$\S 1$

Мы уже многократно рассматривали как примеры для объяснения общих понятий и законов механики те движения, причиной которых считают силу тяжести; рассмотрим эти движения подробнее и внатале разъясним, как измеряется сила тяжести. Для этого нам послужит наблюдение колебаний тяжелого тела, которое способно вращаться вокруг горизонтальной оси. Такое приспособление называют маятником, а именно сложным маятником – в противоположность простому маятнику, о котором мы уже говорили. Допустим, что сила тяжести – постоянная ускоряющая сила. Рассмотрим маятник как твердое тело и пренебрежем влиянием воздуха, движением Земли и трением оси вращения; тогда мы сможем очень легко вычислить движение такого маятника. Положение последнего в некоторый момент определено одной переменной; выберем в качестве ее угол $\vartheta$, образованный плоскостью, проходящей через ось вращения и центр тяжести маятника, и вертикальной плоскостью, проходящей через ось вращения. Согласно §5 четвертой лекции, имеем теорему площадей относительно плоскости, перпендикулярной к оси вращения, так как связи точек маятника допускают вращение вокруг нее; эта теорема дает дифференциальное уравнение для такого угла. Обозначим величину силы тяжести – $g$, массу маятника- $m$, расстояние от его центра тяжести до оси вращения-s, момент инерции маятника относительно этой оси – $k$; таким образом получим дифференциа ьное уравнение
\[
\frac{d^{2} \vartheta}{d t^{2}}=-g \frac{m s}{K} \sin \vartheta .
\]

Согласно $\S 2$ второй лекции, оно совпадает с теми уравнениями, которые имеют место для плоских колебаний простого маятника в случае, если длина $l$ этого маятника удовлетворяет уравнению
\[
l=\frac{K}{m s} .
\]

Этот простой маятник называют соотвепствующин данному; при одинаковой амплитуде он имеет тот же период колебания маятника, что и данный. Если $l$ определено по (1) с помоцью измерения частей маятника и период колебания маятника $T$, соответствующий бесконечно малой амп. литуде, установлен наблюдением, то $g$ находят из уравнения
\[
T=\pi \sqrt{\frac{l}{g}} .
\]

Несколько простых примеров могли бы пояснить способ, каким может быть найдено $l$.

Предположим, маятник состоит из однородного шара и нити, массой которой можно пренебречь. Центром тяжести шара, как и центром тяжести каждого однородного тела, является центральная точка; итак, $s$ равно расстоянию центра шара от начала координат.
Определение момента инерции требует немного больше расчета.
Пусть $d m$ – элемент массы тела, который имеет координаты $x, y, z$; тогда момент инерции тела относительно оси $z$ равен
\[
\int d m\left(x^{2}+y^{2}\right) .
\]

Предположим теперь, что тело имеет постоянную плотность $\mu$ и является телом вращения, ось вращения которого– ось $x$. Положим:
\[
y=r \cos \varphi, \quad z=r \sin \varphi ;
\]

тогда этот момент инерции будет равен
\[
\mu \iiint d x d r d \varphi\left(x^{2}+r^{2} \cos ^{2} \varphi\right),
\]

или, так как интегрируем по $\varphi$ от нуля до $2 \pi$ и так как
\[
\int_{0}^{2 \pi} \cos ^{2} \varphi d \varphi=\pi,
\]

то момент инерции равен
\[
2 \pi \mu \iint d x r d r\left(x^{2}+\frac{r^{2}}{2}\right) .
\]

Здесь $x$ и $r$ представляют прямоугольные координаты точки поверхности, которая возникла при вращении тела.

Допустим, что тело является шаром радиуса $R$ и начало координат его центр. Тогда указанная поверхность является плоскостыю большого круга. Положим
\[
x=\rho \cos \psi, \quad r=\rho \sin \psi,
\]

тогда интеграл (2) преобразуется в интеграл по $\rho$ от нуля до $R$ и по $\psi$ от нуля до $\pi$, и вместо $d x d r$ можно подставить $\rho d \rho d \psi$; отсюда
\[
\pi \mu \int_{0}^{R} \int_{0}^{\pi} \rho^{4} d \rho\left(1+\cos ^{2} \psi\right) \sin \psi d \psi=\frac{8}{15} \pi \mu R^{5}
\]

