$\S 1$

Введение системы сил, действующей на точку, вместо одной силы оказывает существенную помощь также и в случае, который мы сейчас рассмотрим. В этом случае заранее известно уравнение или только между координатами точки, или между ними и временем. Этот случай, например, имеет место для точки, лежащей на поверхности известной формы, по которой точка движется так, что остается с ней в соприкос новении. Если поверхность неподвижна, то ее уравнение и есть уравнение между координатами точки; если поверхность движется какимлибо образом, то мы имеем уравнение между ее коодинатами и временем. Напишем это уравнение так:
\[
\varphi(x, y, z, t)=c
\]

или, короче, $\varphi=c$, причем через с мы обозначаем постоянное. Назовем это уравнение уравнением связи и скажем: точка несвободна, но вынуждена двигаться сообразно данному условию. Однако мы не связываем с этим предложением никакого иного представления, кроме того, что уравнение (1) действительно существует.

В приведенном случае представим движение точки, обусловленное двумя силами; именно, положим
\[
\begin{array}{l}
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}=X+X_{1}, \\
\frac{d^{2} y}{d t^{2}}=Y+Y_{1}, \\
\frac{d^{2} z}{d t^{2}}=Z+Z_{1} .
\end{array}
\]

Компоненты первой силы $X, Y, Z$ должны быть заданы полностью, но для компонент второй силы $X_{1}, Y_{1}, Z_{1}$ будут установлены только выражения, содержащие еще одну неизвестную величину, которую мы обозначим через $\lambda$. Эта величина определится из уравнения связи. А именно, из него следует, что для каждого значения $t$
\[
\frac{d \varphi}{d t}=0, \quad \text { т. е. } \frac{\partial \varphi}{\partial x} \frac{d x}{d t}+\frac{\partial \varphi}{\partial y} \frac{d y}{d t}+\frac{\partial \varphi}{\partial z} \frac{d z}{d t}+\frac{\partial \varphi}{\partial t}=0,
\]
и также
\[
\begin{array}{l}
\frac{d^{2} \varphi}{d t^{2}}=0, \text { T. e. } \frac{\partial \varphi}{\partial x} \frac{d^{2} x}{d t^{2}}+\frac{\partial \varphi}{\partial y} \frac{d^{2} y}{d t^{2}}+\frac{\partial \varphi}{\partial z} \frac{d^{2} z}{d t^{2}}+ \\
+\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial x^{2}}\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}+\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial y^{2}}\left(\frac{d y}{d t}\right)^{2}+\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial z^{2}}\left(\frac{d z}{d t}\right)^{2}+\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial t^{2}}+ \\
+2 \frac{\partial^{2} \varphi}{\partial x \partial y} \frac{d x}{d t} \frac{d y}{d t}+2 \frac{\partial^{2} \varphi}{\partial y \partial z} \frac{d y}{d t} \frac{d z}{d t}+2 \frac{\partial^{2} \varphi}{\partial x \partial z} \frac{d z}{d t} \frac{d x}{d t}+ \\
+2 \frac{\partial^{2} \varphi}{\partial x \partial t} \frac{d x}{d t}+2 \frac{\partial^{2} \varphi}{\partial y \partial t} \frac{d y}{d t}+2 \frac{d^{2} \varphi}{\partial z \partial t} \frac{d z}{d t}=0 .
\end{array}
\]

