§ 1

Обратимся теперь к гидродинамике и в первую очередь к тем движениям жидкостей, при которых трение не проявляется заметно. Мы займемся здесь рассмотрением уравнений (23) и (24) одиннадцатой лекции, т. е. уравнений
\[
\begin{array}{c}
\mu \frac{d^{2} x}{d t^{2}}=\mu X-\frac{\partial p}{\partial x} \\
\mu \frac{d^{2} y}{d t^{2}}=\mu Y-\frac{\partial p}{\partial y} \\
\mu \frac{d^{2} z}{d t^{2}}=\mu Z-\frac{\partial p}{\partial z} \\
\frac{d \mu}{d t}+\mu\left(\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}\right)=0
\end{array}
\]

к которым добавим соотношение между давлением $p$ и плотностью $\mu$.
Преобразуем сначала уравнение (2), которое выражает, что элемент массы остается неизменным при движении, и которое обыкновенно называется уравнением неразрывности. Обозначим через $x_{0}, y_{0}, z_{0}$ координаты той материальной точки жидкости в момент $t_{0}$, которая в момент $t$ имеет координаты $x, y, z$. Тогда отношение объемов, содержащих эту точку в моменты $t$ и $t_{0}$, есть определитель
\[
\left|\begin{array}{lll}
\frac{\partial x}{\partial x_{0}} & \frac{\partial x}{\partial y_{0}} & \frac{\partial x}{\partial z_{0}} \\
\frac{\partial y}{\partial x_{0}} & \frac{\partial y}{\partial y_{0}} & \frac{\partial y}{\partial z_{0}} \\
\frac{\partial z}{\partial x_{0}} & \frac{\partial z}{\partial y_{0}} & \frac{\partial z}{\partial z_{0}}
\end{array}\right|
\]

как это следует из уравнений (13) десятой лекции, если мы заметим, что величины, обозначенные через $a, b, c$ в уравнении (26) той же лекции, обозначены здесь через $x_{0}, y_{0}, z_{0}$. Поэтому условие, что этот определитель, умноженный на $\mu$, не зависит от $t$, равносильно уравнению (2). Обозначим через $a, b, c$ какие-нибудь независимые между собой величины, которые определяют материальную точку, координаты которой в момент $t$ суть $x, y, z$. Тогда имеем девять уравнений, которые могут быть получены из одного
\[
\frac{\partial x}{\partial a}=\frac{\partial x}{\partial x_{0}} \frac{\partial x_{0}}{\partial a}+\frac{\partial x}{\partial y_{0}} \frac{\partial y_{0}}{\partial a}+\frac{\partial x}{\partial z_{0}} \frac{\partial z_{0}}{\partial a}
\]

заменой $x$ на $y, z$ или $a$ на $b, c$. Если положим
\[
\left|\begin{array}{lll}
\frac{\partial x}{} & \frac{\partial x}{\partial b} & \frac{\partial x}{\partial c} \\
\frac{\partial y}{\partial a} & \frac{\partial y}{} & \frac{\partial y}{\partial a} \\
\frac{\partial z}{\partial b} & \frac{\partial z}{\partial c} & \frac{\partial z}{\partial a}
\end{array}\right|=D
\]

го следствием этих уравнений, на основании теории определителей (см. конец $\S 2$ десятой лекции), будет
\[
D=\left|\begin{array}{lll}
\frac{\partial x}{\partial x_{0}} & \frac{\partial x}{\partial y_{0}} & \frac{\partial x}{\partial z_{0}} \\
\frac{\partial y}{\partial x_{0}} & \frac{\partial y}{\partial y_{0}} & \frac{\partial y}{\partial z_{0}} \\
\frac{\partial z}{\partial x_{0}} & \frac{\partial z}{\partial y_{0}} & \frac{\partial z}{\partial z_{0}}
\end{array}\right| \cdot\left|\begin{array}{ccc}
\frac{\partial x_{0}}{\partial a} & \frac{\partial x_{0}}{\partial b} & \frac{\partial x_{0}}{\partial c} \\
\frac{\partial y_{0}}{\partial a} & \frac{\partial y_{0}}{\partial b} & \frac{\partial y_{0}}{\partial c} \\
\frac{\partial z_{0}}{\partial a} & \frac{\partial z_{0}}{\partial b} & \frac{\partial z_{0}}{\partial c}
\end{array}\right| .
\]

