$\S 1$

Исследования, подобные приведенным в последних лекциях относительно бесконечно тонкого упругого стержня, могут быть применены к бесконечно тонкой упругой пластинке. Равновесием и движением такой пластинки мы и займемся теперь, но при этом будем иметь в виду только тот случай, когда пластинка в естественном состоянии будет плоской.

В среднюю плоскость пластинки, т. е. в плоскость, находяшуюся посредине между параллельными наружными поверхностями, введем, при естественном состоянии пластинки, прямоугольную систему координат и обозначим через $s_{1}$ и $s_{2}$ координаты относительно этой системы точки $P$ средней плоскости. Далее мы представим себе три линейных элемента 1 , 2,3 , выходящих из точки $P$, из которых два первых параллельны осям $s_{1}$ и $s_{2}$, а третий к ним перпендикулярен. Мы примем, что после деформации пластинки эти три линейных элемента определяют оси прямоугольной системы координат, к которой мы будем относить точки, лежащие вблизи $P$. Предположим, что точка $P$ будет началом координат, линейный элемент 1 будет лежать на оси $k$, и плоскость элементов 1 и 2 образует плоскость $x, y$; тогда последняя будет касаться в точке $P$ искривленной деформацией средней плоскости, ось $y$ образует бесконечно малый угол с элементом 2, ось же $z$-бесконечно малый угол с элементом 3. Пусть относительно этой системы координат $x+u, y+v, z+w$ будут координатами материальной точки пластинки после деформации, в то время как $x, y, z$ будут координатами той же точки относительно той же системы координат в естественном состоянии пластинки, когда линейные элементы $1,2,3$ совпадают с осями $x, y, z$. Тогда $u, v$, w будут такими функциями $x, y, z$, что для $x=0, y=0, z=0$ должно быть
\[
u=0, \quad v=0, \quad w=0, \quad \frac{\partial v}{\partial x}=0, \quad \frac{\partial w}{\partial x}=0, \quad-\frac{\partial w}{\partial y}=0 .{ }^{45}
\]

Далее, пусть $\xi, \eta, \zeta$ будут по-прежнему координатами точки $P$ после деформации относительно произвольной неподвижной в пространстве системы координат, и $\alpha_{1}, \beta_{1}, \gamma_{1}, \alpha_{2}, \beta_{2}, \gamma_{2}, \alpha_{3}, \beta_{3}, \gamma_{3}$ – косинусы углов, образуемых осями $x, y, z$ с осями $\xi, \eta, \zeta$, так что индексы $1,2,3$ соответствуют буквам $x, y, z$, буквы $\alpha, \beta, \gamma$ соответствуют буквам $\xi, \eta, \zeta$. Относительно системы ( $\xi \eta \zeta$ ), координаты материальной точки, характеризуемой значениями $s_{1}+x, s_{2}+y, z$, после деформации будут
\[
\begin{array}{l}
\xi+\alpha_{1}(x+u)+\alpha_{2}(y+v)+\alpha_{3}(z+w), \\
\eta+\beta_{1}(x+u)+\beta_{2}(y+v)+\beta_{3}(z+w), \\
\zeta+\tau_{1}(x+u)+\gamma_{2}(y+v)+\gamma_{3}(z+w) .
\end{array}
\]

Эти величины будут функциями $s_{1}+x$ и $s_{2}+y$, и потому их производные по $x$ будут равны производным по $s_{1}$, и их производные по $y$ – производным по $s_{2}$. Таким образом мы получим две следующие системы уравнений:
\[
\begin{array}{c}
\alpha_{1}\left(1+\frac{\partial u}{\partial x}\right)+\alpha_{2} \frac{\partial v}{\partial x}+\alpha_{3} \frac{\partial w}{\partial x}=\alpha_{1} \frac{\partial u}{\partial s_{1}}+\alpha_{2} \frac{\partial v}{\partial s_{1}}+\alpha_{3} \frac{\partial w}{\partial s_{1}}+ \\
+\frac{\partial \xi}{\partial s_{1}}+\frac{\partial \alpha_{1}}{\partial s_{1}}(x+u)+\frac{\partial \alpha_{2}}{\partial s_{1}}(y+v)+\frac{\partial \alpha_{3}}{\partial s_{1}}(z+w), \\
\beta_{1}\left(1+\frac{\partial u}{\partial x}\right)+\beta_{2} \frac{\partial v}{\partial x}+\beta_{3} \frac{\partial w}{\partial x}=\beta_{1} \frac{\partial u}{\partial s_{1}}+\beta_{2} \frac{\partial v}{\partial s_{1}}+\beta_{3} \frac{\partial w}{\partial s_{1}}+ \\
\quad+\frac{\partial \eta}{\partial s_{1}}+\frac{\partial \beta_{1}}{\partial s_{1}}(x+u)+\frac{\partial \beta_{2}}{\partial s_{1}}(y+v)+\frac{\partial \beta_{3}}{\partial s_{1}}(z+w), \\
\gamma_{1}\left(1+\frac{\partial u}{\partial x}\right)+\gamma_{2} \frac{\partial v}{\partial x}+\gamma_{3} \frac{\partial w}{\partial x}=\gamma_{1} \frac{\partial u}{\partial s_{1}}+\gamma_{2} \frac{\partial v}{\partial s_{1}}+\gamma_{3} \frac{\partial w}{\partial s_{1}}+ \\
\quad+\frac{\partial \zeta}{\partial s_{1}}+\frac{\partial \gamma_{1}}{\partial s_{1}}(x+u)+\frac{\partial \gamma_{2}}{\partial s_{1}}(y+v)+\frac{\partial \gamma_{3}}{\partial s_{1}}(z+w),
\end{array}
\]

и
\[
\begin{array}{l}
\alpha_{1} \frac{\partial u}{\partial y}+\alpha_{2}\left(1+\frac{\partial v}{\partial y}\right)+\alpha_{3} \frac{\partial w}{\partial y}=\alpha_{1} \frac{\partial u}{\partial s_{2}}+\alpha_{2} \frac{\partial v}{\partial s_{2}}+\alpha_{3} \frac{\partial w}{\partial s_{2}}+ \\
+\frac{\partial \xi}{\partial s_{2}}+\frac{\partial \alpha_{1}}{\partial s_{2}}(x+u)+\frac{\partial \alpha_{2}}{\partial s_{2}}(y+v)+\frac{\partial \alpha_{3}}{\partial s_{2}}(z+w), \\
\beta_{1} \frac{\partial u}{\partial y}+\beta_{2}\left(1+\frac{\partial v}{\partial y}\right)+\beta_{3} \frac{\partial w}{\partial y}=\beta_{1} \frac{\partial u}{\partial s_{2}}+\beta_{2} \frac{\partial v}{\partial s_{2}}+\beta_{3} \frac{\partial w}{\partial s_{2}}+ \\
+\frac{\partial \eta}{\partial s_{2}}+\frac{\partial \beta_{1}}{\partial s_{2}}(x+u)+\frac{\partial \beta_{2}}{\partial s_{2}}(y+v)+\frac{\partial \beta_{3}}{\partial s_{2}}(z+w), \\
\Upsilon_{1} \frac{\partial u}{\partial y}+\gamma_{2}\left(1+\frac{\partial v}{\partial y}\right)+\Upsilon_{3} \frac{\partial w}{\partial y}=\gamma_{1} \frac{d u}{\partial s_{2}}+\gamma_{2} \frac{\partial v}{\partial s_{2}}+\gamma_{3} \frac{\partial w}{\partial s_{2}}+ \\
+\frac{\partial \zeta}{\partial s_{2}}+\frac{\partial \gamma_{1}}{\partial s_{2}}(x+u)+\frac{\partial \Upsilon_{2}}{\partial s_{2}}(y+v)+\frac{\partial \gamma_{3}}{\partial s_{2}}(z+w) .
\end{array}
\]

