$\S 1$

Данные в предыдущей лекции дифференциальные уравнения (17) для движения системы матєриальғых точек предполагают введєние прямоугольной системы ксординат, которую мсжуо выСрать произеольно. Эти уравнения мсжео приести, как мы теперь покажєм, к такой форме, при которсй они уже не будут связаны с выбором какой-лисо определенной системы координат.

Рассмотрим положение точек, соответствующее некоторому определенному значению $t$, и представим себе, что этим точкам сооєщено бесконечно малое отклонение из этсго положения. При этом координаты $x_{1}, y_{1}, z_{1}, x_{2}$, $y_{2}, z_{2}, \ldots$ получат прирсщение, ссответственно $\delta x_{1}, \delta y_{1}, \delta z_{1}, \delta x_{2}, \delta y_{2}, \ldots$ Эти компоненты перемщения, кроме того, что они бесконечно малы, должны еще удовлетворять условию быть совместными с уравнениями связей $\varphi=c, \psi=e, \ldots$ или, что то же самое, должны удовлетворять уравнениям
\[
\Sigma \frac{\partial \varphi}{\partial x} \delta x=0, \quad \Sigma \frac{\partial \psi}{\partial x} \delta x=0, \ldots
\]

в которых $x$ означает какую-нибудь из величин $x_{1}, y_{1}, z_{1}, x_{2}, y_{2}, \ldots$ и знак $\Sigma$ выражает, что сумма распространяется на все эти величины. Подобные перемещения называются возжожныли в противоположность действительным, настоящим, которые имеют место в некоторый элемент времени $d t$. Время может входить явно в уравнения связей $\varphi=c, \psi=c, \ldots$, что не будет исключением; в этом случае выражение: перемещения должны быть совместными с уравнениями связей не имеет определенного значения; его значение прежде всего определяется уравнениями (1). Возможные перемещения будут при этом соответствовать уравнениям связей, в которых время рассматривается как постоянное. Например, пусть точка будет вынуждена оставаться на шаровой поверхности, движушейся с данной скоростью; тогда возможным перемещением будет перемещение, отнесенное к неподвижному шару.

Умножим дифференциальные уравнения (17) предыдущей лекции на $\delta x_{1}, \delta y_{1}, \delta z_{1}, \delta x_{2}, \delta y_{2}, \ldots$ и сложим их; тогда с помощью уравнений (1) получим
\[
0=\sum\left(m \frac{d^{2} x}{d t^{2}}-X\right) \delta x+\left(m \frac{d^{2} y}{d t^{2}}-Y\right) \delta y+\left(m \frac{d^{2} z}{d t^{2}}-Z\right) \delta z,
\]

где сумма распространяется на всю систему точек.
Это уравнение, если прибавить, что оно пригодно для всех возможных перемещений, вполне равносильно с уравнениями (17). Мы получим уравнение (2) из (17), если выведем (17) из (2), т. е. если покажем, что величины $\lambda, \mu, \ldots$, входящие в уравнение (17), для всех значеняй $\delta x$ удовлетворяют уравнениям (1). Это вытекает из исследования, относящегося к теории линейных функций.

Выражаемая уравнением (2) теорема носит название принципа Даламбера.
$\$ 2$
Преобразуем еще уравнение (2).
Выражение
\[
X \delta x+Y \delta y+Z \delta z
\]

называется работой силы $(X, Y, Z$ ) на перемещении ( $\delta x, \delta y, \delta z$ ) ее точки приложения; если ввести в рассмотрение величину силы и перемещения, то это выражение равно произведению силы на перемещение и на косинус угла между ними. Оно не зависит от системы координат и положительно или отрицательно в зависимости от знака косинуса. Пусть будет дана система сил, действующих на различные точки или имеющих общую точку приложения; тогда распространенная на все силы сумма
\[
\sum(X \delta x+Y \delta y+Z \delta z)
\]

называется работой системы сил для рассматриваемых перемещений. Если силы имеют общую точку приложения, то работа их равна работе их равнодействуюцей, так как компоненты равнодействующей по осям координат равны суммам соответствующих компонент отдельных сил.
§ 3