Подставим в последнее уравнение вместо $\frac{d^{2} x}{d t^{2}}, \frac{d^{2} y}{d t^{2}}, \frac{d^{2} z}{d t^{2}}$ их значения из (2); тогда мы получим уравнение, из которого можно будет выразить $\lambda$ через $x, y, z, \frac{d x}{d t}, \frac{d y}{d t}, \frac{d z}{d t}$ и $t$. Қаждую из компонент $X_{1}, Y_{1}, Z_{1}$ мы положим равной величине $\lambda$, умноженной на некоторый не зависящий от $\lambda$ множитель; тогда уравнение для $\lambda$ будет линейным, т. е. $\lambda$ и $X_{1}, Y_{1}, Z_{1}$, а также $\frac{d^{2} x}{d t^{2}}, \frac{d^{2} y}{d t^{2}}, \frac{d^{2} z}{d t^{2}}$ будут из него однозначно определены как конечные величины, если предположим, что коэффициент при $\lambda$ в названном уравнении не обращается в нуль. Все движение таким образом вполне определено, если еще заданы начальные значения координат и компонент скорости. В основание этих выводов положено предположение, которое мы сделали в § 4 первой лекции относительно компонент силы и которое мы всегда будем считать имеющим место,-предположение, что эти компоненты в общем случае суть однозначные функции от $x, y, z, \frac{d x}{d t}, \frac{d y}{d t}$, $\frac{d z}{d t}$ и $t$. Такими функциями должны быть $X, Y, Z$ и множители при $\lambda$ в выражениях $X_{1}, Y_{1}, Z_{1}$. В остальном названные выше множители могут быть выбраны произвольно; в таком случае описание движения всегда будет полным ${ }^{1}$. Но мы сделаем совершенно специальный выбор, а именно, положим
\[
X_{1}=\lambda \frac{\partial \varphi}{\partial x}, \quad Y_{1}=\lambda \frac{\partial \varphi}{\partial y}, \quad Z_{1}=\lambda \frac{\partial \varphi}{\partial z} ;
\]

при этом уравнения (2) примут вид
\[
\begin{array}{l}
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}=X+\lambda \frac{\partial \varphi}{\partial x}, \\
\frac{d^{2} y}{d t^{2}}=Y+\lambda \frac{\partial \varphi}{\partial y}, \\
\frac{d^{2} z}{d t^{2}}=Z+\lambda \frac{\partial \varphi}{\partial z} .
\end{array}
\]

Целесообразность этого выбора основана на двух свойствах уравнений (4).
Первое из них состоит в том, что уравнения сохраняют свой вид при перемене системы координат. Чтобы убедиться в этом, обозначим через $\varphi^{\prime}$ функцию $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}, t$, в которую перейдет $\varphi$, если подставить в нее вместо $x, y, z$ их выражения через $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$ из уравнений (1) первой лекции, так что
\[
\varphi^{\prime}=\varphi,
\]

принимая во внимание, что уравнение (1) есть тождество.
После решения этих уравнений получим:
\[
\frac{\partial x}{\partial x^{\prime}}=\alpha_{1}, \quad \frac{\partial y}{\partial x^{\prime}}=\alpha_{2}, \quad \frac{\partial z}{\partial x^{\prime}}=\alpha_{3},
\]
${ }_{1}$ Компоненты $X_{1}, Y_{1}, Z_{\text {: }}$ подлежат ограничению: именно, если они не зависят от скорости, то должны давать равнодействующую, перпендикулярную к поверхности $\varphi=c$, так как в противном случае точка могла бы прийти в движение, если бы $X_{1}, Y_{1}$, $Z$ были равны нулю. Если же они содержат скорость в качестве множителя, то компонента, параллельная поверхности $\varphi=c$, должна быть противоположна такой же компоненте силы $X, Y, Z$, как это, например, имеет место при трении (В. В н.)
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial x}{\partial y^{\prime}}=\beta_{1}, \quad \frac{\partial y}{\partial y^{\prime}}=\beta_{2}, \quad \frac{\partial z}{\partial y^{\prime}}=\beta_{3}, \\
\frac{\partial x}{\partial z^{\prime}}=\gamma_{1}, \quad \frac{\partial y}{\partial z^{\prime}}=\gamma_{2}, \quad \frac{\partial z}{\partial z^{\prime}} \quad \gamma_{3} ;
\end{array}
\]