Отсюда следует, что уравнение (2) может быть заменено условием, что $\mu D$ не зависит от времени, т. е. уравнением
\[
\frac{d(\mu D)}{d t}=0 .
\]

Умножим уравнения (1)
\[
\begin{array}{l}
\text { на } \frac{\partial x}{\partial a}, \text { или на } \frac{\partial x}{\partial b} \text {, или на } \frac{\partial x}{\partial c} ; \\
\text { » } \frac{\partial y}{\partial a} \text { » } \frac{\partial y}{\partial b} \text { » } \frac{\partial y}{\partial c} ; \\
\text { » } \frac{\partial z}{\partial a} \text { » } \frac{\partial z}{\partial b} \text { » } \frac{\partial z}{\partial c},
\end{array}
\]

и каждый раз будем складывать их; тогда получим
\[
\begin{array}{l}
\left(\frac{d^{2} x}{d t^{2}}-X\right) \frac{\partial x}{\partial c}+\left(\frac{d^{2} y}{d t^{2}}-Y\right) \frac{\partial y}{\partial c}+\left(\frac{d^{2} z}{\partial t^{2}}-Z\right) \frac{\partial z}{\partial c}+\frac{1}{\mu} \frac{\partial p}{\partial c}=0 . \\
\end{array}
\]

Уравнения (4) и (5) известны под названием лагранжевых уравнений гидродинамики; в них $x, y, z, p$ рассматриваются как функции независимых переменных $a, b, c, t$.

Поверхность жидкости, по § 6 десятой лекции, должна быть зсегда образована из одних и тех же частиц. Представим себе уравнение ее как уравнение между $x, y, z, t$; тогда, если $x, y, z$ будут выражены через $a, b, c, t$, то $t$ исключается; уравнение поверхности должно быть уравнением между $a, b, c$. Второе условие, которое должно быть выполнено на этой поверхности, т. е. на поверхности соприкасания жидкости с другим телом, получим из § 4 одиннадцатой лекции: элемент поверхности соприкасания должен с каждой стороны испытывать одно и то же давление.
Преобразуем еще уравнения (5). Положим сначала
\[
P=\int \frac{d p}{\mu}
\]

и предположим, что в интервале, в котором введено соотношение, существующее между $p$ и $\mu$, нижний предел выбран про:звольно. Далее, сделаем предположение, что силы $X, Y, Z$ имеют потенциал $V$, так что
\[
X=\frac{\partial V}{\partial x}, \quad Y=\frac{\partial V}{\partial y}, \quad Z=\frac{\partial V}{\partial z} .
\]

Тогда уравнения (5) примут следующий более простой вид:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d^{2} x}{d t^{2}} \frac{\partial x}{\partial a}+\frac{d^{2} y}{d t^{2}} \frac{\partial y}{\partial a}+\frac{d^{2} z}{d t^{2}} \frac{\partial z}{\partial a}=\frac{\partial(V-P)}{\partial a}, \\
\frac{d^{2} x}{d t^{2}} \frac{\partial x}{\partial b}+\frac{d^{2} y}{d t^{2}} \frac{\partial y}{\partial b}+\frac{d^{2} z}{\partial t^{2}} \partial b=\frac{\partial(V-P)}{\partial b}, \\
\frac{d^{2} x}{d t^{2}} \frac{\partial x}{\partial c}+\frac{d^{2} y}{d t^{2}} \frac{\partial y}{\partial c}+\frac{d^{2} z \partial z}{d t^{2} \partial c}=\frac{\partial(V-P)}{\partial c} .
\end{array}
\]

Если жидкость несжимаема, то уравнение (4) перейдет в
\[
\frac{d D}{d t}=0,
\]

