$\S 1$

Познакомимся ближе с движениями воздуха, которые соответствуют простому тону, и установим ряд тех частных решений для применяющегося здесь дифференциального уравнения, которые имеют значительный интерес для акустики, а именно для теории труб. Для простого тона с числом колебаний $n$ потенциал скоростей имеет вид
\[
\varphi=\psi^{\prime} \cos 2 \pi n t+\psi^{\prime \prime} \sin 2 \pi n t,
\]

где $\psi^{\prime}$ и $\psi^{\prime \prime}$ – функции $x, y, z$. Из уравнений (7) преды дущей лекции следует, что каждая из них удовлетворяет дифференциальному уравнению в частных производных
\[
\Delta \psi+x^{2} \psi=0,
\]

если положим по-прежнему
\[
x=\frac{2 \pi n}{a} .
\]

Прежде чем перейти к рассмотрению частных случаев, напомним, что дает формула Грина пю отношению к функциям, которые во вполне ограниченном пространстве удовлетворяют этому дифференциальному уравнению и вместе со своими первыми производными однозначны и непрерывны. Решением уравнения (2) будет
\[
\frac{\cos x r}{r} \text {, }
\]

где $r$-расстояние переменной точки от какой-нибудь постоянной точки. Это легко доказать непосредственным вычислением или же можно вывести из уравнения (12) предыдущей лекции. В уравнение, которое является исходным при исследовании в § 3 предыдущей лекции и выражает теорему Грина, подставим
\[
U=\underset{r}{\cos \kappa r}, \quad V=\psi,
\]

причем начало радиуса $r$ предполагается в объеме, в котором $\psi$ имеєт указанные свойства; применим эту формулу к тому объему, который останется от всего предыдущего, если исключить из него бесконечно мадый шар, центр которого совпадает с началом радиуса $r$. Таким же исследованием, какое мы произвели в \& 3 предыдущей лекции, и при простейших предположениях § 4 шестнадцатой лекции мы найдем
\[
\psi=\frac{1}{4 \pi} \int d s \psi \frac{\partial^{\cos \chi r}}{\partial n}-1 \frac{1}{4 \pi} \int d s \frac{\cos \chi r \partial \psi}{r}{ }_{\partial n},
\]

где в левой части равенства $\psi$ относится к началу $r$, и $d s$ означает элемент поверхности первоначально взятого объема. Мы обращаем внимание на то, что, как это псказывает уравнение, при предположениях, сделанных относительно $\psi$, все высшие производные $\psi$ непрерывны.

Рассмотрим теперь случай, когда $\varphi$, а следовательно также и $\psi$ (мы будем обозначать как каждую из двух величин $\psi^{\prime}$ и $\psi^{\prime \prime}$ ), не зависит от $x$ и $y$. Тогда уравнение (2) будет
\[
\frac{d^{2} \psi}{d z^{2}}=-x^{2} \psi,
\]

и его общий интеграл есть
\[
\psi=A \cos x z+B \sin x z .
\]

Поэтому мы имеем
\[
\varphi=\left(A^{\prime} \cos x z+B^{\prime} \sin x z\right) \cos 2 \pi n t+\left(A^{\prime \prime} \cos x z+B^{n} \sin x z\right) \sin 2 \pi n t,
\]

где $A^{\prime}, B^{\prime}, A^{\prime \prime}, B^{\prime \prime}$ – произвольные постоянные. Это уравнение можно также представить в следующем виде:
\[
\varphi=A \cos x\left(z-z_{0}\right) \cos 2 \pi n\left(t-t_{0}\right)+B \sin x\left(z-z_{0}\right) \sin 2 \pi n\left(t-t_{n}\right),
\]

где $A, B, z_{0}, t_{0}$ – новые постоянные, или, при надлежащем выборе начала 2 и начального момента времени,
\[
Q=A \cos x z \cos 2 \pi n t+B \sin x z \sin 2 \pi n t .
\]

Разберем сперва случаи, когда $A$, или $B$, или $A-B$, или $A+B$ обрацается в нуль.
При $B=0$ будет
\[
\begin{aligned}
\varphi & =A \cos x z \cos 2 \pi n t, \\
\frac{\partial \varphi}{\partial z} & =-x A \sin x z \cos 2 \pi n t, \\
\sigma & =-\frac{1}{a^{2}} \frac{\partial \varphi}{\partial t}=\frac{\chi}{a} A \cos x z \sin 2 \pi n t .
\end{aligned}
\]

Пусть $\zeta$ – перемещение частицы воздуха в момент времени $t$ и в направлении оси $z$ от некоторого положения, именно от ее среднего положения: тогда, так как $\zeta$ – бесконечно малое, то

и
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial \zeta}{\partial t}=\frac{\partial \varphi}{\partial z}, \\
\zeta=-\frac{A}{a} \sin x z \sin 2 \pi n t .
\end{array}
\]

Из этогс следует, что каждая частица воздуха движется совершенно так же, как точка маятника при бесконечно малых колебаниях: – ${ }_{a}^{A} \sin x z$ или абсолютное значение этой величины называется амплитудой; 2лnt или избыток этого числа над кратным $2 \pi$ – фззой колебаний рассматриваемой частицы. Фаза для каждого мгновения всюду одна и та же, но амплитуда изменяется с $z$. Обозначим через $\lambda$ длину волны, т. е. положим
\[
\lambda=\frac{2 \pi}{x} ;
\]

тогда амплитуда равна нулю там, где $z$ кратное ${ }_{2}^{\lambda}$, и будет максимум там, где $z$ нечетное кратное ${ }_{4}^{\lambda}$; первые места называются узлами, вторые пучностями. Сгущение $\sigma$ изменяется по такому же закону, как перемещение Ђ, но его максимум имеет место в узлах, а в пучностях оно обращается в нуль. Совершенно то же самое имеет место, когда в уравнении (4) обращается в нуль $A$, но не $B$.

Колебания этого рода, именно такие, при которых фаза в некоторое мгновение всюду одинакова, называют стоячими колебаниями.
Если
\[
A= \pm B
\]

то колебания называются бегущими; тогда
\[
\begin{aligned}
\varphi & =A \cos x(z \mp a t), \\
\partial p & =-x A \sin x(z \mp a t), \\
\partial z & ={ }_{a}^{A} \cos x(z \mp a t), \\
\zeta & =-\frac{1}{a^{2}} \partial t=\mp \frac{x}{a} A \sin x(z \mp a t) .
\end{aligned}
\]

В зависимости от того, взят ли верхний или нижний знак, колебания распространяются в направлении оси $z$ или в противоположном. Здесь амплитуда всюду одна и та же, фаза для некоторого мгновения изменяется от места к месту.

Представляемое уравнением (4) движение, если постоянные $A$ и $B$ не удовлетворяют ни одному из сделанных предположений, можно рассматривать как составное из каких-нибудь двух из четырех разобранных видов колебаний. Непосредственно из уравнения (4) находим
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial \varphi}{\partial z} & =-x A \sin x z \cos 2 \pi n t+x B \cos x z \sin 2 \pi n t= \\
& =x \sqrt{A^{2} \sin ^{2} x z+B^{2} \cos ^{2} x z} \cdot \sin (2 \pi n t-\delta), \\
\zeta & =-\frac{1}{a} \sqrt{A^{2} \sin ^{2} x z+D^{2} \cos ^{2} x z} \cdot \cos (2 \pi n t-\delta), \\
\sigma & =\frac{x}{a} A \cos x z \sin 2 \pi n t-{ }_{a}^{x} B \sin x z \cos 2 \pi n t= \\
& =\frac{x}{a} \sqrt{A^{2} \cos ^{2} x z+B^{2} \sin ^{2} x z} \cdot \sin (2 \pi n t-\varepsilon),
\end{aligned}
\]

где
\[
\operatorname{tg} \delta={ }_{B}^{A} \operatorname{tg} x z, \quad \operatorname{tg} \varepsilon=\frac{B}{A} \operatorname{tg} x z .
\]

Для каждого момента здесь изменяется вместе с $z$ как амплиту да, так и фаза; амплитуда нигде не обращается в нуль.

