\$ 1

Теперь мы будем рассматризать равновесие и движение тел, размеры которых в каком-либо направлении можно считать бесконечно малыми. К ним могут быть отнесены тонкие стержни и пластинки. Тела, которые мы будем рассматривать, могут іспытывать комечную деформацию, причем расширения не перестаіт быть бесконечно малыми. Мы можем применить нашу теорию также и к таким случаям, когда можно, разбив тело на части с измерениями одного порядка, применить выведенные выше уравчения сначала $\kappa$ одной из этих частей.

Вообразим тело (или часть тела), все размеры которого одного порядка, равного бесконечно малой величине $i$, и составим для него условия равновесия. Сюда относятся прежде всего уравнения (9) предыдущей лекции, т. е. уравнения
\[
\begin{array}{l}
\mu X=\frac{\partial X_{x}}{\partial x}+\frac{\partial X_{y}}{\partial y}+\frac{\partial X_{z}}{\partial z}, \\
\mu Y=\frac{\partial Y_{x}}{\partial x}+\frac{\partial Y_{y}}{\partial y}+\frac{\partial Y_{z}}{\partial z}, \\
\mu Z=\frac{\partial Z_{x}}{\partial x}+\frac{\partial Z_{y}}{\partial y}+\frac{\partial Z_{z}}{\partial z} .
\end{array}
\]

Пусть $g$ будет функцией перемениых $x, y, z$, причем
\[
g=0
\]

есть уравнение поверхности тела, и $g$ положительно внутри тела, $n$ по-прежнему обозначает направленную внутрь нормаль к элементу поверхности.
Тогда будем иметь
\[
\cos (n x): \cos (n y): \cos (n z)=\frac{\partial g}{\partial x}: \frac{\partial g}{\partial y}: \frac{\partial g}{\partial z},
\]

и косинусы имеют те же знаки, как соответственные производные, так как $\frac{\partial g}{\partial n}$ положительно. Отсюда имеем на поверхности
\[
\begin{array}{l}
X_{x} \frac{\partial g}{\partial x}+X_{y} \frac{\partial g}{\partial y}+X_{z} \frac{\partial g}{\partial z}=X_{n} \sqrt{\left(\frac{\partial g}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial g}{\partial y}\right)^{2}+\left(\frac{\partial g}{\partial z}\right)^{2}} \\
Y_{x} \frac{\partial g}{\partial x}+Y_{y} \frac{\partial g}{\partial y}+Y_{z} \frac{\partial g}{\partial z}=Y_{n} \sqrt{\left(\frac{\partial g}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial g}{\partial y}\right)^{2}+\left(\frac{\partial g}{\partial z}\right)^{2}} \\
Z_{x} \frac{\partial g}{\partial x}+Z_{y} \frac{\partial g}{\partial y}+Z_{z} \frac{\partial g}{\partial z}=Z_{n} \sqrt{\left(\frac{\partial g}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial g}{\partial y}\right)^{2}+\left(\frac{\partial g}{\partial z}\right)^{2}}
\end{array}
\]

где корни должны быть взяты положительными, и $X_{n}, Y_{n}, Z_{n}$ надо рассматривать как данные.

Чтобы $u, v$, w были вполне определены, примем еще, что положение тела в его естественном состоянии (исходя из которого определяются $u, v, w)$ выбрано так, что для начала координат, которое должно находиться внутри тела, т. е. для $x=0, y=0, z=0$, будут иметь место равенства
\[
u=0, \quad v=0, \quad w=0, \quad \frac{\partial u}{\partial z}=0, \frac{\partial v}{\partial z}=0, \quad \frac{\partial v}{\partial x}=0 .
\]

Теперь положим
\[
x=i x^{\prime}, \quad y=i y^{\prime}, \quad z=i z^{\prime} ;
\]

тогда вследствие сделанного предположения $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$, будут в теле конечны; пусть будет
\[
g^{\prime}=0
\]

уравнение между $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$, соответствующее поверхности, так что $g^{\prime}$ содержит только конечные постоянные.