Уравнения каждой из этих систем умножим на $\alpha_{1}, \beta_{1}, \gamma_{1}$, потом на $\alpha_{2}, \beta_{2}, \gamma_{2}$, потом на $\alpha_{3}, \beta_{3}, \gamma_{3}$ и каждый раз сложим их. При этом положим
\[
\begin{array}{l}
1+\sigma_{2}=\sqrt{\left(\frac{v_{5}}{\partial s_{2}}\right)^{2}+\left(-\frac{\omega_{1}}{\partial s_{2}}\right)^{2}+\left(-\frac{\partial \zeta}{\partial s_{2}}\right)^{2}} \cdot \\
\end{array}
\]

Но $\frac{\partial \xi}{\partial s_{1}}: \frac{\partial \eta}{\partial s_{1}}: \frac{\partial \zeta}{\partial s_{1}}$ можно рассматривать как отношения косинусов углов, которые образует после деформации линейный элемент 1 с осями $\xi, \eta, \zeta$, и так как этот линейный элемент и после деформации совпадает с осью $x$, то
\[
\frac{\partial \xi}{\partial s_{1}}: \frac{\partial \eta}{\partial s_{1}}: \frac{\partial \zeta}{\partial s_{1}}=\alpha_{1}: \beta_{1}: \gamma_{1}
\]

Отсюда следует, что
\[
\frac{\partial \zeta}{\partial s_{1}}=\alpha_{1}\left(1+\sigma_{1}\right), \quad \frac{\partial \eta}{\partial s_{1}}=\beta_{1}\left(1+\sigma_{1}\right), \quad \frac{\partial \zeta}{\partial s_{1}}=\gamma_{1}\left(1+\sigma_{1}\right) .
\]

Обозначим через $(2, \xi)(2, \eta),(2, \varsigma)$ углы, которые образует после деформации линейный элемент 2 с осями $\xi, \eta$, ऊ; тогда получим
\[
\frac{\partial \xi}{\partial s_{2}}: \frac{\partial \eta}{\partial s_{2}}: \frac{\partial \xi_{-}}{\partial s_{2}}=\cos (2, \xi): \cos (2, \eta): \cos (2, \zeta),
\]

и потому
\[
\frac{\partial \xi}{\partial s_{3}}=\left(1+\sigma_{2}\right) \cos (2, \xi), \quad \frac{\partial \eta}{\partial s_{2}}=\left(1+\sigma_{2}\right) \cos (2, \eta), \quad \frac{\partial \zeta_{-}}{\partial s_{2}}=\left(1+\sigma_{2}\right) \cos (2, \zeta) .
\]

Косинусы же углов, образуемых после деформации линейным элементом 2 с осями $x, y, z$, мы найдем из уравнений (7) десятой лекции, опираясь на уравнения (27a) одиннадцатой лекции (в которых надо подставить $u, v$, $w$ вместо $\xi, \eta, \zeta$ ), если пренебрежем величинами высшего порядка малости по сравнению с выражениями расширений
\[
\left(\begin{array}{c}
\partial u \\
\partial y
\end{array}\right)_{0}, \quad 1, \quad\left(\frac{\partial w}{\partial y}\right)_{0}
\]

где $\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)_{0}$ и $\left(\frac{\partial w}{\partial y}\right)_{0}$ – значения $-\frac{\partial u}{\partial y}$ и $\frac{\partial w}{\partial y}$ при $x=y=z=0$. Второе из этих значений $\left(\frac{\partial w}{\partial y}\right)_{0}$ обращается в нуль по (1). Обозначим первое через $\tau$, так что $\tau$ означает бесконечно малый угол, на который отличается от прямого угла после деформации угол, образуемый линейными элементами 1 и 2; отсюда следует, что
\[
\cos (2, \xi)=\alpha_{2}+\alpha_{1} \tau, \quad \cos (2, \eta)=\beta_{2}+\beta_{1} \tau, \quad \cos (2, \zeta)=\gamma_{2}+\gamma_{1} \tau,
\]

и поэтому
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial \xi}{\partial s_{2}}=\left(\alpha_{2}+\alpha_{1} \tau\right)\left(1+\sigma_{2}\right), \\
\partial \eta_{-}=\left(\beta_{2}+\beta_{1} \tau\right)\left(1+\sigma_{2}\right), \\
\frac{\partial s_{2}}{\partial s_{2}}=\left(\gamma_{2}+\gamma_{1} \tau\right)\left(1+\sigma_{2}\right) .
\end{array}
\]

Положим далее
\[
\begin{array}{l}
p_{1}=\alpha_{3} \frac{\partial \alpha_{2}}{\partial s_{1}}+\beta_{3} \frac{\partial \beta_{2}}{\partial s_{1}}+\gamma_{3} \frac{\partial \gamma_{2}}{\partial s_{1}}, \\
q_{1}=\alpha_{1}{ }_{\partial s_{1}}^{\partial \alpha_{3}}+\beta_{1}{ }_{\partial s_{1}}^{\partial \beta_{3}}+\gamma_{1}{ }_{\partial s_{1}}^{\partial \gamma_{3}}, \\
r_{1}=\alpha_{2} \frac{\partial \alpha_{1}}{\partial s_{1}}+\beta_{2} \frac{\partial \beta_{1}}{\partial s_{1}}+\gamma_{2} \frac{\partial \gamma_{1}{ }^{\prime}}{\partial s_{1}}, \\
p_{2}=\alpha_{3}{ }_{\partial s_{2}}^{\partial \boldsymbol{\alpha}_{2}}+\beta_{3} \frac{\partial \beta_{2}}{\partial s_{2}}+\gamma_{3} \frac{\partial \gamma_{2}}{\partial s_{2}}, \\
q_{2}=\alpha_{1} \frac{\partial \alpha_{3}}{\partial s_{2}}+\beta_{1}{ }_{\partial s_{2}}^{\partial \beta_{3}}+\gamma_{1} \frac{\partial \gamma_{3}}{\partial s_{2}}, \\
r_{2}=\alpha_{2} \frac{\partial \alpha_{1}}{\partial s_{2}}+\beta_{2} \frac{\partial \beta_{1}}{\partial s_{2}}+\gamma_{2} \frac{\partial \gamma_{1-}}{\partial s_{2}} ; \\
\end{array}
\]