Если $A^{2}>B^{2}$, то максимум амплитуды имеет место при $z$, кратном $\frac{\lambda}{2}$; максимум ее – при $z$ нечетном, кратном $\frac{\lambda}{4}$. Также и здесь первые места называют узлами, последние пучностями, и здесь также сгущение имеет максимум в узлах и минимум в пучностях.

Если масса воздуха ограничена твердой, перпендикулярной к оси $z$. плосклстью, то для посләдней должно быть
\[
\partial \varphi=0 .
\]

Из предыдущего исследования вытекает, что места, которых скорость постоянно равна нулю, имеются только при стоячих колебаниях, а потому в этом случае колебания должны быть стоячими, и пограничная плоскость полжна быть узлом.

Если масса воздуха ограничена двумя твердыми плоскостями, перпендикулярными к оси $z$, то каждая из них должна быть узлом, и расстояние между ними должно быть кратным от длины полуволны. Вообразим, что между этими стенками масса воз ухха ограничена твердой цилиндрической трубкой произвольного поперечного сечения; это допустимо, так как требуемое условие на стенках трубки, именно условие $\frac{\partial \varphi}{\partial n}=0$, соблюдено вследствие того, что $\varphi$ не зависит от $x$ и $y$. Пусть для концов трубки о́удет
\[
z=0 \text { и } z=l \text {; }
\]

тогда, следовательно,
\[
l=h \underset{2}{\lambda}=h \underset{x}{\pi}=h_{2 n}^{a},
\]

где $h$-целое число. Определенные при данном значении $l$ числа $n$ носят название чисел колебаний так называемых собственных тонов рассматриваемого вознушного столба. Такие колебания могут происходить соответственно уравнению
\[
\varphi=A \cos x z \cos 2 \pi n\left(t-t_{0}\right),
\]

где $A$ и $t_{0}$-произвольные постоянные. Предположим тегерь, что поперечное сечение трубы $z=0$ неизменно, а поперечное сечение $z=l$ получает снаружи такое движение, что в момент $t$ будет иметь скорость
\[
G \cos 2 \pi n t
\]

в направлении оси $z$, где $G$ и $n$ означают любые данные постоянные. следует, что
\[
\varphi=-\frac{G}{x \sin x l} \cos x z \cos 2 \pi n t .
\]

При таком движении поперечного сечения $z=l$ движение частицы существенно зависит от величины $x l$; оно будет бесконечно при $\sin x l=0$, т. е. если $n$ соответствует одному из собственных тонов воздушного столба.

Эти условия будут приблизительно соблюдены для стеклянной трубкки, закрытой двумя пробками, из которых одна неподвикна, а другая, слабо подвижная, соединена с острием камертона или другим телом, которое может сильно колебаться. Если это тело производит колебания, продолжительность которых приблизительно равна продолжительности колебаний собственного тона ограниченного столба воздуха, то последний пріходит в колебания столь интенсивные, что мелкий порошок, насыпанный в трубку, приходит в движение, и положение узлов может быть с точюостью определено. Причина того, что ни при каком значении $n$ денение воздуха не возрастает безграничо, заключается в том, что стенки трубки не абсолютно тверды, подвижная трубака не вполне плопно прлнана и, главное, в трении воздуха. На опнсанном явлении основывается метод Кундта для измерения скорости распространения звука в различных газах.

$\S 2$
Представим себе, как и в нашем последнем исследовании, столб воздуха длиной $l$, но положим, что в поперечном сечении $z=0$ равна нулю не скорость, а сгущение. Если поперечное сечение $z=l$ представляет твердую стенку, то колебания возможны согласно уравнению
\[
\varphi=A \sin x z \cos 2 \pi n\left(t-t_{0}\right),
\]

если $\cos x l=0$, т. е. $l$ равно нечетному кратному длины четверти волны. Если сечение $z=l$ движется так, что его скорость в момент $t$ равна $G \cos 2 \pi n t$, то
\[
\varphi=\frac{G}{x \cos x l} \sin x z \cos 2 \pi n t .
\]
Д. Бернулли, Эйлер и Лагранж полагали, что если цилиндрическая трубкка при $z=0$ сообщается с бесконечным возтушным пространством, то сгущение здесь всегда равно нулю, так что возтух в трубке, с отной стороны открытой, а с другой закрытой, может колебаться соответственно установленному уравнению. Гельмгольн * показал, в каких пределах верно это предположение. Оно по цразумевает, что размеры поперечного сечения бесконечно малы го сравненню с длиной трубы и длиной волны. При этом на бесконечно малом участке при открытом конце труб̈ может быть расширена или сжата. Тогда для внугренних точек трубы, лежащих на хонечном расстояки от отверстия, установленное уравнение дает потенциал скоростей, верный до бесконечно малой дробной части его значения, при условии, что $l$ не равно (с точностью до и́есконечно малых) нечетному кратному четверти волны. О ззвисимогти движения внутри труэки и вне ее при этих предположения нельзя получить никаких указанй. Не делая таких предположений, мы исследуем теперь колебания воздуха в открытой с о иой стороны трусе, размеры поперечного сечения которой бесконечно малы сравнительно с ее длиной и длиной волны.

Вообразим объем воздуха, простирающийся в бесконечность, следовательно, только отчасти ограниченный стенками. Предположим, что часть этой стенки образована параллельной оси $z$ цилиндрической трубой, которая вблизи ее отверстия может отклоняться от цилиндрической формы; размеры ее поперечного сечения мы будем рассматривать как конечные, ее плину и длину волны – как бесконечно большке, причем $x$ тогда бесконечно мало. Допустим, что внутри трубы на бесконечно большом расстоянии от отверстия имеются плоские волны. Положим, что начало $z$ расположено в об́ласти пюоских волн, но так, что расстояние его от отверстия еще бесконечно мало сравнительно с длиной волны, и возьмем положительное направление оси $z$ к осюованию трубы. Поперечное сечение $z=0$ делит весь рассматриваемый ођъем воздуха на две части, которые мы и будем нметь в виду. Для однод части, которая вся находнтся в трубе и для которой $z$ всюду положительно, имеет место уравнение (3), т. e.
\[
\varphi=\left(A^{\prime} \cos x z+B^{\prime} \sin \chi z\right) \cos 2 \pi n t+\left(A^{\prime \prime} \cos \chi z+B^{\prime \prime} \sin x z\right) \sin 2 \pi n t ;
\]

для аругой – общее уравнение (1), т. е.
\[
\varphi=\psi^{\prime} \cos 2 \pi n t+\psi^{\prime \prime} \sin 2 \pi n t .
\]

Для полученного сечения $z=0$ оба выражения для $\varphi$ и для получающегося из него $\frac{\partial p}{\partial z}$ должны быть равны между собой, так как плотность и скорость должна всюлу нзменяться непрерывіо. Соответствующее урав-
* Theorie der Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden. Crelle’s Journal, Bd 57 .