и по (6) можно положить
\[
P=\frac{1}{\mu} p .
\]
§ 2
В приложениях часто оказывается более удобной, чем лагранжева, другая форма гидродинамических уравнений, так называемая эйлерова. В ней скорости $u, v$, ш и давление $p$ представляются функциями $x, y, z, t$. Мы имеем
\[
\frac{d x}{d t}=u, \quad \frac{d y}{d t}=v, \quad \frac{d z}{d t}=w,
\]

так что
\[
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}=\frac{d u}{d t}, \frac{d^{2} y}{d t^{2}}=\frac{d v}{d t}, \frac{d^{2} z}{d t^{2}}=\frac{d w}{d t} ;
\]

припомним теперь, что $d$ обозначает приращение, которое получает стоящая за ним величина, относящаяся к той же материальной точке, в элемент времени $d t$, т. е. приращение, которое она получает во время увели-

чения $t$ на $d t$ при неизменных $a, b, c$. Если $a, b, c$ останутся неизменными, то $x, y, z$ возрастут соответственно на $u d t$, $v d t$, wdt, когда $t$ увеличится на $d t$; отсюда следует, что
\[
\frac{d u}{d t}=\frac{\partial u}{\partial t}+u \frac{\partial u}{\partial x}+v \frac{\partial u}{\partial y}+w \frac{\partial u}{\partial z} .
\]

Из этого уравнения мы получим такие же уравнения, если под знаком производных заменим $u$ на $v$, или $w$, или $\mu$. Введем сюда определяемую уравнением (6) величину $P$ и предположим, что действующие силы имеют потенциал $V$; тогда вместо уравнений (1) и (2) получим
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial u}{\partial t}+u \frac{\partial u}{\partial x}+v \frac{\partial u}{\partial y}+w \frac{\partial u}{\partial z}=\frac{\partial(V-P)}{\partial x}, \\
\frac{\partial v}{\partial t}+u \frac{\partial v}{\partial x}+v \frac{\partial v}{\partial y}+w \frac{\partial v}{\partial z}=\frac{\partial(V-P)}{\partial y}, \\
\frac{\partial w}{\partial t}+u \frac{\partial w}{\partial x}+v \frac{\partial w}{\partial y}+w \frac{\partial w}{\partial z}=\frac{\partial(V-P)}{\partial z},
\end{array}
\]

и
\[
\frac{\partial \mu}{\partial t}+\frac{\partial(u u)}{\partial x}+\frac{\partial(u v)}{\partial y}+\frac{\partial(u w)}{\partial z}=0 .
\]

Для элемента поверхности соприкасания жидкости с другим телом, по уравнению (32) десятой лекции, получим, что компоненты скорости по нормали имеют для обоих тел одно и то же значение; к этому условию надо присоединить еще второе, что элемент поверхности с каждой стороны испытывает одно и то же давление.

Если жидкость несжимаема, то $P$ получает здесь также значение (9), и уравнение (11) принимает вид
\[
\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}=0 .
\]
§ 3
Мы видели в десятой лекции, что изменение, получаемое бесконечно малой частицей тела при движении его, слагается из смещения, вращения и известного рода растяжения, и имели в (28) выражения для компонент скорости вращения. Обозначим через $\pi, \chi$, $\rho$ эти компоненты; тогда, как мы там нашли,
\[
\begin{array}{l}
2 \pi=\frac{\partial w}{\partial y}-\frac{\partial v}{\partial z}, \\
2 \chi=\frac{\partial u}{\partial z}-\frac{\partial w}{\partial x}, \\
2 \rho=\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y} .
\end{array}
\]

Выведем теперь для вращения частицы жидкости известную теорему, открытую Гельмгольцем*, предполагая, что действующие силы имеют потенциал; при этом будем исходить из уравнений (7).
* Borchard’s Journal fur die reine und angewandte Mathematik, Bd. 55.