тогда уравнения, полученные таким образом из уравнений (3), примут вид
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial s_{1}}+q_{1}(z+w)-r_{1}(y+v)+\sigma_{1}, \\
-\partial v=\frac{\partial v}{\partial s_{1}}+r_{1}(x+u)-p_{1}(z+w), \\
\frac{\partial w}{\partial x}=\frac{\partial w}{\partial s_{1}}+p_{1}(y+v)-q_{1}(x+u),
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial s_{2}}+q_{2}(z+w)-r_{2}(y+v)+\tau\left(1+\sigma_{2}\right), \\
\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial v}{\partial s_{2}}+r_{2}(x+u)-p_{2}(z+w)+\sigma_{2}, \\
\frac{\partial w}{\partial y}=\frac{\partial w}{\partial s_{2}}+p_{2}(y+v)-q_{2}(x+u) .
\end{array}
\]

Рассуждая так же, как для соответственных уравнений при исследовании бесконечно тонкого стержня, мы убедимся, что эти уравнения могут быть упрощены следующим образом:
\[
\begin{array}{ll}
\frac{\partial u}{\partial x}=q_{1} z-r_{1} y+\sigma_{1}, & \frac{\partial u}{\partial y}=q_{2} z-r_{2} y+\tau, \\
\frac{\partial v}{\partial x}=r_{1} x-p_{1} z, & \frac{\partial v}{\partial y}=r_{2} x-p_{2} z+\sigma_{2}, \\
\frac{\partial w}{\partial x}=p_{1} y-q_{1} x, & \frac{\partial w}{\partial y}=p_{2} y-q_{2} x .
\end{array}
\]

Но здесь возможно еще дальнейшее упрощение. Выведенные для $\frac{\partial u}{\partial x}$ и $\frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial v}{\partial x}$ и $\frac{\partial v}{\partial y}, \frac{\partial w}{\partial x}$ и $\frac{\partial w}{\partial y}$ – выражения должны при дифференцировании по $x$ и $y$ давать одинаковые функции, откуда следует, что
\[
r_{1}=0, \quad r_{2}=0, \quad p_{1}+q_{2}=0,
\]

и, следовательно,
\[
\begin{array}{ll}
\frac{\partial u}{\partial x}=q_{1} z+\sigma_{1}, & \frac{\partial u}{\partial y}=-p_{1} z+\tau, \\
\frac{\partial v}{\partial x}=-p_{1} z, & \frac{\partial v}{\partial y}=-p_{2} z+\sigma_{2}, \\
\frac{\partial w}{\partial x}=p_{1} y-q_{1} x, & \frac{\partial w}{\partial y}=p_{2} y-p_{1} x .
\end{array}
\]

Отсюда интегрированием найдем
\[
\begin{aligned}
u & =u_{0}-p_{1} y z+q_{1} z x+\sigma_{1} x+\tau y, \\
v & =v_{0}-p_{2} y z-p_{1} z x+\sigma_{2} y, \\
w & =w_{0}-\frac{q_{1}}{2} x^{2}+p_{1} x y+\frac{p_{2}}{2} y^{2},
\end{aligned}
\]

где $u_{0}, v_{0}, w_{0}$ – значения $u, v$, w при $x=0$ и $y=0$. Поэтому имеем
\[
\begin{array}{ll}
x_{x}=q_{1} z+\sigma_{1}, & y_{z}=\frac{d v_{0}}{d z}, \\
y_{y}=-p_{2} z+\sigma_{2}, & z_{x}=\frac{d u_{0}}{d z}, \\
z_{z}=\frac{d w_{0}}{d z} & x_{y}=-2 p_{1} z+\tau .
\end{array}
\]

Все эти величины независимы от $x$ и $y$; поэтому тем же свойством обладают также компоненты давления $X_{x}, Y_{y}, Z_{z}, Y_{z}, Z_{x}, X_{y}$, и уравнения (8) двадцать восьмой лекции примут вид
\[
\frac{d X_{z}}{d z}=0, \quad \frac{d Y_{z}}{d z}=0, \frac{d Z_{z}}{d z}=0 .
\]

Теперь допустим, что на обе стороны пластинки действуют давления, величины которых такого порядка, что они могут произвести в теле, все размеры которого являются величинами одного порядка, только расширения, бесконечно малые сравнительно с теми, которые имеются в пластинке. Тогда можно будет, вначале для поверхности пластинки, а потом на основании выведенных уравнений, вообще, положить
\[
X_{z}=0, \quad Y_{z}=0, \quad Z_{z}=0 .
\]

При этом мы пренебрежем в выражениях расширений и потенциала вызываемых ими сил (которое составим ниже) только членами, бесконечно малыми по сравнению с удержанными.

Уравнения (9), в связи с условием (1), что для $z=0$ величины $u_{0}, v_{0}$, $\omega_{0}$ обращаются в нуль, приведут к определению $u_{0}, v_{0}$, $w_{0}$. Если вещество пластинки изотропно, что мы будем предполагать, то эти уравнения будут
\[
x_{z}=0, \quad y_{z}=0, \quad z_{z}+\frac{\theta}{1+\theta}\left(x_{x}+y_{y}\right)=0
\]

или
\[
\frac{d u_{0}}{d z}=0, \quad \frac{d v_{0}}{d z}=0, \quad \frac{d w_{0}}{d z}=\frac{\theta}{1+\theta}\left[\left(p_{2}-q_{1}\right) z-\sigma_{1}-\sigma_{2}\right]
\]

и из (8) получим
\[
\begin{array}{l}
x_{x}=q_{1} z+\sigma_{1}, \quad y_{z}=0, \\
y_{y}=-p_{2} z+\sigma_{2}, \quad z_{x}=0, \\
z_{z}=\frac{\theta}{1+\theta}\left[\left(p_{2}-q_{1}\right) z-\sigma_{1}-\sigma_{2}\right], \quad x y=-2 p_{1} z+\tau .
\end{array}
\]

Так как
\[
f=-K\left[x_{x}^{2}+y_{y}^{2}+z_{z}^{2}+\frac{1}{2} y_{z}^{2}+\frac{1}{2} z_{x}^{2}+\frac{1}{2} x_{y}^{2}+\theta\left(x_{x}+y_{y}+z\right)^{2}\right] .
\]

то отсюда следует, что
\[
\begin{aligned}
f=-K & \left\{\left(q_{1} z+\sigma_{1}\right)^{2}+\left(p_{2} z-\sigma_{2}\right)^{2}+\frac{1}{2}\left(2 p_{1} z-\tau\right)^{2}+\right. \\
& \left.+\frac{\theta}{1+\theta}\left[\left(p_{2}-q_{1}\right) z-\sigma_{1}-\sigma_{2}\right]^{2}\right\} .
\end{aligned}
\]

Определим уравнениями $z=h$ и $z=-h$ поверхность пластинки и положим
\[
F=\int_{-h}^{+h} f d z \text {; }
\]

