$\S 1$

До сих пор наши исследования относились к материальной точке и твердому телу. Последнее мы рассматривали как систему материальных точек, веизменно связанных между сојо.і. Ним не нужно было обсуждать, как расположены точки – непрерывно илх нет, и не надо было принимать во внимание, что число их бесконетно велико.

Мы обратимся теперь к иссладованю движения нетвердого тела, часиицы когорого испытывают огносятельные перемещения. Строго говоря, это имеет место для всех тел пртрды. Исходным пунктом этого исследования будет предположеняе, что тела состоят из сплоцной растяжимой материи и что двлжэние в этих телах непрерывно изменяется с изменением положения тела. Значеняе этого предположения выступит яснее, когда мы его выразим уравиениямл. Пусть $a, b, c$-координаты некоторой материальной точки тела в момент $t_{0}$ и $x, y, z$ – координаты той же точки в момент $t$. Тогда $x, y, z$ будут непрерывными функциями четырех непрерывно изменяюцхся аргументоз $a, b, c, t$. Материальная точка тела, координаты которой в момент $t_{0}$ будут
\[
a+d a, \quad b+d b, \quad c+d c,
\]

м момент $t$ имеет координаты
\[
x+d x, \quad y+d y, \quad z+d z,
\]

где
\[
\begin{array}{l}
d x=\frac{\partial x}{\partial a} d a+\frac{\partial x}{\partial b} d b+\frac{\partial x}{\partial c} d c \\
d y=\frac{\partial y}{\partial a} d a+\frac{\partial y}{\partial b} d b+\frac{\partial y}{\partial c} d c, \\
d z=\frac{\partial z}{\partial a} d a+\frac{\partial z}{\partial b} d b+\frac{\partial z}{\partial c} d c .
\end{array}
\]

Эти уравнения составляют основу исследований, к которым мы приступим.
Можно $d a, d b$, $d c$ рассматрдвать как коордннаты в момент $t_{0}$ точки тела относительно системы координат, оси которой параллельны осям прежней системы, но начало которой взято в точке 0 ; прежние координаты этой точки $a, b, c$. Три координаты одной и той же материальной точки

$d a, d b, d c$ в момент $t$ в той же системе координат будут
\[
\begin{array}{l}
x-a+-\frac{\partial x}{\partial a} d a+\frac{\partial x}{\partial b} d b+\frac{\partial x}{\partial c} d c, \\
y-b+\frac{\partial y}{\partial a} d a+\frac{\partial y}{\partial b} d b+\frac{\partial y}{\partial c} d c, \\
z-c+\frac{\partial z}{\partial a} d a+\frac{\partial z}{\partial b} d b+\frac{\partial z}{\partial c} d c .
\end{array}
\]

Так как $d a, d b, d c$ произвольны и мы можем не обращать внимажия на то, что они должны быть бесконегны малы, то выраженія (1) позволяют судить о том изменен:н, которое получают бесконечно малье частицы за промежуток времени от $t_{0}$ до $t$. Характеристикой этих выраженй является то, что они линейны относительно $d a, d b, d c$. При развитии слен. ствий, которые отсюда вытекают, мы будем пользоваться некоторыми новыми обозначениями, но потом вернемся к тем, которые использовались дк сих пор.
$\$ 2$
Пусть $\xi, \eta, \zeta$ – кординаты материальной точки тела. Предположим, что это тело деформируется так, что если обозначить через $\xi^{\prime \prime}, \eta^{\prime \prime}, \varsigma^{\prime \prime}$ ко. ординаты той же точки после деформации, то
\[
\begin{array}{l}
\xi^{\prime \prime}=a_{1}+a_{11} \xi+a_{12} \eta+a_{13} \zeta, \\
\eta^{\prime \prime}=a_{2}+a_{21} \xi+a_{22} \eta+a_{23} \zeta, \\
\zeta^{\prime \prime}=a_{3}+a_{31} \xi+a_{32} \eta+a_{33} \zeta,
\end{array}
\]

где величины $a$ – постоянные. Исследуем эти деформации. Мы предполо жим при этом, что величины $a$ не бесконечны, и что если
\[
\begin{array}{l}
\xi=b_{11}\left(\xi^{\prime \prime}-a_{1}\right)+b_{21}\left(\eta^{\prime \prime}-a_{2}\right)+b_{31}\left(\zeta^{\prime \prime}-a_{3}\right), \\
\eta=b_{12}\left(\xi^{\prime \prime}-a_{1}\right)+b_{22}\left(\eta^{\prime \prime}-a_{2}\right)+b_{32}\left(\zeta^{\prime \prime}-a_{3}\right), \\
\zeta=b_{13}\left(\xi^{\prime \prime}-a_{1}\right)+b_{23}\left(\eta^{\prime \prime}-a_{2}\right)+b_{33}\left(\zeta^{\prime \prime}-a_{3}\right)
\end{array}
\]

суть решения уравнений (2), то величины $b$ также имеют определенные не бесконечные значения. Если обозначить через $D$ определитель величин $a_{11}, a_{12}, \ldots$, т. e.
\[
D=\left|\begin{array}{lll}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right|,
\]

го согласно решению (3), требуется, чтобы $D$ не обращалось в нуль. Мь будем предполагать, что при непрерывном изменении тела $D$ не обрацз. ется в нуль. Тогда $D$ будет всегда положительным, а именно, равно еди. нице, и положительно, если уравнения (2) будут
\[
\xi^{\prime \prime}=\xi, \quad \eta^{\prime \prime}=\eta, \quad \zeta^{n}=\zeta .
\]

Прежде всего очевидно, что тбчки тела, первоначально расположенныє в одной плоскости, в плоскости же и останутся, потому что линейному соотношению между $\xi^{\prime \prime}, \eta^{\prime \prime}, \zeta^{\prime \prime}$ соотьетствует линейное соотношение межд!

раллельные параллельными же и останутся, потому что $\xi^{\prime \prime}, \eta^{\prime \prime}, \zeta^{\prime \prime}$ бесконечны, когда $\xi, \eta, \zeta$ бесконечны, и обратно.