нение мы составим после того, как преобразуем второе зыражение для $\varphi$ Введем в него частные значения $\psi^{\prime}$ и $\psi^{\prime \prime}$, соответствующие некоторому движєнию поперечного сечения $z=0$, которые мы обозначим через $f^{\prime}$ и $f^{\prime \prime}$. Пусть
\[
\varphi=f^{\prime} \cos 2 \pi n t+f^{\prime \prime} \sin 2 \pi n t,
\]

если для поперечного сечения $z=0$ имеет место соотношоние
\[
\frac{\partial \varphi}{\partial z}=\cos 2 \pi n t
\]

и на остальной части границы объема воздуха, к которому относятся $\psi^{\prime}$ и $\psi^{\prime \prime}$, то производная $\varphi$ по нормали обращается в нуль. Тогда $f^{\prime}$ и $f^{n}$ являются функциями $x, y, z$, ојладающими такими свойствами, что для поперечного сечения $z=0$
\[
\frac{\partial f^{\prime}}{\partial z}=1, \quad \frac{\partial f^{\prime \prime}}{\partial r}=0
\]

Из этих частных решений дифференциального уравнения, которому удовлетворяет $\varphi$, мы получим более ојщее, если помножим их на постоянный множитель $c$ и прибавим к $t$ постоянное $\delta$. Положим
\[
\varphi=c\left[f^{\prime} \cos 2 \pi n(t+\delta)+f^{\prime \prime} \sin 2 \pi n(t+\delta)\right] ;
\]

тогда для поперечного сечения $z=0$ будем иметь
\[
\frac{\partial \varphi}{\partial z}=c \cos 2 \pi n(t+\delta),
\]

причем на остальной части границы выполнено прежнее условие. Будем рассматривать $c$ и $\delta$ как переменные; тогда в каждом месте наибольшее сгущение пропорционально $c$, интенсивность же тона пропорциональна $c^{3}$, но она при этом изменяется в зависимости от места. Введем вместо $c$ и $\delta$ две другие переменные величины $c^{\prime}$ и $c^{\prime \prime}$, причем положим
\[
c^{\prime}=c \cos 2 \pi n \delta, c^{\prime \prime}=-c \sin 2 \pi n \delta ;
\]

тогда
\[
\varphi=\left(c^{\prime} f^{\prime}-c^{\prime \prime} f^{\prime \prime}\right) \cos 2 \pi n t+\left(c^{\prime} f^{\prime \prime}+c^{\prime \prime} f^{\prime}\right) \sin 2 \pi n t ;
\]

для поперечного сечения $z:=0$
\[
\frac{\partial \varphi}{\partial z}=c^{\prime} \cos 2 \pi n t+c^{\prime \prime} \sin 2 \pi n t,
\]
\” интенсивность тона пропорциональна
\[
c^{\prime 2}+c^{\prime 2} .
\]

Сравним теперь это выражение с выражением для области плоских волн (6) и запишем условие, чтобы для поперечного сечения $z=0$ оба эти выражения привели к одинаковым формулам для сгущения и скорости. Обозначим значения, которые $f^{\prime}$ и $f^{\prime \prime}$ имеют в сечении $z=0$, через $f_{0}^{\prime}$ и $f_{0}^{\prime \prime}$ : тогда с помощью (7) получим для них
\[
\begin{array}{l}
A^{\prime}=c^{\prime} f_{0}^{\prime}-c^{\prime \prime} f_{0}^{\prime \prime}, x B^{\prime}=c^{\prime}, \\
A^{\prime \prime}=c^{\prime} f_{0}^{\prime \prime}+c^{\prime \prime} f_{0}^{\prime}, x B^{\prime \prime}=c^{\prime \prime} .
\end{array}
\]

Предположим теперь, что поперечное сечение трубы $z=l$ (где $l$ порядка длины волны) получает извне такое движение, что скорость его в момент $t$ в направлении оси $z$ равно $G \cos 2 \pi n t$. Тогда это выражение должнь: быть равно тому значению $\frac{\partial \varphi}{\partial z}$, которое получается вследствие уравнения (6) при $z=l$, т. е. должно быть
\[
\begin{array}{l}
G=x\left(-A^{\prime} \sin x l+B^{\prime} \cos x l\right), \\
0=x\left(-A^{\prime \prime} \sin x l+B^{\prime \prime} \cos x l\right) .
\end{array}
\]

Исключив из этих уравнений и уравнений (8) величины $A^{\prime}, B^{\prime}, A^{\prime \prime}, B^{\prime \prime}$. получим
\[
\begin{array}{l}
G=c^{\prime}\left(\cos x l-x f_{0}^{\prime} \sin x l\right)+c^{\prime \prime} x f_{0}^{\prime \prime} \sin x l \\
0=c^{\prime} x f_{0}^{\prime \prime} \sin x l-c^{\prime \prime}\left(\cos x l-x f_{0}^{\prime} \sin x l\right)
\end{array}
\]

Если известны постоянные $f_{0}^{\prime}$ и $f_{0}^{\prime \prime}$, то из этих уравнений легко можно найти значения $c^{\prime}$ и $c^{\prime \prime}$, и из (8) – значения $A^{\prime}, B^{\prime}, A^{\prime \prime}, B^{\prime \prime}$; если известны также функции $f^{\prime}$ и $f^{\prime \prime}$, то движение будет определено во всем подлежащем рассмотрению объеме воздуха.

Особый интерес представляет знание величины $c^{\prime 2}+c^{\prime 2}$, которая, как мы видели, пропорциональна интенсивности тона в какой-нибудь точке внешнего объема воздуха. Если возведем в квадрат и сложим уравнения (9), то найдем
\[
c^{\prime 2}: c^{\prime \prime 2}=\frac{G^{2}}{\left(\cos x l-x f_{0}^{\prime} \sin x l\right)^{2}+\left(x f_{0}^{\prime \prime} \sin x l\right)^{2}} .
\]

Если $l$ изменяется, в то время как $G$ и $x$ сохраняют одни и те же значения, то уравнение интенсивности тона изменяется периодически, принимая попеременно значения максимума и минимума. Так как $c^{\prime 2}+c^{\prime 2}$ равно обратному значению однородной функции второй степени переменных $\cos x l$ и $\sin \varkappa l$, то мы определим его максимум и минимум из уравнения
\[
\operatorname{tg} 2 \chi l=\gamma \text {. }
\]

где $\gamma$ означает постоянное, зависящее от коэффициентов этой функцин, или, если по-прежнему обозначим через $\lambda$ длину волны, из уравнения
\[
\operatorname{tg} 4 \pi \frac{l}{\lambda}=\gamma .
\]

Если $l_{m}$ – одно из значений $l$, соответствующее максимуму силы тона, то отсюда остальные максимальные и минимальные значения $l$ будут равны соответственно
\[
i_{m}+h \frac{\lambda}{2}
\]

H
\[
l_{m}+(2 h+1) \frac{i}{4},
\]

где $h$-целое число.
На одном примере, в котором мы доведем вычисление до конца, мы убедимся, что $x f_{0}^{\prime \prime}$ есть число бесконечно малое; если принять это, во внимание, то уравнение (10) показывает, что для максимума силы тона будет
\[
\cos x l-x f_{0}^{\prime} \sin x l=0,
\]

r. e.
\[
\begin{array}{c}
\operatorname{tg} x l=\frac{1}{x f_{0}^{\prime}}, \\
c^{\prime 2}+c^{n 2}=G^{2} \frac{1}{\left(x f_{0}^{\prime} \sin x l\right)^{2}}=G^{2} \frac{1+x^{2} f_{0}^{\prime 2}}{x^{2} f_{0}^{\prime 2}},
\end{array}
\]

и что значение этого максимума бесконечно велико сравнительно со значением силы тона в случае, когда уравнение (11) не удовлетворено. Так же убедимся, что это правило верно при данном значении $l$ и при переменной высоте тона, т. е. при переменном $x$.
Определим угол $x \alpha$ из уравнения
\[
\operatorname{tg} x \alpha=x f_{0}^{\prime} ;
\]

тогда уравнение (10) примет вид
\[
c^{\prime 2}+c^{\prime 2}=\frac{G^{2}}{\frac{\cos ^{2} x(l+\alpha)}{\cos ^{2} \alpha \alpha}+\left(x f_{0}^{\prime \prime} \sin x l\right)^{2}} .
\]