гогда будет
\[
\begin{aligned}
F= & -\frac{2}{3} K h^{3}\left[q_{1}^{2}+p_{2}^{2}+2 p_{1}^{2}+\frac{\theta}{1+\theta}\left(q_{1}-p_{2}\right)^{2}\right]- \\
& -2 K h\left[\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}+\frac{1}{2} \tau^{2}+\frac{\theta}{1+\theta}\left(\sigma_{1}+\sigma_{2}\right)^{2}\right],
\end{aligned}
\]

и интеграл
\[
\int F d s_{1} d s_{2},
\]

распространенный по средней плоскости пластинки, будет потенциалом сил, вызываемых этой деформацией. Шесть неизвестных величин $\sigma_{1}, \sigma_{2}, \tau, p_{1}$, $p_{2}, q_{1}$, которые являются функциями от $s_{1}, s_{2}$ и входят в выражение $F$, могут быть все выражены через производные $\xi, \eta, \zeta$ по $s_{1}$ и $s_{2}$; $\sigma_{1}$ и $\sigma_{2}$ определяются уравнениями (4), $\tau$ получим из уравнения
\[
\left(1+\sigma_{1}\right)\left(1+\sigma_{2}\right) \tau=\frac{\partial \xi}{\partial s_{1}} \frac{\partial \xi}{\partial s_{2}}+\frac{\partial \eta}{\partial s_{1}} \frac{\partial \eta}{\partial s_{2}}+\frac{\partial \zeta}{\partial s_{1}} \frac{\partial \zeta}{\partial s_{2}},
\]

которое вытекает из уравнений (5) и (6), после перемножения и сложения их; тогда из уравнений (5) можно будет найти $\alpha_{1}, \beta_{1}, \gamma_{1}$, а из уравнений (6) найти $\alpha_{2}, \beta_{2}, \gamma_{2}$. Зная эти шесть косинусов, можно будет вычислить по известным формулам $\alpha_{3}, \beta_{3}, \gamma_{3}$. Наконец, уравнения (7) позволят тогда определить через $s_{1}$ и $s_{2}$ функции $p_{1}, p_{2}, q_{1}$.

Если пластинка получит конечное искривление, то при вычислении формы, которую она может принять, вместо уравнений (4) и (10) воспользуемся следующим уравнениями (так как $\sigma_{1}, \sigma_{2}, \tau$ бесконечно малы)
\[
\begin{array}{r}
\left(\frac{\partial \xi}{\partial s_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial \eta}{\partial s_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial \zeta}{\partial s_{1}}\right)^{2}=1, \\
\left(\frac{\partial \xi}{\partial s_{2}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial \eta}{\partial s_{2}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial \zeta}{\partial s_{2}}\right)^{2}=1, \\
\partial \xi \\
\partial s_{1} \frac{\partial \xi}{\partial s_{2}}+\frac{\partial \eta}{\partial s_{1}} \frac{\partial \eta}{\partial s_{2}}+\frac{\partial \zeta}{\partial s_{1}} \frac{\partial \zeta}{\partial s_{2}}=0,
\end{array}
\]

которые показывают, что $\sigma_{1}, \sigma_{2}, \tau$ обращаются в нуль, т. е. что элементы средней плоскости не претерпевают дефэрмации.

Поверхность, удовлетворяющая этому условию, называется развертывающейся поверхностью ${ }^{46}$. Чтобы найти зависимость между формой пластинки, силами и давлениями, которые должны действовать на пластинку так, чтобы было равновесие, можно исходить из принципа возможных перемещений. Также и при этом можно принять $\sigma_{1}, \sigma_{2}$ и $\tau$ равными нулю, потому что при таком предположении можно удовлетворить уравнению, определяющему принцип возможных перемещений. Поэтому в случае пластинки с конечным искривлением можно написать
\[
F=-\frac{2}{3} K h^{3}\left[q_{1}^{2}+p_{2}^{2}+2 p_{1}^{2}+\underset{1+\theta}{\theta}\left(q_{1}-p_{2}\right)^{2}\right] .
\]

Мы не будем подробно рассматривать этот случай, но сошлемся на книгу «Теория упругости твердого тела» Клебша, в которой впервые исследована конечная деформация бесконечно тонкой пластинки.
§ 2
Если пластинка искривлена бесконечно мало, то надо будет найти бесконечно малые перемещения точек средней плоскости, причем здесь уже нельзя пренебречь величинами $\sigma_{1}, \sigma_{2}$, $\tau$. Определим теперь для этого случая выражение $F$, введя вместо $s_{1}$ и $s_{2}$ обозначения $x$ и $y$.

Выберем систему осей $\xi, \eta, \zeta$ так, что $\zeta$ бесконечно мало, $\xi$ бесконечно мало отличается от $x, \eta$ – от $y$, и положим
\[
\xi=x+u, \quad \eta=y+v .
\]

Итак, мы предположили, что $u, v$ и $\zeta$ бесконечно малы по сравнению с толщиной пластинки, т. е. по сравнению с $h$; это предположение существенно потому, что из двух членов, из которых слагается $F$, один содержит множитель $h^{3}$, другой только $h$. При таком предположении достаточно принять во внимание в обоих членах только первые степени производных $u, v, \zeta$. Тогда уравнения (4) и (10) дают
\[
\sigma_{1}=\frac{\partial u}{\partial x}, \quad \sigma_{2}=\frac{\partial v}{\partial y}, \quad \tau=\frac{\partial u}{\partial y}+-\frac{\partial v}{\partial x},
\]

уравнения (5) и (6) дают
\[
\begin{array}{lll}
\alpha_{1}=1, & \alpha_{2}=-\frac{\partial v}{\partial x}, & \alpha_{3}=-\frac{\partial \zeta}{\partial x}, \\
\beta_{1}=\frac{\partial v}{\partial x}, & \beta_{2}=1, & \beta_{3}=-\frac{\partial \zeta}{\partial y}, \\
\gamma_{1}=-\frac{\partial \zeta}{\partial x}, & \gamma_{2}=\frac{\partial \zeta}{\partial y}, & \gamma_{3}=1,
\end{array}
\]

и, наконец, уравнения (7) дадут
\[
p_{1}=\frac{\partial^{2} \zeta}{\partial x \partial y}, \quad p_{2}=\frac{\partial^{2} \zeta}{\partial y^{2}}, \quad q_{1}=-\frac{\partial^{2} \zeta}{\partial x^{2}} .
\]

Отбросим предположение, что $u, v, \zeta$ бесконечно малы сравнительно с $h$; тогда для $p_{1}, p_{2} q_{1}$, которые входят только в член функции $F$, умноженный на $h^{2}$, всегда можно взять выведенные выражения, но при вычислении $\sigma_{1}, \sigma_{2}, \tau$, которые входят в член функции $F$, содержащий множителем $h$, мы должны принять во внимание некоторые члены высшего порядка. Пренебрежем в $F$ только теми членами, которые бесконечно малы по сравнению с удержанными, если положим
\[
\begin{aligned}
\sigma_{1} & =\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{1}{2}\left(\frac{\partial \zeta}{\partial x}\right)^{2}, \\
\sigma_{2} & =\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{1}{2}\left(\frac{\partial \tau}{\partial y}\right)^{2} . \\
\tau & =\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial \zeta}{\partial x} \frac{\partial \zeta}{\partial y} .
\end{aligned}
\]