отсюда следует, что
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial \varphi^{\prime}}{\partial x^{\prime}}=\frac{\partial \varphi}{\partial x} \alpha_{1}+\frac{\partial \varphi}{\partial y} \alpha_{2}+\frac{\partial \varphi}{\partial z} \alpha_{3}, \\
\frac{\partial \varphi_{-}^{\prime}}{\partial y^{\prime}}=\frac{\partial \varphi}{\partial x} \beta_{1}+\frac{\partial \varphi}{\partial y} \beta_{2}+\frac{\partial \varphi}{\partial z} \beta_{3}, \\
\frac{\partial \varphi^{\prime}}{\partial z^{\prime}}=\frac{\partial \varphi}{\partial x} \tau_{1}+\frac{\partial \varphi}{\partial y} \gamma_{2}+\frac{\partial \varphi}{\partial z} \tau_{3:} .
\end{array}
\]
$\gamma_{3}$ и складывая каждый раз то, что получится, на основании установленных в первой лекции уравнений (6) и (7) найдем
\[
\begin{array}{l}
\frac{d^{2} x^{\prime}}{d t^{2}}=X^{\prime}+\lambda \frac{\partial \varphi^{\prime}}{\partial x^{\prime}}, \\
\frac{d^{2} y^{\prime}}{d t^{2}}=Y^{\prime}+\lambda \frac{\partial \varphi^{\prime}}{\partial y^{\prime}}, \\
\frac{d^{2} z^{\prime}}{d t^{2}}=Z^{\prime}+\lambda \frac{\partial \varphi^{\prime}}{\partial z^{\prime}} .
\end{array}
\]

Второе свойство уравнений (4) – это то, что они удовлетворяются при произвольном изменении формы уравнения связи
\[
F=C,
\]

где $F$ – произвольная функция от $\varphi$, и $C$-значение, принимаемое ею при $\varphi=$ с. Тогда вместо уравнений (4) получим
\[
\begin{array}{l}
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}=X+L \frac{\partial F}{\partial x}, \\
\frac{d^{2} y}{d t^{2}}=Y+L \frac{\partial F}{\partial y} . \\
\frac{d^{2} z}{d t^{2}}=Z+L \frac{\partial F}{\partial z},
\end{array}
\]

где $L$ – новая неизвестная величина, которая определяется из уравнения $F=C$ или, что то же самое, из уравнения $\varphi-c$.
Но так как
\[
\frac{\partial F}{\partial x}=\frac{\partial F}{\partial \varphi} \frac{\partial \varphi}{\partial x}, \quad \frac{\partial F}{\partial y}=\frac{\partial F}{\partial \varphi} \frac{\partial \varphi}{\partial y}, \frac{\partial F}{\partial z}-\frac{\partial F}{\partial \varphi} \frac{\partial q}{\partial z} .
\]

то уравнения (6) будут тождественны уравнениям (4), если положить
\[
L \frac{\partial F}{\partial \varphi}=\lambda
\]

Уравнения (4) и уравнение $甲=c$ можно выразить словами следующим образом: на рассматриваемую материальную точку действует сила, компоненты которой суть $X, Y, Z ;$ в то же время ее движение подчиненс условию $\varphi \doteq c$.

Мы будем считать силу, компоненты которой суть $\lambda \frac{\partial \varphi}{\partial x}, \lambda \frac{\partial \varphi}{\partial y}, \lambda \frac{\partial \varphi}{\partial z}$, следствием того, что точка вынуждена двигаться соответственно связи $\varphi=c$. Направление этой силы перпендикулярно к поверхности, уравнение которой при фиксированном значении $t$ есть
\[
\varphi^{\top}=c
\]

следовательно, если обозначить через $n$ нормаль к этой поверхности, то. как известно,
\[
\frac{\partial \varphi}{\partial x}: \frac{\partial \varphi}{\partial y}: \frac{\partial \varphi}{\partial z}=\cos (n x): \cos (n y): \cos ^{\prime}(i i z)
\]

и величина этой силы равна абсолютному значению выражения
\[
\lambda \sqrt{\left(\frac{\partial \varphi}{\partial x}\right)^{2}+\left(\begin{array}{c}
\partial \varphi \\
\partial y
\end{array}\right)^{2}+\left(\frac{\partial \varphi}{\partial z}\right)^{2}} .
\]

