\partial y}: 1,
\]

где через $\alpha, \beta, \gamma$ обозначены косинугы угла, который образует с осями координат нормаль к поверхности, направленная внутрь жидкости 1 . Отсюда следует
\[
\begin{array}{l}
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^{2}}} \\
\end{array}
\]

и по (1)
\[
z=\frac{a^{2}}{2} \frac{\partial}{\partial x} \frac{\frac{\partial z}{\partial x}}{\sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^{2}}}+\frac{a^{2}}{2} \frac{\partial}{\partial y} \frac{\frac{\partial z}{\partial y}}{\sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^{2}}},
\]

где корень должен Єыть взят положительным или отрицательным в зависимости от того, положительно или отрицательно $\gamma$. Это уравнение в частных производных мы превратим в обыкновенное дифференциальное уравнение, если предположим, что поверхность, о которой здесь говорится, будет частью поверхности вращения, ось вращения которой совпадает с осью z. Положим
\[
u=\sqrt{x^{2}+y^{2}},
\]

где корень взят положительным; тогда
\[
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{x}{u} \frac{d z}{d u}, \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{y}{u} \frac{d z}{d u},
\]

и уравнение (2) обращается в
\[
z=\frac{a^{2}}{2} \frac{1}{u} \frac{d}{d u} \frac{u \frac{d z}{d u}}{\sqrt{1+\left(\frac{d z}{d u}\right)^{2}}} .
\]

Здесь мы можем рассматривать $u$ и $z$ как прямоугольные координаты точки кривой, по которой поверхность пересекается с плоскостью, проходящей через ось $z$. Поэтому уравнение (3) мы можем преобразовать, введя угол $\vartheta$, для определения которого прежде всего положим
\[
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{d z}{d u}\right)^{2}}}=\cos \vartheta
\]

дополним это определение уравнением
\[
\frac{\frac{d z}{d u}}{\sqrt{1+\left(\frac{d z}{d u}\right)^{2}}}=\sin \theta \text {. }
\]

Этим уравнением $\vartheta$ определено с точностью до добавочной постоянной, кратной $2 \pi$; при этом можно принять, что э изменяется по кривой челрерывно. Из полученных для $\sin \vartheta$ и $\cos \vartheta$ выражений следует, что
\[
\frac{d z}{d u}=\operatorname{tg} \vartheta
\]
т. е. $\vartheta-$ – угол, который образует касательная к кривой с осью $u$ и который описывает прямая, вращающаяся от оси $и$ до положения, параллельного касательной, в том направлении, в котором она должна быть повернута на $\frac{\pi}{2}$, чтобы принять направление оси $z$. На основании уравнения $\gamma=\cos \vartheta$ здесь также можно сказать: $\vartheta$ есть угол, который проведенная внутрь более плотной жидкости нормаль $n_{1}$ образует с осью $z$ и который описывает прямая, вращающаяся от оси $z$ в том же направлении до направления $n_{3}$. Тогда уравнение (3) примет вид
\[
z=\frac{a^{2}}{2} \frac{1}{u} \frac{d}{d u}(u \sin \vartheta)
\]

Мы будем интегрировать уравнения (4) и (5), которые вместе заменяют уравнение (3), только для случаев, когда для точек рассматриваемо́ поверхности $u$ очень мало или очень велико.
§ 2
Предположим сперва, что $u$ бесконечно мало. Этот случай приблизи тельно осуществляется, например для поверхности жидкости в токкой вертикальной трубке кругового сечения, погруженной в большую массу воды, или для поверхности малой капли ртути, лежащей на горизонталь. ной стеклянной пластинке. Из (5) следует, что в этом случае, вообще говоря, $z$ бесконечно велико. Допустим, что это имеет место, но что для различных точек рассматриваемой кривой разность значений $z$ не бесконечно велика. Обозначим через $z_{0}$ одно из этих значений; тогда вместо (5) мы можем здесь написать
\[
z_{0}=\frac{a^{2}}{2} \frac{1}{u}\left[\frac{d(u \sin \vartheta)}{d u}\right]
\]

или
\[
z_{0} u+\frac{\text { const }}{u} \rightleftharpoons a^{2} \sin \vartheta,
\]

где const означает постоянную интегрирования. Она обращается в нуль, если, как мы предположим, ось $z$ пересекает поверхность жидкости, потому что для $u=0$ левая часть найденного уравнения сделается бесконечно большой, правая же обратиться в бесконечность не может. Равным образом относительно $z_{0}$ мы примем, что должно быть $z=z_{0}$ при $u=0$. Тогда мы имеем
\[
u=\frac{a^{2}}{z_{0}} \sin \vartheta,
\]

при этом $\theta=0$ для $u=0$, если, как мы предположим и как это имеез место в обоих приведенных примерах, в точке ( $u=0, z=z_{0}$ ) более плот. ной жидкостью является нижняя.