Вычислим работу, производимую силой, возникающей при расширении, т. е. вариацию
\[
\delta \iint F d x d y .
\]

Она состоит из двух частей, из которых первая содержит множитель $h^{3}$, вторая – множитель $h$; развернем сперва первую часть. Она будет иметь вид
\[
-\frac{2}{3} K h^{3} \delta \iint d x d y\left\{\left(\frac{\partial^{2} \zeta}{\partial x^{2}}\right)^{2}+2\left(\frac{\partial^{2} \zeta}{\partial x \partial y}\right)^{2}+\left(\frac{\partial^{2} \zeta}{\partial y^{2}}\right)^{2}+\frac{\theta}{1+\theta}\left(\frac{\partial^{2} \zeta}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} \zeta}{\partial y^{2}}\right)^{2}\right\} .
\]

Қаждый член этого выражения можно преобразовать так же, как и первый член. А именно:
\[
\begin{array}{l}
\delta \iint d x d y\left(\begin{array}{l}
\partial^{2} \zeta \\
\partial x^{2}
\end{array}\right)^{2}=2 \iint d x d y \frac{\partial^{2} \zeta}{\partial x^{2}} \frac{\partial^{2}(\delta \zeta)}{\partial x^{2}}=2 \iint d x d y\left[\frac{\partial}{\partial x}\left(\begin{array}{ll}
\partial^{2} \zeta \\
\partial x^{2} & \frac{\partial \delta \zeta}{\partial x}
\end{array}\right)-\right. \\
\left.-\frac{\partial^{3} \zeta}{\partial x^{3}} \frac{\partial \delta \zeta}{\partial x}\right]=2 \iint d x d y\left[\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial^{2} \zeta}{\partial x^{2}} \frac{\partial \delta \zeta}{\partial x}\right)-\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial^{3} \zeta}{\partial x^{3}} \delta \zeta\right)+\frac{\partial^{4} \zeta}{\partial x^{4}} \delta \zeta\right] . \\
\end{array}
\]

Обозначим через $d l$ элемент контура средней плоскости пластинки, через $n$ – направленную внутрь нормаль к $d l$; тогда это выражение будет равно
\[
2 \iint d x d y \frac{\partial^{4} \zeta}{\partial x^{4}} \delta \zeta-2 \int d l \cos (n x)\left(\frac{\partial^{2} \zeta}{\partial x^{2}} \frac{\partial^{2} \delta \zeta}{\partial x}-\frac{\partial^{3} \zeta}{\partial x^{3}} \delta \zeta\right) .
\]

С первой частью входящего сюда простого интеграла мы произведем еще одно преобразование. Припишем элементу $d l$ одно из двух возможных направлений, именно то, которое получит ось $x$, если система координат будет повернута так, что ось $y$ сделается параллельной нормали $n$.

Далее мы обозначим через $\varphi$ угол, который опишет прямая, когда из положения, в котором она параллельна оси $x$, будет повернута так, чтобы она стала параллельной $n$; при этом направление поворота должно быть таким, что при повороте на прямой угол она стала бы параллельной оси $y$, если прежде была параллельной оси $x$. Тогда
\[
\frac{\partial \delta \zeta}{\partial x}=\frac{\partial \delta \zeta}{\partial l} \sin \varphi+\frac{\partial \delta \zeta}{\partial n} \cos \varphi, \quad \cos (n x)=\cos \varphi .
\]

Пользуясь тем, что интегрирование по $l$ производится по замкнутому контуру, получим
\[
\int d l^{\frac{\partial^{2} \zeta}{2}} \sin \varphi \cos \varphi \frac{\partial \delta \zeta}{\partial l}=-\int d l \frac{\partial}{\partial l}\left(\frac{\partial^{2} \zeta}{\partial x^{2}} \sin \varphi \cos \varphi\right) \delta \zeta ;
\]

откуда получим
\[
\begin{array}{c}
\delta \iint d x d y\left(\frac{\partial^{2} \zeta}{\partial x^{2}}\right)^{2}=2 \iint d x d y \frac{\partial^{4} \zeta}{\partial x^{4}} \delta \zeta-2 \int d l_{\frac{\partial}{\partial x^{2}}}^{\partial^{2}} \cos ^{2} \varphi \frac{\partial \delta \zeta}{\partial n}+ \\
2 \iint d l\left[\frac{\partial^{3} \zeta}{\partial x^{3}} \cos \varphi+\frac{\partial}{\partial l}\left(\frac{\partial^{2} \zeta}{\partial x^{2}} \sin \varphi \cos \varphi\right)\right] \delta \zeta .
\end{array}
\]

Преобразовав соответственным образом остальные члены, на которые распадается выражение (12a), найдем, что это выражение равно
\[
\begin{array}{l}
\left.+\frac{1+2 \theta}{1+\theta}\left[\left(\frac{\partial^{3} \zeta}{\partial x^{3}}+\frac{\partial^{3} \zeta}{\partial y \partial y^{2}}\right) \cos \varphi+\left(\frac{\partial^{3} \zeta}{\partial x^{2} \partial y}+\frac{\partial^{3} \zeta}{\partial y^{3}}\right) \sin \varphi\right]\right\} \delta . \\
\end{array}
\]

Оно составляет часть работы, опредєляемой функцией (12).
Другая ее часть, которая содержит множитель $h$, на основании уравнений (4) и (10) будет равна
\[
\begin{array}{l}
4 K h \iint d x d y\left[\frac{\partial \sigma_{1}}{\partial x}+\frac{1}{2} \frac{\partial \tau}{\partial y}+\frac{\theta}{1+\theta} \frac{\partial\left(\sigma_{1}+\sigma_{2}\right)}{d x}\right] \delta u+ \\
+ 4 K h \int d l\left[\sigma_{1} \cos \varphi+\frac{1}{2} \tau \sin \varphi+\frac{\theta}{1+\theta}\left(\sigma_{1}+\sigma_{2}\right) \cos \varphi\right] \delta u+ \\
+ 4 K h \iint d x d y\left[\frac{\partial \sigma_{2}}{d y}+\frac{1}{2} \frac{\partial \tau}{\partial x}+\frac{\theta}{1+\theta} \frac{\partial\left(\sigma_{1}+\sigma_{2}\right)}{\partial y}\right] \delta v+ \\
+ 4 K h \int d l\left[\sigma_{2} \sin \varphi+\frac{1}{2} \tau \cos \varphi+\frac{\theta}{1+\theta}\left(\sigma_{1}+\sigma_{2}\right) \sin \varphi\right] \delta v+ \\
+ 4 K h \iint d x d y\left\{\frac{\partial}{\partial x}\left[\frac{\partial \zeta}{\partial x} \sigma_{1}+\frac{1}{2} \frac{\partial \zeta}{\partial y} \tau+\frac{\theta}{1+\theta} \frac{\partial \zeta}{\partial x}\left(\sigma_{1}+\sigma_{2}\right)\right]+\right. \\
+\left.\frac{\partial}{\partial y}\left[\frac{\partial \zeta}{\partial y} \sigma_{2}+\frac{1}{2} \frac{\partial \zeta}{\partial x} \tau+\frac{\theta}{1+\theta} \frac{\partial \zeta}{\partial y}\left(\sigma_{1}+\sigma_{2}\right)\right]\right\} \delta \zeta+ \\
+ K h \int d l\left\{\cos \varphi\left[\frac{\partial \zeta}{\partial x} \sigma_{1}+\frac{1}{2} \frac{\partial \zeta}{\partial y} \tau+\frac{\theta}{1+\theta} \frac{\partial \zeta}{\partial x}\left(\sigma_{1}+\sigma_{2}\right)\right]+\right. \\
\left.+\sin \varphi\left[\frac{\partial \zeta}{\partial y} \sigma_{2}+\frac{1}{2} \frac{\partial \zeta}{\partial x} \tau+\frac{\theta}{1+\theta} \frac{\partial \zeta}{\partial y}\left(\sigma_{1}+\sigma_{1}\right)\right]\right\} \delta \zeta .
\end{array}
\]

