$\S 1$

В капельных жидкостях обнаруживаются некоторые явления, которые называются капиллярными явлениями и рассматріваются как действия капиллярных сил. Эти явленяя состоят частью в том, что свободная поверхность такой жидкости или, как мы будем более общо и точно выражаться, поверхность раздела двух жидкостей не представляет горизонтальной плоскости. Эти же явления состоят и в том, что на тьердое тело, которое отчасти погружено в капельную жидкость (или, как мы предпочитаем говорить, чтобы удержать в равнозесий тело, соприкасаюшееся с двумя жидкостями) должны действовать силы, которые не могут быть полностью определены по прхнципу Архимеда. Јаплас первый основал теорию капиллярных явлений; при этом он исходил из гипотезы, что капиллярные силы – это силы притяжения между частицами тел, которые при возрастании расстояния так быстро убывают, что при измеримых расстояниях перестают быть заметными. Позднее эту гипотезу обосновал Гаусс* более строго, чем это удалось Лапласу, и пришел при этом к принципу, который мы можем выразить так: если два разнородных тела соприкасаются по некоторой поверхности, то следствием этого являются силы, имеющие потенциал, который равен величине поверхности соприкасания, умноженной на некоторую постоянную, зависящую от природы обоих тел. Эти силы называются капиллярными силами.

Этот принцип послужит основанием наших исследований капиллярных явлений, к которым мы здесь приступим. При этом мы будем предполагать, что кроме капиллярных сил на жидкость действует только сила тяжести, и будем рассматривать жидкости как несжимаемые, а твердые тела – как неизменяемые. Мы будем исходить из принципа возможных перемещений, но чтобы приложить его к случаю действия капиллярных сил; надо сперва вывести выражение для увеличения, получаемого поверхностью, когда точки ее получают бесконечно малые перемещения. Мы могли бы при этом основываться на уравнениях (12) десятой лекции, но предпочтем решить задачу непосредственно.
$\S 2$
Вообразим прямую линию, проходяццую через точку $(x, y, z)$ и образуюцую с осями координат углы, косинусы которых суть $\alpha, \beta, \gamma$. Пусть $\xi, \eta, \zeta$-текущие координаты этой линии. Тогда
* Principia generalia theoriae figurae fluidorum in statu aequilibrii; Carl Friedrich Gauss Werke, Bd.V, S. 29.

\[
\xi-x=r \alpha, \eta-y=r \beta, \zeta-z=r \gamma,
\]

где $r$-расстояние между этими точками, взятое положительным или отрицательным, в зависимости от того, лежит ли точка ( $\xi, \eta, \zeta$ ) от точки $(x, y, z)$ в направлении, определяемом косинусами $\alpha, \beta, \gamma$, или в противоположном. Далее, вообразим вторую прямую, уравнения которой при соответственных обозначениях будут
\[
\xi-x_{1}=r_{1} \alpha_{1}, \eta-y_{1}=r_{1} \beta_{1}, \zeta-z_{1}=r_{1} \gamma_{1} .
\]

Эти линии, вообще, не пересекаются. Они пересекутся, если шесть предыдущих уравнений удовлетворяются надлежащими значениями пяти величин $\xi, \eta, \zeta, r, r_{1}$, или, что то же, если уравнения
\[
\begin{array}{l}
x-x_{1}=r_{1} \alpha_{1}-r \alpha, \\
y-y_{1}=r_{1} \beta_{1}-r \beta, \\
z-z_{1}=r_{1} \gamma_{1}-r \gamma
\end{array}
\]

удовлетворятся надлежащими значениями двух величин $r$ и $r_{1}$. Если это имеет место, то $r$ и $r_{1}$ обозначают расстояния точки пересечения от точек $(x, y, z)$ и ( $\left.x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)$, взятые положительными или отрицательными.

Пусть теперь $(x, y, z)$ и $\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)$ будут две бесконечно близкие точки поверхности тела, $\alpha, \beta, \gamma$ и $\alpha_{1}, \beta_{1}, \gamma_{1}$ – косинусы углов, которые соответственные нормали, направленные внутрь тела, образуют с осями координат. Мы будем применять знак $d$ для обозначения приращения рассматриваемых величин при переходе от первой точки ко второй; тогда условием пересечения обеих нормалей будет то, что уравнения
\[
\begin{array}{l}
-d x=r d \alpha+\alpha d r, \\
-d y=r d \beta+\beta d r, \\
-d z=r d \gamma+\gamma d r
\end{array}
\]