В упомянутом примере мы видим, что при известных условиях $и f_{\ominus}^{\prime}$ гакже бесконечно мало; тогда можно положить
\[
\alpha=f_{0}^{\prime} \text {. }
\]
§ 3
В предыдущем параграфе мы предполагали, что вся граница части объема воздуха, к которой относятся $\psi^{\prime}$ и $\psi^{\prime \prime}$, за исключением поперечного сечения $z=0$, находится в покое, и поперечное сечение $z=l$ получает некоторое движение. Теперь мы предположим, что другая часть этой границы получает известное движение и поперечное сечение $z=i$ находится в покое. Чтобы иметь в виду определенный случай, мы будем представлять себе, что перед отверстием трубы находится звучащий камертон, поверхность которого принадлежит, следовательно, к указанной границе. Для случая, когда камертон колеблется определенным образом и поперечное сечение $z=0$ находится в покое, мы положим потенциал скоростей для точки внешнего объема воздуха равным
\[
F^{\prime} \cos 2 \pi n t+F^{\prime \prime} \sin 2 \pi n t,
\]

а для случая, когда камертон находится в покое, и поперечное сечение $z-0$ движется, так что для него
\[
\frac{\partial \varphi}{\partial t}=\cos 2 \pi n t,
\]

возьмем потенциал скоростей равным
\[
f^{\prime} \cos 2 \pi n t+f^{\prime \prime} \sin 2 \pi n t .
\]

Тогда $F^{\prime}$ и $F^{\prime \prime}$ являются некоторыми функциями переменных $x, y, z$, которые имеют то свойство, что для $z=0$ будет
\[
\frac{\partial F^{\prime}}{\partial z}=0 \text { и } \frac{\partial F^{\prime \prime}}{\partial z}=0,
\]

и $f^{\prime}$ и $f^{\prime \prime}$ имеют то же значение, как в предыдущем параграфе.

Если камертон звучит и поперечное сечение $z=0$ движется, так что для него
\[
\frac{\partial \varphi}{\partial z}=c^{\prime} \cos 2 \pi n t+c^{\prime \prime} \sin 2 \pi n t,
\]
ro
\[
\varphi=\left(F^{\prime}+c^{\prime} f^{\prime}-c^{\prime \prime} f^{\prime \prime}\right) \cos 2 \pi n t+\left(F^{\prime \prime}+c^{\prime} f^{\prime \prime}+c^{\prime \prime} f^{\prime}\right) \sin 2 \pi n t .
\]

Для области внутри трубы по-прежнему имеет место уравнение (6). Поставим условия, чтобы оба выражения $\varphi$ и оба выражения $\partial \varphi$, которые получим для $z=0$, были бы разны между собой для всех значений $t$; гогда при помощи (7) и (12) найдем
\[
\begin{array}{l}
A^{\prime}=F_{0}^{\prime}+c^{\prime} f_{0}^{\prime}-c^{\prime \prime} f_{0}^{\prime \prime}, x B^{\prime}=c^{\prime}, \\
A^{\prime \prime}=F_{0}^{\prime \prime}+c^{\prime} f_{0}^{\prime \prime}+c^{\prime \prime} f_{0}^{\prime}, x B^{\prime \prime}=c^{\prime \prime},
\end{array}
\]

где через $F_{0}^{\prime}$ и $F_{0}^{\prime \prime}$ обозначены значения $F^{\prime}$ и $F^{\prime \prime}$ при $z=0$. Если, как мы предположим, поперечное сечение $z=0$ находится в покое, то из (6) следует, что
\[
\begin{array}{l}
A^{\prime} \sin x l-B^{\prime} \cos x l=0, \\
A^{\prime \prime} \sin x l-B^{\prime \prime} \cos x l=0 .
\end{array}
\]

Из этих уравнений мы получим
\[
\begin{array}{c}
c^{\prime}\left(\cos x l-x f_{0}^{\prime} \sin x l\right)+c^{\prime \prime} x f_{0}^{\prime \prime} \sin x l=x F_{0}^{\prime} \sin x l, \\
c^{\prime} x f_{0}^{\prime \prime} \sin x l-c^{\prime \prime}\left(\cos x l-x f_{0}^{\prime} \sin x l\right)=-x F_{0}^{\prime \prime} \sin x l,
\end{array}
\]

н отсюда далее
\[
c^{\prime 2}+c^{\prime 2}=\frac{\left(F_{0}^{\prime 2}+F_{0}^{\prime \prime 2}\right) x^{2} \sin ^{2} x l}{\left(\cos x l-x f_{0}^{\prime} \sin x l\right)^{2}+\left(\chi f_{0}^{\prime \prime} \sin x l\right)^{2}} .
\]

Движение в простирающемся в бесконечность объеме воздуха вследствие уравнения (11) можно рассматривать как уравнение, составленное из того, которое имело бы место, если бы поперечное сечение $z=0$ было в покое, в то время как камертон двигался бы данным образом, и некоторого другого уравнения. Огносительно этого другого уравнения говорят, что оно происходит от резонанса трубы. Интенсивность тона, производимого резонансом, пропорциональна $c^{\prime 2}+c^{\prime 2}$. Если $l$ меняется, то эта величина имеет максимум, равный
\[
\frac{F_{0}^{\prime 2}+F_{0}^{\prime 2}}{f_{0}^{\prime \prime 2}}
\]

при
\[
\operatorname{tg} x_{l}=\frac{1}{x f_{0}^{\prime}},
\]

и минимум, равный нулю, если
\[
\sin x l=0 .
\]

Воспользуемся тем, что $x f_{0}^{\prime \prime}$ – число бесконечно малое, и будем считать максимумы резонанса конечными; тогда из (14) следует, что резонанс будет бесконечно мал, пока $x l$ отличается от каждого корня уравнения (15) на любое конечное количество. Это верно также, когда $l$ постоянно и $x$ переменно. Если перед отверстием трубы поддерживать движе. ние, которое можно рассматривать как составленное из различных тонов, то только те из этих тонов будут весьма усилены резонансом, которые соответствуют уравнению (15).
§ 4
Исследование, аналогичное произведенному в трех предыдущих параграфах этой лекции для плоских волн, можно произвести для сферических волн. Решением дифференциального уравнения, которому удовлетворяет потенциал скоростой вследствие уравнения (12) предыдущей лекции, будет
\[
\begin{aligned}
\varphi & =\frac{1}{r}\left(A^{\prime} \cos x r+B^{\prime} \sin x r\right) \cos 2 \pi n t+ \\
& +\frac{1}{r}\left(A^{\prime \prime} \cos \chi r+B^{\prime \prime} \sin x r\right) \sin 2 \pi n t .
\end{aligned}
\]

Это уравнение того же вида, как уравнение (3), и может привести н таким же заключениям, как последнее. Соответствующее уравнению (16) движение возможно в объеме воздуха, ограниченном двумя концентрическими сферическими поверхностями, точки которых надлежащим образом движутся в радиальном направлении, или двумя такими же сферическими поверхностями и неподвижной конической поверхностью с вершиной в центре сферы.
Частным случаем уравнения (16) является уравнение
\[
\varphi=\frac{1}{r}(A \cos x r+B \sin x r) \cos 2 \pi n\left(t-t_{0}\right) .
\]

Оно представляет стоячие волны. При таком движении на некоторых сферических поверхностях сгущение всегда равно нулю; радиусы их ппре. деляются из уравнения
\[
A \cos x r+B \sin x r=0 .
\]

На других поверхностях – узлах – обращается в нуль скорость, радиу. сы же узлов удовлетворяют более сложному уравнению
\[
A \frac{d \frac{\cos x r}{r}}{d r}+B \frac{d \frac{1 \sin x r}{d r}}{d r}=0,
\]
т. e.
\[
A(\cos x r+x r \sin x r)+B(\sin x r-x r \cos x r)=0 .
\]

Если сферические поверхности, ограничивгющие массу воздуха, непод. вижны, и $R$ и $R^{\prime}$ – их радиусы, то движение, представляемое уравнени. ем (17), возможно, если $x$ имеет такое значение, что уравнение (18) может быть удовлетворено при $r=R$ и $r=R^{\prime}$, при $A$ и $B$, не обращаю. щихся одновременно в нуль. Усл овием этого является уравнение
\[
\operatorname{tg} x\left(R-R^{\prime}\right)=\frac{\chi\left(R-R^{\prime}\right)}{1+x^{2} R R^{\prime}},
\]

которое при $R^{\prime}=0$ перейдет в более простое
\[
\operatorname{tg} x R=x R \text {. }
\]

Эти уравнения определяют собственные тоны рассматриваемой массь воздуха.