Дальнейшие рассуждєния мы можем несколько пояснить следующим замечанием. Представляемую уравнениями (2) деформацию тела мы можем рассматривать как составленную из двух, следующих одна за другой. Қроме двух рассмотренных до сих пор состояний тела вообразим себе гретье, промежуточне состояние, и обознатим через $\xi^{\prime}, \eta^{\prime} \zeta^{\prime}$ координаты в этом состояни! той точки, которой соответствуют координаты $\xi, \eta$. є и \”, $\eta^{\prime \prime}$, . Тогпа уравнения (2) мы можем заменить следующими
\[
\begin{array}{l}
\xi^{\prime \prime}=a_{1}+\xi^{\prime}, \\
\eta^{n}: a_{2}+\eta^{\prime}, \\
\xi^{\prime \prime} a_{3}+\xi^{\prime} .
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{l}
\xi^{\prime}=a_{11} \xi+a_{12} \eta+a_{13} \xi, \\
\eta^{\prime}=a_{21} \xi+a_{22} \eta+a_{23} \xi, \\
\because=a_{31} \xi+a_{32} \eta+a_{33} \zeta .
\end{array}
\]

Iрежставляемые уравнениями (5) изменения тела есть смещение без измещения относительного положения его точек и без вращения; проекции этого мешения на оси координат равны $a_{1}, a_{2}, a_{3}$. Обратимся теперь к исследованио деформации, данной уравнениями (6), являющейся частным слутаем деформации, представленной уравнениями (2).

Рассмотркм прямую линию тела, проходящую через начало координат. Тусть $\alpha, \beta, \gamma$ – коскнусы углов, образуемых с осями, $r$ – длина этой лииии перед деформацией, $\alpha^{\prime}, \beta^{\prime}, \gamma^{\prime}, r^{\prime}$– соответствующие величины после геформациік; тогда
\[
\begin{array}{lll}
\xi=r \alpha, & \eta=r \beta, & \xi=r \gamma, \\
\xi^{\prime}=r^{\prime} \alpha^{\prime}, & \eta^{\prime}=r^{\prime} \beta^{\prime}, & \xi^{\prime}=r^{\prime} \gamma^{\prime} ;
\end{array}
\]

меледервие (6) имеем
\[
\begin{array}{l}
r^{\prime} \alpha^{\prime}=r\left(a_{11} \alpha+a_{12} \beta+a_{33} \gamma\right), \\
r^{\prime} \beta^{\prime}=r\left(a_{21} \alpha+a_{22} \beta+a_{23} \gamma\right), \\
r^{\prime} \gamma^{\prime}=r\left(a_{31} \alpha+a_{32} \beta+a_{33} \gamma\right)
\end{array}
\]

ассматривемая линия изменяется по величине и направлению. Значение $r^{\prime}-1$ называется ее удлияением. Оно вычисляется так же, как и измеяение направления из (7), если принять во внимание уравнение
\[
\alpha^{\prime 2}+\beta^{\prime 2}+\gamma^{\prime 2}=1 \text {. }
\]

Capaine.тые линии полугаю равнье удлинения и равные изменения хаправления, так как параллелограмм остается параллелограммом. Найдем геперь изменение величины и направления, испытываемое плоской поверхюстью. Выберем за таковую треугопьник, координаты вершин которого в начальном состоянни тела суть
\[
0, \quad 0, \quad 0, \quad \xi_{i}, \quad \eta_{1}, \quad \xi_{1}, \quad \xi_{2}, \quad \eta_{2}, \quad \xi_{2},
\]
3 it

после деформации
\[
0,0,0, \quad \xi_{1}^{\prime}, \quad \eta_{1}^{\prime}, \quad \zeta_{1}^{\prime}, \quad \xi_{2}^{\prime}, \quad \eta_{2}^{\prime}, \quad \zeta_{2}^{\prime} .
\]

Наряду с принятой системой координат введем другую – $x, y, z$, относительно которой предположим, что она может быть приведена вращением в положение, при котором оси $x, y, z$ соответственно совпадут с осями $\xi, \eta$, н положим вообще
\[
\begin{array}{l}
\xi=\alpha_{1} x+\alpha_{2} y+\alpha_{3} z, \\
\eta=\beta_{1} x+\beta_{2} y+\beta_{3} z, \\
\zeta=\gamma_{1} x+\gamma_{2} y+\gamma_{3} z .
\end{array}
\]
$B$ начальном состоянии тела примем за плоскость $x, y$ плоскость упомянутого треугольника. Тогда будем иметь
\[
\begin{array}{ll}
\xi_{1}=\alpha_{1} x_{1}+\alpha_{2} y_{1}, & \xi_{2}=\alpha_{1} x_{2}+\alpha_{2} y_{2}, \\
\eta_{1}=\beta_{1} x_{1}+\beta_{2} y_{1}, & \eta_{2}=\beta_{1} x_{2}+\beta_{2} y_{2}, \\
\zeta_{1}=\gamma_{1} x_{1}+\gamma_{2} y_{1}, & \zeta_{2}=\Upsilon_{1} x_{2}+\gamma_{2} y_{2},
\end{array}
\]

откуда, принимая во внимание уравнения (6) и (7) пятой лекции, получим
\[
\begin{array}{l}
\eta_{1} \xi_{2}-\eta_{2} \xi_{1}=\alpha_{3}\left(x_{1} y_{2}-x_{2} y_{1}\right), \\
\zeta_{1} \xi_{2}-\xi_{2} \xi_{1}=\beta_{3}\left(x_{1} y_{2}-x_{2} y_{1}\right), \\
\xi_{1} \eta_{2}-\xi_{2} \eta_{1}=\gamma_{3}\left(x_{1} y_{2}-x_{2} y_{1}\right) .
\end{array}
\]

Обозначим через $s$ площадь упомянутого выше треугольника в начальном состоянии тела; тогда
\[
\pm 2 s=x_{1} y_{2}-x_{2} y_{1},
\]

яде знак левой части определяется тем, что $s$ должно быть положительно. Обозначим далее через $\alpha, \beta, \gamma$ косинусы углов, которые образует одна из двух нормалей к плоскости треугольника, т. е. ось $z$ или ей противоподожное направление, с осями $\xi, \eta, \zeta$; тогда
\[
\begin{array}{l}
\pm 2 s \alpha=\eta_{1} \zeta_{2}-\eta_{2} \zeta_{1}, \\
\pm 2 s \beta=\zeta_{1} \xi_{2}-\zeta_{2} \xi_{1}, \\
\pm 2 s \gamma=\xi_{1} \eta_{2}-\xi_{2} \eta_{1},
\end{array}
\]