или, если $m$ обозначает массу шара $m=\frac{4}{3} \pi \mu R^{3}$, то интеграл равен $\frac{2}{5} m R^{2}$. По теореме, введенной в § 1 шестой лекции, момент инерции шара маятника относительно оси вращения маятника равен
\[
m\left(s^{2}+\frac{2}{5} R^{2}\right)
\]

и из уравнения (1) длина соответствующего простого маятника равна
\[
S+\frac{2}{5} \frac{R^{2}}{s} .
\]

Вычислим теперь момент инерции цилиндра с пло тностью $\mu$, длиной $L$ \” радиусом $R$ относительно оси, которая перпендикулярна к оси цилиндра и проходит через ее центр. Этот момент, данный выражением (2), равен
\[
2 \pi \mu \int_{-\frac{L}{2}}^{+\frac{L}{2}} \int_{0}^{R} d x r d r\left(x^{2}+\frac{r^{2}}{2}\right),
\]

отсюда получим
\[
\frac{\pi \mu L R^{2}}{12}\left(L^{2}+3 R^{2}\right)
\]

или, если опять обозначить массу через $m$, то
\[
m=\pi \mu L R^{2},
\]
т. е. момент инерции равен
\[
m\left(\begin{array}{c}
L^{2}+R^{2} \\
1 \overline{2}+\frac{-}{4} \\
4^{2}
\end{array}\right) .
\]

Пусть цилиндр – тонкая, длинная проволока, тогда без значительных ошибок можно оставить только одно слагаемое
\[
m L^{2} \text {. }
\]

После этого мы можем вычислить длину $l$ простого маятника, который соответствует маятнику, состоящему из шара и проволоки. Пусть $m_{2}$ и $m_{1}$ – массы шара и проволоки, $s_{1}$ и $s_{2}$ – расстояния их центров тяжести от точки подвеса, $R_{1}$ – радиус шара, $L_{2}$ – длина проволоки; тогда
\[
S_{1}=R_{1}+L_{2}, \quad S_{2}=\frac{L_{2}}{2} .
\]

Пусть опять $m$ – масса всего маятника и $s$ – расстояние центра тяжести от точки подвеса, тогда, согласно теореме о центре тяжести системы масс, приведенной в § 3 четвертой лекции, имеем
\[
m s:=m_{1} s_{1}+m_{2} s_{2} .
\]

Пусть, кроме того, момент инерции относительно оси вращения маятника для шара
\[
m_{1}\left(s_{1}^{2}+\frac{2}{5} R_{1}^{2}\right)
\]

и для проволоки
\[
m_{2} \frac{L_{2}^{2}}{3} .
\]

Отсюда по (1)
\[
l=\frac{s_{1}^{2}+\frac{2}{5} R_{1}^{2}+\frac{m_{2}}{m_{1}} \frac{L_{2}^{2}}{3}}{s_{1}+\frac{m_{2}}{m_{1}} \frac{L_{2}}{2}} .
\]

Пусть $R_{1}$ и $L_{2}$ измерены и определено отношение $\frac{m_{2}}{m_{1}}$, тогда можно, следовательно, вычислить $l$.

Подобным образом поступают и в случае, \”если \”различают в маятнике более двух частей; однако всегда нужно предполагать, что каждая отдельная часть маятника однородна. Метод для измерения тяжести, который свободен от такого сомнительного предположения, основан на применении так называемого оборотного маятника.

Он состоит из жесткого стержня, который несет две параллельные призмы, перпендикулярные к направлению стержня; их острия направлены противоположно друг другу. На стержне укреплен один или более грузов. Каждая призма может служить осью вращения маятника. Вообще длины соответствующих простых маятников будут различными в зависимости от того, на какой призме колеблется оборотный маятник; подходящим выбором положения груза или грузов можно достичь того, что для обеих призм период колебаний при одинаковых амплитудах будет одним и тем же; это значит, что простые маятники, соответствующие обеим призмам, имеют одну и ту же длину $l$. В этом случае по (1) имеем
\[
\begin{array}{l}
l=\frac{m s_{1}^{2}+k}{m s_{1}}, \\
l=\frac{m s_{2}^{2}+k}{m s_{2}},
\end{array}
\]

где $m$ – масса маятника, $k$ – его момент инерции относительно оси, которая параллельна обеим призмам и проходит через центр тяжести, и $s_{1}$, $s_{2}$ – расстояния центра тяжести от соответствующих призм. Из этих уравнений следует:
\[
l\left(s_{1}-s_{2}\right)=s_{1}^{2}-s_{2}^{2}
\]