должны быть удовлетворены при подходящем выборе $r$ и $d r$. Умножим эти уравнения на $\alpha, \beta, \gamma$ и сложим их; отсюда, принимая во внимание, что по сделанному определению
\[
\alpha d x+\beta d y+\gamma d z=0
\]

и
\[
\alpha d \alpha+\beta d \beta+\gamma d \gamma=0,
\]

получим
\[
d r=0 .
\]

Следовательно, уравнения, которые должны быть удовлетворены, обращаются в
\[
d x=-r d \alpha, d y=-r d \beta, d z=-r d \gamma .
\]

Одно из этих уравнений есть следствие двух других, так как, если мы умножим их на $\alpha, \beta, \gamma$ и сложим, то получим тождественное уравнение. Таким образом, условие пересечения нормалей состоит в том, что два из этих уравнений могут быть удовлетворены подходящим выбором $r$.
Возьмем уравнение поверхности, о которой здесь говорится, в виде
\[
z-z(x, y)=0,
\]

где второе $z$ есть знак функции, которая должна быть дана, и $x, y$ выбраны как независимые переменные, которые определяют точку поверхности и соответствующие ей значения косинусов $\alpha, \beta, \gamma$. Тогда два первых из трех предыдущих уравнений обращаются в
\[
\begin{array}{c}
d x=-r\left(\frac{\partial \alpha}{\partial x} d x+\frac{\partial \alpha}{\partial y} d y\right), \\
d y=-r\left({ }_{\partial x}^{\partial x} d x+\frac{\partial \beta}{\partial y} d y\right)
\end{array}
\]

или в
\[
\begin{array}{l}
\left(\frac{\partial \alpha}{\partial x}+\frac{1}{r}\right) d x+\frac{\partial \alpha}{\partial y} d y=0, \\
\frac{\partial \beta}{\partial x} d x+\left(\frac{\partial \beta}{\partial y}+\frac{1}{r}\right) d y=0 .
\end{array}
\]

Они могут быть удовлетворены подходящим выбором значения отношения $d y: d x$, если $r$ будет корнем квадратного уравнения
\[
\left(\frac{\partial \alpha}{\partial x}+\frac{1}{r}\right)\left(\frac{\partial \beta}{\partial y}+\frac{1}{r}\right)-\frac{\partial \alpha}{\partial y} \frac{\partial \beta}{\partial x}=0 .
\]

Пусть $r^{\prime}$ и $r^{\prime \prime}$ – корни этого уравнения, $d x^{\prime} ; d y^{\prime}$ и $d x^{\prime \prime}, d y^{\prime \prime}$ – значения $d x, d y$, соответствующие им, удовлетворяющие уравнениям (2); тогда $r^{\prime}$ и $r^{\prime \prime}$ будут главными радиусами кривизны поверхности тела в точке $(x, y)$, и линейные элементы поверхности, проекции которых суть $d x^{\prime}, d y^{\prime}$ и $d x^{\prime \prime}, d y^{\prime \prime}$, будут элементами двух проходящих через эту точку линий кривизны.

Главные радиусы кривизны всегда действительны и линии кривизны взаимно ортогональны. При доказательстве этого утверждения мы сделаем некоторое предположение относительно системы координат, которая до сих пор оставалась произвольной. Это позволит нам в приводимом ниже доказательстве получить для главных радиусов кривизны и линий кривизны значения, не зависящие от системы координат. Из уравнений (1), представляющих рассматриваемую поверхность, вообще, следует:
\[
\alpha: \beta: \gamma=-\frac{\partial z}{\partial x}:-\frac{\partial z}{\partial y}: 1,
\]

так что
\[
\frac{\alpha}{\gamma}=-\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\beta}{\gamma}=-\frac{\partial z}{\partial y}
\]

отсюда
\[
\frac{\partial\left(\frac{\alpha}{\gamma}\right)}{\partial y}=\frac{\partial\left(\frac{\beta}{\gamma}\right)}{\partial x},
\]

или
\[
\gamma\left(\frac{\partial \alpha}{\partial y}-\frac{\partial \beta}{\partial x}\right)=\alpha \frac{\partial \Upsilon}{\partial y}-\beta \frac{\partial \Upsilon}{\partial x} .
\]

Выберем систему координат так, чтобы было $\gamma=1$, т. е. так, чтобы ось $z$ была параллельна нормали к поверхности в рассматриваемой точке, направленной внутрь тела. Тогда $\alpha$ и $\beta$ обратятся в нуль, и выведенное уравнение даст
\[
\frac{\partial \alpha}{\partial y}=\frac{\partial \beta}{\partial x} .
\]