Вообразим, что произведена подстановка (4) также и в уравнения (1), (2) и (3). Положим
\[
\begin{array}{ll}
x_{x}^{\prime}=\frac{\partial u}{\partial x^{\prime}}, & y_{z}^{\prime}=\frac{\partial v}{\partial z^{\prime}}+\frac{\partial w}{\partial y^{\prime}}, \\
y_{y}^{\prime}=\frac{\partial v}{\partial y^{\prime}}, & z_{x}^{\prime}=\frac{\partial w}{\partial x^{\prime}}+\frac{\partial u}{\partial z^{\prime}}, \\
z_{z}^{\prime}=\frac{\partial w}{\partial z^{\prime}}, & x_{y}^{\prime}=\frac{\partial u}{\partial y^{\prime}}+\frac{\partial v}{\partial x^{\prime}},
\end{array}
\]

и обозначим через $X_{x}^{\prime}, X_{y}^{\prime}, \ldots$ выражения, которые получим, если заменим $x_{x}, y_{y}, \ldots$ через $x_{x}^{\prime}, y_{y}^{\prime} \ldots$ в выражениях, представляющих $X_{x}, X_{y}, \ldots$ как функции $x_{x}, y_{y}, \ldots$; таким образом получим
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial X_{x}^{\prime}}{\partial x^{\prime}}+\frac{\partial X_{y}^{\prime}}{\partial y^{\prime}}+\frac{\partial X_{z}^{\prime}}{\partial z^{\prime}}=i^{2} X_{\mu} \\
\frac{\partial Y_{x}^{\prime}}{\partial x^{\prime}}+\frac{\partial Y_{y}^{\prime}}{\partial y^{\prime}}+\frac{\partial Y_{z}^{\prime}}{\partial z^{\prime}}=i^{2} Y_{\mu} \\
\frac{\partial Z_{x}^{\prime}}{\partial x^{\prime}}+\frac{\partial Z_{y}^{\prime}}{\partial y^{\prime}}+\frac{\partial Z_{z}^{\prime}}{\partial z^{\prime}}=i^{2} Z_{\mu}
\end{array}
\]

для $g^{\prime}=0$ будем иметь
\[
\begin{array}{l}
X_{x}^{\prime} \frac{\partial g^{\prime}}{\partial x^{\prime}}+X_{y}^{\prime} \frac{\partial g^{\prime}}{\partial y^{\prime}}+X_{z}^{\prime} \frac{\partial g^{\prime}}{\partial z^{\prime}}=i X_{n} \sqrt{\left(\frac{\partial g^{\prime}}{\partial x^{\prime}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial g^{\prime}}{\partial y^{\prime}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial g^{\prime}}{\partial z^{\prime}}\right)^{2}} \\
Y_{x}^{\prime} \frac{\partial g^{\prime}}{\partial x^{\prime}}+Y_{y}^{\prime} \frac{\partial g^{\prime}}{\partial y^{\prime}}+Y_{z}^{\prime} \frac{\partial g^{\prime}}{\partial z^{\prime}}=i Y_{n} \sqrt{\left(\frac{\partial g^{\prime}}{\partial x^{\prime}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial g^{\prime}}{\partial y^{\prime}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial g^{\prime}}{\partial z^{\prime}}\right)^{2}} \\
Z_{x}^{\prime} \frac{\partial g^{\prime}}{\partial x^{\prime}}+Z_{y}^{\prime} \frac{\partial g^{\prime}}{\partial y^{\prime}}+Z_{z}^{\prime} \frac{\partial g^{\prime}}{\partial z^{\prime}}=i Z_{n} \sqrt{\left(\frac{\partial g^{\prime}}{\partial x^{\prime}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial g^{\prime}}{\partial y^{\prime}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial g^{\prime}}{\partial z^{\prime}}\right)^{2}}
\end{array}
\]

и для $x^{\prime}=0, y^{\prime}=0, z^{\prime}=0$ будет
\[
u=0, \quad v=0, \quad w=0, \quad \frac{\partial u}{\partial z^{\prime}}=0, \quad \frac{\partial v}{\partial y^{\prime}}=0, \quad \frac{\partial v}{\partial x^{\prime}}=0 .
\]

Значения $u, v, w$, которые получаются из (5), (6) и (7), могут быть представлены как суммы членов, из которых одни удовлетворяют уравнениям (6) и (7), но вместо уравнений (5) – тем уравнениям, которые получаются из (5), если заменить в них правые части нулем; другие же удовлетворяют уравнениям (5) и (7), но вместо уравнений (6) -тем, которые получаются из (6), если заменить в них правые части нулями.