Далее мы покажем, как можно применить выражения (13) и (14), сумма которых определяет работу сил, производимых расширением, для перемещений, определяемых значениями $\delta u, \delta v, \delta \zeta$.
§ 3
Рассмотрим пластинку, на которую не действуют никакие силы. Предположим, что точки ее края укреплены так, что для них $\zeta=0$, а $u$ и $v$ имеют заданные значения; требуется найти $u, v, \zeta$ для случая равновесия.

Мы удовлетворим уравнениям, которые дает принцип возможных перемещений, если положим $\zeta=0$ и определим из уравнений
\[
\begin{array}{l}
2(1+2 \theta) \frac{\partial^{3} u}{\partial x^{2}}+(1+\theta) \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+(1+3 \theta) \frac{\partial^{2} v}{\partial x \partial y}=0 \\
2(1+2 \theta) \frac{\partial^{2} v}{\partial y^{2}}+(1+\theta) \frac{\partial^{2} v}{\partial x^{2}}+(1+3 \theta) \frac{\partial^{2} u}{\partial y \partial x}=0
\end{array}
\]

так, чтобы у края $u$ и $v$ принимали заданное значение.
Пластинка, которая находится в таких условиях, называется напряженной; она называется равномерно напряженной, когда
\[
u=a x, \quad v=a y,
\]

где $a$ – постоянное; очевидно, что этими выражениями уравнения (15) будут удовлетворены.
$\S 4$
Дальнейшие применения, которые мы дадим выражениям (13) и (14), относятся к колебаниям, и именно к так называемым поперечным колебаниям пластинки. При этом мы воспользуемся принципом Гамильтона и прежде всего заметим, что если обозначим через $T$ живую силу, через $\mu$ – плотность пластинки, то
\[
T=\mu h \iint d x d y\left[\left(\begin{array}{l}
\partial u \\
\partial t
\end{array}\right)^{2}+\left(\frac{\partial v}{\partial t}\right)^{2}+\left(\begin{array}{c}
\partial \zeta \\
\partial t
\end{array}\right)^{2}\right],
\]

причем интегрирование распространено по поверхности пластинки. Отсюда следует, что
\[
\delta \int T d t=-2 \mu h \iiint d t d x d y\left(\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} \delta u+\frac{\partial^{2} v}{\partial t^{2}} \delta v+\frac{\partial^{2} \zeta}{\partial t^{2}} \delta \zeta\right) .
\]

Предположим, что край пластинки или неподвижен или свободен, так что силы давления, действующие на него, не производят никакой работы. Тогда принцип Гамильтона будет выражен уравнением
\[
\delta \int T d t+\delta \iiint F d t d x d y=0,
\]

члены которого имеют значения, определяемые (16), (13) и (14).
В том случае, если край пластинки свободен и $\zeta$ бесконечно мало по сравнению с толщиной пластинки, мы можем допустить, что $u$ и $v$ равны нулю, причем, сделав это, мы придем к уравнениям для поперечных колебаний пластинки. Они будут иметь вид
\[
0=\frac{\partial^{2} \zeta}{\partial t^{2}}+-\frac{2}{3} \frac{1+2 \theta}{1+\theta} \frac{h^{2} K}{\mu}\left(\frac{\partial^{4} \zeta}{\partial x^{4}}+\frac{\partial^{4} \zeta}{\partial x^{2} \partial y^{2}}+\frac{\partial^{4} \zeta}{\partial y^{4}}\right),
\]

а для края пластинки найдем
\[
\begin{array}{c}
0=\frac{\partial^{2} \zeta}{\partial x^{2}} \cos ^{2} \varphi+2 \frac{\partial^{2} \zeta}{\partial x \partial y} \sin \varphi \cos \varphi+\frac{\partial^{2} \zeta}{\partial y^{2}} \sin ^{2} \varphi+\frac{\theta}{1+\theta}\left(\frac{\partial^{2} \zeta}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} \zeta}{\partial y^{2}}\right), \\
0=\frac{\partial}{\partial l}\left[\left(\frac{\partial^{2} \zeta}{\partial x^{2}}-\frac{\partial^{2} \zeta}{\partial y^{2}}\right) \sin \varphi \cos \varphi+\frac{\partial^{2} \zeta}{\partial x \partial y}\left(\sin ^{2} \varphi-\cos ^{2} \varphi\right)\right]+ \\
+\frac{1+2 \theta}{1+\theta}\left[\left(\frac{\partial^{3} \zeta}{\partial x^{3}}+\frac{\partial^{3} \zeta}{\partial x} \partial y^{2}\right) \cos \varphi+\left(\frac{\partial^{3} \zeta}{\partial x^{2} \partial y}+\frac{\partial^{3} \zeta}{\partial y^{3}}\right) \sin \varphi\right] .
\end{array}
\]

До сих пор удалось найти решение этих уравнений только для случая круглой пластинки. Мы придем к решению в этом случае следующим путем.
Положим
\[
\begin{array}{l}
\frac{2}{3} \frac{1+2 \theta}{1+\theta} \frac{h^{2} K}{\mu}=a^{2}, \\
\zeta=U \sin \left(4 \lambda^{2} a t\right),
\end{array}
\]

где $U$ – функция $x$ и $y$, а $\lambda$ – постоянное. Это предположение соответствует случаю, когда пластинка дает простой тон, продолжительность двойного колебания которого равна $-{ }_{2}^{-\pi}$ – . При этом для $U$ получим дифференциальное уравнение в частных производных
\[
16 \lambda^{2} U=\frac{\partial^{4} U}{\partial x^{4}}+2 \frac{\partial^{4} U}{\partial x^{2} \partial y^{2}}+\frac{\partial^{4} U}{\partial y^{4}} .
\]

K этому надо добавить граничные условия, которые найдем из (18), подставив $U$ вместо $\zeta$. Предыдущее дифференциальное уравнение в частных производных можно заменить двумя уравнениями:
\[
\begin{array}{l}
4 \lambda^{2} V=\frac{\partial^{2} U}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} U}{\partial y^{2}}, \\
4 \lambda^{2} U=\frac{\partial^{2} V}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} V}{\partial u^{2}} .
\end{array}
\]