Отсюда следует, что последний член левой части уравнения (3) есть квадрат и, далее, что левая часть формулы (3) отрицательна, если
\[
\frac{1}{r}=-\frac{\partial \alpha}{\partial x} \text { или } \frac{1}{r}=-\frac{\partial \beta}{\partial y} ;
\]

но она будет положительна, если принять $r$ бесконечно малым. Из этого можно заключить, что уравнение (3) имеет два действительных корня, но они могут быть как положительными, так и отрицательными. Главный радиус кривизны положителен, если соответственный центр кривизны (т. е. точка, координаты которой при принятых в начале этого параграфа обозначениях мы назвали $\xi, \eta, \zeta)$ лежит от точки $(x, y, z)$ со стороны нормали, проведенной внутрь тела, и отрицателен в противном случае. Оба радиуса кривизны положительны для выпуклой поверхности тела и отрицательны для вогнутой; один положителен, другой отрицателен, если поверхность в одном направлении выпукла, в другом вогнута.

Чтобы доказать, что линии кривизны взаимно ортогональны, будем исходить из уравнений
\[
\begin{array}{c}
\left(\frac{\partial \alpha}{\partial x}+\frac{1}{r^{\prime}}\right) d x^{\prime}=-\frac{\partial \alpha}{\partial y} d y^{\prime}, \\
\frac{\partial \beta}{\partial x} d x^{\prime \prime}=-\left(\frac{\partial \beta}{\partial y}+\frac{1}{r^{\prime \prime}}\right) d y^{\prime \prime},
\end{array}
\]

которые следуют из уравнений (2). Перемножим их и воспользуемся тем. что
\[
\frac{\partial \alpha}{\partial x}+\frac{1}{r^{\prime}}=-\left(\frac{\partial \beta}{\partial y}+\frac{1}{r^{\prime \prime}}\right)
\]

так как из уравнений (3) следует, что
\[
\frac{1}{r^{\prime}}+\frac{1}{r^{\prime \prime}}=-\left(\frac{\partial \alpha}{\partial x}+\frac{\partial \beta}{\partial y}\right) .
\]

Таким образом, будем иметь
\[
\frac{\partial \beta}{\partial x} d x^{\prime} d x^{\prime \prime}+\frac{\partial \alpha}{\partial y} d y^{\prime} d y^{\prime \prime}=0 .
\]

Введем теперь систему координат, для которой существуют уравнения (5), и $\gamma=1$; тогда это уравнение примет вид
\[
d x^{\prime} d x^{\prime \prime}+d y^{\prime} d y^{\prime \prime}=0 .
\]

Так как проекции обоих рассматриваемых элементов на ось $z$ в принятой теперь системе координат (которые должны быть обозначены через $d z^{\prime}$ и $d z^{\prime \prime}$ ) равны нулю, то это равенство выражает, что оба элемента взаимно перпендикулярны.

При помощи понятий главного радиуса кривизны и линий кривизны теперь легко вычислить увеличение, получаемое частью поверхности тела при бесконечно малом перемещении ее точек. Предположим сперва, что перемещения всюду имеют место в направлении нормалей. Обозначим через $v$ величину перемещения в направлении внешней нормали, величину, которая непрерывно изменяется от точки к точке поверхности. Вообразим поверхность, разделенную на бесконечно малые прямоугольники двумя системами бесконечно близких линий кривизны; пусть будут $d l^{\prime}$ и $d l^{\prime \prime}$ смежные стороны такого прямоугольника в начальном состоянии поверхности; следовательно, $d l^{\prime} d l^{\prime \prime}$ есть его площадь. При перемещении $d l^{\prime}$ изменится на $d l^{\prime}\left(1+\frac{v}{r^{\prime}}\right)$, а $d l^{\prime \prime}$ на $d l^{\prime \prime}\left(1+\frac{v}{r^{n}}\right)$; это будет иметь место, каковы бы ни были знаки $r^{\prime}$ и $r^{\prime \prime}$. Поэтому площадь прямоугольника получает при перемещении приращение
\[
d l^{\prime} d l^{\prime \prime}\left(\frac{1}{r^{\prime}}+\frac{1}{r^{\prime \prime}}\right) v,
\]

а вся площадь, элемент которой обозначим через $d s$, получит приращение
\[
\int d s\left(\frac{1}{r^{\prime}}+\frac{1}{r^{\prime \prime}}\right) v .
\]