или, предполагая, что $s_{1}$ не равно $s_{2}$,
\[
l=s_{1}+s_{2} .
\]

Пусть теперь выполняется еще то условие, что центр тяжести лежит в плоскости обеих призм, тогда $s_{1}+s_{2}$ – расстояние между призмами, и измерением этого расстояния можно получить длину соответствующего простого маятника без разделения массы на части.
§ 3
Другой путь избрал Бессель в своих известных «Исследованиях о длине простого секундного маятника»*, чтобы освободиться от предположения об однородности частей маятника и одновременно исключить другую причину ошибок, которая состоит в следующем. Ось вращения маятника образуется обычно призмой, которая покоится на горизонтальной подставке. Но острие призмы представляет не математическую линию, а узкую часть цилиндрической поверхности очень большой кривизны; это означает, что ось вращения маятника лежит не точно в плоскости, которая несет призму, и определяется неточно. Аналогичная ненадежность остается при любом другом способе подвешивания маятника. Бессель использовал два маятника, которые были образованы одним и тем же шаром, одной и той же призмой и двумя стержнями, разность длин которых измерялась с предельно возможной точностью.
* Abhandlungen der Berliner Akademie für das Jahr 1826.

Отсюда и из времени колебаний обоих маятников можно было вычислить длину каждого соответствующего простого маятника без предположения, что шар однороден и острие призмы – математическая линия.
§ 4
При опытах с маятником не надо упускать из виду влияние, которое оказывает воздух на движение маятника. Разрешение этой задачи относится целиком к гидродинамике, так как это влияние нельзя выяснить без определения движения, в которое воздух приводится маятником. Здесь уместно привести некоторые исторические сведения.

Если тело покоится в воздухе, то воздух оказывает на его поверхность давление, равнодействующая которого направлена вертикально вверх, равна весу вытесненного воздуха и имеет точкой приложения центр тяжести вытесненного воздуха. Можно принять, что при колеблющемся маятнике силы давления вытесненного воздуха имеют ту же величину, что и при покоящемся маятнике, тогда влияние воздуха на время колебания легко могло бы быть определено. Обозначим через $m^{\prime}$ массу вытесненного воздуха, через $s^{\prime}$ – расстояние ее центра тяжести от оси вращения маятника, и предположим ради простоты, что этот центр тяжести лежит в одной плоскости с центром тяжести маятника и его осью вращения; тогда момент вращения, который влияет на маятник, был бы
\[
-\left(m s-m^{\prime} s^{\prime}\right) g \sin \vartheta
\]

и следовательно, дифференциальное уравнение движения маятника
\[
K \frac{d^{2} \vartheta}{d t^{2}}=-\left(m s-m^{\prime} s^{\prime}\right) g \sin \vartheta
\]

и длина $l$ соответствующего простого маятника равна
\[
\frac{K}{m s-m^{\prime} s^{\prime}} \text {. }
\]

Это уравнение не исчерпывает влияния воздуха на время колебания маятника. Говорят, что маятник увлекает за собой некоторую массу воздуха и что поэтому момент инерции маятника возрастает. Қак это и должно быть, можно подставить
\[
l=\frac{K+m^{\prime} s^{\prime 2} \lambda}{m s-m^{\prime} s^{\prime}},
\]

где $\lambda$ – неизвестное число, зависящее от формы маятника и его периода колебания, а также от свойств воздуха, но не от массы маятника и подразделения его на части. Бессель определял $\lambda$ экспериментально; для этого он использовал два маятника одинаковой формы с близкими периодами колебания, но с различными массами.

При оборотном маятнике влияние воздуха на период колебания снимается, если маятник симметричен относительно обеих призм. Это условие может быть выполнено, только если распределение массы несимметрично относительно обеих призм, потому что в противном случае было бы $s_{1}=s_{2}$ – такой случай мы можем исключить. Достигают этой цели, рассматривая, например, две одинаковые линзы, расположенные симметрично относительно стержня маятника, из которых одна полая, а вторая сплошная.