где должны быть взяты три верхних или три нижних знака. Подобные же исследования по отношению к треугольнику после деформации в аналогичных обозначениях приводят к уравнениям
\[
\begin{array}{l}
\pm 2 s^{\prime} \alpha^{\prime}=\eta_{1}^{\prime} \zeta_{2}^{\prime}-\eta_{2}^{\prime} \zeta_{1}^{\prime} \\
\pm 2 s^{\prime} \beta^{\prime}=\zeta_{1}^{\prime} \xi_{2}^{\prime}-\xi_{2}^{\prime} \xi_{1}^{\prime}, \\
\pm 2 s^{\prime} \gamma^{\prime}=\xi_{1}^{\prime} \eta_{2}^{\prime}-\xi_{2}^{\prime} \eta_{1}^{\prime},
\end{array}
\]

где $s^{\prime}$ – площадь, $\alpha^{\prime} \beta^{\prime}, \gamma^{\prime}$ – косинусы углов ее нормали с осями координат после деформации и где равным образом должны быть взяты три верхних или три нижних знака. Из (6) также получаем
\[
\begin{array}{c}
\eta_{1}^{\prime} \zeta_{2}^{\prime}-\eta_{2}^{\prime} \zeta_{1}=\left(a_{22} a_{33}-a_{23} a_{32}\right)\left(\eta_{1} \zeta_{2}-\eta_{2} \zeta_{1}\right)+\left(a_{23} a_{31}-a_{21} a_{33}\right)\left(\xi_{1} \xi_{2}-\zeta_{2} \xi_{1}\right)+ \\
+\left(a_{21} a_{32}-a_{22} a_{31}\right)\left(\xi_{1} \eta_{2}-\xi_{2} \eta_{1}\right) .
\end{array}
\]

Это уравнение примет более простой вид, если введем определение величины $b$ из уравнений (3). Именно
\[
\begin{array}{l}
b_{11}=\frac{1}{D}\left(a_{22} a_{33}-a_{23} a_{32}\right), \\
b_{12}=\frac{1}{D}\left(a_{23} a_{31}-a_{21} a_{33}\right), \\
b_{13}=\frac{1}{D}\left(a_{21} a_{32}-a_{22} a_{31}\right),
\end{array}
\]

где $D$ обозначает определитель величин $a$. Преобразуем помощью этих выражений уравнение (10) и добавим два уравнения, коть ые могут быть составлены аналогичным путем; тогда получим
\[
\begin{array}{l}
\pm s^{\prime} \alpha^{\prime}=s D\left(b_{11} \alpha+b_{12} \beta+b_{13} \gamma\right) \\
\pm s^{\prime} \beta^{\prime}=s D\left(b_{21} \alpha+b_{22} \beta+b_{23} \gamma\right) \\
\pm s^{\prime} \gamma^{\prime}=s D\left(b_{31} \alpha+b_{32} \beta+b_{33} \gamma\right)
\end{array}
\]

где в левых частях должны быть одновременно взяты положительные или отрицательные знаки. Мы уже предположили, что состояние тела изменяется непрерывно и притом так, что $D$ не обращается в нуль. Если мы теперь установим, что нормаль, определенная чєрез $\alpha, \beta$, $\gamma$, не меняет знака, то в формулах (11) должен быть взят положительный знак, так как он имеется в начале деформации и не может измениться на обратный. В самом деле, если бы это произошло, то $s^{\prime}$ должно было бы быть равным нулю, в то время как $s$ отлично от нуля, так как левые части уравнений (11) не могут одновременно обратиться в нуль, т. е. три точки тела, которые первоначально не лежали на одной прямой, должны были бы находиться на ней песле деформации. Поэтому
\[
\begin{array}{l}
s^{\prime} \alpha^{\prime}=s D\left(b_{11} \alpha+b_{12} \beta+b_{13} \gamma\right) \\
s^{\prime} \beta^{\prime}=s D\left(b_{21} \alpha+b_{22} \beta+b_{23} \gamma\right) \\
s^{\prime} \gamma^{\prime}=s D\left(b_{31} \alpha+b_{32} \beta+b_{33} \gamma\right)
\end{array}
\]

Из этих уравнений можно вычислить изменение направления и расширение данной поверхности; так называется значение $\frac{s^{\prime}}{s}-1$. Эти уравнения пригодны, впрочем, не только для треугольника, который мы рассматривали, но и для каждой части его плоскости, потому что она может быть составлена посредством сложения и вычитания таких треугольников. Уравнения (12) пригодны также и для параллельных площадей, потому что линии, параллельные и равной длины, такими и останутся.

Найдем, наконец, объемное расиирение, соответствующее деформации тела, представляемой уравнениями (6). Для этого вообразим себе в теле в его начальном состоянии цилиндр, ограниченный двумя перпендикулярными поперечными сечениями. Обозначим через $s$ площадь основания, через $r$ длину оси, через $\alpha, \beta, \gamma$ – косинусы углов, образуемых одним из двух еє направлений с осями координат. После деформации цилиндр сделается косым. Пусть теперь $s^{\prime}$– площадь основания, $r^{\prime}$ – длина оси его цилиндра, далее пусть $\alpha^{\prime}, \beta^{\prime}, \gamma^{\prime}$ – направляющие косинусы основания и $\alpha^{\prime \prime}, \beta^{\prime \prime}, \gamma^{\prime \prime}$ направляющие косинусы оси цилиндра. Тогда будут применимы уравнения (12), и по уравнениям (7) имеем
\[
\begin{array}{l}
r^{\prime} \alpha^{\prime \prime}=r\left(a_{11} \alpha+a_{12} \beta+a_{13} \gamma\right), \\
r^{\prime} \beta^{\prime \prime}=r\left(a_{21} \alpha+a_{22} \beta+a_{23} \gamma\right), \\
r^{\prime} \gamma^{\prime \prime}=r\left(a_{31} \alpha+a_{32} \beta+a_{33} \gamma\right)
\end{array}
\]