Первые из указанных членов будут порядка $i X_{n}, i Y_{n}, i Z_{n}$, вторые порядка $i^{2} X_{\mu}, i^{2} Y_{\mu}, i_{2} Z_{\mu}$. Следовательно, последние бесконечно малы по сравнению с первыми, если мы примем, что сила $X, Y, Z$ не бесконечно велика сравнительно с $X_{n}, Y_{n}, Z_{n}$, т. е. что относительные перемещения, которые вызываются в теле конечных размеров первыми, не бесконечно велики по сравнению с перемещениями, вызываемыми в том же теле вторыми силами. Следовательно, при этом предположении для каждого бесконечно малого тела уравнения (5) надо заменить уравнениями, кото рые из них получатся, когда положим правую часть равной нулю, т. е уравнения (1) надо заменить уравнениями
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial X_{x}}{\partial x}+\frac{\partial X_{y}}{\partial y}+\frac{\partial X_{z}}{\partial z}=0, \\
\frac{\partial Y_{x}}{\partial x}+\frac{\partial Y_{y}}{\partial y}+\frac{\partial Y_{z}}{\partial z}=0, \\
\frac{\partial Z_{x}}{\partial x}+\frac{\partial Z_{y}}{\partial y}+\frac{\partial Z_{z}}{\partial z}=0 .
\end{array}
\]

Произведенное исследование одновременно показывает, что $u$, $v$, w будут порядка $i X_{n}, i Y_{n}, i Z_{n}$; того же порядка будут производные $u$, $v$, w по $x,{ }^{\prime} y, z^{\prime}$; следовательно, производные $u, v$, w по $x, y, z$ одного порядка с $X_{n}, Y_{n}, Z_{n}$.

Эти же результаты имеют место и в случае движения, и уравнения (8) заменяют уравнения (3) предыдущей лекции, если только ускорения $\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}, \frac{\partial^{2} v}{\partial t^{2}}, \frac{\partial^{2} w}{\partial t^{2}}$ не переходят границ, принятых для силы $X, Y, Z$. Это следует из того, что для перехода от равновесия к движению надо заменить $X, Y, Z$ на $X-\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}, Y-\frac{\partial^{2} v}{\partial t^{2}}, Z-\frac{\partial^{2} w}{\partial t^{2}}$.
§ 2
Теперь положим, что тело, о котором идет речь, есть бесконечно тонкий в естественном состоянии цилиндрический стержень. Введем систему прямоугольных осей. Предположим, что одна ось проходит через центры тяжести поперечных сечений, а две другие параллельны главным осям поперечного сечения, проходящим через его центр тяжести. Возьмем на первой оси точку $P$, обозначим расстояние ее от начала стержня через $s$ и рассмотрим три линейных элемента, которые проведены через $P$ в направлении трех осей; их можно назвать $3,1,2$, причем за 3 примем элемент, направленный по длине цилиндра. Когда исходное состояние тела изменится, эти три элемента, вообще, не будут более перпендикулярны друг другу, но образуют угол, который отличается от прямого на величины порядка расширений, которые имеют место. Пусть положение точек стержня вблизи $P$ будет отнесено к системе координат (с началом в точке $P$ ), ось $z$ которой имеет направление линейного элемента 3 и плоскость $z O x$ которой проходит через линейные элементы 3 и 1 . Пусть в этой системе координат $x+u, y+v, z+w$ будут координатами некоторой точки стержня после деформации; $x, y, z$ – координаты той же точки, когда стержень находится в естественном состоянии и в положении, при котором линейные элементы совпадают с осями $x, y, z$. При этих предположениях выполняются уравнения (3) и (11) предыдущей лекции, как это вытекает из сделанного там замечания; далее, на поверхности стержня имеет место уравнение между $x$ и $y$; затем могут быть записаны следующие соотношения:
\[
\int x d x d y=0, \quad \int y d x d y=0, \quad \int x y d x d y=0,
\]

где интегрирование должно быть распространено по поперечному сечению; наконец, каждая материальная точка стержня будет характеризоваться некоторыми значениями $x, y$ и $s+z$.