Зо-вторых, мы рассмотрим случай, когда точки поверхности будут смещены в ней самой таким образом, что опять перемещения будут изменяться непрерывно. Тогда увеляченхе площади будет выражаться интегралом, взятым по периметру. Обозначим через $d l$ элемент периметра; через $m$ – нормаль к $d l$, касательную к поверхности и направленную внутрь периметра; через $\mu$ – проекцию перемещения элемента $d l$ на направление, противоположное $m$; тогда приращение площади будет
\[
\int d l \mu \text {. }
\]

Положим, что точка может получить произвольное бесконечно малое и непрерывно изменяющееся перемещение. Пусть $\varepsilon$ будет величина и направление этого перемещения; оно может быть рассматриваемо как составленное из двух таких перемещений, которые мы только что рассматривали. Из этого следует, что увеличение, получаемое частью поверхности, равно сумме двух написанных выше интегралов, если приписать количествам $v$ и $\mu$ известные значения, т. е. положить
\[

u=-\varepsilon \cos (n \varepsilon), \mu=-\varepsilon \cos (m \varepsilon),
\]

где $n$ – направленная внутрь тела нормаль к $d s$. Отсюда искомое увеличение части поверхности тела будет
\[
-\int d s\left(\frac{1}{r^{\prime}}+\frac{1}{r^{\prime \prime}}\right) \varepsilon \cos (n \varepsilon)-\int d l \varepsilon \cos (m \varepsilon) .
\]
§ 3
Полученный результат дает нам возможность найти работу капиллярных сил для бесконечно малого перемещения части системы, на которую они действуют. Предположим, что кроме капиллярных сил действует сила тяжести, для которой также надо будет найти работу при таких перемещениях. Примем ось $z$ координатной системы направленной вертикально вниз, обозначим через $g$ тяжесть, через $d \tau$ – элемент объема тела и через $\mu$ – его плотность. Тогда потенциал силы тяжести по отношению к телу будет
\[
g \int \mu z d \tau
\]

и изменение, полученное этим интегралом при рассматриваемом перемещении, представит работу, которую надо вычислить. Как уже сказано, мы будем предполагать тело несжимаемым; поэтому $\mu$ должно иметь всегда одинаковое значение. Вследствие этого изменәние интеграла (8) для какихнибудь возможных перемещений может быть представлено интегралом, взятым по поверхности тела, в который войдут только перемещения частей поверхности. В самом деле, при принятом предположении единственной причиной изменения интеграла (8) можно считать изменение пределов интегрирования. Пусть будет $d s$ – элемент поверхности тела, $\varepsilon$ – перемещение, $n$ – направленная внутрь тела нормаль к $d s$; тогда
\[
d s \varepsilon \cos (n \varepsilon)
\]

представляет элемент объема, выключаемый, если $\cos (n \varepsilon)$ положителен, и включаемый, если $\cos (n \varepsilon)$ отрицателен. Следовательно, приращение интеграла или работа тяжести, о которой идет речь, будет
\[
-g \mu \int d s z \varepsilon \cos (n \varepsilon) \text {. }
\]

Перемещения $\varepsilon$ вследствие несжимаемости тела должны быть связаны некоторым уравнением: интеграл
\[
\int d \tau
\]

должен оставаться неизменным; согласно предыдущему, мы видим, что это условие выражается уравнением
\[
0=\int d s \varepsilon \cos (n \varepsilon) .
\]

Введем теперь некоторые свойства поверхности раздела различных жидкостей. Пусть 1 и 2 -две соприкасающиеся жидкости, $A_{12}$ – постоянная, произведение которой на поверхость соприкасания дает потенциал капиллярных сил, действующих вследствие соприкасания, $\mu_{1}$ и $\mu_{2}$ – их плотности. Рассмотрим произвольную конечную часть их поверхности соприкасания. Назовем $d s_{12}$ – элемент этой части, $n_{1}$ – направленную внутрь жидкости 1 нормаль к $d s_{12}, r^{\prime}$ и $r^{\prime \prime}$-главные радиусы кривизны этого элемента, считаемые положительными, если поверхность жидкости I выпуклая. Предположим, что только точки выбранной части поверхности перемещаются бесконечно мало, тогда как остальные точки поверхности соприкасания различных тел остаются на своем месте; именно, мы предположим, что они перемещаются так, что точки краев сохраняют свое положение и объем обеих жидкостей остается неизменным. Если $\varepsilon$ есть перемещение элемента $d s_{12}$, то необходимо, вследствие уравнения (10), на основании последнего определения, чтобы
\[
\int d s_{12} \varepsilon \cos \left(n_{1} \varepsilon\right)=0 .
\]