Положим в уравнении (2)
\[
\sum(X \delta x+Y \delta y+Z \delta z)=U^{\prime},
\]
т. е. $U^{\prime}$ обозначает работу сил $(X, Y, Z$ ) для рассматриваемых перемещений.
: Величины $x, y, z$ суть функции времени; также и величины $\delta x, \delta y, \delta z$ мы можем и будем рассматривать как функции времени, которые только должны быть бесконечно малы и удовлетворять уравнениям (1).
Тогда получим
\[
\frac{d^{2} x}{d t^{2}} \delta x=\frac{\ulcorner d}{d t}\left(\frac{d x}{d t} \delta x\right)-\frac{d x}{d t} \frac{d \delta x}{d t} .
\]

Если \”при данном, остающемся неизменным, значении $t$ величина $x$ изменяется на $\delta x$, то изменяется также $\frac{d s}{d t}$; мы обозначим приращение $\frac{d x}{d t}$ через $\delta \frac{d x}{d t}$. Из этого определения следует:
\[
\delta \frac{d x}{d t}=\frac{d(x+\delta x)}{d t}-\frac{d x}{d t}=\frac{d \delta x}{d t} .
\]

Отсюда получаем
\[
\frac{d x}{d t} \frac{d \delta x}{d x}=\frac{d x}{d t} \delta \frac{d x}{d t}=\frac{1}{2} \delta\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2},
\]

если обозначить через $\delta$ вообще изменение, которое получает поставленное за этим значком выражение, когда $x, y, z$ изменяются на $\delta x, \delta y, \delta z$.

Поэтому вместо (4) получим
\[
\frac{d^{2} x}{d t^{2}} \delta x=\frac{d}{d t}\left(\frac{d x}{d t} \delta x\right)-\frac{1}{2} \delta\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2} .
\]

Вместо $x$ сюда могут быть подставлены также $y$ или $z$. Далее, если обозначаемое значком $\delta$ изменение назовем вариацией, то, так как вариация суммы равна сумме вариаций частей, получим
\[
\begin{array}{c}
\sum m\left(\frac{d^{2} x}{d t^{2}} \delta x+\frac{d^{2} y}{d t^{2}} \delta y+\frac{d^{2} z}{d t^{2}} \delta z\right)= \\
=\frac{d}{d t} \sum m\left(\frac{d x}{d t} \delta x+\frac{d y}{d t} \delta y+\frac{d z}{d t} \delta z\right)-\delta \sum \frac{m}{2}\left(\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}+\right. \\
\left.+\left(\begin{array}{c}
d y \\
d t
\end{array}\right)^{2}+\left(\frac{d z}{d t}\right)^{2}\right) .
\end{array}
\]

Входящую в последний член предыдущего уравнения сумму назовем жиелй силой системы и обозначим ее через $T$; тогда будем иметь
\[
T=\frac{1}{2} \sum m v^{2},
\]

где через $v$ обозначена скорость.
Поэтому, приняв во внимание โуравнение ‘(3), вместо уравнения (2), получим
\[
\frac{d}{d t} \sum m\left(\frac{d x}{d t} \delta x+\frac{d y}{d t} \delta y+\frac{d z}{d t} \delta z\right)=\delta T+U^{\prime} .
\]

Правая часть этого уравнения не зависит от системы координат; но и в левой эта зависимость только кажущаяся, так как выражение
\[
\frac{d x}{d t} \delta x+\frac{d y}{d t} \delta y^{\prime}+\frac{d z}{d t} \delta z
\]

представляет произведение скорости $v$ на перемещение $(\delta x, \delta y, \delta z$ ) и на косинус угла между ними.