Продифференцируем уравнение (6) и перемножим результат с уравне. нием (4); тогда получим
\[
d z=\frac{a^{2}}{z_{0}} \sin \vartheta d \vartheta
\]

отсюда, интегрируя и принимая во внимание, что $z=z_{0}$, при $\vartheta=0$ будем иметь
\[
z-z_{0}-\frac{a^{2}}{z_{0}}=-\frac{a^{2}}{z_{0}} \cos \vartheta .
\]
радиус которого равен абсолютному значению $\frac{a^{2}}{z_{0}}$ и центр которого имеет координату $z$, равную $z_{0}+\frac{a^{2}}{z_{0}}$. Более плотная жидкость ограничена здесь выпуклой пюверхностью, если $z_{0}$ положительно, и вогнутою, если $z_{0}$ отрицательно. Значение $z_{0}$ обусловлено углом $w_{1}$, который определяется из уравнения (17) предыдущей лекции. Рассмотрим, например, свободную поверхность жидкости в вертикальной трубке радиуса $R$; тогда
\[
\begin{array}{c}
u=R, \\
\vartheta=w_{1}-\frac{\pi}{2} ;
\end{array}
\]

подставив эти значения в уравнение (6), получим
\[
z_{0}=-\frac{a^{2}}{R} \cos w_{1} .
\]

Часто встречается случай, когда $w_{1}=0$; это происходит, когда твердое тело, о котором говорится, смочено жидкостью 1. В этом случае уравнение (8) дает
\[
z_{0}=-\frac{a^{2}}{R} ;
\]

поверхность жидкости в трубке будет полушарием.
Пусть значения $u$ не бесконечно малы, но просто малы; тогда найденные уравнения представляог первог приближение. Найдем теперь второе приближение. Из уравнения (5) следует:
\[
a^{2} \sin \vartheta=\frac{2}{u} \int_{0}^{u} z u d u,
\]

если будем предполагать, что ось $z$ пересекает поверхность.
Подставим $z_{0}+\left(z-z_{0}\right)$ вместо $z$, где по-прежнему $z_{0}$ есть значение $z$ при $u=0$; тогда имеем
\[
a^{2} \sin \vartheta=z_{0} u+\frac{2}{u} \int_{0}^{u}\left(z-z_{0}\right) u d u .
\]

Мы придем к формулам первого приближения, именно к уравнению (6), если пренебрежем здесь членом с интегралом; найдем вторэе приближение, если выразим с помощью уравнений (6) и (7) величины $\left(z-z_{0}\right.$ ) и и через $\vartheta$. При этом мы получим
\[
a^{2} \sin \vartheta=z_{0} u+2\left(\frac{a^{2}}{z_{0}}\right)^{2} \frac{1}{\sin \vartheta} \int_{0}^{\vartheta}(1-\cos \vartheta) \sin \vartheta \cos \vartheta d \vartheta
\]

или
\[
z_{0} u=a^{2} \sin \vartheta-\left(\frac{a^{2}}{z_{0}}\right)^{2}\left(\sin \vartheta-\frac{2}{3} \frac{1-\cos ^{3} \vartheta}{\sin \vartheta}\right) .
\]

Дифференцируя это уравнение и перемножая результат с уравнением придем к уравнению, интегрируя которое, получим $z$ как функцию $\vartheta$.