Дифференцируя второе из них по $c$, третье по $b$ и вычитая результаты один из другого, мы получим уравнение, которое можно интегрировать по $t$, так как
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial}{\partial c}\left(\frac{d^{2} x}{d t^{2}} \frac{\partial x}{\partial b}\right)-\frac{\partial}{\partial b}\left(\frac{d^{2} x}{d t^{2}} \frac{\partial x}{\partial c}\right)=\frac{\partial x}{\partial b} \frac{d^{2} \frac{\partial x}{\partial c}}{\partial t^{2}}-\frac{\partial x}{\partial c} \frac{d^{2}\left(\frac{\partial x}{\partial b}\right)}{d t^{2}}= \\
=\frac{d}{d t}\left(\frac{d x \frac{\partial x}{\partial c}}{\partial b}-\frac{\partial x}{\partial c} \frac{d \frac{\partial x}{\partial b}}{d t}\right)=\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial x}{\partial b} \frac{\partial u}{\partial c}-\frac{\partial x}{\partial c} \frac{\partial u}{\partial b}\right)
\end{array}
\]

Получим аналогичные соотношения, заменяя в этом выражении $u$ и $x$ через $v$ и $y$ или $w$ и $z$. Из этого интегрируемого уравнения круговой перестановкой букв $a, b, c$ можно получить два других. Обозначим через $A^{\prime}$. $B^{\prime}, C^{\prime}$ три не зависящих от $t$ величины; тогда
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{\partial u}{\partial c} \frac{\partial x}{\partial b}-\frac{\partial u}{\partial b} \frac{\partial x}{\partial c}+\frac{\partial v}{\partial c} \frac{\partial y}{\partial b}-\frac{\partial v}{\partial b} \frac{\partial y}{\partial c}+\frac{\partial w}{\partial c} \frac{\partial z}{\partial b}-\frac{\partial w}{\partial b} \frac{\partial z}{\partial c}=2 A^{\prime}, \\
\frac{\partial u}{\partial a} \frac{\partial x}{\partial c}-\frac{\partial u}{\partial c} \frac{\partial x}{\partial a}+\frac{\partial v}{\partial a} \frac{\partial y}{\partial c}-\frac{\partial v}{\partial c} \frac{\partial y}{\partial a}+\frac{\partial w}{\partial a} \frac{\partial z}{\partial c}-\frac{\partial w}{\partial c} \frac{\partial z}{\partial a}=2 B^{\prime}, \\
\frac{\partial u}{\partial b} \frac{\partial x}{\partial a}-\frac{\partial u}{\partial a} \frac{\partial x}{\partial b}+\frac{\partial v}{\partial b} \frac{\partial y}{\partial a}-\frac{\partial v}{\partial a} \frac{\partial y}{\partial b}+\frac{\partial w}{\partial b} \frac{\partial z}{\partial a}-\frac{\partial w}{\partial a} \frac{\partial z}{\partial b}=2 C^{\prime}
\end{array}\right\}
\]

Эти уравнения можно привести к более простому виду. Для этого прежде всего умножим их на $\frac{\partial x}{\partial a}, \frac{\partial x}{\partial b}, \frac{\partial x}{\partial c}$ и сложим. Тогда члены, содержащие $u$, пропадут; члены, зависящие от $v$, объединятся с такими же, зависящими от $w$, если ввести производные от $a, b, c$ по $x, y, z$.

Вообразим, что уравнение, которое представляет $x, y, z$ как функции $a, b, c, t$, разрешено относительно $a, b, c$, так что эти величины будут функциями $x, y, z, t$. Обозначим через $d a, d b, d c$ и $d x, d y, d z$ соответствующие изменения, которые получают $a, b, c$ и $x, y, z$, в то время как $t$ остается неизменным. У равнения
\[
\begin{array}{l}
d a=\frac{\partial a}{\partial x} d x+\frac{\partial a}{\partial y} d y+\frac{\partial a}{\partial z} d z, \\
d b=\frac{\partial b}{\partial x} d x+\frac{\partial b}{\partial y} d y+\frac{\partial b}{\partial z} d z, \\
d c=\frac{\partial c}{\partial x} d x+\frac{\partial c}{\partial y} d y+\frac{\partial c}{\partial z} d z
\end{array}
\]