Преобразуем еще уравнение (7), умножим его на $d t$ и проинтегрируем между двумя протзвольно выбранными значениями $t$, которые обозначим через $t_{0}$ и $t_{1}$. Тогда получим
\[
\left[\sum m\left(\frac{d x}{d t} \delta x+\frac{d y}{d t} \delta y+\frac{d z}{d t} \delta z\right)\right]_{t_{0}}^{t_{1}}=\int_{t_{0}}^{t_{1}} d t\left(\delta T+U^{\prime}\right),
\]

где поставленные в левой части значки ‘обозначают разность значений, стоящих в прямых скобках, для $t=t_{1}$ и $t=t_{0}$. Наложим на вариации $\delta x$, $\delta y, \delta z$ новое ограничение, положив, что для $t=t_{0}$ и $t=t_{1}$ они все обращаются в нуль; тогда будем иметь:
\[
0=\int_{t_{0}}^{t_{i}} d t\left(\delta T+U^{\prime}\right) .
\]

Принципом Гамильтона называется следующее утверждение: уравнение (9) имеет место для всех бесконечно малых вар ааций положения точек, совместимых со связями, которым подчинено их движение, и обращающихся в нуль для $t=t_{0}$ и $t=t_{1}$. Мы вывели принцип Гамильтона из принципа Даламбера, т. е. из уравнения (2); покажем теперь, что можно поступать также и наоборот.

Воспользовавшись данными в (3) и (6) определениями и тождеством (5), мы приведем уравнение (9) к виду
\[
\begin{array}{c}
0=\int_{t_{0}}^{t_{1}} d t \sum\left(m \frac{d^{2} x}{d t^{2}}-X\right) \delta x+\left(m \frac{d^{2} y}{d t^{2}}-Y\right) \delta y+ \\
+\left(m \frac{d^{2} z}{d t^{2}}-Z\right) \delta z
\end{array}
\]

Теперь заметим, что значения $\delta x, \delta y, \delta z$ могут быть положены равными нулю для всех элементов времени, которые лежат в интервале от $t=t_{0}$ до $t=t_{1}$, за исключением одного, а для этого элемента равными некоторому произвольному перемещению; тогда очевидно, что для этого элемента времени уравнение (2) имеет место; но так как этот элемент времени может быть выбран произвольно, то оно всегда имеет место.

Принцип Гамильтона, Даламбера и лагранжевы дифференциальные уравнения (17) предыдущего параграфа оказываются, таким образом, вполне равносильными.
\$ 4
Большое преимущество принципа Гамильтона заключается в том, что с помощью его в дифференциальных уравнениях движения системы материальных точек можно относительно легко заменить прямоугольные координаты другими переменными.

Пусть $p_{1}, p_{2}, \ldots$ будут какие-нибудь величины, определяющие положения точек, т. е., иными словами, все $x, y, z$ могут быть выражены в функции только этих переменных.

Если $x$ есть какая-нибудь прямоугольная координата некоторой точки, то
\[
\frac{d x}{d t}=\frac{\partial x}{\partial p_{1}} \frac{d p_{1}}{d t}+\frac{\partial x}{\partial p_{2}} d p_{2}+\ldots
\]

и
\[
\delta x=\frac{\partial x}{\partial p_{1}} \delta p_{1}+\frac{\partial x}{\partial p_{2}} \delta p_{2}+\ldots,
\]

где производные $\frac{\partial x}{\partial p_{1}}, \frac{\partial x}{\partial p_{2}}, \ldots$ рассматриваются как функции от $p_{1}, p_{\mathbf{2}}, \ldots$ Қомпоненты силы $X, Y, Z$, входящие в выражение (3) для $U^{\prime}$, которые, вообще, являются функциями величин $x, \frac{d x}{d t}$ и $t$, после введения $p$ будут функциями величин $p, \frac{d p}{d t}$ и $t$; само $U^{\prime}$ становится при этом однородной линейной функцией от $\left\lceil\delta p\right.$ с коэффициентами, зависящими от $p, \frac{d p}{d t}$ и $t$. Далее, $T$ – однородная функция второй степени величин $\frac{d p}{d t}$, коэффициенты которой зависят от $p ; \delta T$-однородная линейная функция $\delta p$ и $\delta \frac{d p}{d t}$, коэффициенты которой содержат величины $p$ и $\frac{d p}{d t}$. Поэтому выражение $\delta T+U^{\prime}$ имеет вид
\[
\sum\left(P \delta p+Q \frac{d \delta p}{d t}\right),
\]

где сумма распространена на все $\delta p$ и где $P$ и $Q$ – функции величин $p$, $\frac{d p}{d t}$ и $t$.