Другим частным случаем уравнения (16) является уравнение
\[
\varphi=\frac{A}{r} \cos (x r-2 \pi n t)+\frac{B}{r} \sin (x r-2 \pi n t) ;
\]

оно представляет волны, которые из их центра распространяются наружу. Заменим в (19) минус в $\cos$ и $\sin$ на плюс; тогда будем иметь волны, идущие снаружи к центру.

Вычисление, подобное тому, которое мы произвели в § 2 и 3 ‘относительно бесконечно тонкой цилиндрической трубы, может быть применимо и для конической трубы, имеющей бесконечно малое отверстие при верщине, сообщающейся с бесконечным воздушным пространством и с другой стороны ограниченной сферической поверхностью с центром в вершине.
$\S 5$
Рассмотрим теперь для плоских и сферических волн третий род колебаний, соответствующих простому тону. Мы займемся здесь колебаниями объема воздуха, все измерения которого бесгонечно малы сравнительно с длиной волны тона. Размер объема воздуха примем за конечную, величину, длину волны – за бесконечно большую; тогда величина $x$ будет бесконечне малой. Применим опять способ обозначений, принятый для уравнений (1) и (2), т. е. положим
\[
\varphi=\psi^{\prime} \cos 2 \pi n t+\psi^{\prime \prime} \sin 2 \pi n t
\]

и будем понимать под $\psi$ любую из двух зависящих от $x, y, z$ величин $\psi^{\prime}$ и $\psi^{\prime \prime}$. Уравнекие (2), а именно
\[
\Delta \psi+x^{2} \psi=0,
\]

если $x$ бесконечно мало и $\psi$ не бесконечно велико по сравнению со своей производной, перейдет в уравнение
\[
\Delta \psi=0,
\]

которому удовлетворяет потенциал скоростей для несжимаемой жидкости. Қаждое однозначное решение его мы можем принять за $\psi ; \psi$ должно быть однозначно, даже если объем воздуха будет многосвязным, гак как сгущение, а также $\frac{\partial \varphi}{\partial t}$, должны быть однозначными. Тогда в каждый момент воздух движется как несжимаемая жидкость. Обозначим через $d s$ элемент поверхности объема воздуха и через $n$ – направленную внутрь нормаль к $d s$; тогда будем иметь
\[
\int d s \frac{\partial \psi}{\partial n}=0
\]

Если $\frac{\partial \psi}{\partial n}$, удовлетворяющее этому условию, дано, то, следовательно, всегда дана также некоторая функция $\psi$, содержащая дополнительное произвольное постоянное и удовлетворяющая уравнению $\Delta \psi=0$ *.
* В своем сочинении: «Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältrisse des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs. und Abstossungs-Kräfte» Гаусс установил теорему, что для вполне ограниченного пространства всегда имеется функция, непрерывная и однозначная со своими первыми производными, которая удовлетворяет уравнению $\Delta \psi=0$ и принимает на поверхности любые данные значеияя. Аналогичным способом можно доказать изложенное выше. Однако относительно полной строгости доказательства возникли сомнения; эти же сомнения могут появнться \” прн другом доказательстве.

Если условие (21) не соблюдено, то уравнение (20) решается следующим образом. Положим
\[
\psi=\frac{C}{x^{2}}+U,
\]

где $C$ и $U$ не зависят от $x, C$ – постоянное, $U$ – функция $x, y, z$, которая должна быть надлежащим образом определена. Тогда для $U$ получим дифференциальное уравнение в частных производных ${ }^{42}$
\[
\Delta U+C=0 .
\]

Мы удовлетворим этому уравнению, если положим
\[
U=\frac{C}{4 \pi} \Omega+V,
\]

где $\Omega$ – потенциал массы (плотность которой равна единице), заполняющей рассматриваемый объем воздуха, и $V$ – решение уравнения
\[
\Delta V=0 \text {. }
\]

Если надлежящим образом выбрать постоянную $C$, то это решение может быть таким, что $\frac{\partial \psi}{\partial n}$ получит любые значения. Мы имеем
\[
\frac{\partial \Psi}{\partial n}=\frac{C}{4 \pi} \frac{\partial \Omega}{\partial n}+\frac{\partial V}{\partial n}
\]

так как
\[
\int d s \frac{\partial V}{\partial n}=0
\]

то надо положить
\[
\frac{C}{4 \pi} \int d s \frac{\partial \Omega}{\partial n}=\int d s \frac{\partial \Psi}{\partial n},
\]

или, так как
\[
\int d s \frac{\partial \Omega}{\partial n}=4 \pi T,
\]

где $T$ обозначает объем рассматриваемой массы воздуха,
\[
C T=\int d s \frac{\partial \psi}{\partial n} .
\]

Тогда
\[
\psi=\frac{C}{x^{2}}+\frac{C}{4 \pi} \Omega+V .
\]

Решение уравнения (20) приводит к теории так называемой кубической трубки. Под этим названием подразумевают сосуд, размерами которого являются величины одинакового порядка, сообщающийся с бесконечным воздушным пространством через маленькое отверстие. Если в отверстие дуть надлежащим образом, то возникает тон. Мы будем рассматривать размеры сосуда как конечные, размеры отверстия – как бесконечно малые, а длину волны тона – как бесконечно болышую. Для этого можно применить исследование, которое было произведено в § 2 и 3 для цилиндрической трубы. Сперва мы будем иметь в виду случай, когда одна часть стенки сосуда, которая не должна достигать края отверстия, получит некоторое периодическое движение.

Представим себе сферическую поверхность, описанную вокруг отверстия – центра – радиусом, который бесконечно мал, но сравнительно с размерами отверстия он бесконечно велик.

Часть этой поверхности, лежащую внутри сосуда, будем называть нулевой поверхностью; ее элемент обозначим через $d s_{0}$; она соответствует поперечному сечению $z=0$ цилиндрической трубы. Примем, что для всех элементов поверхности 0 скорость направлена по радиусу и равна ему по величине. Такое предположение допустимо, по крайней мере, для случаев, в кэторых вычисление будет доведено до конца. Этс выяснится из того, что при сделанном предположении для всего рассматриваемого объема воздуха можно найти $\varphi$, которое непрерывно со своими первыми производными всюду, как и на поверхности 0 .
В случае, когда давление на поверхности 0 таково, что
\[
\int d s_{0} \frac{\partial \varphi}{\partial n}=\cos 2 \pi n t
\]

קде $n$ – направленная внутрь сосуда нормаль к $d s_{0}$, предположим, что для какой-нибудь точки части всего рассматриваемого объема воздуха, простирающейся в бесконечность и ограниченной поверхностью 0 , будет
\[
\varphi=f^{\prime} \cos 2 \pi n t+f^{\prime \prime} \sin 2 \pi n t .
\]

При этом $f^{\prime}$ и $f^{n}$ означают некоторые функции $x, y, z$, имеющие то свойство, что
\[
\int d s_{0} \frac{\partial f^{\prime}}{\partial n}=1, \int d s_{0} \frac{\partial f^{\prime \prime}}{\partial n}=0 .
\]

Тогда для случая, когда движение на поверхности 0 происходит по уравнению
\[
\int d s_{0} \frac{\partial \varphi}{\partial n}=c^{\prime} \cos 2 \pi n t+c^{\prime \prime} \sin 2 \pi n t,
\]

получим
\[
\varphi=\left(c^{\prime} f^{\prime}-c^{\prime \prime} f^{\prime \prime}\right) \cos 2 \pi n t+\left(c^{\prime} f^{\prime \prime}+c^{\prime \prime} f^{\prime}\right) \sin 2 \pi n t ;
\]