Сложив эти уравнения и вычтя из них
\[
U=S+D, \quad V=S-D,
\]

получим
\[
\begin{array}{r}
4 \lambda^{2} S=\frac{\partial^{2} S}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} S}{\partial y^{2}}, \\
-4 \lambda^{2} D=\frac{\partial^{2} D}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} D}{\partial y^{2}} .
\end{array}
\]

Введем вместо прямоугольных координат полярные, так что будет
\[
x=r \cos \psi, \quad y=r \sin \psi
\]

отсюда получим
\[
\begin{aligned}
4 \lambda^{2} S & =\frac{\partial^{2} S}{\partial r^{2}}+\frac{1}{r} \frac{\partial S}{\partial r}+\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial^{2} S}{\partial \Psi^{2}}, \\
-4 \lambda^{2} D & =\frac{\partial^{2} D}{\partial r^{2}}+\frac{1}{r} \cdot \frac{\partial D}{\partial r} \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial^{2} D}{\partial \psi^{2}} .
\end{aligned}
\]

Мы удовлетворим этим уравнениям, полагая
\[
S=A \cos n \psi X, \quad D=B \cos n \psi Y,
\]

где $n$-целое число, $A$ и $B$ – произвольные постоянные, $X$ и $Y$ – функции $r$, которые удовлетворяют уравнениям
\[
\begin{array}{l}
\frac{d^{2} X}{d t^{2}}+\frac{1}{r} d X-\left(\frac{n^{2}}{r^{2}}+4 \lambda^{2}\right) X=0, \\
\frac{d^{2} Y}{d r^{2}}+\frac{1}{r} \frac{d Y}{d r}-\left(\frac{n^{2}}{r^{2}}-4 \lambda^{2}\right) Y=0 .
\end{array}
\]

Положим $\lambda r=x$, тогда эти уравнения примут вид
\[
\begin{array}{l}
\frac{d^{2} X}{d x^{2}}+\frac{1}{x} \frac{d X}{d x}-\left(\frac{n^{2}}{x^{2}}+4\right) X=0, \\
\frac{d^{2} Y}{d x^{2}}+\frac{1}{x} \frac{d Y}{d x}-\left(\frac{n^{2}}{x^{2}}-4\right) Y=0 .
\end{array}
\]

Найдем частное решение первого из этих уравнений, если положим
\[
X=A_{0} x^{\varkappa}+A_{2} x^{x+2}+A_{4} x^{x+4}+\ldots ;
\]

тогда
\[
\begin{array}{c}
\frac{d X}{d x}+x A_{0} x^{x-1}+(x+2) A_{2} x^{x+1}+(x+4) A_{4} x^{x+3}+\ldots, \\
\frac{d^{2} X}{d x^{2}}=x(x-1) A_{0} x^{x-2}+(x+2)(x+1) A_{2} x^{x}+(x+4)(x+3) A_{4} x^{x+2}+\ldots,
\end{array}
\]

и указанное уравнение примет вид
\[
\begin{array}{l}
0=A_{0}\left(x^{2}-n^{2}\right) x^{\varkappa-2}-4 A_{0} x^{\varkappa}+A_{2}\left[(x+2)^{2}-n^{2}\right] x^{\varkappa}-4 A_{2} x^{\varkappa+2}+ \\
+A_{4}\left[(x+4)^{2}-n^{2}\right] x^{x+2}-4 A_{4} x^{x+4} \\
\end{array}
\]

Мы удовлетворим ему, если положим
\[
\begin{array}{l}
x^{2}-n^{2}=0, \\
A_{2}\left[(x+2)^{2}-n^{2}\right]=4 A_{0} \text {, } \\
A_{4}\left[(x+4)^{2}-n^{2}\right]=4 A_{2} \text {, } \\
\text {. . . . . . . . . . . . . } \\
\end{array}
\]

Этим уравнениям мы удовлетворим, если положим,
\[
\begin{array}{c}
x=n, \\
A_{2}=\frac{A_{0}}{1 \cdot n+1}, \quad A_{4}=\frac{A_{2}}{2 \cdot n+2}, \quad A_{6}=\frac{A_{4}}{3 \cdot n+3}, \ldots,
\end{array}
\]

где $A_{0}$ – произвольное постоянное. Таким образом, частным решением (которое мы обозначим через $X_{n}$ ) составленного для $X$ дифференциального уравнения будет
\[
X_{n}=\frac{x^{n}}{1 \cdot 2 \cdot 3 \ldots n}\left(1+\frac{x^{2}}{1 \cdot n+1}+\frac{x^{4}}{1 \cdot 2 \cdot n+1 \cdot n+2}+\ldots\right),
\]

и соответственно для $Y$,
\[
Y_{n}=\frac{x^{n}}{1 \cdot 2 \cdot \ldots n}\left(1-\frac{x^{2}}{1 \cdot n+1}+\frac{x^{4}}{1 \cdot 2 \cdot n+1 \cdot n+2}-\ldots\right) .
\]

Легко заметить, что оба эти бесконечных ряда сходятся при любых значениях их аргумента.

Упомянем еще о других частных значениях $X$ и $Y$, хотя они не найдут применения в настоящей задаче. Положим
\[
X=W X_{n},
\]

так что
\[
\begin{array}{c}
\frac{d X}{d x}=W \frac{d X_{n}}{d x}+X_{n} \frac{d W}{d x}, \\
\frac{d^{2} X}{d x^{2}}=W \frac{d^{2} X_{n}}{d x^{2}}+2 \frac{d X_{n}}{d x} \frac{d W}{d x}+X_{n} \frac{d^{2} W}{d x^{2}} .
\end{array}
\]

Умножим эти уравнения последовательно на
\[
-\left(\frac{n^{2}}{x^{2}}+4\right), \quad \frac{1}{x}, 1
\]

и потом сложим их. Так как $X$ и $X_{n}$ есть решения рассматриваемогс дифференциального уравнения, то мы получим
\[
X_{n} \frac{d^{2} W}{d x^{2}}+\left(\frac{X_{n}}{x}+2 \frac{d X_{n}}{d x}\right) \frac{d W}{d x}=0,
\]

или, если положим $\frac{d W}{d x}=W^{\prime}$,
\[
\frac{d W^{\prime}}{W^{\prime}}+\left(\frac{1}{x}+2 \frac{d X_{n}}{X_{n}}\right) d x=0,
\]
т. e.
\[
\lg W^{\prime}+\lg x+2 \lg X_{n}=\text { const, }
\]

или
\[
W^{\prime}=\mathrm{const} \frac{1}{x X_{n} X_{n}} ;
\]

следовательно,
\[
W=\text { const } \int \frac{d x}{x X_{n} x_{n}},
\]

где нижний предел интеграла может быть выбран произвольным. Поэтому вторым частным значением $X$ будет
\[
X=X_{n} \int_{x_{0}}^{x} \frac{d x}{x X_{n}}
\]

и соответственно для $Y$
\[
Y=Y_{n} \int_{x_{0}}^{x} \frac{d x}{x Y_{n}},
\]

где $x_{0}$ – произвольное постоянное. Но эти значения $X$ и $Y$, как видно из выражений для $X_{n}$ и $Y_{n}$, для $x=0$, т. е. для $r=0$, бесконечны и потому не могут найти применения, если пластинка, как мы предполагаем, представляет полную площадь круга.
Поэтому мы положим
\[
S=A \cos n \psi X_{n}, \quad D=B \cos n \psi Y_{n}
\]

и постараемся определить постоянные $A, B, \lambda$ так, чтобы удовлетворить обоим граничным условиям.