Если это условие выполнено, то по принципу возможных перемещений, как это следует из значения выражений (7) и (9), должен быть равен нулю также интеграл
\[
\int d s_{12} \varepsilon \cos \left(n_{1} \varepsilon\right)\left[A_{12}\left(\frac{1}{r^{\prime}}+\frac{1}{r^{\prime \prime}}\right)+g\left(\mu_{1}-\mu_{2}\right) z\right] .
\]

Для этого необходимо, чтобы выражения, стоящие в (11) и (12) под знаком интеграла, были пропорциональны, т. е. чтобы
\[
A_{12}\left(\frac{1}{r^{\prime}}+\frac{1}{r^{\prime \prime}}\right)+g\left(\mu_{1}-\mu_{2}\right) z=\lambda,
\]

где через $\lambda$ обозначено постоянное. Это и есть дифференциальное уравнение поверхности раздела двух жидкостей. Оно может быть представлено в несколько более простом виде подходящим выбором плоскости $x, y$. Если плоскость $x O y$ изменяется, то изменяется значение $z$ в определенной точке, в то время как первый член левой части уравнения (13) остается неизменным; таким образом, $\lambda$ также изменяется и может, следовательно, обратиться в нуль при подходящем выборе плоскости $x O y$. В этом случае уравнение (13) примет вид
\[
A_{12}\left(\frac{1}{r^{\prime}}+\frac{1}{r^{*}}\right)+g\left(\mu_{1}-\mu_{2}\right) z=0 .
\]

Плоскость, которую нужно взять за плоскость $x O y$, чтобы это уравнение имело место, называется плоскостью уровня. Если для поверхности раздела двух жидких частей, которая только что была рассмотрена, $r^{\prime}$ и $r^{\prime \prime}$ бесконечно велики, то она совпадает с плоскостью уровня, как это видно из уравнения (14).

Рассмотрим теперь линию, по которой примыкают друг к другу три жидкости. Мы обозначим эти жидкости через $1,2,3$, через $d l_{123}$ – элемент линии, через $m_{12}$ – нормаль к этому элементу, касательную к поверхностн раздела жидкостей 1 и 2 и направленную внутрь линии, и дадим буквам $m_{23}, m_{31}$ и $A_{23}, A_{31}$ значения, аналогичные тем, которые приписаны буквам $m_{12}$ и $A_{12}$. Предположим, что точки названной линии бесконечно мало смещены, вследствие чего элемент $d l_{123}$ получит смещение $\varepsilon$. Тогда бесконечно близкие к линии частицы жидкости также получат смещения, притом только такие, при которых объем ни одной из жидкостей не изменится. При помощи выражения (7), на основании принципа возможных перемещений, заключаем, что
\[
\int d l_{123} \varepsilon\left[A_{12} \cos \left(m_{12} \varepsilon\right)+A_{23} \cos \left(m_{23} \varepsilon\right)+A_{31} \cos \left(m_{31} \varepsilon\right)\right]=0,
\]

откуда следует, в силу произвольности $\varepsilon$,
\[
A_{12} \cos \left(m_{12} \varepsilon\right)+A_{23} \cos \left(m_{23} \varepsilon\right)+A_{31} \cos \left(m_{31} \varepsilon\right)=0,
\]

где $\varepsilon$ – произвольное направление. Это уравнение есть то самое, которое выражает, что три силы, с величинами $A_{12}, A_{23}, A_{31}$, направления которых перпендикулярны к $d l_{123}$ (направления $m_{12}, m_{23}, m_{31}$ ), действующие на одну точку, находятся между собою в равновесии. Обозначим углы ( $m_{31}, m_{12}$ ), $\left(m_{12}, m_{23}\right),\left(m_{23}, m_{31}\right)$ через $w_{1}, w_{2}, w_{3} ;$ это те углы, которые образуют между собой две из трех плоскостей, касательных к трем поверхностям раздела, в элементе $d l_{123}$. Тогда уравнение (15) выражает тот факт, что треугольник, стороны которого находятся между собой в отношении $A_{23}: A_{31}: A_{12}$, имеет углы $\pi-w_{1}, \pi-w_{2}, \pi-w_{3}$, или что
\[
\sin w_{1}: \sin w_{2}: \sin w_{3}=A_{23}: A_{31}: A_{12} .
\]