Не исключена возможность, что уравнения (4) будут не единственными обладающими двумя указанными выше свойствами – выполняться для каждой системы координат и всякой формы уравнения связи, – если силы $(X, Y, Z)$ даны по величине и нә правлению. Этими же свойствами обладают уравнения
\[
\begin{array}{l}
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}=X+\lambda\left[\frac{\partial \varphi}{\partial x}+h \frac{d x}{d t} \sqrt{\left(\frac{\partial \varphi}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial \varphi}{\partial y}\right)^{2}+\left(\frac{\partial \varphi}{\partial z}\right)^{2}}\right], \\
\frac{d^{2} y}{d t^{2}}=Y+\lambda\left[\frac{\partial \varphi}{\partial y}+h \frac{d y}{d t} \sqrt{\left(\frac{\partial \varphi}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial \varphi}{\partial y}\right)^{2}+\left(\frac{\partial \varphi}{\partial z}\right)^{2}}\right], \\
\frac{d^{2} z}{d t^{2}}=Z+\lambda\left[\frac{\partial \varphi}{\partial z}+h \frac{d z}{d t} \sqrt{\left(\frac{\partial \varphi}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial \varphi}{\partial y}\right)^{2}+\left(\frac{\partial \varphi}{\partial z}\right)^{2}}\right],
\end{array}
\]

если $h$ является постоянной ұли произвольно заданной функцией от
\[
\sqrt{\left(\frac{d \lambda}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d y}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{a z}{d t}\right)^{2}} .
\]

Эти уравнения, взятые вместо уравнений (4), действительно годятся для описания некоторого движения, именно такого движения, при котором, как принято говорить, делается заметным трение. Мы удержим уравнения (4) вследствие их большой простоты.
$\S 2$
Изложенным в предыдущем параграфе методом мы воспользуемся для описания движения простого маятника. Такой маятник получается. если тело, подвешенное нитью к неподзижной точке, рассматривают как материальную точку. При этом предполагают нить нерастяжимой и в остальном ее влиянием пренебрегают. Пусть тело надлежащим образом приведено в движение; тогда оно движется так, что остается на шаровой поверхности, описываемой радиусом, равным длине нити, вокруг точки привеса. Допустим еще, что выполнены предположения, которые были изложены в $\$ 5$ первой лекции при исследовании движения свободно брошенного тела; тогда движение маятника будет описано с помощью выражения, показывающего, что на него действует сила тяжести, причем он вынужден оставаться на указанной шаровой поверхности.

Введем систему координат, начало которой поместим в точке подвеса и ось $z$ которой направлена вертикально вниз, и обозначим через $l$ длину нити; тогда это утверждение будет выражено следующими уравнениями:
\[
\begin{array}{c}
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}=\lambda x, \\
\frac{d^{2} y}{d t^{2}}=\lambda y, \\
\frac{d^{2} z}{d t^{2}}=g+\lambda z, \\
x^{2}+y^{2}+z^{2}=l^{2} .
\end{array}
\]

Из последнего уравнения следует:
\[
x d x+y d y+z d z=0,
\]

а из трех первых, умножив их на $d x, d y, d z$, сложив и интегрируя, получим
\[
d x^{2}+d y^{2}+d z^{2}=(2 g z+h) d t^{2},
\]

где $h$ обозначает произвольное постоянное.
Умножив два первых из уравнений (8) на ( $-y$ ) и ( $+x$ ), складывая и интегрируя, получим еще
\[
x d y-y d x=c d t,
\]

где через $c$ обозначено второе произвольное постоянное.
Введем теперь вместо прямоугольных координат полярные и положим
\[
\begin{array}{l}
x=l \sin \vartheta \cos w, \\
y=l \sin \vartheta \sin w, \\
z=l \cos \vartheta
\end{array}
\]

отсюда следует
\[
\begin{array}{l}
d x=l \cos \vartheta \cos \omega d \vartheta-l \sin \vartheta \sin w d w, \\
d y=l \cos \vartheta \sin \omega d \vartheta+l \sin \vartheta \cos \omega d w \\
d z=-l \sin \vartheta d \vartheta
\end{array}
\]
$И з$ этих уравнений имеем
\[
\begin{array}{c}
d x^{2}+d y^{2}+d z^{2}=l^{2}\left(d \vartheta^{2}+\sin ^{2} \vartheta d w^{2}\right) \\
x d y-y d x=l^{2} \sin ^{2} \vartheta d w
\end{array}
\]