Пусть далее $\xi, \eta, \zeta$ – координаты точки $P$ после деформации стержня относительно произвольно выбранной в пространстве системы координат, которая имеет то свойство, что оси $x, y, z$ при вращении могут быть сделаны соответственно параллельными осям $\xi, \eta, \zeta$.
Пусть
\[
\begin{array}{lll}
\alpha_{1} & \beta_{1} & \gamma_{1} \\
\alpha_{2} & \beta_{2} & \gamma_{2} \\
\alpha_{3} & \beta_{3} & \gamma_{3}
\end{array}
\]

косинусы углов, которые оси $\xi, \eta, \zeta$ образуют с осями $x, y, z$, так что индексы $1,2,3$ относятся соответственно к осям $x, y, z$; эти девять величин, так же как $\xi, \eta, \zeta$, в случае равновесия будут функциями одного переменного $s$, в случае движения – функциями $s$ и $t$.
При этих обозначениях выражения
\[
\begin{array}{l}
\xi+a_{1}(x+u)+\alpha_{2}(y+v)+\alpha_{3}(z+w), \\
\eta+\beta_{1}(x+u)+\beta_{2}(y+v)+\beta_{3}(z+w), \\
\zeta+\gamma_{1}(x+u)+\gamma_{2}(y+v)+\Upsilon_{3}(z+w)
\end{array}
\]

будут координатами относнтельно осей $\xi, \eta, \zeta$ той точки, координаты которой относительно осей $x, y, z$ будут $x+u, y+v, z+w$. Выражения (10) должны быть функциями $s+z$, так как значения $z+s, x$ и $y$ определяют материальную точку стержня. Поэтому частные производные этих выражений по $z$ и по $s$ должны быть равны между собой; следовательно, будем иметь
\[
\begin{array}{c}
\alpha_{1} \frac{\partial u}{\partial z}+\alpha_{2} \frac{\partial v}{\partial z}+\alpha_{3}\left(1+\frac{\partial w}{\partial z}\right)=\alpha_{1} \frac{\partial u}{\partial s}+\alpha_{2} \frac{\partial v}{\partial s}+\alpha_{3} \frac{\partial w}{\partial s}+ \\
+\frac{d \xi}{d s}+\frac{d \alpha_{1}}{d s}(x+u)+\frac{d \alpha_{2}}{d s}(y+v)+\frac{d \alpha_{3}}{d s}(z+w),
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{c}
\beta_{1} \frac{\partial u}{\partial z}+\beta_{2} \frac{\partial v}{\partial z}+\beta_{3}\left(1+\frac{\partial w}{\partial z}\right)=\beta_{1} \frac{\partial u}{\partial s}+\beta_{2} \frac{\partial v}{\partial s}+\beta_{3} \frac{\partial w}{\partial s}+ \\
+\frac{d \eta}{d s}+\frac{d \beta_{1}}{\partial s}(x+u)+\frac{d \beta_{2}}{d s}(y+v)+\frac{d \beta_{3}}{d s}(z+w), \\
\Upsilon_{1} \frac{\partial u}{\partial z}+\Upsilon_{2} \frac{\partial v}{\partial z}+\gamma_{3}\left(1+\frac{\partial w}{\partial z}\right)=\gamma_{1} \frac{\partial u}{\partial s}+\Upsilon_{2} \frac{d v}{d s}+\Upsilon_{3} \frac{\partial w}{\partial s}+ \\
+\frac{\partial \zeta}{\partial s}+\frac{d \Upsilon_{1}}{d s}(x+u)+\frac{d \Upsilon_{1}}{d s}(y+v)+\frac{d \gamma_{3}}{d s}(z+w) .
\end{array}
\]

Умножим эти уравнения последовательно на $\alpha_{1}, \beta_{1}, \gamma_{1}$, на $\alpha_{2}, \beta_{2}, \gamma_{2}$ и на $x_{3}, \beta_{3}, \gamma_{3}$ и каждый раз сложим их. Положим при этом
\[
\sigma=\sqrt{\left(\frac{d \xi}{d s}\right)^{2}+\left(\frac{d \eta}{d s}\right)^{2}+\left(\frac{d \xi}{d s}\right)^{2}}-1 ;
\]