интенсивность тона всюду пропорциональна $c^{\prime 2}+c^{\prime 2}$.
Во второй части рассматриваемого объема воздуха, вполне ограниченной поверхностью 0 и стенкой сосуда, каждая из двух величин $\psi^{\prime}$ и $\psi^{\prime \prime}$ удовлетворяет уравнению (23). Обозначим значения $C$ для этих функций через $C^{\prime}$ и $C^{\prime \prime}$. Так как функция $\varphi$ непрерывна на поверхности 0 , то, если пренебречь членами, бесконечно малыми сравнительно с принимаемыми во внимание, отсюда следует, что
\[
\begin{array}{l}
C^{\prime}=x^{2}\left(c^{\prime} f_{0}^{\prime}-c^{\prime \prime} f_{0}^{\prime}\right), \\
C^{\prime \prime}=x^{2}\left(c^{\prime} f_{0}^{\prime \prime}+c^{\prime \prime} f_{0}^{\prime}\right),
\end{array}
\]

где $f_{0}^{\prime}$ и $f_{0}^{\prime \prime}$ представляют значения $f^{\prime}$ и $f^{\prime \prime}$ для какой-нибудь точки поверхности 0 . Два других уравнения получим, когда $\frac{\partial \varphi}{\partial n}$ на поверхности 0 также непрерывно. С одной стороны, из (25) с помощью (24) следует, что
\[
\int d s_{0} \frac{\partial \psi^{\prime}}{\partial n}=c^{\prime}, \int d s_{0} \frac{\partial \psi^{n}}{\partial n}=c^{\prime \prime} .
\]

Будем называть часть стенки сосуда, которая получает движение снаружи, поверхностью $l$ и обозначим элемент ее через $d s_{l}$. Пусть движениє будет таким, что
\[
\int d s_{l} \frac{\partial \varphi}{\partial n}=G \cos 2 \pi n t,
\]

где $n$-направленная внутрь сосуда нормаль к $d s_{l}, G$ – постоянное. Тогда уравнение (22) дает
\[
\begin{array}{c}
G+\int d s_{0} \frac{\partial \psi^{\prime}}{\partial n}=C^{\prime} T, \\
\int d s_{0} \frac{\partial \psi^{\prime \prime}}{\partial n}=C^{\prime \prime} T,
\end{array}
\]

если $T$ – объем сосуда; отсюда имеем
\[
\begin{array}{c}
G+c^{\prime}=C^{\prime} T, \\
c^{\prime \prime}=C^{\prime \prime} T .
\end{array}
\]

Подставив сюда вместо $C^{\prime}$ и $C^{\prime \prime}$ их значения из (26), найдем
\[
\begin{array}{c}
c^{\prime}\left(1-x^{2} f_{0}^{\prime} T\right)+c^{\prime \prime} x^{2} f_{0}^{\prime \prime} T=-G, \\
c^{\prime} x^{2} f_{0}^{\prime \prime} T-c^{\prime \prime}\left(1-x^{2} f_{0}^{\prime} T\right)=0,
\end{array}
\]

и отсюда
\[
c^{\prime 2}+c^{\prime \prime 2}=\frac{G^{2}}{\left(1-\varkappa^{2} f_{0}^{\prime} T\right)^{2}+\left(\varkappa^{2} f_{0}^{\prime \prime} T\right)^{2}} .
\]

Из одного примера мы увидим, что второй член в знаменателе этого выражения есть число бесконечно малое. Применив это замечание, мы можем заключить, что интенсивность тона бесконечно велика сравнительно со значениями, которые она имела прежде, если только
\[
1-x^{2} f_{0}^{\prime} T=0 .
\]

Допустим теперь, что стенки сосуда находятся в покое и тон задается извне сосуда, например колеблющимся камертоном. Для этого случая можно применить исследование, подобное приведенному в § 3 . Для бесконечного воздушного пространства, если поверхность 0 покоится, будем иметь
\[
\varphi=F^{\prime} \cos 2 \pi n t+F^{\prime \prime} \sin 2 \pi n t,
\]

причем
\[
\int d s_{0} \frac{\partial F^{\prime}}{\partial n}=0 \text {, и } \int d s_{0} \frac{\partial F^{\prime \prime}}{\partial n}=0 .
\]

Если для поверхности 0 будет
\[
\int d s_{0} \frac{\partial \varphi}{\partial n}=c^{\prime} \cos 2 \pi n t+c^{\prime \prime} \sin 2 \pi n t,
\]

то тогда имеем
\[
\varphi=\left(F^{\prime}+c^{\prime} t^{\prime}-c^{\prime \prime} f^{\prime \prime}\right) \cos 2 \pi n t+\left(F^{\prime \prime}+c^{\prime} f^{\prime \prime}+c^{\prime \prime} f^{\prime}\right) \sin 2 \pi n t .
\]

Положим опять для пространства, ограниченного стенкой сосуда и поверхностью 0 ,
\[
x^{2} \varphi=C^{\prime} \cos 2 \pi n t+C^{\prime \prime} \sin 2 \pi n t ;
\]

тогда из условия, что $\varphi$ и $\frac{\partial \varphi}{\partial n}$ непрерывны на поверхности 0 , получим уравнения
\[
\begin{array}{l}
C^{\prime}=x^{2}\left(F_{0}^{\prime}+c^{\prime} f_{0}^{\prime}-c^{\prime \prime} f_{0}^{\prime \prime}\right), \quad c^{\prime}=C^{\prime} T, \\
C^{\prime \prime}=x^{2}\left(F_{0}^{\prime \prime}+c^{\prime} f_{0}^{\prime \prime}+c^{\prime \prime} f_{0}^{\prime}\right), \quad c^{\prime \prime}=C^{\prime \prime} T,
\end{array}
\]

где через $F_{0}^{\prime}$ и $F_{0}^{\prime \prime}$ обозначены значения $F^{\prime}$ и $F^{\prime \prime}$ для какой-нибудь точки поверхности 0 . Отсюда следует, что
\[
\begin{array}{l}
x^{2} T F_{0}^{\prime}=c^{\prime}\left(1-x^{2} f_{0}^{\prime} T\right)+c^{\prime \prime} x^{2} f_{0}^{\prime} T, \\
x^{2} T F_{0}^{\prime \prime}=-c^{\prime} x^{2} f_{0}^{\prime} T+c^{\prime \prime}\left(1-x^{2} f_{0}^{\prime} T\right)
\end{array}
\]

и далее
\[
c^{\prime 2}+c^{\prime \prime 2}=\frac{\left(F_{0}^{\prime 2}+F_{0}^{\prime \prime 2}\right) x^{4} T^{2}}{\left(1-x^{2} f_{0}^{\prime} T\right)+\left(\varkappa^{2} f_{0}^{\prime \prime} T\right)^{2}}
\]

Этой величине пропорциональна интенсивность тона, производимого резонансом. Если $x^{2} f_{0}^{\prime \prime} T$ бесконечно мало, то эта величина бесконечно велика сравнительно со значениями, которые она имела прежде, если только имеет место уравнение (27). Это уравнение определяет тон, который возникает, если дуть в отверстие надлежацим образом.
§ 6
В уравнениях, приведенных в $\S 2,3$ и 5 для цилиндрической и кубической трубки, встречаются две постоянные – $f_{0}^{\prime}$ и $f_{0}^{\prime \prime}$, которыми существенно обусловливается резонанс; теперь мы постараемся вычислить эти постоянные для некоторых случаев. При этом необходимо определить потенциал скоростей для всего рассматриваемого объема воздуха и для движения, которое в цилиндрической трубе поддерживается ее основанием, в кубической же трубе – произвольной частью сосуда. Это опятьтаки возможно гри некоторых определенных предположениях относительно ограничения объема воздуха. Мы примем, что для расстояний от отверстия порядка длины волны или больших, простирающихся в бесконечность, объем воздуха или ничем не ограничен, или ограничен частью произвольной конической поверхности, вершина которой расположена в отверстии. Обозначим через $r$ расстояние переменной точки от этой вершины и допустим, что для значений $r$ порядка длины волны или бо́льших, имеет место уравнение (19)
\[
\varphi=\frac{A}{r} \cos (x r-2 \pi n t)+\frac{B}{r} \sin (x r-2 \pi n t),
\]
т. е. что для значений $r$ указанного порядка величины имеются сфери* ческие волны, которые распространяются наружу. Допустимость этого предположения оправдывается тем, что при нем можно найти $\varphi$, удовлетворяющее всем условиям, которые должны быть выполнены.