В случае вертикальной трубки радиуса $R$ уравнение (10) дает значение $z_{0}$ более точное, чем определенное из (8). Чтобы его найти, можно в член, которым различаются уравнения (10) и (6), подставить $z_{0}$ из (8). Если трубка смачивается, то таким же путем получим
\[
-z_{0}=\frac{a^{2}}{R}-\frac{R}{3} .
\]
\{32

Уравнения (4) и (5) можно интегрировать дальше, полагая $u$ бесконечно большим. Положим
\[
u=u_{0}+x,
\]

где $u_{0}$ обозначает бесконечно большую постоянную величину, выбранную так, что для точек, которые будут рассматриваться, $x$ будет конечно. Выполним в (5) дифреренцирование по $u$; тогда, пренебрегая членами, бесконечно малыми по сравнению с конечными, получим
\[
z=\frac{a^{2}}{2} \frac{d \sin \vartheta}{d x},
\]

и уравнение (4) будет иметь вид
\[
d z=\operatorname{tg} v d x .
\]

Это – те же уравнения, которые можно было бы получить непосредственнс из (2), в прямоугольных координатах $x, y, z$, предполагая, что $z$ не зависит от $y$. Перемножив их между собой, получим интегрируемое уравнение, и интегрированием его найдем
\[
z^{2}=\text { const }-a^{2} \cos \vartheta,
\]

или также
\[
z^{2}=2 a^{2}\left(h-\cos ^{2} \frac{\vartheta_{-}}{2}\right),
\]

где $h$ – произвольное постоянное. Оно необходимо должно быть положи. тельным, потому что $z^{2}$ положительно, но может быть больше или меньше единицы. Эти случаи существенно различны. Если $h>1$, то $z$ не может обратиться в нуль, а также не может переменить знака. Это получим согласно уравнению (1) для кривизны кривой, текущие координаты которой $-x$ и $z$; напротив, $\vartheta$ может быть равно нулю или $2 \pi$, т. е. существует точка, в которой касательная горизонтальна, и более плотная жидкость лежит под менее плотной. Если $h<1$, то имеем обратное, т. е. в этом случае нет такой касательной и $\vartheta$ не может быть равно нулю или $2 \pi$; но $z$ может равняться нулю, т. е. существуют точки, лежащие в плоскости уровня, в которых кривизна равна нулю.
Для случая $h>1$ положим
\[
h=\frac{1}{k^{2}}, \quad \frac{\pi}{2}-\frac{\theta}{2}=\psi,
\]

Обозначим по-прежнему через $\Delta \psi$, взятый положительным, корень $\sqrt{1-k^{2} \sin ^{2} \psi}$; тогда уравнение (14) будет иметь вид
\[
z^{2}=\frac{2 a^{2}}{k^{2}} \Delta^{2} \psi,
\]

или, если обозначим через $c$ ма ксимум $z$, когда $z$ положительно, и минимум $z$ в противном случае причем
\[
c^{2}=\frac{2 a^{2}}{k^{2}},
\]

то
\[
z=c \Delta \psi
\]

Из уравнения (12) имеем
\[
z=a^{2} \cos 2 \psi \frac{d \psi}{d x},
\]

эткуда на основании (17) следует, что
\[
d x=k^{2} \frac{c}{2} \frac{\cos 2 \psi d \psi}{\Delta \psi},
\]

или
\[
x=c\left[\left(\frac{k^{2}}{2}-1\right) \int \frac{d \psi}{\Delta \psi}+\int \Delta \psi d \psi\right],
\]

сде нижняя граница обоих интегралов есть произвольное постоянное. Для случая $h<1$ положим в (14)
\[
h=\cos ^{2} \frac{i}{2}=k^{2} \text {, }
\]

сде под $i$ мы понимаем значение, которого $\vartheta$ не может превзойти, но может достигнуть. Далее возьмем
\[
\cos \frac{\vartheta}{2}=\cos \frac{i}{2} \sin \psi
\]

этсюда имеем
\[
z^{2}=2 a^{2} \cos ^{2} \frac{i}{2} \cos ^{2} \psi .
\]

Гаким образом, для окончательного определения $\psi$ мы получим
\[
z=\sqrt{2} a \cos \frac{i}{2} \cos \psi .
\]

Для одной точки рассматриваемой кривой можно принять $\vartheta$ лежащим иежду нулем и $2 \pi$ и, следовательно, $\frac{\vartheta}{2}$ лежащим между нулем и л; так как по (20) $\sin \frac{\theta}{2}$ не может обратиться в нуль, то $\frac{\theta}{2}$ всегда лежит между зазванными границами, и мы из (20) получим
\[
\sin \frac{\vartheta}{2}=\Delta \psi \text {. }
\]
$\checkmark$ равнение (I2) здесь примет вид
\[
z=-a^{2}\left(1-2 \Delta^{2} \psi\right) \cos \frac{i}{2} \frac{\cos \psi}{\Delta \psi} \frac{d \psi}{d x},
\]