гак как по сделанному определению
\[
\frac{d \xi}{d s}: \frac{d \eta}{d s}: \frac{d \zeta}{d s}=\alpha_{3}: \beta_{3}: \gamma_{3},
\]

го отсюда следует, что
\[
\frac{d \xi}{d s}=\alpha_{3}(1+\sigma), \quad \frac{d \eta}{d s}=\beta_{3}(1+\sigma), \quad \frac{d \zeta}{d s}=\gamma_{3}(1+\sigma)
\]

ч $\sigma$ есть расширение, которое получает элемент $d s$. Положим далее
\[
\begin{array}{l}
p=\alpha_{3} \frac{d \alpha_{2}}{d s}+\beta_{3} \frac{d \beta_{2}}{d s}+\gamma_{3} \frac{d \gamma_{2}}{d s}, \\
q=\alpha_{1} \frac{d \alpha_{3}}{d s}+\beta_{1} \frac{d \beta_{3}}{d s}+\gamma_{1} \frac{d \gamma_{3}}{d t}, \\
r=\alpha_{2} \frac{d \alpha_{1}}{d s}+\beta_{2} \frac{d \beta_{1}}{d s}+\gamma_{2} \frac{d \Upsilon_{1}}{d s} .
\end{array}
\]

Сравним эти выражения с выражениями для $p^{\prime}, q^{\prime}, r^{\prime}$ уравнений (19) пятой лекции и вспомним значение, приданное там $p^{\prime}, q^{\prime}, r^{\prime}$; тогда мы увидим, что $p d s$, $q d s$, $r d s$ – это углы, на которые повернется система осей $x, y, z$ вокруг осей $x, y, z$, когда начало ее опишет элемент $d s$. Қоличество $r d s$ называется кручением части стержня, соответствующей элементу $d s$, а $p$ и $q$ будут обратными радиусами кривизны проекций элемента $d s$ на плоскости $y, z$ и $x, z$.

С помощью шести соотношений, существуюцих между косинусами $\alpha, \beta, \gamma$, и тех, которые получим из них, дифференцируя их по $s$, будем иметь
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial u}{\partial z}=\frac{\partial u}{\partial s}+q(z+w)-r(y+v), \\
\frac{\partial v}{\partial z}=\frac{\partial v}{\partial s}+r(x+u)-p(z+w), \\
\frac{\partial w}{\partial z}=\frac{\partial w}{\partial s}+p(y+v)-q(x+u)+\sigma .
\end{array}
\]

Опираясь на сделанное в конце предыдущего параграфа замечание, мы примем, что $\frac{\partial u}{\partial z}, \frac{\partial v}{\partial z}, \frac{\partial w}{\partial z}$ бесконечно велики сравнительно с $u, v, w$, если только будем давать $z$ значения одного порядка с размерами поперечного сечения стержня. Примем далее, что $\frac{\partial u}{\partial s}, \frac{\partial v}{\partial s} ; \frac{\partial w}{\partial s}$ одного порядка с $u, v$, .

Пользуясь, кроме того, тем, что $u$, $v$, w бесконечно малы сравнительно с $x, y, z$, мы получим уравнения в виде
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial u}{\partial z}=q x-r y, \\
\frac{\partial v}{\partial z}=r x-p z, \\
\frac{\partial w}{\partial z}=p y-q x+\sigma .
\end{array}
\]

Интегрируя, найдем
\[
\begin{array}{l}
u=u_{0}+\frac{q}{2} z^{2}-r y z, \\
v=v_{0}+r x z-\frac{p}{2} z^{2}, \\
w=w_{0}+(p y-q x+\sigma) z,
\end{array}
\]

где $u_{0}, v_{0}, w_{0}$ – функции $x$ и $y$, именно такие, в которые обращаются $u, v, w$ при $z=0$. Эти функции можно определить из уравнений (8), (2) и (3).
Найденные для $u, v$, w выражения дадут
\[
\begin{array}{ll}
x_{x}=\frac{\partial u_{0}}{\partial x}, & y_{z}=\frac{\partial w_{0}}{\partial y}+r x, \\
y_{y}=\frac{\partial v_{0}}{\partial y}, & z_{x}=\frac{\partial w_{0}}{\partial x}-r y, \\
z_{z}=p y-q x+\sigma, & x_{y}=\frac{\partial u_{0}}{\partial y}+\frac{\partial v_{0}}{\partial x} .
\end{array}
\]