Перемножим эти уравнения, соответственно, с уравнениями (12) и сложим произведения. Обозначим объем цилиндра перед деформацией через $\tau$, после деформации – через $\tau^{\prime}$; тогда будем иметь
\[
\begin{array}{l}
\tau=r s, \\
\tau^{\prime}=r^{\prime} s^{\prime}\left(\alpha^{\prime} \alpha^{\prime \prime}+\beta^{\prime} \beta^{\prime \prime}+\gamma^{\prime} \gamma^{\prime \prime}\right) .
\end{array}
\]

Заметим далее, что при данном в (3) определении величин $b$ уравнения (3) должны сделаться тождественньми, если подставить в них значения $\xi^{\prime \prime}, \eta^{\prime \prime}, \zeta^{\prime \prime}$ из (2). Отсюда получим девять соотношений между величинами $a$ и $b$; из них, подобно предыдущему, составим уравнение
\[
\tau^{\prime}=\tau D .
\]

Объемное расширение, т. е. $\frac{\tau^{\prime}}{\tau}-1$, будет поэтому равно $D-1$. Это выражение пригодно не только для цилиндра, но и для любой части тела, потому что такая часть может быть составлена из цилиндров.

Мы присоединим к этому одно замечание, на которое будем ссылаться в дальнейшем. Пусть
\[
\begin{array}{l}
\xi_{1}, \eta_{1}, \zeta_{1}, \\
\xi_{2}, \eta_{2}, \zeta_{2}, \\
\xi_{3}, \eta_{3}, \zeta_{3}
\end{array}
\]
– координаты трех точек тела до деформации;
\[
\begin{array}{l}
\xi_{1}^{\prime}, \eta_{1}^{\prime}, \zeta_{1}^{\prime}, \\
\xi_{2}^{\prime}, \eta_{2}^{\prime}, \zeta_{2}^{\prime}, \\
\xi_{3}^{\prime}, \eta_{3}^{\prime}, \zeta_{3}^{\prime}
\end{array}
\]
– координаты тех же точек после деформации; тогда будут иметь место уравнения, которые получатся из уравнений (6), если в них буквы $\xi, \eta$, $\zeta$, $\xi^{\prime} \eta^{\prime}$, $\zeta^{\prime}$ снабдить индексами 1,2 или 3 . Шестикратный объем тетраэдра, имеющего вершинами эти три точки и начало координат, перет или после деформации равен абсолютному значению определителя из начальных или конечных девяти координат. Следовательно, на основании (13) отношение этих определителей равно $\pm D$; именно равно $+D$, так как оно равно единице вместе с $D$, когда деформация обращается в нуль. Подставим вместо $D$ его значение из (4); тогда получим
\[
\left|\begin{array}{ccc}
\xi_{1}^{\prime} & \eta_{1}^{\prime} & \zeta_{1}^{\prime} \\
\xi_{1}^{\prime} & \eta_{2}^{\prime} & \xi_{2}^{\prime} \\
\xi_{3}^{\prime} & \eta_{3}^{\prime} & \zeta_{3}^{\prime}
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{lll}
\xi_{1} & \eta_{1} & \zeta_{1} \\
\xi_{2} & \eta_{2} & \zeta_{2} \\
\xi_{3} & \eta_{3} & \zeta_{3}
\end{array}\right| \cdot\left|\begin{array}{lll}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right| .
\]

Это уравнение не зависит от того, какое значение имеют буквы $\xi^{\prime}, \eta^{\prime}, \zeta^{\prime}$. $\xi, \eta, \zeta$, и требует только, чтобы между ними существовали уравнения, составленные по образцу уравнений (6); оно выражает известное предло жение теории определителей.
§ 3
Данное уравнениями (2) изменение тела мы рассматривали как составленное из двух, представленных уравнениями (5) и (6); первое из них является смещением. Покажем теперь, что второе может быть разложено на вращение тела вокруг начала координат и на деформацию, которую о́удем называть растяжением по трем єзаиино перпендикулярным направлениял. Наряду с системой координат $\xi, \eta, \zeta$ введем другую с тем же началом координат, и обозначим через $x, y, z$ координаты относительно этой системы некоторой материальной точки тела в его начальном состоянии. Вообразим себе теперь, что состояние тела изменилось так, что, обозначив через $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$ новые координаты той же точки относительно той же самой системы координат, будем иметь
\[
\begin{array}{l}
x^{\prime}=\mu_{1} x, \\
y^{\prime}=\mu_{2} y, \\
z^{\prime}=\mu_{3} z,
\end{array}
\]

где $\mu_{1}, \mu_{2}, \mu_{3}$ должны быть положительными константами.
Мы назовем эти деформации растяжениями в направлениях осей $x, y$, 2. Они имеют ту особенность, что частицы, первоначально расположенные на оси, на ней же и останутся. Расширения, имеющие место в направлениях осей, мы назовем главными растяжениями; их величины суть $\mu_{1}-1$. $\mu_{2}-1, \mu_{3}-1$. После того как имело место это растяжение, вообразим, что тело вращается вокруг начала координат вместе с осями $x, y, z$. Тогда несмотря на это вращение координаты рассматриваемой материальной точки относительно этих осей не изменятся и останутся равными $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$.