и вместо уравнений (9)-(10) получим
\[
\begin{aligned}
l^{2}\left(d \vartheta^{2}+\sin ^{2} \vartheta d w^{2}\right) & =(2 g l \cos \vartheta+h) d t^{2}, \\
l^{2} \sin ^{2} \vartheta d w & =c d t .
\end{aligned}
\]

Отсюда следует
\[
\left(\frac{d \vartheta}{d t}\right)^{2}=2 \frac{g}{l} \cos \vartheta+\frac{h}{l^{2}}-\frac{c^{2}}{l^{4} \sin ^{2} \vartheta} .
\]

Интегрируя это уравнение, мы получим $\vartheta$ как эллиптическую функцию $t$. Пусть $\vartheta$ найдено; тогда, интегрируя второе уравнение (12), получим $ш$. Если $c=0$, то из второго уравнения (12) следует, что $w=$ const, и из (11) найдем, что движение прожсходит в вертикальной плоскости, и по первому из уравнений (12) имеем
\[
\left(\frac{d \vartheta}{d t}\right)^{2}=2 \frac{g}{l} \cos \vartheta+\frac{h}{l^{2}} .
\]

В зависимости от значения $h$ движение, представляемое этим уравнением, таково, что или абсолютное значение $\vartheta$ безгранично возрастает со временем, или изменяется между некоторым минимумом и максимумом. Мы исследуем только второй случай, когда маятник совершает колебания. Обозначим амплитуду колебаний, т. е. наибольшее значение $\vartheta$, через $\alpha$; тогда $\frac{d \theta}{d t}=0$ для $\vartheta=\alpha$; следовательно, в силу (13)
\[
0=2 \frac{g}{l} \cos \alpha+\frac{h}{l^{2}} .
\]

Вычтем это уравнение из (13), получим
\[
\left(\frac{d \vartheta}{d t}\right)^{2}=2 \frac{g}{l}(\cos \vartheta-\cos \alpha)=4 \frac{g}{l}\left(\sin ^{2} \frac{\alpha}{2}-\sin ^{2} \frac{\vartheta}{2}\right) .
\]

Положим
\[
\sin \frac{\psi}{2}=\sin \frac{\alpha}{2} \sin \psi
\]

тогда
\[
d t=\sqrt{\frac{l}{g}} \frac{d \psi}{\sqrt{1-\sin ^{2} \frac{\alpha}{2} \sin ^{2} \psi}}
\]

Пусть $T$ – продолжительность одного простого колебания; тогда $T$ найдется интегрированием этого уравнения между пределами от $\vartheta=-\alpha$ до $\theta=+\alpha$, т. е. от $\psi=-\frac{\pi}{2}$ до $\psi=+\frac{\pi}{2}$; таким образом,
\[
T=\sqrt{\frac{l}{g}} 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{d \psi}{\sqrt{1-\sin ^{2} \frac{\alpha}{2} \sin ^{2} \psi}} .
\]

Пусть $\alpha$ мало; тогда, пренебрегая его четвертыми степенями, получим
\[
\frac{1}{\sqrt{1-\sin ^{2} \frac{\alpha}{2} \sin ^{2} \psi}}=1+\frac{1}{2} \sin ^{2} \frac{\alpha}{2} \sin ^{2} \psi ;
\]

далее, так как
\[
\int_{0}^{\pi} \sin ^{2} \psi d \psi=\frac{\pi}{4},
\]

To
\[
T=\pi \sqrt{\frac{l}{g}}\left(1+\frac{1}{4} \sin ^{2} \frac{\alpha}{2}\right),
\]

или
\[
T=\pi \sqrt{\frac{l}{g}}\left(1+\frac{\alpha^{2}}{16}\right) .
\]

Если $\alpha$ бесконечно мало, то
\[
T=\pi \sqrt{\frac{\bar{l}}{g}} .
\]

Случай бесконечно малых колебаний легко разобрать и без предположения, что они плоские.