Представим себе, что вокруг начала $r$ описан шар, который опять лежит в области сферических волн, но радиус его бесконечно мал сравнительно с длиной волны. Назовем его поверхностью 1 , элемент его обозначим через $d s_{1}$, а внешнюю нормаль к этому элементу через $n$. Чтобы иметь возможность совместно рассматривать цилиндрическую и кубическую трубки, назовем поверхностью 0 то поперечное сечение каждой трубки, которое прежде обозначали как сечение $z=0$. Мы уже предположили, что расстояние ее от отверстия бесконечно мало сравнительно с длиной волны. Две поверхности 1 и 0 делят все рассматриваемое воздушное пространство на три части. Для каждой из двух внешних частей мы установили выражение $\varphi$ уравнениями (21), (23) и (28); мы должны еще составить уравнение для средней части, ограниченной поверхностями 0 и 1 , и именно такое, чтобы $\varphi$ и $\frac{\partial \varphi}{\partial n}$ были непрерывны на поверхностях 0 и 1 . Размеры этой части бесконечно малы сравнительно с длиной волны. Обозначим опять через $\psi$ любую из двух функций $\varphi^{\prime}$ и $\psi^{\prime \prime}$; тогда, согласно разъяснению, сделанному в § 5 , для $\psi$ можно взять решение уравнения $\Delta \psi=0$, лишь бы было выполнено уравнение (21), которое при наших теперешних обозначениях будет иметь вид
\[
\int d s_{0} \frac{\partial \Psi}{\partial n}+\int d s_{1} \frac{\partial \Psi}{\partial n}=0
\]

это условие может быть удовлетворено наряду с другими. Мы можем тогда рассматривать $\psi$ как потенциал скоростей несжимаемой жидкости, которая движется так же, как воздух в некоторый момент. Согласно предположению, сделанному нами в § 2 и 5, найдем также, что $\psi$ во всех точках поверхности 0 имеет одно и то же значение. В самом деле, мы предположили там, что поперечное сечение $z=0$ лежит в области плоских волн, и здесь, что скорость во всех точках поверхности 0 перпендикулярна к ней. Из уравнения (28) следует, что на поверхности 1 ф также имеет во всех точках равные значения. Для твердой стенки, соединяющей края поверхностей 0 и 1 , будет $\frac{\partial \psi}{\partial n}=0$. Отсюда, после рассуждений, приведенных в семнадцатой лекции, получим
\[
\int d s_{0} \frac{\partial \psi}{\partial n}=-\int d s_{1} \frac{\partial \psi}{\partial n}=\frac{1}{W}\left(\psi_{0}-\psi_{1}\right),
\]

где $W$ означает ностоянное, зависящее от формы объема, лежащего между поверхностями 0 и 1 , которое мы назвали там сопротивлением этого объема (этот термин мы заимствовали из учения об электричестве).

Функции $f^{\prime}$ и $f^{\prime \prime}$, найти значения которых для точек поверхности 0 составляет нашу задачу, поскольку они относятся к точкам на поверхностях 0 и 1 или между ними, представляют частный случай рассматриваемой теперь функции $\psi$; поэтому в уравнении (29) можно положить $\psi=f^{\prime}$ и $\psi=f^{\prime \prime}$. Положим, что это сделано; обозначим затем через $f_{1}^{\prime}$ и $f_{1}^{\prime \prime}$ значения $f^{\prime}$ и $f^{\prime \prime}$ в точках поверхности 1. Пусть $r_{1}$ будет радиус этой поверхности и $K$-отверстие конуса, который ограничивает простирающееся в бесконечность воздушное пространство в достаточном удалении от отверстия, как мы это предположим. Тогда из (28), на основании того, что $x r_{1}$ бесконечно мало, следует
\[
\begin{array}{c}
f_{1}^{\prime}=\frac{A}{r_{1}}+B x, f_{1}^{\prime \prime}=A x-\frac{B}{r_{1}}, \\
\int d s_{1} \frac{\partial f^{\prime}}{\partial n}=-K A, \int d s_{1} \frac{\partial f^{\prime \prime}}{\partial n}=K B .
\end{array}
\]

Для цилиндрической трубы для поверхности 0 по (7) имеем
\[
\frac{\partial f^{\prime}}{\partial n}=1, \frac{\partial f^{\prime \prime}}{\partial n}=0
\]

следовательно, если $Q$ означает поперєнное сечение трубы, то
\[
\int d s_{0} \frac{\partial f^{\prime}}{\partial n}=Q, \int d s_{0} \frac{\partial f^{\prime \prime}}{\partial n}=0 .
\]

С помощью (30) и (31) уравнения (29) дают
\[
\begin{array}{l}
Q=K A=\frac{1}{W}\left(f_{0}^{\prime}-\frac{A}{r_{1}}-B x\right), \\
0=K B=\frac{1}{W}\left(f_{0}^{\prime \prime}-A x+\frac{B}{r_{1}}\right) ;
\end{array}
\]

следовательно,
\[
\begin{array}{c}
A=\frac{Q}{K}, \quad B=0, \\
f_{0}^{\prime}=Q\left(W+\frac{1}{K r_{1}}\right), \quad f_{0}^{\prime \prime}=\frac{\chi Q}{K} .
\end{array}
\]

Выражение для $f_{0}^{\prime}$ можно представить проще. Эта величина, согласно первоначальному ее определению, не должна зависеть от $r_{1}$, которое должно быть известного порядка величины, но в остальном может быть выбрано произвольно. Поэтому $W$ должно известным образом зарисеть от $r_{1}$. В условия (29), из которых должно быть определено $W, x$ не входит; поэтому, не изменяя этого условия, можно в нем положить $x=0$. Поэтому требование, что $x r_{1}$ должно быть бесконечно малым, не ограничивает величины, которая может быть дана $r_{1}$ при определении $W$. Теперь, изменяя обозначения, мы обозначим той же буквой $W$ значение $W$ при $r_{1}=\infty$; тогда получим
\[
f_{0}^{\prime}=Q W, \quad f_{0}^{\prime \prime}=\frac{x Q}{K} .
\]

Для кубической трубки вместо уравнений (31) войдут уравнения (24). именно
\[
\int d s_{0} \frac{\partial f^{\prime}}{\partial n}=1, \quad \int d s_{0} \frac{\partial f^{\prime \prime}}{\partial n}=0,
\]

между тем как уравнение (30) будет по-прежнему иметь место. Поэтому здесь из (29) получим
\[
f_{0}^{\prime}=W, f_{0}^{\prime \prime}=\frac{x}{K} .
\]
§ 7
Найдем теперь значение $W$ для некоторых случаев. Эта задача относится к движению несжимаемой жидкости. Те исследования, которые мы произвели в § 4 семнадцатой лекции относительно течений в несжимаемой жидкости по нормалям к софокусным эллипсоидам, мы приложим к кубической трубке, сделав предположение, что поверхность сосуда вблизи отверстия и на бесконечно большом от него расстоянии, сравнительно с его размерами, есть однополостный гиперболоид. Составим уравнение этого гиперболоида
\[
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1
\]

и обозначим через $K$ отверстие его асимптотического конуса; тогда, на основании выражения (31) семнадцатой лекции, получим
\[
W=\frac{2}{K} \int_{0}^{\infty} \frac{d x}{\sqrt{\left(a^{2}+c^{2}+x^{2}\right)\left(b^{2}+c^{2}+x^{2}\right)}} .
\]