Все эти значения независимы от $z$, вследствие чего уравнения (8) примут более простой вид
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial X_{x}}{\partial x}+\frac{\partial X_{y}}{\partial y}=0 \\
\frac{\partial Y_{x}}{\partial x}+\frac{\partial Y_{y}}{\partial y}=0, \\
\frac{\partial Z_{x}}{\partial x}+\frac{\partial Z_{y}}{\partial y}=0 .
\end{array}
\]

Допустим, что первоначально на цилиндрическую поверхность стержня не действуют никакие давления и пусть $q$ – функция $x$ и $y$, приравняв нулю которую, получим уравнение контура поперечного сечения; тогда уравнения (2) при $q=0$ дадут
\[
\begin{array}{l}
X_{x} \frac{\partial g}{\partial x}+X_{y} \frac{\partial g}{\partial y}=0, \\
Y_{x} \frac{\partial g}{\partial x}+Y_{y} \frac{\partial g}{\partial y}=0, \\
Z_{x} \frac{\partial g}{\partial x}+Z_{y} \frac{\partial g}{\partial y}=0 .
\end{array}
\]

Два уравнения из уравнений (3) будут выполняться тождественно, остальные требуют, чтобы при $x=0$ и $y=0$ было
\[
u_{0}=0, \quad v_{0}=0, \quad w_{0}=0, \quad \frac{\partial v_{0}}{\partial x}=0 .
\]

Уравнения (17) мы вывели в предположении, что давления, действующие на боковую позерхность стержня, равны нулю. Но мы можем сохранить те же уравнения, когда эти давления имеют любые значениия, не презосходяцие, однако, некогорых границ. Они должны иметь таке значения, чтобы давления с величинами такого же порядка вызывали в теле, все размеры которого одного порядка, только расширения, бесконечно малые сравнительно с определяемыми (15). Пренебрегая при этом величинами, которые должны были бы образовать правые части уравнений (17), мы пренебрежем тем самым только величинами бесконечно малыми по сравнению с отдельными членами левых частей.

Подставляя в уравнения (16) и (17) вместо $X_{x}, X_{y}, \ldots$ их выражения через $x_{x}, y_{y}, \ldots$ и вместо последних – значения, данные (15), однозначно определим из уравнений (16), (17) и (18) величины $u_{0}, v_{0}$, $w_{0}$ как линейные однородные функции $p, q, r, \sigma$. Чтобы доказать это предположение, достаточно показать, что когда $p, q, r, \sigma$ обращаются в нуль, то указанные уравнения могут быть удовлетворены только при $u_{0}=0, v_{0}=0, w_{0}=0$. Это достигается таким же рассуждением, какнм было доказано подобное предположение в $\S 2$ предыдущей лекции. Если $u_{0}, v_{0}, w_{0}$ выражены таким образсм, то уравнение (15) дает $x_{x}, x_{y}, \ldots$ как линейные функции $p, q$, $r, \sigma$. Точно такими же функциями будут компоненты давления $X_{x}, X_{y}, \ldots$, и $f$ будет однородной функцией второй степени тех же четырех элементов.