Если колебания, т. е. $x$ и $y$, бесконечно малы, то $l-z$ также бесконечно мало; а именно, оно будет второго порядка, когда $x$ и $y$ первого порядка малости, как. это вытекает из (8), уравнение четвертое. Третье из этих уравнений выражает, что с точностью до величин второго порядка
\[
\lambda=-\frac{g}{l} \text {, }
\]

и два первых дают
\[
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}=-\frac{g}{l} x, \quad \frac{d^{2} y}{d t^{2}}=-\frac{g}{l} y .
\]

Общие интегралы этих дифференциальных уравнений:
\[
\begin{array}{l}
x=a \sin \sqrt{\frac{\bar{g}}{l}} t+a^{\prime} \cos \sqrt{\frac{\bar{g}}{l}} t, \\
y=b \sin \sqrt{\frac{\bar{g}}{l}} t+b^{\prime} \cos \sqrt{\frac{\bar{g}}{l}} t,
\end{array}
\]

где $a, b, a^{\prime}, b^{\prime}$ – произвольные постоянные. Исключим $t$ из этих двух уравнений, решив их относительно синуса и косинуса и приравняв единице сумму квадратов найденных значений; тогда найдем, что уравнение траектории тяжелой точки есть уравнение эллипса. Из выражений для $x$ и $y$ следует, что продолжительнсть одного оборота
\[
T=2 \pi \sqrt{\frac{\bar{l}}{g}} .
\]
§ 3
Рассмотрим теперь наиболее общий случай, встречающийся в механике материальной точки. Именно, рассмотрим систему материальных точек $1,2, \ldots$ Обозначим буквами $x, y, z$ с индексами $1,2, \ldots$ их координаты в момент $t$. Между этими координатами и временем должны сыть известны $n$ независимых между собой уравнений, которые мы напишем так:
\[
\varphi=c, \quad \psi=e, \ldots
\]

щричем под $\varphi, \psi, \ldots$ мы подразумеваем функции координат точек, а под $c, e, \ldots$ постоянные. Мы дадим дифференциальным уравнениям движения точек форму, соответствукщую той, в которой были представлены в $\S 1$ дифференциальные уравнения для одной точки, движение которой подчинено одной связи. Движение каждой из точек мы представим как об усло вленное $n+1$ силами, причем из всех рассматриваемых сил одна для каждой точки должна быть задана полностыо, для остальных должны быть установлены выражения, которые содержат $n$ неизвестных величин. Именно, мы положим
\[
\begin{array}{l}
\frac{d^{2} x_{1}}{d t^{2}}=X_{1}+\frac{\lambda}{m_{1}} \frac{\partial \varphi}{\partial x_{1}}+\frac{\mu}{m_{1}} \frac{\partial \psi}{\partial x_{1}}+\ldots, \\
\frac{d^{2} y_{1}}{d t^{2}}=Y_{1}+\frac{\lambda}{m_{1}} \frac{\partial \varphi}{\partial y_{1}}+\frac{\mu}{m_{1}} \frac{\partial \psi}{\partial y_{1}}+\ldots \\
\frac{d^{2} z_{1}}{d t^{2}}=Z_{1}+\frac{\lambda}{m_{1}} \frac{\partial \varphi}{\partial z_{1}}+\frac{\mu}{m_{1}} \frac{\partial \psi}{\partial z_{1}}+\ldots, \\
\frac{d^{2} x_{2}}{d t^{2}}=X_{2}+\frac{\lambda}{m_{2}} \frac{\partial \varphi}{\partial x_{2}}+\frac{\mu}{m_{2}} \frac{\partial \psi}{\partial x_{2}}+\ldots, \\
\ldots \ldots \ldots \ldots
\end{array}
\]