Рассмотрим теперь случай, подобный только что изложенному, но который отличается от него тем, что тело 3 -не жидкость, а твердое тело или, что означает здесь то же самое, неизменяемое тело. Сверх того, его поверхность, там, где она встречает поверхность раздела жидкостей 1 и 2 , не должна иметь острых ребер; тогда направления $m_{23}$ и $m_{31}$ будут противоположны. Примем перемещение $\varepsilon$ параллельным $m_{31}$; тогда уравнения (15) также имеют место, и мы получим
\[
\cos w_{1}=\frac{A_{23}-A_{31}}{A_{12}} .
\]

Уравнения, которые могут быть составлены по образцу уравнений (16) и (17), суть граничные условия, которые служат для ближайшего определения интегралов дифференциальных уравнений, составленных по образцу (13) и (14).

Прежде чем интегрировать при известных предположениях дифференциальные уравнения поверхности раздела двух жидкостей, выведем выражение для силы, которая должна действовать на твердое тело, чтобы удержать его в равновесии, если оно находится в соприкосновении с двумя жидкостями и может двигаться в данном направлении. Мы по-прежнему обозначим твердое тело цифрой 3 , жидкости – цифрами 1 и 2. Примером служит твердое тело, погруженное в воду. Этот пример мы положим в основание нашего исследования и обозначим воду через 1 , воздух через 2 .

Сперва мы допустим, что часть поверхности твердого тела, у которой лежит край поверхности воды (т. е. линия, элемент которой мы называли $d l_{123}$ ), есть часть вертикального цилиндра с любым поперечным сечением и что тело может двигаться в вертикальном направлении. Кроме собственного веса тела, мы ищем силу $Z$, которая должна действовать по вертикали вниз, т. е. в направлении оси $z$, чтобы имело место равновесие. Мы найдем ее, если применим принцип возможных перемещений к некоторому перемещению нашей системы.

Представим себе, как показано на фиг. 1, некоторую поверхность $F$, которая заключает твердое тело и которою ограничена некоторая часть каждой жидкости. Дадим всем точкам системы такое возможное перемещение, что все точки, лежащие вне поверхности $F$ или на ней, остаются на своих местах; твердое тело смещается на $\varepsilon$ ‘ по вертикали вниз; частицы жидкости двигаются так, что точки края поверхности воды не получат никакого изменения, и объем каждой жидкости остается неизменным. Допустим, что при этом всем частицам жидкости, которые соприкасаются с телом, вплоть до частиц, лежащих бесконечно близко к пограничной поверхности обеих жидкостей, будет дано такое же смещение, как твердому телу. Работа силы $Z$ для этого перемещения равна
\[
Z \varepsilon^{\prime} \text {. }
\]

Чтобы найти работу капиллярных сил и силы тяжести, мы сохраним ранее принятые обозначения, но будем понимать под $d s_{12}$ элемент части поверхности раздела 1 и 2 , лежащей внутри поверхности $F$, и обозначим через $U$ периметр горизонтального поперечного сечения цилиндра, из части которого, по предположению, образована часть поверхности твердого тела. При рассматриваемом перемещении часть поверхности соприкасания 1 с 3 увеличится на $U \varepsilon^{\prime}$, в то время как поверхность сопрккасания 3 и 2 точно на столько же уменьшится, вследствие чего, принимая во внимание выражение (7), получим работу капиллярных сил
\[
\left(A_{31}-A_{23}\right) U \varepsilon^{\prime}-A_{12} \int d s_{12}\left(\frac{1}{r^{\prime}}+\frac{1}{r^{\prime \prime}}\right) \varepsilon^{\prime} \cos \left(n_{1} \varepsilon\right) .
\]

Наконец, с помощью выражения (9), найдем работу силы тяжести
\[
\begin{array}{c}
g\left(\mu_{1}-\mu_{3}\right) \varepsilon^{\prime} \int d s_{31} z \cos \left(n_{3} z\right)+g\left(\mu_{2}-\mu_{3}\right) \varepsilon^{\prime} \int d s_{23} \cos \left(n_{3} z\right)- \\
-g\left(\mu_{1}-\mu_{2}\right) \int d s_{12} z \varepsilon \cos \left(n_{1} \varepsilon\right) .
\end{array}
\]