будут тогда решениями уравнений
\[
\begin{array}{l}
d x=\frac{\partial x}{\partial a} d a+\frac{\partial x}{\partial b} d b+\frac{\partial x}{\partial c} d c, \\
d y=\frac{\partial y}{\partial a} d a+\frac{\partial y}{\partial b} d b+\frac{\partial y}{\partial c} d c, \\
d z=\frac{\partial z}{\partial a} d a+\frac{\partial z}{\partial b} d b+\frac{\partial z}{\partial c} d c .
\end{array}
\]

Отсюда следует, что
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial a}{\partial z}=\frac{1}{D}\left(\frac{\partial x}{\partial b} \frac{\partial y}{\partial c}-\frac{\partial y}{\partial b} \frac{\partial x}{\partial c}\right), \\
\frac{\partial b}{\partial z}=\frac{1}{D}\left(\frac{\partial x}{\partial c} \frac{\partial y}{\partial x}-\frac{\partial y}{\partial c} \frac{\partial x}{\partial a}\right), \\
\frac{\partial c}{\partial z}=\frac{1}{D}\left(\frac{\partial x}{\partial a} \frac{\partial y}{\partial b}-\frac{\partial y}{\partial a} \frac{\partial x}{\partial b}\right),
\end{array}
\]

где $D$ имеет значение, данное в (3). Отсюда мы получим члены, содержа щие $v$, уравнения, в которое мы преобразуем уравнения (14), именно
\[
D\left(\frac{\partial v}{\partial a} \frac{\partial a}{\partial z}+\frac{\partial v}{\partial b} \frac{\partial b}{\partial z}+\frac{\partial v}{\partial c} \frac{\partial c}{\partial z}\right)
\]
т. e.
\[
D \frac{\partial v}{\partial z} \text {. }
\]

Подобным же образом найдем, что член этого уравнения, зависящий от $\omega$, равен
\[
-D \frac{\partial w}{\partial y},
\]

поэтому левая часть примет вид
\[
D\left(\frac{\partial v}{\partial z}-\frac{\partial w}{\partial y}\right), \text { или по (13), }-2 D \pi .
\]

Положим еще
\[
A^{\prime}=-A \mu D, \quad B^{\prime}=-B \mu D, \quad C^{\prime}=-C \mu D,
\]

причем $A, B, C$ будут также независящие от $t$ величины, так как, по (4), произведение $\mu D$ не зависит от $t$. Добавляя к составленному уравнению еще два, которые получим из него при замене $x$ и $\pi$ на $\underline{u} \chi$ или на $z$ и $\rho$, будем иметь
\[
\begin{array}{l}
\pi=\mu\left(A \frac{\partial x}{\partial a}+B \frac{\partial x}{\partial b}+C \frac{\partial x}{\partial c}\right), \\
\chi=\mu\left(A \frac{\partial y}{\partial a}+B \frac{\partial y}{\partial b}+C \frac{\partial y}{\partial c}\right), \\
\rho=\mu\left(A \frac{\partial z}{\partial a}+B \frac{\partial z}{\partial b}+C \frac{\partial z}{\partial c}\right) .
\end{array}
\]

Мы подразумеваем под $a, b, c$ какие-нибудь величины, определяющие частицу жидкости; при исследовании уравнений (15) мы примем, что $a, b$, $c$ – координаты частицы в момент $t=0$. Значение величин $A, B, C$ легко при этом истолковать; действительно они суть значения, которые получают $\frac{\pi}{\mu}, \frac{\chi}{\mu}, \frac{\rho}{\mu}$ при $t=0$. Отсюда прежде всего вытекает такое следствие: если частица жидкости не вращается в момент $t=0$, т. е. если для нее в этот момент $\pi, \chi, \rho$ равны нулю, то для нее $A, B, C$, а также, по (15), $\pi, \chi, \rho$ для каждого момента времени должны быть равны нулю. Частица жидкости, вращение которой в какой-нибудь момент было равно нулю, никогда не будет вращаться.