Здесь $X_{1}, Y_{1}, Z_{1} X_{2}, \ldots$ – компоненты сил, которые в каждом случае применения уравнений должны быть заданы как функции координат и компонент скорости точек и времени; $m_{1}, m_{2}, \ldots$ – положительные постоянные, которые также должны быть даны; $\lambda, \mu, \ldots$ – $n$ неизвестных, которые будут однозначно определены из $n$ линейных по отношению к ним уравнений
\[
\frac{d^{2} \varphi}{d t^{2}}=0, \quad \frac{d^{2} \Psi}{d t^{2}}=0, \because,
\]

которые должны быть развернуты по образцу уравнения (3).
Уравнения (15) имеют место для каждой прямоугольной системы координат, если положить, что силы $\left(X_{1}, Y_{1}, Z_{1}\right),\left(X_{2}, Y_{2}, Z_{2}\right), \ldots$ не зависят по величине и направлению от системы координат. Доказательство этого предложения надо вести таким же образом, как было доказано аналогичное предложение в $\S 1$; именно, следует умножить уравнения, относящиеся к каждой точке системы, на $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$, илл $\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$, или $\gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3}$ и в қаждом случае, соответственно, сложить их.

Уравнения (15) получим для каждой формы уравнений связи, если мы по-прежнему будем так называть уравнения (14), но они имеют место также и тогда, когда мы уравнения (14) заменим:
\[
F=C, G=E, \ldots,
\]

где $F, G, \ldots$ – $n$ независимых между собой функций от $\varphi, \psi, \ldots$ и $C$, $E, \ldots$ – постоянные значения, которые эти функции принимают при $\varphi=c$, $\psi=e, \ldots$ Величины $\lambda, \mu, \ldots$ должны быть заменены другими, которые мы обозначим через $L, M, \ldots$ и которые определяются из уравнений
\[
\begin{array}{l}
\lambda=L \frac{\partial F}{\partial \varphi}+M \frac{\partial G}{\partial \varphi}+\ldots \\
\mu=L \frac{\partial F}{\partial \psi}+M \frac{\partial G}{\partial \psi}+\ldots \\
\ldots . . . . . .
\end{array}
\]

Мы убедимся в правильности этого положения, если, обозначив через с какую-нибудь из величин $x_{1}, y_{1}, z_{1}, x_{2}, y_{2}, \ldots$, заметим, что
\[
\frac{\partial F}{\partial x}=\frac{\partial F}{\partial \varphi} \frac{\partial \varphi}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial \psi} \frac{\partial \psi}{\partial x}+\ldots,
\]

\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial G}{\partial x}=\frac{\partial G}{\partial \varphi} \frac{\partial \varphi}{\partial x}+\frac{\partial G}{\partial \psi} \frac{\partial \psi}{\partial x}+\ldots \\
\ldots \ldots \ldots
\end{array}
\]

следовательно, если имеют место уравнения (16), то
\[
L \frac{\partial F}{\partial x}+M \frac{\partial G}{\partial x}+\ldots=\lambda \frac{\partial \varphi}{\partial x}+\mu \frac{\partial \Psi}{\partial x}+\ldots
\]

Заметим, что уравнения (15) перестали бы быть годными для каждой системы координат или для каждой формы уравнений связи, если бы равные множители $\frac{1}{m_{1}}$, входящие в уравнения, относящиеся к первой точке, мы заменили бы различными множителями из какой-нибудь вертикальной или горизонтальной строки. Кроме того, нетрудно убедиться, что уравнения (15) не единственные, которые обладают только что доказанными свойствами; такие уравнения легко составить по образцу уравнений (7); уравнения (15) не теряют значения также и в том случае, если рассматривать $m_{1}, m_{2}, \ldots$ не как постоянные, но как произвольные переменные величины. Однако опыт учит, что при таком обобщении уравнений (15) мы не выиграли бы в простоте описания встречающихся в природе движений.
Количества $m_{1}, m_{2}, \ldots$ мы назовем массами материальных точек $1,2, \ldots$ Изменим форму и обозначения уравнений (15). Умножим уравнения (15) соответственно на $m_{1}, m_{2}, \ldots$; при этом появятся произведения $m_{1} X_{1}$, $m_{1} Y_{1}, m_{1} Z_{1}, m_{2} X_{2}, m_{2} Y_{2}, \ldots$; эти произведения мы обозначим опять через $X_{1}, Y_{1}, Z_{1}, X_{2}, Y_{2}, \ldots$ и будем называть их компонентами по осям координат движущей силы, действующей на массы $m_{1}, m_{2}, \ldots$ или на материальные точки $1,2, \ldots$ Огносительно введенного здесь понятия движущая сила мы можем сказать следующее: она всегда соответствует ускоряющей силе и имеет определенную величину и направление; направление обеих одно и то же; величина движущей силы равна величине ускоряющей, умноженной на массу, на которую она действует; движущие силы, действующие одновременно на точку, складываются совершенно так же, как ускоряющие. До сих пор речь шла исключительно об ускоряющих силах; теперь мы будем говорить только о силах движущих, и ради краткости опускать слово движущая.