Сумма выражений (18), (19), (20) должна быть равна нулю. Выберем за плоскость $x O y$ плоскость уровня и принимая во внимание, что тогда имеет место уравнение (4), получим
\[
\begin{aligned}
0=Z+\left(A_{31}-A_{23}\right) U+ & g\left(\mu_{1}-\mu_{3}\right) \int d s_{31} z \cos \left(n_{3} z\right)+g\left(\mu_{2}-\mu_{3}\right) \times \\
& \times \int d s_{23} z \cos \left(n_{3} z\right) .
\end{aligned}
\]

Дадим этому уравнению еще другую форму. Если через $d s$ обозначим элемент поверхности замкнутого пространства, через $n$-направленную внутрь его нормаль к $d s$, то $\int d s z \cos (n z)$, распространениый на всю поверхность, равен отригатель ному объему этого пғостранства, как это следует из предложения, выражаемого уравнениями (6) одиннадцатой лекции. Заметим, что этот интеграл, распространенный на любую часть плоскости $x O y$ или на любую часть цилиндра, параллельного оси $z$, обращается в нуль: поэтому можно будет найти значение, которое он получит, если будет распространен на ограниченную часть указанной замкнутой поверхности. Именно эту часть можно привести к замкнутой поверхности добавлением поверхности, составленной из куска цилиндра, параллельного оси $z$, и куска плоскости $x O y$. Оба интеграла, входящие в уравнение (21), можно поэтому выразить через два объема. Построим поверхность, которая ограничена кривой края воды и составлена из части вертикального цилиндра и части плоскости уровня.

Предположим, что вся эта поверхность лежит внутри твердого тела; тогда она разделит его на две части, из которых одна находится в соприкосновении с жидкостью 1 , другая – с обеими жидкостями; объемы этих частей назовем $V_{1}$ и $V_{2}$; тогда
\[
\int d s_{31} z \cos \left(n_{3} z\right)=-V_{1} \quad \text { и } \quad \int d s_{23} z \cos \left(n_{3} z\right)=-V_{2} .
\]

Введем еще угол $w_{1}$ из (17); при этом уравнение (21) примет вид
\[
Z=g\left(\mu_{1}-\mu_{3}\right) V_{1}+g\left(\mu_{2}-\mu_{3}\right) V_{2}+A_{12} \cos w_{1} U .
\]
§ 5
Рассмотрим теперь случай, в котором только что изложенное заключается как частный случай. Пусть неизменяемое тело 3 имеет произволь\” ную форму и смещается в произвольном направлении, которое мы обозначим через $p$. १ребуется найти силу $P$, действующую на тело в направлении $p$. кроме соответствующей компоненты собственного веса, так, чтобы при этом имело место равновесие. Вообразим, что тело смещено в направлении $p$ на $\varepsilon^{\prime}$. Соприкасающиеся с ним частицы жидкости должны получить равные смещения, в то время как частицы, которые лежат на и вне поверхности $F$, должны оставаться на месте, и элементы $d s_{12}$ должны получить такое смещение $\varepsilon$, чтобы было выполнено условие несжимаемости. Поверхности, элементы которых были обозначены через $d s_{31}$ и $d s_{23}$, при этом не изменяются; напро́й, край поверхности раздела двух жидкостей получает смещение. Обратив внимание на это, путем исследования, аналогичного тому, которое послужило для выеода уравнения (21), и выбрав опять за плоскость $x O y$ плоскость уровня, мы получим
\[
\begin{array}{c}
0=P+g\left(\mu_{1}-\mu_{3}\right) \int d s_{31} z \cos \left(n_{3} p\right)+ \\
+g\left(\mu_{2}-\mu_{3}\right) \int d s_{23} z \cos \left(n_{3} p\right)-A_{12} \int d l_{123} \cos \left(m_{12} p\right) .
\end{array}
\]

Применим сперва это уравнение к случаю, когда направление $p$ опять совпадает с направлением $z$. Пусть тело 3 будет горизонтальной пластинкой, поверхность края которой есть часть кругового вертикального цилиндра. Ее нижняя поверхность должна соприкасаться с жидкостью 1 , так что край последней есть линия, элемент которой мы назыеали $d l_{123}$. Если мы рассмотрим край нижней поверхности как бесконечю узкую плсщадь бесконечно єольшой кривизны, то вместо этого нам следует сказать, что названная линия должна лежать в этом крае. Очевидно, что результат уравнения (22) один и тот же как при одном толковании, так и при другом.
Фиг, 2

Обозначим через $V$ объем пластинки, через $f$ – площадь, а через $U$-периметр ее оснований, через $z_{0}$ – значение $z$ для нижней поверхности, через $\theta_{0}$ – угол между направлением $m_{12}$ и продолжением радиуса пластинки. представленный на фиг. 2 , причем
\[
\left(m_{12} p\right)=\vartheta_{0}-\frac{\pi}{2},
\]