эткуда в связи с (21) будем иметь
\[
x=-\frac{a}{\sqrt{2}} \int \frac{d \psi}{\Delta \psi}+a \sqrt{2} \int \Delta \psi d \psi,
\]

сде нижней границей обоих интегралов по-прежнему является произвольное постоянное.
§ 4
Выведенные уравнения мы приложим теперь к случаям, когда модуль эллиптических интегралов, к которым мы пришли, бесконечно мал или равен единице. Положим сперва в уравнениях (17) и (18) $k$ бесконечно малым. Тогда, разлагая по степеням $k$, мы найдем
\[
z=c\left(1-\frac{k^{2}}{2} \sin ^{2} \psi\right)=c\left(1-\frac{k^{2}}{4}+\frac{k^{2}}{4} \cos ^{2} \psi\right)
\]

и, воспользовавшись тем, что
\[
\int \sin ^{2} \psi d \psi=\frac{\psi}{2}-\frac{\sin 2 \psi}{4}+\text { const, }
\]

будем иметь
\[
x=\frac{c k^{2}}{4} \sin 2 \psi+\text { const. }
\]

Эти выражения $z$ и $x$ показывают, что кривая, о которой говорится, есть круг, радиус которого равен абсолютному значению $\frac{c k^{2}}{4}$ или по (16) равен $\frac{a^{2}}{2 c}$. Если жидкость заключена между двумя параллельными вертикальными пластинками, которые ею смочены и находятся между собой на расстоянии $2 e$, то этот круг должен касаться пластинок; его радиус должен быть равен $e$, и, так как $c$ отрицательно, то должно быть $c=-\frac{a^{2}}{2 e}$.

В случае, когда имеют место уравнения (21) и (22), в предположении, что $k$, как и $\cos \frac{i}{2}$, бесконечно малы, получим
\[
z=a \sqrt{2} \cos \frac{i}{2} \cos \psi, \quad x=\frac{a}{\sqrt{2}} \psi+\text { const; }
\]

следовательно,
\[
z=a \sqrt{2} \cos \frac{i}{2} \cos \left(\frac{x \sqrt{2}}{a}+\text { const }\right) .
\]

Это уравнение изображает синусохду. Чтобы дать пример, когда имеет место эго уравненле, воојразам горлзонтальную пластинку, под нижней
Фиг. 1.
Фиг. 2.
поверхностью которой находится небольшое количество смачивающей ее жидкости. Жидкость может быть в равновесии, если профиль ее имеет форму $A C B$ (флг. 1), причем предполагается, что расстояние точки $C$ от прямой $A B$ не бесконечно мало, при этом
\[
A B=\frac{a \pi}{\sqrt{2}} .
\]

Наконец, при $k=1$ уравнения (17) дают тот же результат, что и уравнения (21) и (2). Чгођы изјежать неојхо ұимости введения двойного знака, мы допустим в приложениях, что $\vartheta$ выбрано между нулем и $2 \pi$, следовательно, по (15) $\psi$ лежит между $-\frac{\pi}{2}$ и $+\frac{\pi}{2}$. При использовании второго случая будем предполагать, что для $i$, которое может быть равно нулю и $2 \pi$, выбрано то из этих значений, при котором знак $\cos \frac{i}{2}$ согласуется со знаком $z$. Если эти условия соблюдены для одной точки рассматриваемой кривой, то они будут иметь место для всех точек ее, лежащих на конечном расстоянии, потому что $\vartheta$ не может выйти из границ $0,2 \pi$, и $z$ знака не меняет; таким образом, случай, который мы здесь рассматриваем, является пограничным между двумя случаями, в которых входящее в уравнение (14) количество $h$ больше или меньше единицы. Вследствие этого $\cos \psi$ положительно, и отсюда
\[
\cos \psi=\Delta \psi \text {. }
\]