Если на систему точек, массы которых $m_{1}, m_{2}, \ldots$, подчиненную связям $\varphi=c, \psi=e, \ldots$, действуют силы, компоненты которых суть $X_{1}, Y_{1}, Z_{1}$, $X_{2}, Y_{2}, \ldots$, то это означает, что движение точек удовлетворяет следующим уравнениям:
\[
\left.\begin{array}{c}
m_{1} \frac{d^{2} x_{1}}{d t^{2}}=X_{1}+\lambda \frac{\partial \varphi}{\partial x_{1}}+\mu \frac{\partial \Psi}{\partial x_{1}}+\ldots, \\
m_{1} \frac{d^{2} y_{1}}{\partial t^{2}}=Y_{1}+\lambda \frac{\partial \varphi}{\partial y_{1}}+\mu \frac{\partial \Psi}{\partial y_{1}}+\ldots, \\
m_{1} \frac{d^{2} z_{1}}{d t^{2}}=Z_{1}+\lambda \frac{\partial \varphi}{\partial z_{1}}+\mu \frac{\partial \psi}{\partial z_{1}}+\ldots, \\
m_{2} \frac{d^{2} x_{2}}{d t^{2}}=X_{2}+\lambda \frac{\partial \varphi}{\partial x_{2}}+\mu \frac{\partial \psi}{\partial x_{2}}+\ldots, \\
m_{2} \frac{d^{2} y_{2}}{d t^{2}}=Y_{2}+\lambda \frac{\partial \varphi}{\partial y_{2}}+\mu \frac{\partial \psi}{\partial y_{2}}+\ldots, \\
\cdots \cdot \cdots \\
\cdots \cdot c, \psi=e, \ldots
\end{array}\right\}
\]

Это и есть основные уравнения механики материальных точек, которыє были впервые установлены Лагранжем в его «Аналитической механике».

Величины $\lambda \frac{\partial \varphi}{\partial x_{1}}, \lambda \frac{\partial \varphi}{\partial y_{1}}, \lambda \frac{\partial \varphi}{\partial z_{1}}$ – компоненты силы, действующей на точку 1; эта сила по величине и направлению не зависит от принятой системы координат, что следует из рассмотрения, аналогичного проведенному в $\S 1$.

Эти силы являются следствием того факта, что точка 1 вынуждена двигаться сообразно условию $\varphi=c$.
Рассмотрим следующий пример:
\[
\varphi=\frac{1}{2}\left[\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}+\left(z_{1}-z_{2}\right)^{2}\right] ;
\]

это уравнение показывает, что точки 1 и 2 неизменно связаны между собой. Вследствие этой связи, как сказано выше, на точки 1 и 2 действуют силы, компоненты которых суть
\[
\lambda\left(x_{1}-x_{2}\right), \lambda\left(y_{1}-y_{2}\right), \lambda\left(z_{1}-z_{2}\right) .
\]

и
\[
\lambda\left(x_{2}-x_{1}\right), \lambda\left(y_{2}-y_{1}\right), \lambda\left(z_{2}-z_{1}\right) ;
\]

таким образом эти силы одинаковы по величине, и обе направлены вдоль линии, соединяющей точки 1 и 2.