и допустим, что поверхность раздела двух жидкостей есть поверхность вращения, ось которой совпадает с осью пластинки. Тогда уравнение (22) примет вид
\[
0=P+g\left(\mu_{3}-\mu_{2}\right) V-g\left(\mu_{1}-\mu_{3}\right) z_{0} f-A_{12} U \sin \vartheta_{0} .
\]

Значение $z_{0}$ может быть изменяемо внутри известных границ и с ним также изменяется $\vartheta_{0}$. Как связаны эти величины, мы найдем при изучении формы поверхности раздела двух жидкостей.

Применим теперь уравнение (22) к случаю, когда направление $p$ горизонтально; примем его за направление оси $x$. Если $d s$ есть элемент поверхности замкнутого пространства, $n$– направленная внутрь его нормаль к $d s$, то интеграл
\[
\int d s z \cos (n x)
\]

обращается в нуль, как это показывает первое из уравнений (6) одинадцатой лекции. Из этого следует, что коэффициент при $\mu_{3}$ в (22) обращается в нуль и что оба члена этого уравнения, содержацие поверхностные интегралы, объединяются в один
\[
g\left(\mu_{1}-\mu_{2}\right) \int d s_{31} z \cos \left(n_{3} x\right) .
\]

Далее, получившийся здесь интеграл можно представить как распространенный по части поверхности твердого тела, лежащей между плосксстью $x O y$ и границей поверхности раздела обеих жидкостей; для этого стоит только заметить, что интеграл (24) также обращается в нуль, если он взят по части плоскости $x O y$. Предположим, что граница поверхности раздела обеих жидкостей не пересекает плоскости $x O y$, т. е. вся лежит выше или ниже ее. В обоих случаях мы обозначим через $d s_{3}$ элемент названной части поверхности твердого тела. Тогда выражение (25) примет вид
\[
\pm g\left(\mu_{1}-\mu_{2}\right) \int d s_{3} z \cos \left(n_{3} x\right)
\]

где верхний знак относится к первому, нижний ко второму случаю, в предюоложении, что нижняя жидкость по-прежнему жидкость 1 . В этом случае уравнение (22) имеет вид
\[
0=P_{ \pm} g\left(\mu_{1}-\mu_{2}\right) \int d s_{3} z \cos \left(n_{3} x\right)-A_{12} \int d l_{123} \cos \left(m_{12} x\right) .
\]

Продолжим вычисление в предположении, что твердое тело есть перпендикулярная к оси $x$ пластинка, длина которой $b$ в направлении оси $y$ очень велика. Близ нее со стороны отрицательных $x$ находится другая, параллельная ей твердая пластинка равной или еще большей длины.

Оба случая, которые надо различать в уравнении (26), представлены на фиг. 3 и 4. Элементы $d s_{3}$ и $d l_{123}$ в большей части параллельны оси $y$,
$\Phi_{\text {иг. }} 3$
Фиг. 4

теми же из них, для которых это не имеет места, в двух предыдущих интегралах можно пренебречь. На наружной стороне подвижной пластинки имеем
\[
\pm\left(m_{12} x\right)=w_{1}-\frac{\pi}{2},
\]

на внутренней
\[
w_{1}+\frac{\pi}{2}
\]

Поэтому взятый по $d l_{123}$ интеграл в уравнении (26) обращается в нуль. Далее, на наружной стороне пластинки $\cos \left(n_{3} x\right)=-1$, на внутренней он равен +1 . Наконец, можно положить $d s_{3}=l d z$, если добавить условие, что нижней границе интеграла должно соответствовать меньшее значение $z$, а верхней – бо́льшее. Поэтому в обоих различных случаях уравнение (26) примет вид
\[
P=g\left(\mu_{1}-\mu_{2}\right) l \frac{z^{\prime 2}-z^{\prime 2}}{2},
\]

если значение $z$ для границы обеих жидкостей на внутренней поверхности подвижной пластинки обозначим через $z^{\prime}$, а на внешней через $z^{\prime \prime}$. В зависимости от того, будет ли это выражение для $P$ положительно или отрицательно, обе пластинки оказывают друг на друга кажущееся притяжение или отталкивание.

Қак зависят $z^{\prime}$ и $z^{\prime \prime}$ от природы жидкостей и пластинок, а также от расстояния между ними, покажет изучение формы поверхности раздела двух жидкостей.