Пусть теперь $\xi, \eta, \zeta$ – координаты той же самой материальной точки в системе ( ${ }^{\xi} \eta \zeta$ ) в начальном состоянии тела и $\xi^{\prime}, \eta^{\prime}, \zeta^{\prime}$ – координаты той же точки после растяжения и вращения. Далее обозначим косинусы углов. образуемых осями $x, y, z$ с осями $\xi, \eta, \xi$ перед вращением, через
\[
\begin{array}{l}
\alpha_{1} \beta_{1} \gamma_{1}, \\
\alpha_{2} \beta_{2} \gamma_{2}, \\
\alpha_{3} \beta_{3} \gamma_{3},
\end{array}
\]

а после вращения – через
\[
\begin{array}{l}
\alpha_{1}^{\prime} \beta_{1}^{\prime} \gamma_{1}^{\prime}, \\
\alpha_{2}^{\prime} \beta_{2}^{\prime} \gamma_{2}^{\prime}, \\
\alpha_{3}^{\prime} \beta_{3}^{\prime} \gamma_{3}^{\prime},
\end{array}
\]

так что, согласно ранее примененному способу обозначения, $\alpha, \beta, \gamma$ соот ветствуют $\xi, \eta$, $\zeta$, а индексы $1,2,3$ соответствуют $x, y, z$. Тогда будем
иметь
\[
\begin{array}{l}
x=\alpha_{1} \xi+\beta_{1} \eta+\gamma_{1} \zeta, \\
y=\alpha_{2} \xi+\beta_{2} \eta+\gamma_{2} \zeta, \\
z=\alpha_{3} \xi+\beta_{3} \eta+\gamma_{3} \zeta
\end{array}
\]
\”
\[
\begin{array}{l}
\xi^{\prime}=\alpha_{1}^{\prime} x^{\prime}+\alpha_{2}^{\prime} y^{\prime}+\alpha_{3}^{\prime} z^{\prime}, \\
\eta^{\prime}=\beta_{1}^{\prime} x^{\prime}+\beta_{2}^{\prime} y^{\prime}+\beta_{3}^{\prime} z^{\prime}, \\
\zeta^{\prime}=\gamma_{1}^{\prime} x^{\prime}+\gamma_{2}^{\prime} y^{\prime}+\gamma_{3}^{\prime} z^{\prime} .
\end{array}
\]

Подставив в (16) значения $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$ из (14) и потом вместо $x, y, z$ их значения из (15), получим
\[
\begin{array}{l}
\xi^{\prime \prime}=\xi\left(\alpha_{1} \alpha_{1}^{\prime} \mu_{1}+\alpha_{1} \alpha_{2}^{\prime} \mu_{2}+\alpha_{3} \alpha_{3}^{\prime} \mu_{3}\right)+\eta\left(\beta_{1} \alpha_{1}^{\prime} \mu_{1}+\beta_{2} \alpha_{2}^{\prime} \mu_{2}+\beta_{3} \alpha_{3}^{\prime} \mu_{3}\right)+ \\
+\zeta\left(\gamma_{1} \alpha_{1}^{\prime} \mu_{1}+\gamma_{2} \alpha_{2}^{\prime} \mu_{2}+\gamma_{3} \alpha_{3}^{\prime} \mu_{3}\right) \\
\eta^{\prime}=\xi\left(\alpha_{1} \beta_{1}^{\prime} \mu_{1}+\alpha_{2} \beta_{2}^{\prime} \mu_{2}+\alpha_{3} \beta_{3}^{\prime} \mu_{3}\right)+\eta\left(\beta_{1} \beta_{1}^{\prime} \mu_{1}+\beta_{2} \beta_{2}^{\prime} \mu_{2}+\beta_{3} \beta_{3}^{\prime} \mu_{3}\right)+ \\
+\zeta\left(\gamma_{1} \beta_{1}^{\prime} \mu_{1}+\gamma_{3} \beta_{2}^{\prime} \mu_{2}+\gamma_{3} \beta_{3}^{\prime} \mu_{3}\right) \text {, } \\
\because=\xi\left(\alpha_{1} \gamma_{1}^{\prime} \mu_{1}+\alpha_{2} \gamma_{2}^{\prime} \mu_{2}+\alpha_{3} \gamma_{3}^{\prime} \mu_{3}\right)+\eta\left(\beta_{1} \gamma_{1}^{\prime} \mu_{1}+\beta_{2} \gamma_{2}^{\prime} \mu_{2}+\beta_{3} \gamma_{3}^{\prime} \mu_{3}\right)+ \\
+\zeta\left(\gamma_{1} \gamma_{1}^{\prime} \mu_{1}+\gamma_{2} \gamma_{2}^{\prime} \mu_{2}+\gamma_{3} \gamma_{3}^{\prime} \mu_{3}\right) \text {. } \\
\end{array}
\]

Эти уразнения того же внда, как (6); попходящим выбором восемнадцати величин $\alpha, \beta$, $\gamma$ и трех величин $\mu$ их можно сделать тождественными с (6). Для этого имеем девять уравнений, выражающих равенство козффициентов уравнений (6) и (17), и двенадцать соотношений между величинами $\alpha, \beta, \gamma$. Отсюда следует, как это будет показано ниже, что каждое из уравнений (6), определяющих деформацию тела, может быть рассматриваемо как составленное из вращения и растяжения, как оно представлено уравнениями (14).

Қаким образом можно вычислит $\alpha, \beta, \gamma, \mu$, покажет следующее исслепование. Допустим, что между $\xi, \eta, \xi$ существует соотношение
\[
\xi^{2}+\eta^{2}+\xi^{2}=1 \text {, }
\]
т. е. рассмотрим материальные точки тела, которые первоначально находились на сфере, опчсанной единичным радиусом вокруг начала координат. Тогда, если іспользовать данное з (3) значение $b$, то уравнения (6) дадут следующее соотношение между $\xi^{\prime}, \eta^{\prime} \xi^{\prime}$ :
\[
\begin{array}{c}
\left(b_{11} \xi^{\prime}+b_{21} \eta^{\prime}+b_{31} \zeta^{\prime}\right)^{2}+\left(b_{12} \xi^{\prime}+b_{22} \eta^{\prime}+b_{32} \zeta^{\prime}\right)^{2}+ \\
+\left\{b_{13} \xi^{\prime}+b_{23} \eta^{\prime}+b_{33} \xi^{\prime}\right)^{2}=1
\end{array}
\]
г. є. уравненяе поверхности второго порядка, а именно эллипсоида, так как если мы положим
\[
\xi^{\prime}=r^{\prime} \alpha^{\prime}, \eta^{\prime}=r^{\prime} \beta^{\prime}, \xi^{\prime}=r^{\prime} \gamma^{\prime},
\]

го ино при верхних значениях $\alpha^{\prime}, \beta^{\prime}, \gamma^{\prime}$ дает действительные конечные значения для $r^{\prime}$. Таким образом, рассматриваемая частица после деформапии, представленной (4), будет расположена из этом эллипсоиде.