Обозначим радиус пластинки через $\alpha$. На основании определения, которое мы сделали при выводе выражения (13) для направления, в котором возрастает $l$, и для угла $\varphi$, мы будем иметь, кроме того, это видно и из фиг. 1 ,
\[
l=\alpha \psi \quad \text { и } \quad \varphi=180^{\circ}+\psi .
\]

Следовательно, выведенные из (18) граничные условия будут
\[
\begin{array}{c}
0=\frac{\partial^{2} U}{\partial r^{2}}+\frac{\theta}{1+\theta}\left(\frac{\partial^{2} U}{\partial r^{2}}+\frac{1}{r} \frac{\partial U}{\partial r}+\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial^{2} U}{\partial \psi^{2}}\right), \\
0=\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial \Psi}\left(\frac{\partial^{2} U}{\partial r \partial \psi}-\frac{1}{r} \frac{\partial U}{\partial \psi}\right)+\frac{1+2 \theta}{1+\theta} \frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{\partial^{2} U}{\partial r^{2}}+\frac{1}{r} \frac{\partial U}{\partial r}+\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial^{2} U}{\partial \psi^{2}}\right),
\end{array}
\]

нли, если воспользоваться тем, что
\[
4 \lambda^{2} V=\frac{\partial^{2} U}{\partial r^{2}}+\frac{1}{r} \frac{\partial U}{\partial r}+\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial^{2} U}{\partial \psi^{2}},
\]
ro
\[
\begin{array}{c}
0=\frac{\partial^{2} U}{\partial r^{2}}+4 \lambda^{2} \frac{\theta}{1+\theta} V, \\
0=\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial^{3} U}{\partial r \partial \psi^{2}}-\frac{1}{r^{3}} \frac{\partial^{2} U}{\partial \psi^{2}}+4 \lambda^{2} \frac{1+2 \theta}{1+\theta} \frac{\partial V}{\partial r} .
\end{array}
\]

Выразим теперь $U$ и $V$ через $S$ и $D, S$ и $D$ – через $X_{n}, Y_{n}$ и вторые производные $X_{n}$ и $Y_{n}$, которые при этом войдут, – через силы $X_{n}$, $Y_{n}$ и их первые производные при посредстве составленных для этих функций уравнений. Положим еще
\[
\frac{1+2 \theta}{1+\theta}=\gamma,
\]

тогда мы найдем, что для $r=\alpha$, т. е. $x=\lambda \alpha$, должны быть удовлетворены уравнения
\[
\begin{array}{l}
0=A\left[n^{2} X_{n}-x\left(n^{2}-4 \gamma x^{2}\right) \frac{d X_{n}}{d x}\right]+B\left[n^{2} Y_{n}-x\left(n^{2}+4 \gamma x^{2}\right) \frac{d Y_{n}}{d x}\right], \\
0=A\left[\left(n^{2}+4 \gamma x^{2}\right) X_{n}-x \frac{d X_{n}}{d x}\right]+B\left[\left(n^{2}-4 \gamma x^{2}\right) Y_{n}-x \frac{d Y_{n}}{d x}\right] .
\end{array}
\]

Обозначим определитель их через $\Delta$, тогда $\lambda$ получим из трансцендентного уравнения
\[
\Delta=0
\]

и отношение $A: B$ определим из любого из двух предыдущих уравнений.
Обозначим через $\lambda_{m n}$ корень уравнения $\Delta=0$ и положим
\[
\begin{array}{c}
W_{n m}=X_{n}\left[\left(n^{2}-4 \gamma x^{2}\right) Y_{n}-x \frac{d Y_{n}}{d x}\right]_{\left(x=\alpha \lambda_{n m}\right)}- \\
-Y_{n}\left[\left(n^{2}+4 \gamma x^{2}\right) X_{n}-x \frac{d X_{n}}{d x}\right]_{\left(x=\alpha \lambda_{n m}\right)} ;
\end{array}
\]

тогда
\[
\zeta=C \sin \left(4 \lambda_{n m}^{2} a t\right) W_{n m} \cos n \psi,
\]

где $C$ – произвольное постоянное. Узловые линии, соответствующие тонам, определяемым $\lambda_{m n}$, имеют уравнения
\[
\cos n \psi=0 \text { и } W_{n m}=0 .
\]

Первое из них представляет систему $n$ диаметров, образующих равные углы между собой; второе – систему концентрических кругов. Относительно вычисления тонов и узловых кругов сошлемся на одну из работ*.
* Kirchhoff. Ueber das Gleichgewicht und die Bewegung einer elastichen Scheibe. Grellè’s Journal, Bd. 40.

$\S 5$
Составим, наконец, дифференциальное уравнение для поперечных колебаний напряженной мембраны. Мы придем к этим уравнениям, если рассмотрим пластинку, закрепленную по краю, когда части ее перемещаются в ее плоскости $u$ и $v$, а эти перемещения удовлетворяют уравнениям (15). Эти перемещения должны быть столь велики по сравнению с толщиной пластинки, чтобы при составлении уравнения (17) можно было пренебречь выражением (13) (по сравнению с (14)), и столь велики по сравнению с $\zeta$, чтобы уравнения (11) можно было представить в виде
\[
\sigma_{1}=\frac{\partial u}{\partial x}, \quad \sigma_{2}=\frac{\partial v}{\partial y}, \quad \tau=\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x} .
\]

Уравнение (17) будет выполнено, если примем, что $u$ и $v$ не зависят от времени, и определим $\zeta$ из дифференциального уравнения

и условия, что на краю оно обращается в нуль.
Перемещения $u$, v должны удовлетворять дифференциальным уравнениям (15), но при этом они могут быть многозначными функциями $\boldsymbol{x}$ и $y$. В случае, о котором уже говорилось, когда мембрана равномерно напряжена, можно положить
\[
u=a x, \quad v=a y,
\]

где $a$ – постоянная. Тогда дифференциальное уравнение для $\zeta$ будет

Его можно легко решить, если мембрана прямоугольная или круглая. Тогда легко вычислить тоны, которые может давать мембрана, и узловые линии, им соответствующие. При прямоугольной форме мембраны будем иметь дело только с тригонометрическими функциями, при круглой форме – с функциями, которые при исследовании колебаний круглой пластинки мы обозначили через $Y_{n}$. Это так называемые басселевые функции. Узловые линии прямоугольной мембраны – прямые линии, параллельные ее сторонам, круглой мембраны – диаметры (которые образуют между собой равные углы) и круги (концентрические пластинки с краем в виде круга).