Величины $p$ не должны необходимо быть независимыми между собой; между ними и временем могут существовать уравнения связей. Уравнение (9) тогда должно выполняться только для возможных перемещений $\delta p$, т. е. таких, которые удовлетворяют уравнениям связей, если рассматривать в них время как постоянное. Величины $\delta p$ могут быть представлены в виде однородных линейных функций независимых между собой бесконечно малых величин, которые обозначим через $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \ldots$; число этих величин равно разности между числом величин $p$ и числом существующих между ними уравнений связей; в этих функциях коэффициенты при величинах $\varepsilon$ зависят от $p$ и времени.

Продифференцируем по $t$ уравнения, представляющие указанным выше образом $\delta p$; тогда величины $\frac{d \delta p}{d t}$ выражаются линейными однородными функциями величин $\varepsilon$ и $\frac{d \varepsilon}{d t}$, коэффициенты которых содержат $p$, $\frac{d p}{d t}$ и $t$.

Следствием этого является следующее выражение для $\delta T+U^{\prime}$ взамен (10):
\[
\sum\left(R \varepsilon+S \frac{d \varepsilon}{d t}\right)
\]

где сумма распространена на все $\varepsilon$ и величины $R$ и $\mathcal{S}$-функции $p$, $\frac{d p}{d t}$ и $t$. Отсюда вместо (9) получим .
\[
0=\int_{t_{0}}^{t_{1}} d t \sum\left(R \varepsilon+S \frac{d \varepsilon}{d t}\right)
\]

для любых бесконечно малых величин $\varepsilon$, которые только должны удовлетворять условию обращаться в нуль для $t=t_{0}$ и $t=t_{1}$. Но так как
\[
S \frac{d \varepsilon}{d t}=\frac{d}{d t}(S \varepsilon)-\frac{d S}{d t} \varepsilon,
\]

то вместо (11) получим
\[
0=\int_{t_{0}}^{t_{1}} d t \sum\left(R-\frac{d S}{d t}\right) \varepsilon .
\]

Так как величины $\varepsilon$ могут быть выбраны совершенно произвольно при одном лишь условии, чтобы они обращались в нуль на пределах интегрирования, то из этого следует (из рассуждения, аналогичного примененному при выводе принципа Даламбера из принципа Гамильтона), что коэффициенты при каждом $\varepsilon$ должны обращаться в нуль, и таким образом дифференциальными уравнениями движения будут уравнения
\[
\frac{d S}{d t}=R \text {. }
\]
§ 5
В одном случае, часто встречающемся при исследовании, уравнение (9), выражающее принцип Гамильтона, может быть представлено в более простой форме. Это будет тогда, когда определяемая уравнением (3) работа $U^{\prime}$ равна вариации (соответствующей возможному перемещению) некоторой функции величин, определяющих положение точек, и времени. Такая функция, если она существует, называется потенциалом сил, или силовой функцией. Обозначим ее через $U$; тогда будем иметь
\[
U^{\prime}=\delta U,
\]

и уравнение (9) можно будет написать так:
\[
0=\delta \int_{t_{0}}^{t_{1}} d t(T+U) .
\]

Обозначим через $\Omega$ интеграл, вариация которого по (13) обращается в нуль; тогда это уравнение есть необходимое условие того, чтобы $\Omega$ имело максимум или минимум. В самом деле, обозначим через $x$ прямоугольную координату какой-нибудь точки; если бы $\delta \Omega$ не было равно нулю для некоторой системы возможных вариаций $\delta x$, то, изменив все знаки, можно было бы получить вторую систему вариаций, а именно систему, для которой $\delta \Omega$ имело бы противоположный знак. Следовательно, $\Omega$ при изменении величин $\delta x$ могло бы быть как увеличено, так и уменьшено, т. е. оно не имело бы ни максимума, ни минимума.