Из уравнения (18) следует теперь на основании (15)
\[
x^{2}+y^{2}+z^{2}=1,
\]

и далее, с помощью (14),
\[
\frac{x^{\prime 2}}{\mu_{1}^{2}}+\frac{y^{\prime 2}}{\mu_{2}^{2}}+\frac{z^{\prime 2}}{\mu_{3}^{2}}=1 .
\]

Если принять во внимание положение осей $x, y, z$ после вращения, которое мы рассматриваем как часть изучаемой деформации, то это уравнение представит тот же самый эллипсоид, что и уравнение (19). Будем искать с помощью последнего главные оси эллипсода; получим для длин его полуосей значения $\mu_{1}, \mu_{2}, \mu_{3}$, а для косинусов углоз, которые они образуют с осями $\xi, \eta, \zeta$, значения $\alpha^{\prime}, \beta^{\prime}, \gamma^{\prime}$. Если мы положим
\[
\xi^{\prime 2}+\eta^{\prime 2}+\zeta^{\prime 2}=1,
\]

то подобным же образом найдем
\[
\left(a_{11} \xi+a_{12} \eta+a_{13} \xi\right)^{2}+\left(a_{21} \xi+a_{22} \eta+a_{23} \xi\right)^{2}+\left(a_{31} \xi+a_{32} \eta+a_{33} \zeta\right)^{2}=1,
\]

и
\[
\mu_{1}^{2} x^{2}+\mu_{2}^{2} y^{2}+\mu_{3}^{2} z^{2}=1
\]

как уравнения второго эллипсоида, если только оси $x, y, z$ имеют положение, которое они занимали перед этим вращением. Полуоси этого эллипсоида равны $\frac{1}{\mu_{1}}, \frac{1}{\mu_{2}}, \frac{1}{\mu_{3}}$ и косинусы углов, которые они образуют с осями $\xi, \eta, \zeta$, имеют значения $\alpha, \beta, \gamma$.
$\S 4$
Вычислим вращения, величины и направления главных удлинений, соответствующих уравнениям (6), только для случая, когда полная деформация бесконечно мала. Тогда главные растяжения $\mu_{1}-1, \mu_{2}-1, \mu_{3}-1$, которые мы обозначили через $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}$, будут бесконечно малы так же. как и разности $\alpha^{\prime}-\alpha, \beta^{\prime}-\beta, \gamma^{\prime}-\gamma$, которые мы обозначим через
\[
\delta \alpha, \delta \beta, \delta \gamma
\]

с индексами $1,2,3$ В силу существующих соотношений между $\alpha, \beta, \gamma$, уравнения (17) при пренебрежении бесконечно малыми высших порядков примут вид:
\[
\begin{array}{l}
\xi^{\prime}-\xi=\xi\left(\alpha_{1}^{2} \lambda_{1}+\alpha_{2}^{2} \lambda_{2}+\alpha_{3}^{2} \lambda_{3}+\alpha_{1} \delta \alpha_{1}+\alpha_{2} \delta \alpha_{2}+\alpha_{3} \delta \alpha_{3}\right)+ \\
+\eta\left(\alpha_{1} \beta_{1} \lambda_{1}+\alpha_{2} \beta_{2} \lambda_{2}+\alpha_{3} \beta_{3} \lambda_{3}+\beta_{1} \delta \alpha_{1}+\beta_{2} \delta \alpha_{2}+\beta_{3} \delta \alpha_{3}\right)+ \\
+\zeta\left(\alpha_{1} \gamma_{1} \lambda_{1}+\alpha_{2} \gamma_{2} \lambda_{2}+\alpha_{3} \gamma_{3} \lambda_{3}+\gamma_{1} \delta \alpha_{1}+\gamma_{2} \delta \alpha_{2}+\gamma_{3} \delta \alpha_{3}\right) \\
\eta^{\prime}-\eta=\xi\left(\beta_{1} \alpha_{1} \lambda_{1}+\beta_{2} \alpha_{2} \lambda_{2}+\beta_{3} \alpha_{3} \lambda_{3}+\alpha_{1} \delta \beta_{1}+\alpha_{2} \delta \beta_{2}+\alpha_{3} \delta \beta_{3}\right)+ \\
\quad+\eta\left(\beta_{1}^{2} \lambda_{1}+\beta_{2}^{2} \lambda_{2}+\beta_{3}^{2} \lambda_{3}+\beta_{1} \delta \beta_{1}+\beta_{2} \delta \beta_{2}+\beta_{3} \delta \beta_{3}\right)+ \\
\quad+\zeta\left(\beta_{1} \gamma_{1} \lambda_{1}+\beta_{2} \gamma_{2} \lambda_{2}+\beta_{3} \gamma_{3} \lambda_{3}+\gamma_{1} \delta \beta_{1}+\gamma_{2} \delta \beta_{2}+\gamma_{3} \delta \beta_{3}\right)
\end{array}
\]

\[
\begin{aligned}
\zeta^{\prime}-\zeta & =\xi\left(\gamma_{1} \alpha_{1} \lambda_{1}+\gamma_{2} \alpha_{2} \lambda_{2}+\gamma_{3} \alpha_{3} \lambda_{3}+\alpha_{1} \delta \gamma_{1}+\alpha_{2} \delta \gamma_{2}+\alpha_{3} \delta \gamma_{3}\right)+ \\
& +\eta\left(\gamma_{1} \beta_{1} \lambda_{1}+\gamma_{2} \beta_{2} \lambda_{2}+\gamma_{3} \beta_{3} \lambda_{3}+\beta_{1} \delta \gamma_{1}+\beta_{2} \delta \gamma_{2}+\beta_{3} \delta \gamma_{3}\right)+ \\
& +\zeta\left(\gamma_{1}^{2} \lambda_{1}+\gamma_{2}^{2} \lambda_{2}+\gamma_{3}^{2} \lambda_{3}+\gamma_{1} \delta \gamma_{1}+\gamma_{2} \delta \gamma_{2}+\gamma_{3} \delta \gamma_{3}\right) .
\end{aligned}
\]

Варьируя соотношения между величинами $\alpha, \beta, \gamma$, получим шесть соотношений между величинами $\alpha, \beta, \gamma, \delta \alpha, \delta \beta, \delta \gamma$, которые были даны в $\S 2$ пятой лекции при выводе уравнений (10).