Пользуясь тем, что
\[
\int \frac{d \psi}{\cos \psi}=\lg \operatorname{tg} \frac{1}{2}\left(\psi+\frac{\pi}{2}\right)+\text { const, }
\]

будем иметь
\[
\begin{array}{l}
x=c\left(\frac{1}{2} \lg \operatorname{tg} \frac{\theta}{4}+\cos \frac{\theta}{2}\right)+\text { const, } \\
z=c \sin \frac{\theta}{2}, \\
c= \pm a \sqrt{2} .
\end{array}
\]

Фиг. 2 дает приблизительное представление о виде кривой, представляе мой этими уравнениями. Часть этой кривой может изображать профиль поверхности жидкости. Таков, например, случай, когда плоская пластинка погружена в произвольном направлении в большую массу воды.
§ 5
Полученные в двух предыдущих параграфах уравнения можно рассматривать как первое приближение для случая, когда поверхность жидкости есть поверхность вращения, ось вращения которий совпадает с осью $z$, и при котором радиус $и$ для рассматриваемой точки очень велик. Мы положили там, как видно из (11),
\[
u=u_{0}+x
\]

и рассматривали $u_{0}$ как очень большую постоянную величину. Найдем второе приближение следующим путем. Уравнения (4) и (5), которые надо интегрировать, можно написать так:
\[
z-\frac{a^{2} \sin \vartheta}{2 u}=\frac{a^{2}}{2} \frac{d \sin \vartheta}{d u}, \quad d z=\operatorname{tg} \vartheta d u .
\]

Перемножив их между собой, преобразуем член
\[
-\frac{a^{2} \sin \vartheta d z}{u},
\]

которым пренебрегали в первом приближении; именно, заменим $u$ через $u_{0}$ и воспользуемся уравнением, имевшим место в первом приближении. Таким образом, мы получим уравнение, которое может быть проинтегрировано и из котфрого $z$ может быть выражено как функция от $\vartheta$. После этого можно будет с помощью уравнения (4) представить также $u$ как функцию $\vartheta$. Ограничиваясь случаем, для которого в первом приближении имеет место уравнение (23), найдем указанным способом
\[
z d z \mp \frac{a^{3} \sin \vartheta \cos \frac{\vartheta}{2} d \vartheta}{2 \sqrt{2 u_{0}}}=\frac{a^{2}}{2} \sin \vartheta d \vartheta,
\]

где, как и в следующем, из двух знаков должен быть взят нижний или верхний в зависимости от того, положительно или отрицательно $z$.
Отсюда, интегрируя, будем иметь
\[
z= \pm a \sqrt{2} \sin \frac{\vartheta}{2}\left(1-\frac{a}{3 \sqrt{2} u_{0}} \frac{1 \pm \cos ^{3} \frac{\vartheta}{2}}{\sin ^{2} \frac{\vartheta}{2}}\right) .
\]

Эго уравнение можно применить к случаю, который мы рассматривали в предыдущей лекции и к которому относятся уравнения (23), именно к случаю, когда горизонтальная круглая пластинка своей нижней поверхностью касается жидкости. Предположим теперь, что поверхность жидкости простирается в бесконечность, и обозначим через $u_{0}$ радиус пластинки, через $z_{0}$ и $\vartheta_{0}$ – значения $z$ и $\vartheta$ при $u=u_{0}$. Если $z_{0}$ и $\vartheta_{0}$ имеют те же значения, как указано выше, то уравнение (24) дает соотношение между обеими величинами, на которое там было указано.

Мы не будем продолжать изучение капиллярных явлений и при наших дальнейших исследованиях не будем принимать в расчет капиллярные силы. При рассмотрении этих явлений мы не пользовались понятием давления, которое играет важную роль в общих уравнениях гидростатики и гидродинамики. Это понятие сохраняет также и здесь свое значение. В жидости, на которую действуют капиллярные силы, давление изменяется внутри точно так же, как если бы этих сил не было, но бесконечно близко к поверхности оно изменяется бесконечно быстро. Именно, капиллярные силы, действующие на частицу, лежащую на конечном расстоянии от поверхности, равны нулю, но на поверхнссти они дают бесконечно большую равнодействующую. Поэтому мы встретили бы большие затруднения при исследовании капиллярных явлений, если бы пожелали использовать это понятие; мы избежали этого, следуя по другому пути, впервые указанному Гауссом.