Второе заключение, которое может быть выведено из уравнений (15), следующее. Пусть $a, b, c$ и $a+d a, b+d b, c+d c$ будут начальные координаты двух бесконечно близких частиц, так что $x, y, z$ и $x+d x, y+d y$, $z+d z$ суть координаты тех же частиц в момент $t$. Предположим далее, что $d a, d b, d c$ выбраны так, что
\[
d a: d b: d c=A: B: C,
\]
т. е. так, что в момент $t=0$ прямая, соединяющая обе частицы, совпадает с осью вращения. Эта двойная пропорция равносильна уравнениям
\[
d a=A \varepsilon, \quad d b=B \varepsilon, \quad d c=C \varepsilon,
\]

где $\varepsilon$ обозначает бесконечно малую независимую от $t$ величину. Подставим получающиеся отсюда для $A, B, C$ значения в уравнения (15); тогда последние примут вид
\[
d x=\frac{\pi}{\mu} \varepsilon, \quad d y=\frac{\chi}{\mu} \varepsilon, \quad d z=\frac{\rho}{\mu} \varepsilon,
\]
т. е. будем иметь
\[
d x: d y: d z=\pi: \chi: \rho .
\]

Это соотношение означает, что прямая, соединяющая две рассматриваемые частицы, всегда совпадает с их осью вращения.
Обозначим через $k$ скорость вращения, т. е. положим
\[
k=\sqrt{\pi^{2}+\chi^{2}+\rho^{2}} ;
\]

тогда уравнения (16) дадут
\[
k=\frac{\mu}{\varepsilon} \sqrt{d x^{2}+d y^{2}+d z^{2}},
\]
.т е. скорость вращения изменяется со временем так, что остается пропорциональной произведению плотности на расстояние между обеими частицами.

Выраженному уравнениями (16) и (17) предложению мы дадим еще другую форму. Вообразим в некоторый момент исходящую из некоторой точки жидкости линию, направление которой всюду совпадает с направлением оси вращения частиц, через которые она проходит; такую линию мы будем называть вместе с Гельмгольцем вихревой линией. Тогда уравнения (16) показывают, что все частицы жидкости, которые в некоторый момент лежат на вихревой линии, в каждый другой момент также находятся на ней. Поэтому мы можем говорить об изменении, которое получает вихревая линия со временем, причем мы устанавливаем, что вихревая линия всегда проходит через одни и те же частицы жидкости. Чтобы выразить иначе доказанное уравнением (17) предложение, введем новое определение. Мы будем понимать под вихревой нитью бесконечно тонкую нить, которая будет вырезана из жидкости вихревыми линиями, проходящими через точки кснтура бесконечно малой площади. Мы можем говорить об изменениях, которые испытывает вихревая нить со временем, установив, что вихревая нить всегда содержит одни и те же частицы жидкости. Рассмотрим бесконечно короткий отрезок вихревой нити и обозначим через $l$ его длину, а через $q$ – его поперечное сечение; тогда $\mu q l$ есть его масса, которая не изменяется со временем. Но, по (17), скорость вращения этого отрезка пропорциональна $\mu l$, откуда следует, что $q k$ постоянно, т. е. что произведение скорости вращения на поперечное сечение бесконечно короткого отрезка вихревой нити не изменяется с течением времени.

Докажем еще одно свойство того же произведения $q k$. Пусть $d \tau-э л е-$ мент объема некоторой произвольной частицы жидкости, $d s-$ элемент поверхности этой частицы и $n$ – направленная внутрь не нормаль к $d s$. Тогда, согласно предложению, которым мы уже неоднократно пользовались, будем иметь

или равно
\[
-\int d s k \cos (k n)
\]

где $k$ обозначает одновременно направление оси вращения и величину скорости вращения. Но из уравнений (13) следует, что множитель при $d \tau$, а вместе с ним и интеграл левой части уравнения (18) обращаются в нуль. Поэтому обратится в нуль и интеграл правой части. Это предложение мы применим к части нити, ограниченной двумя перпендикулярными к ней поперечными сечениями. Пусть $q^{\prime}$ и $q^{\prime \prime}$ – площади этих сечений, $k^{\prime}$ и $k^{\prime \prime}$-соответствующие значения скорости вращения. Для одного из поперечных сечений
\[
\cos (k n)=1,
\]

для другого
\[
\cos (k n)=-1,
\]

в то время как для остальных частей поверхности этот косинус обращается в нуль. Поэтому доказанное предложение дает
\[
q^{\prime} k^{\prime}=q^{\prime \prime} k^{\prime \prime} .
\]

Произведение скорости вращения на поперечное сечение вихревой нити, которое не изменяется со временем для оцной и той же ее части, также остается неизменным в данный момент длл всех частей нити.