Вследствие этих соотношений, сравнивая уравнения (20) с уравнениями (6), получим
\[
\begin{array}{c}
a_{11}-1=\alpha_{1}^{2} \lambda_{1}+\alpha_{2}^{2} \lambda_{2}+\alpha_{3}^{2} \lambda_{3}, \\
a_{22}-1=\beta_{1}^{2} \lambda_{1}+\beta_{2}^{2} \lambda_{2}+\beta_{3}^{2} \lambda_{3}, \\
a_{33}-1=\gamma_{1}^{2} \lambda_{1}+\gamma_{2}^{2} \lambda_{2}+\gamma_{3}^{2} \lambda_{3}, \\
\frac{a_{23}+a_{12}}{2}=\beta_{1} \gamma_{1} \lambda_{1}+\beta_{2} \gamma_{2} \lambda_{2}+\beta_{3} \gamma_{3} \lambda_{3}, \\
\frac{a_{31}+a_{13}}{2}=\gamma_{1} \alpha_{1} \lambda_{1}+\gamma_{2} \alpha_{2} \lambda_{2}+\gamma_{3} \alpha_{3} \lambda_{3}, \\
\frac{a_{12}+a_{21}}{2}=\alpha_{1} \beta_{1} \lambda_{1}+\alpha_{2} \beta_{2} \lambda_{2}+\alpha_{3} \beta_{3} \lambda_{3} .
\end{array}
\]

В $\S 2$ пятой лекция показано, что величины
\[
\beta_{1} \delta \gamma_{1}+\beta_{2} \delta \gamma_{2}+\beta_{3} \delta \gamma_{3}, \gamma_{1} \delta \alpha_{1}+\gamma_{2} \delta \gamma_{2}+\gamma_{3} \delta \alpha_{3}, \alpha_{1} \delta \beta_{1}+\alpha_{2} \delta \beta_{2}+\alpha_{3} \delta \beta_{3},
\]

которые мы обозначали там через $\pi^{\prime}, \chi^{\prime}$, ,’, суть компоненты вращения по осям $\xi, \eta, \zeta$ Следовательно, сравнивая уравнения (20) и (6), найдем выражения этих коміненент
\[
\frac{a_{22}-a_{23}}{2}, \frac{a_{13}-a_{21}}{2}, \frac{a_{21}–a_{12}}{2} .
\]

รначения величин $\alpha, \beta, \gamma, \lambda$ мы получим следующим образом. Из уравнений (21) легко найдем, с помощью соотноиений между $\alpha, \beta, \gamma$
\[
\begin{array}{l}
\left(a_{11}-1-\lambda_{1}\right) \alpha_{1}+\frac{a_{12}-a_{21}}{2} \beta_{1}+\frac{a_{29}+a_{21}}{2} \gamma_{1}=0, \\
\frac{a_{21}+a_{12}}{2} \alpha_{1}+\left(a_{22}-1-\lambda_{1}\right) \beta_{1}+\frac{a_{92}+a_{22}}{2} \gamma_{1}=0, \\
\frac{a_{31}+a_{13}}{2} \alpha_{1}+\frac{a_{22}+a_{23}}{2} \beta_{1}+\left(l_{33}-1 \cdots-\lambda_{1}\right) \gamma_{1}=0 .
\end{array}
\]

Так как здесь $\alpha_{1}, \beta_{1}$, $\gamma_{1}$ не могут быть одновременно равны нулю, потому что сумма их квадратов равна единице, то определитель этих уравнений должен сбратиться в нуль, т. е. $\lambda_{1}$ должно быть одним из корней кубического уравнения
\[
\left|\begin{array}{lll}
a_{11}-i-\lambda & \frac{a_{12}-a_{21}}{2} & \frac{a_{12}+a_{31}}{2} \\
\frac{a_{21}+a_{12}}{2} & a_{22}-1-\lambda & \frac{a_{32}+a_{32}}{2} \\
\frac{a_{31}+a_{13}}{2} & \frac{a_{22}+a_{23}}{2} & a_{33}-!-\lambda
\end{array}\right|=0 .
\]

Уравнения (23) будут также иметь место, если поставим индекс вместо 2 или 3 при буквах $\alpha, \beta, \gamma, \lambda$, откуда следует, что $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}$ суть три корня уравнения (24). Если один из них выбран в качестве $\lambda_{1}$, то из уравнений (23) определятся соотношения $\alpha_{1}, \beta_{1}, \gamma_{1}$; сами эти величины, до знака одной из них, который остается произвольным, определяются через присоединение уравнения
\[
\alpha_{1}^{2}+\beta_{1}^{2}+\gamma_{1}^{2}=1 .
\]

Подобным же образом получим значения $\alpha_{2}, \beta_{2}, \gamma_{2}$ и $\alpha_{3}, \beta_{3}, \gamma_{3}$. Знаки одной из величин $\alpha_{2}, \beta_{2}, \gamma_{2}$ и $\alpha_{3}, \beta_{3}, \gamma_{3}$ также могут быть выбраны произвольно.
Заметим, что объемное расширение
\[
\mu_{1} \mu_{2} \mu_{3}-1=\left(1+\lambda_{1}\right)\left(1+\lambda_{2}\right)\left(1+\lambda_{3}\right)-1=\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3} .
\]

как это вытекает из трех первых уравнений (21), равно
\[
a_{11}-1+a_{22}-1+a_{23}-1 \text {. }
\]
§ 5
Возвратимся теперь к $\S$ 1. Юз полученных в нем результатов можно заключить, что деформация, которую получает какая-нибудь частица тела, размеры которой бесконечно малы, при движении в какой-нибудь элемент времени, может быть рассматриваема как составленная из смещения, вращения и растяжения, характеризуемых уравнениями (14). Компоненты смещения суть
\[
x-a, y-b, z-c .
\]