При ранее употреблявшихся обозначениях, если имеет место равенство периодов колебания для обеих призм, то по (3)
\[
l=\frac{k+m s_{1}^{2}+m^{\prime} s^{\prime} \lambda}{. m s_{1}-m^{\prime} s^{\prime}}
\]

H
\[
l=\frac{k+m s_{2}^{2}+m^{\prime} s^{\prime 2} \lambda}{m s_{2}-m^{\prime} s^{\prime}},
\]

откуда следует
\[
l=s_{1}+s_{2},
\]

точно так же, как в случае если бы воздух не оказывал никакого влияния. Предположение относительно симметрии формы маятника, которое мы сделали для этого заключения, существенно; если бы это было не так, то $s^{\prime}$ и $\lambda$ имели бы различные значения в обоих уравнениях (4).
$\S 5$
Опыты с маятником, которые производились в различных местах, показали, что сила тяжести не одинакова на поверхности Земли и над ней; например, если подниматься вверх, то тяжесть уменышается. Это изменение силы тяжести становится понятным, если исходить из учения Ньютона, что тяжесть есть следствие притяжения.

Две массы $m$ и $m_{1}$, которые находятся одна от другой на расстоянии $r_{1}$, действуют друг на друга по законам гравитации с силой, потенциал которой при подходящем выборе единицы массы равен $\frac{m m_{1}}{r_{1}}$. Пусть действует несколько масс $m_{1}$, притягивающихся к массе $m$, тогда эта сила имеет потенциал
\[
m \sum \frac{m_{1}}{r_{1}} .
\]

Вычислим потенциал для случая, когда массы $m_{1}$ – части Земли, при предположении, что Земля – шар и ее плотность одинакова на равных расстояниях от центра. Представим себе массу, которая имеет постоянную плотность $\mu$ и заполняет пространство между двумя концентрическими шаровыми поверхностями с радиусами $R$ и $R+d R$. Потенциал этой массы относительно единицы массы, которая находится на расстоянии $r$ от центра шаровой поверхности, т. е. потенциал силы, с которой масса действует на единицу массы, равен
\[
\mu R^{2} d R \iint \frac{\sin \vartheta d \vartheta d w}{\sqrt{R^{2}+r^{2}-2 R r \cos \vartheta}},
\]

где корень берется с положительным знаком и интегрирование ведется по $w$ от нуля до $2 \pi$, по $\vartheta$ – от нуля до $\pi$. Первое интегрирование непосредственно выполнимо, второе возможно, если вместо переменной $\vartheta$ ввести
\[
\rho=\sqrt{R^{2}+r^{2}-2 R r \cos \vartheta}
\]

Гак как тогда
\[
\rho d \rho=\operatorname{Rr} \sin \vartheta d \vartheta
\]

то если обозначить через $\rho^{\prime \prime}$ наибольшее, а через $\rho^{\prime}$ – наименьшее значения $\rho$, выражение (5) в этом случае принимает вид
\[
\mu \frac{2 \pi R d R}{r}\left(\rho^{\prime \prime}-\rho^{\prime}\right) \text {. }
\]

Ho
\[
\rho^{\prime \prime}=R+r,
\]

и $\rho^{\prime}$ равна той из величин $R-r$ и $r-R$, которая является положительной; это значит, что $\rho^{\prime}=r-R$, если точка, к которой относится потенциал, лежит вне шарового слоя, и $\rho^{\prime}=R-r$, если она находится внутри его. Поэтому в первом случае выражение (5) равно
\[
\mu \frac{4 \pi R^{2} d R}{r},
\]

во втором
$\mu 4 \pi R d R$.
Таким образом доказано, что потенциал, о котором шла речь, для каждой внутренней точки – постоянная величина, а для каждой внешней имеет такую величину, как если бы масса шарового слоя была сконцентрирована в его центре.

При сделанных относительно Земли предположениях ее потенциал относительно тела, которое находится вне Земли, имеет такую величину, как если бы в ее центре была сконцентрирована вся масса, а притяжение к Земле, которое испытывает тело, обратно пропорционально квадрату его расстояния от центра Земли. С этим согласуется результат опыта с маятником – уменьшение веса тела при увеличении высоты подъема.

Согласно опытам с маятником вес изменяется также на поверхности Земли или, что то же, на уровне моря. Очень приближенно можно сказать, что он независим от географической долготы места наблюдения, но изменяется географической широтой. Обозначив ее через $\psi$ и взяв за единицу времени секунду, имеем на основании опытов с маятником с большой точностью
\[
g=9^{m}, 8309\left(1-\frac{\cos ^{2} \psi}{191}\right) .
\]

Тот факт, что вес изменяется с географической широтой места исследования, рассматривается как следствие вращения Земли-это должно быть показано в следующих лекциях.