Положив $c=0$, придем к случаю отверстия в тонкой плоской стенке. ограниченного эллипсом с полуосями $a$ и $b$; при этом будет
\[
K=2 \pi \text {. }
\]

Положим еще
\[
a=b=R \text {; }
\]

тогда отверстие будет кругом радиуса $R$ и
\[
W=\frac{1}{2 R} .
\]

Для тона наисильнейшего резонанса, или тона, получаемого при надлежащем дутье в отверстия, в этом случае получим по (33) и (27)
\[
x^{2}=\frac{2 R}{T} .
\]

Положим теперь
\[
x=\frac{2 \pi n}{a},
\]

где через $n$ обозначено число двойных колебаний в единицу времени, через $a$-скорость распространения звука в воздухе. Примем за единицу времени и длины секунду и миллиметр; положим для атмосферного сухого воздуха при температуре $0^{\circ} \mathrm{C}$
\[
a=332260
\]

и введем вместо радиуса $R$ площадь отверстия $S$; тогда из (35) получим
\[
n=56174 \frac{\sqrt[4]{S}}{\sqrt{T}} .
\]

Задолго до того, как этот теоретический результат был выведен Гельмгольцем, Зондхаусс представил результаты своих опытов относительно тонов кубической трубки формулой
\[
n=52400 \frac{\sqrt[4]{S}}{\sqrt{T}} .
\]

Теперь вычислим также сопротивление $W$ для известного рода цилиндрической труб́ки. Мы предпошлем этому следующее. Пусть на части плоскости $x O y$ некоторой координатной системы будет распределена масса переменной плотности $h$, и пусть $V$ будет потенциал этой массы в точке $(x, y, z)$. Тогда в двух точках, которым соответствуют равные значения $x$ и $y$ и противоположные значения $z$, потенциал $V$ имеет равные значения. Отсюда следует, во-первых, что при бесконечно малом $z$ потенциал $V$ имеет всегда одно и то же значение, будет ли $z$ положительно или отрицательно, что мы могли бы заклочить из общего предположения, что потенциал простого слоя масс непрерывен при переходе через слой. Во-вторых, отсюда следует, что $\frac{\partial V}{\partial z}$ для $z=0$ на обеих сторонах плоскости $x O y$ имеет противоположные значения. Соединим это с предложением, выраженным уравнением (9) шестнадцатой лекции, причем если направление $n_{i}$ совпадает с направлением оси $z$, то для бесконечно малого $z$ найдем
\[
\frac{\partial V}{\partial z}=-2 \pi h \text { при } z \text { ноложительном, }
\]

H
\[
\frac{\partial V}{\partial z}=+2 \pi h \text { при } z \text { отрицательном, }
\]

откуда, между прочим, следует, что для части плоскости $x O y$, свободной от масс, для которой, следовательно, $h=0$, производная $\frac{\partial V}{\partial z}$ обращается в нуль.

Обозначим теперь через $d s$ элемент части плоскости $x O y$, которую назовем площадью $S$, через $r$ – расстояние точки $(x, y, z)$ от $d s$, через $e$ – такую функцию координат $d s$, что всегда, когда точка $(x, y, z)$ лежит на площади $S$, будет
\[
\int \frac{e d s}{z}=1 .
\]

наконец, через $c$ – произвольное постоянное. Рассмотрим функцию $\psi$ переменных $x, y, z$, которую определим тем, что положим для отрицательных значений $z$
\[
\psi=\int \frac{e d s}{r}+c \int \frac{d s}{r}
\]

и для положительных значений $z$
\[
\Psi=-\int \frac{e d s}{r}+c \int \frac{d s}{r}+2+4 \pi c z .
\]

Это $\psi$ во всем пространстве удовлетворяет уравнению $\Delta \psi=0$; далее оно имеет то свойство, как это следует из предпосланных замечаний, что $\psi$ и $\frac{\partial \psi}{\partial z}$ на площади $S$ непрерывны, между тем как на остальной части плоскости $x O y$ претерпевают разрыв. Действительно, в точках площади $S$ на одной, как и на другой стороне будет
\[
\begin{array}{l}
\psi=1+c \int \frac{d s}{r}, \\
\frac{\partial \psi}{\partial z}=2 \pi(e+c) ;
\end{array}
\]

далее, на плоскости $x O y$ вне площади $S$ на стороне отрицательных z будет
\[
\frac{\partial \psi}{\partial z}=0,
\]

и в бесконечности для отрицательных значений $z$
\[
\psi=0,
\]

для положительных
\[
\downarrow=2+4 \pi c z \text {. }
\]

Теперь определим область для точки ( $x, y, z$ ), которая вполне ограничена следующими поверхностями: полусферой, описанной вокруг начала координат бесконечно большим радиусом со стороны отрицательных $z$; частью плоскости $x O y$, лежащей между границей этой полусферы и границей площади $S$; частью плоскости, для которой $z$ имеет бесконечно большое положительное значение $L$, и частью поверхности, проходящей через край $S$ и пересекающей ортогонально поверхности $\psi=$ const, причем эта поверхность для бесконечно больших поләжительных значений $z$ обращается в цилиндрическую поверхность, параллельную оси $z$. В этой области функция обладает всеми свойствами потенциала скоростей несжимаемой жидкости. Если рассматривать ее как таковую, то бесконечно большую полусферу и плоскость $z=L$ можно рассматривать как поверхности равного потенциала, а остальные граничные поверхности – как твердые стенки. Обозначим через $Q$ поперечное сечение трубы, принадлежащей этой области, при бесконечно больших положительных значениях $z$; тогда из (37) для сопротивления $W$ пространства, наполненного рассматриваемой жидкостью, получим
\[
W=\frac{2+4 \pi c L}{4 \pi c Q}=\frac{1}{Q}\left(L+\frac{1}{2 \pi c}\right) .
\]

Это выражение для $W$ можно привести к другому виду. Положим
\[
\int d s=S, \int e d s=\tau,
\]
т. е. обозначим через $S$ величину площади (которая уже была так обозначена), через $\Upsilon$ – электрическую емкость площади $S$. Вычислим из (36) и (37) объем жидкой массы, проходящей в единицу времени через поперечное сечение, и приравняем друг другу полученные таким образом выражения; тогда будем иметь
\[
2 \pi(\gamma+c S)=4 \pi c Q
\]
T. e.
\[
c=\frac{\gamma}{2 Q-S} ;
\]

следовательно,
\[
W=\frac{1}{Q}\left(L+\frac{2 Q-S}{2 \pi \gamma}\right) .
\]

Если площадь $S$, или, как мы будем теперь выражаться, отверстие трубки, есть эллипс, то для $\frac{1}{\gamma}$ имеет место выражение (30) семнадцатой лекции; но в этом случае трудно найти форму трубы, т. е. поверхности, которыє пересекают ортогонально поверхности $\psi=$ const и проходят через край отверстия. Это относительно легче для круглого отверстия, так как тогда стенки трубки являются поверхностью вращения и для вычисления ее можно будет воспользоваться способом, указанным в $§ 2$ восемнадцатой лекции. Если площадь $S$ есть круг радиуса $R_{1}$, то
\[
\gamma=\frac{2 R_{1}}{\pi} .
\]

Обозначим через $R$ радиус поперечного сечения $Q$; тогда получим
\[
W=\frac{1}{Q}\left(L+\frac{\pi}{4} \cdot \frac{2 R^{2}-R_{1}^{2}}{R_{1}}\right) .
\]

Если при этом еще $R_{1}=R$, то отсюда находим
\[
W=\frac{1}{Q}\left(L+\frac{\pi}{4} R\right) .
\]

Для последнего случая Гельмгольц произвел вычисление стенки трубы и нашел, что она имеет почти точно цилиндрическую форму. Радиус ее не меньше $R$ и максимум этого радиуса равен приблизительно $1,02 R$.