Материальная точка, которая не получает перемещения при вращении к растяжении, есть точка с начальными коэффлциентами $a, b, c$; после деформации ее координаты будут, следовательно. $x, y, z$. Компоненты вращения, величины и направления главных растяжений, как и всех растяжений, могущих возникнуть, мы найдем из выведенных для них формул. если положим
\[
\begin{array}{lll}
a_{11}=\frac{\partial x}{\partial a}, & a_{12}=\frac{\partial x}{\partial b}, & a_{13}=\frac{\partial x}{\partial c}, \\
a_{21}=\frac{\partial y}{\partial a}, & a_{22}=\frac{\partial y}{\partial b}, & a_{23}=\frac{\partial y}{\partial c}, \\
a_{31}=\frac{\partial z}{\partial a}, & a_{32}=\frac{\partial z}{\partial b}, & a_{33}=\frac{\partial z}{\partial c} .
\end{array}
\]

Деформация, которую получит рассматриваемая часть тела в элемент времени $d t$, бесконечно мала; поэтому к ней применимы формулы, выведенные в $\S 4$. Для этого обозначим через $x, y, z$ те величины, которые до сих пор обозначали через $a, b, c$, и напишем $x+d x, y+d y, z+d z$ вместо $x, y, z$. Вместе с тем положим
\[
d x=u d t, d y=v d t, d z=w d t,
\]
т. е. обозначим через $u$, $v$, w компоненты скорости в момент времени в точке $(x, y, z)$. Тогда уравнения (26) будут иметь вид
\[
\begin{aligned}
a_{11}-1 & =\frac{\partial u}{\partial x} d t, & a_{12} & =\frac{\partial u}{\partial y} d t, & a_{13} & =\frac{\partial u}{\partial z} d t . \\
a_{21} & =\frac{\partial v}{\partial x} d t, & a_{22}-1 & =\frac{\partial v}{\partial y} d t, & d_{23} & =\frac{\partial v}{\partial z} d t, \\
a_{31} & =\frac{\partial w}{\partial x} d t, & a_{32} & =\frac{\partial w}{\partial y} d t, & a_{33}-1 & =\frac{\partial w}{\partial z} d t .
\end{aligned}
\]
Вследствие уравнений (22) компоненты скорости вращения в точке $(x, y, z)$ во время $t$ суть
\[
\frac{1}{2}\left(\frac{\partial w}{\partial y}-\frac{\partial v}{\partial z}\right), \frac{1}{2}\left(\frac{\partial u}{\partial z}-\frac{\partial w}{\partial x}\right), \frac{1}{2}\left(\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}\right) .
\]

и, по (25), объемное расширение, которое здесь происходит в элемент времени $d t$, равно
\[
\left(\frac{\partial u}{d x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}\right) d t
\]
§ 6
Обратимся теперь к\”рассмотрению внешней\” поверхности движущегося гела; докажем (в предположении непрерывности движення), что она всегда будет образована одними и теми же материальными точками. В самом деле, вообразим себе материальную точку* $P$, которая в некоторое мгновение не лежит на наружной поверхности, и рассмотрим часть тела, представляющую бесконечно малый шар, описанный в это мгновение вокруг точки $P$. Согласно нашим исследованиям, в каждое другое мгновение эта часть станет эллипсоидом с центром в точке $P$. Из этого следует, что материальная точка, которая хотя однажды не лежала на наружной поверхности, никогда не будет на ней находиться; это есть не что иное, как предыдущее предложение, только высказанное другими словами. Чтобы выразить его аналитически, предположим, что уравнение наружной поверхности в момент времени $t$ будет
\[
f(x, y, z, t)=0,
\]

и рассмотрим материальную точку, которая в момент времени $t$ лежит на наружной поверхности. Та же точка лежит на ней и во время $t+d t$, так как если $f=0$, то также равно нулю изменение, которое получит $f$, когда $t$ возрастет на $d t$ и одновременно $x, y, z$ возрастут на $u d t$, vdt, wdt: таким образом,
\[
\frac{\partial f}{\partial t}+u \frac{\partial f}{\partial x}+v \frac{\partial f}{\partial y}+w \frac{\partial f}{\partial z}=0 \text {. }
\]

Наружная поверхность тела состоит из поверхностей, которыми оно соприкасается с другими телами. Пусть (30) будет уравнением одной из таких поверхностей и пусть $u_{1}, v_{1}, w_{1}$ и $u_{2}, v_{2}, w_{2}$ – компоненты скорости в точке соприкосновения ( $x, y, z$ ) первого и второго тела; тогда из уравнения (31) получим
\[
\frac{\partial f}{\partial t}+u_{1} \frac{\partial f}{\partial x}+v_{1} \frac{\partial f}{\partial y}+w_{1} \frac{\partial f}{\partial z}=0
\]

H
\[
\frac{\partial f}{\partial t}+u_{2} \frac{\partial f}{\partial x}+v_{2} \frac{\partial f}{\partial y}+w_{2} \frac{\partial f}{\partial z}=0 .
\]
– Материальной точке здесь не может быть приписано никакое растяжение. Физи ческсе значение граничного условия усматривается непосредственно, если уяснить себе, что компонента скорости точки координат поверхности по нормали к ней должна совґадать со скоростью в том же направлении, имеющейся налицо в рассматриваемой точке, вследствие значеннй, приписываемых $u, v$, ш. При движенни жидкости условие можно выразить так, что наружная поверхность должна быть всегда образована лиvay тока (В. В ин).

Вычтем эти уравнения одно из другого; обозначим через $n$ одно из двух направлений нормали в точке $(x, y, z)$ и воспользуемся тем, что
\[
\frac{\partial f}{\partial x}: \frac{\partial f}{d y}: \frac{\partial f}{\partial z}=\cos (n x): \cos (n y): \cos (n z)
\]

тогда получим
\[
u_{1} \cos (n x)+v_{1} \cos (n y)+w_{1} \cos (n z)=u_{2} \cos (n x)+v_{2} \cos (n y)+w_{2} \cos (n z) .
\]

Это уравнение выражает, что компоненты скорости по нормали к граничной поверхности цвух тел имеют одно и то же значение.

Возможно также допустить, что в однои теле имеется поверхность, по которой скорость нзменяется скачком. Мы мокем тогда рассматривать две части, на которые тело разделяется поверхностью, причем, если она не замкнута, то любым образом может быть дополнена до замкнутой. как два тела. Тогда уравнение (31) будет также иметь место.