Oгсіда заклочаем, что вихревая нить не может прерваться внутри жидкогти. Вххреввя нить либо оканчивается на поверхности жидкости, либо оказывается замкнутой.
§ 4
Если все частицы рассматриваемой жидкости не вращаются в некоторый момент, то, согласно доказанному в предыдущем параграфе предложению, они не будут вращаться никогда. Тогда всегда вследствие уравнений (13),
\[
\frac{\partial v}{\partial z}=\frac{\partial w}{\partial y}, \quad \frac{\partial w}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial z}, \quad \frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial v}{\partial x} .
\]

Эти уравнения показывают, что существует функция $x, y, z, t$, которую мы ојозначхм через $\varphi$, ојладаюцхя свойсгвом:
\[
u=\frac{\partial \varphi}{\partial x}, \quad v=\frac{\partial \varphi}{\partial y}, \quad w=\frac{\partial \varphi}{\partial z} .
\]

Гельмгольц назвал эту функцию $\varphi$ потенциллои скорэстей. Если движение вполне определено, так что $u$, $v$, w сугь определенные функции $x, y, z, t$, то погенциал скоростей еце определен не вполне; в его выражении остается произвольной функция $t$, так как уравнґния (19) единственные, которым $\varphi$ должна удовлетворять и из которых она должна быть определена.

Введем значения $u$, $v$, w из (19) в эйлеровы уравнения (10), умножим их на $d x, d y, d z$ и сложим; тогда получим интегрируемое уравнение

и после интегрирования будем иметь
\[
V-P=\frac{\partial \varphi}{\partial t}+\frac{1}{2}\left[\left(\frac{\partial \varphi}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial \varphi}{\partial y}\right)^{2}+\left(\frac{\partial \varphi}{\partial z}\right)^{2}\right]+C,
\]

где $C$ обозначает величину, не зависящую от $x, y, z$, но которая может зависеть от $t$. Действительно, если возьмем частные производные этого уравнения по $x$, $y$ или $z$, то придем к уравнениям, которые получаются из (10) и (19). Не умаляя общности, можем положить $C=0$, тогда

если предположим, что мы надлежащим образом выбрали добавочную функцию от $t$, входящую в $\varphi$. Для некоторого определенного случая $\varphi$ будет найдено с точностью до добавочной постоянной, не зависящей ни от $t$, ни от $x, y, z$ и остающейся произвольной. При этом мы предполагаем, что $V$ вполне дано, т. е. определено вместе с добавочной произвольной функцией $t$, входящей в его выражение, если только заданы силы. Уравнение неразрывности в форме Эйлера, а именно уравнение (11), после введения потенциала скоростей будет иметь вид
\[
\frac{\partial \mu}{\partial t}+\frac{\partial\left(\mu \frac{\partial \varphi}{\partial x}\right)}{\partial x}+\frac{\partial\left(\mu \frac{\partial \varphi}{\partial y}\right)}{\partial y}+\frac{\partial\left(\mu \frac{\partial \varphi}{\partial z}\right)}{\partial z}=0 .
\]

Потенциал скоростей не всегда однозначная функция $x, y, z, t$. Он может быть и многозначным, но при известном условии и притом только некоторым образом, что мы сейчас и покажем.