Однако уравнение (13) не есть достаточное условие того, чтобы $\Omega$ имело непременно максимум или минимум.

Пусть $x$ опять будет координата некоторой точки и $X$-соответственная компонента действующей на точку силы; тогда, согласно (12) и (3),
\[
X=\frac{\partial U}{\partial x} .
\]

Из этого выражения видно, что если существует потенциал, то силы, как и потенциал, могут зависеть только от координат и времени, но не от скорости.

Из (14) также следует, что если действуют совместно две системы сил, каждая из которых имеет потенциал, то для них также существует потенциал, равный сумме потенциалов отдельных систем.

Пусть силы будут вполне заданы как однозначные функции координат и времени; тогда потенциал, если он существует, найдется интегрированием по координатам; при этом появится добавочная произвольная постоянная. Таким образом, потенциал определен только до аддитивной постоянной, не зависящей от координат, которая может быть выбрана произвольно. При этом может также случиться, что потенциал будет многозначной функцией.

Некоторые примеры, в которых существует потенциал, мы уже рассматривали.

Для одной точки массы $m$, на которую действует сила тяжести $g$. если ось $z$ направлена по вертикали вниз, мы имеем
\[
X=0, Y=0, Z=m g .
\]

Эти уравнения могут быть соединены в одно:
\[
U=m g z .
\]

Для силы, с которой какая-либо планета притягивается к Солнцу, имеем
\[
X=-m M \frac{x}{r^{3}}, Y=-m M \frac{y}{r^{3}}, Z=-m M \frac{z}{r^{3}},
\]

где $r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2} ; m$ – масса планеты; $M$ – масса Солнца при подходящем выборе единиц измерения массы; начало координат находится в Солнце, рассматриваемом в состоянии покоя. Положим
\[
U=\frac{m M}{r} .
\]

Для произвольного числа небесных тел, которые действуют друг на друга по закону Ньютона, имеет место выражение (если воспользоваться обозначениями, которые были применены в конце первой лекции)
\[
U=\sum \frac{m_{1} m_{2}}{r_{12}},
\]
§ 6
Покой есть частный случай движения. Та часть механики, которая его рассматривает, называется статикой. Для перехода к случаю покоя мы должны предположить, что начальные скорости равны нулю, что связи $\varphi=c, \psi=e, \ldots$ не зависят от времени и что действующие силы таковы, что вызываемые ими ускорения обращаются в нуль. О таких силах говорят, что они находятся в равновесии. Қак условие равновесия найдем из уравнений Лагранжа (17) второй лекции:
\[
\begin{array}{l}
0=X_{1}+\lambda \frac{\partial \varphi}{\partial x_{1}}+\mu \frac{\partial \psi}{\partial x_{1}}+\ldots, \\
0=Y_{1}+\lambda \frac{\partial \varphi}{\partial y_{1}}+\mu \frac{\partial \psi}{\partial y_{1}}+\ldots \\
0=Z_{1}+\lambda \frac{\partial \varphi}{\partial z_{1}}+\mu \frac{\partial \psi}{\partial z_{1}}+\ldots \\
0=X_{2}+\lambda \frac{\partial \varphi}{\partial x_{2}}+\mu \frac{\partial \psi}{\partial x_{2}}+\ldots \\
\ldots \ldots \\
\quad \ldots \ldots, \psi=e, \ldots
\end{array}
\]

Согласно принципу Даламбера, т. е. уравнению (2), это условие состоит в том, что для всех виртуальных перемещений
\[
0=\sum(\mathrm{X} \delta x+Y \delta y+Z \delta z)
\]
т. е. работа всех соответствующих сил равна нулю. Теорема, утверждающая, что это выражение есть условие равновесия, носит название принципа возможных перемещений (или также скоростей). Если силы имеют потенциал $U$, то условие их равновесия состоит в том, что для каждого виртуального перемещения точки
\[
\delta U=0 .
\]

Это уравнение имеет место, когда значение $U$ есть минимум или максимум, однако если это уравнение выполняется, то оно не обязательно дает минимум или максимум для функции $U$.