Пусть $\varphi^{\prime}$ и $\varphi^{\prime \prime}$ – два значения $\varphi$ для некоторой системы значений $x$, $y, z, t$; тогда разность $\varphi^{\prime}-\varphi^{\prime \prime}$ должна оставаться неизменной, если при неизменном $t$ точка $(x, y, z)$ непрерывно перемещается в жидкости, причем $\varphi^{\prime}$ и $\varphi^{\prime \prime}$ всегда будут принимать такие значения $\varphi$, которые непрерывно получаются одно из другого. В самом деле, производные $\varphi^{\prime}$ и $\varphi^{\prime \prime}$ по $x, y, z$ должны быть между собою равны, так как они суть скорости $u$, $v$, w. Если потенциал действующей силы $V$ однозначен, то эта разность не может также изменяться со временем. Действительно, так как $P$, согласно его определению (6), однозначно, так же как $p$ и $\mu$, то из (20) следует, что $\frac{\partial \varphi}{\partial t}$ может иметь только одно единственное значение. Теперь мы должны найти еще условие, при котором может иметь место многозначность $\varphi$. Так как $\varphi^{\prime}-\varphi^{\prime \prime}$ не зависит от времени и места, как мы только что видели, предполагая рассматриваемую жидкость связной, то нам необходимо установить, при каком условии в некоторый момент и в некоторой точке эта разность может быть отличной от нуля. Одно значение $\varphi$ мы можем здесь выбрать произвольно благодаря добавочной постоянной, которая остается произвольной в $\varphi$; мы положим ее равной нулю и посмотрим, может ли $\varphi$ иметь здесь отличное от нуля значение. Найдем значение $\varphi$ для некоторой точки $(x, y, z)$, которая отлична от выбранной (для рассматриваемого момента); для этого соединим эти точки произвольной линией, которая только не должна выходить из границ жидкости, и возьмем интеграл, распространенный по этой линии:
\[
\int(u d x+v d y+w d z) .
\]

Продолжим эту линию до замыкания в первоначально выбранной точке; тогда интеграл (22) может дать отличное от нуля значение для этой точки;

в этом случае $\varphi$ многозначна. Но если для всех линий такого рода интеграл (22) будет равен нулю, то $\varphi$ однозначна. Вообразим теперь, что такая линия может быть непрерывно изменяема в другую так, чтобы ни при каком из промежуточных положений данное для нее условие не было нарушено. При этом рассматриваемый интеграл может изменяться непрерывно или совсем не изменяться. Первый случай не может иметь места, потому что многозначная функция для одной системы значений аргументов не представляет ряда значений, непрерывно вытекающих одно из другого. Следовательно, интеграл не изменяется. Если линия бесконечно мала, то интеграл равен нулю; но он будет равен нулю и для всякой линии, которая указанным образом может быть приведена в бесконечно малую.

Итак, потенциал скоростей должен быть однозначен, если замкнутая линия, которая может быть проведена в жидкости в некоторый данный момент через данную точку, может быть непрерывным изменением, без выхода из жидкости, стянута в эту точку. Выполнение этого условия зависит от формы пространства, содержащего жидкость. Область пространства, для которой это условие выполнено, называют односвязной. Это название вытекает из другого свойства такой области, которое необходимо согласуется с указанным выше, именно, из свойства, что поперечнын сечением область можно разделить на две отдельные части. Под поперечным сечением мы разумеем здесь поверхность, которая вся лежит внутри области, не пересекая себя, и вполне ограничена линией пересечения с поверхностью области. Примером односвязного пространства является полый шар или шар, из которого вырезан меньший. Следует обратить внимание, что во втором примере для ограничения односвязного пространства применена несвязная поверхность. Односвязному пространству противопоставляют $\partial в y$-, трех- и вообще многосвязное пространство. Двусвяз. ное пространство есть такое, которое надлежаще выбранным поперечным сечением может быть обращено в односвязное. Трехсвязное – такое, которое одним подобным сечением может быть обрацено в двусвязное, ит. д. Пример двусвязного пространства представляет кольцо или шар, из которого вырезано кольцо. Здесь нет необходимости строго обосновывать понятие о связности и притом приводить доказательство, что оба указанных признака для односвязного пространства согласуются между собой. В тех простых случаях, где мы будем пользоваться этим понятием, это легко усмотреть непосредственно.