Сделаем одно замечание, которое существенно расширит применимость наших рассуждений. Вообразим, что стержень переведен из его естественного цилиндрического состояния силами, действующими внутри, и давлениями, которые действуют на концы его один раз в одно, другой раз в другое состояние. Пусть второе из этих состояний характеризуется через $x_{x}, x_{y}$, $\ldots, p, q, r, \sigma$, а первое– $x_{x}^{\prime}, y_{y}^{\prime}, \ldots, p^{\prime}, q^{\prime}, r^{\prime}, \sigma^{\prime}$. Если стержень будет переведен из первого состояния во второе, тогда разности $x_{x}-x_{x}^{\prime}, x_{y}-x_{y}^{\prime}, \ldots$ определят происходящие при этом расширения совершенно так же, как сами $x_{x} x_{y}, \ldots$ определяли расширения при переходе стержня из его цилиндрического состояния в то, которое мы назвали вторым. Эти рассуждения могут быть отнесены также к тому случаю, когда в естественном состоянии (названном нами первым) стержень имеет не цилиндрическую форму, а искривлен и скручен так, как это соответствует значениям $p^{\prime}, q^{\prime}$, $r^{\prime}$. Следовательно, в этом случае компоненты давления $X_{x}, X_{y}, \ldots$ и величина $f$ являются такими же функциями $x_{x}-x_{x}^{\prime}, x_{y}-x_{y}^{\prime}, \ldots$, какими они были ранее от $x_{x}, x_{y}, \ldots$, и такими же функциями $p-p^{\prime}, q-q^{\prime}$. $r-r^{\prime}, \sigma-\sigma^{\prime}$, какими они были от $p, q, r, \sigma$, так как $x_{x}-x_{x}^{\prime}, x_{y}-x_{
u}^{\prime}-$ такие же линейные функции $p-p^{\prime}, q-q^{\prime}, r-r^{\prime}, \sigma-\sigma^{\prime}$, как $x_{x}, x_{y}, \ldots$ функции $p, q, r, \sigma$.

Это замечание важно тогда, когда вещество тела изотропно. Пользуясь им, всегда можно представить уравнения равновесия и движения бесконечно тонкого стержня, поперечное сечение которого всюду имеет одинаковую форму, когда он в его естественном состоянии как-нибудь искривлен или скручен. При этом величина, которую мы обозначили через $\sigma^{\prime}$. может быть положена равной нулю.
$\S 3$
Относительно легко определить $u_{0}, v_{0}, w_{0}$, когда поперечное сечение стержня-эллипс, каковы бы ни были постоянные упругости. Положим соответственно этому предположению
\[
g=1-\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} .
\]

Тогда уравнения (16) и (17) (последнее не только при $g=0$, но вообще) будут удовлетворены значениями
\[
\begin{array}{c}
X_{x}=0, Y_{y}=0, X_{y}=0, \\
Z_{x}=c \frac{y}{b^{2}}, \quad Z_{y}=-c \frac{x}{a^{2}},
\end{array}
\]

где $c$-произвольное постоянное. Из этих уравнений вместе с входящим в (15) уравнением
\[
z_{z}=p y-q x+\sigma
\]

и с помощью соотношений, существующих между шестью величинами $x_{x}, x_{y}, \ldots$ и шестью компонентами давления, можно выразить $x_{x}, y_{y}, x_{y}$ и $z_{x}, z_{y}$ как линейные функции $x$ и $y$. Три первых из них при помощи уравнений (15) приведут к определению $u_{0}$, $v_{0}$, два последних – к определению $w_{0}$. Чтобы эти определения были возможны, необходимо
\[
\frac{\partial^{2} x}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}=\frac{\partial^{2} x}{\partial x \partial y}
\]
n
\[
\frac{\partial y_{z}}{\partial x}-\frac{\partial x_{z}}{\partial y}=2 r .
\]

Первое из этих уравнений, которое получим, рассуждая так же, как при выводе уравнений (13) и (14) предыдущей лекции, выполнено вследствие того, что $x_{x}, y_{y}, x_{y}$ – линейные функции относительно $x$ и $y$. Втоpoе определяет величину $c$. Интегрирования, которые должны быть произведены при вычислении $u_{0}$ и $v_{0}$, введут три произвольные постоянные; интегрирование, которое определяет $w_{0}$, вводит одно. Эти постоянные вычисляются непосредственно так, чтобы были выполнены уравнения (18). Таким образом получим $u_{0}, v_{0}, w_{0}$ как функции второй степени $x$ и $y$.

Упрощения в определении $u_{0}, v_{0}$, $w_{0}$ будут иметь место при произвольной форме поперечного сечения, когда плоскость его есть плоскость симметрии. В этом случае по уравнениям (5) предыдущей лекции имеем
\[
\begin{array}{l}
\frac{1}{2} X_{x}=a_{11} x_{x}+a_{12} y_{y}+a_{13} z_{z}+a_{16} x_{y}, \\
\frac{1}{2} Y_{y}=a_{21} x_{x}+a_{22} y_{y}+a_{23} z_{z}+a_{26} x_{y}, \\
\frac{1}{2} Z_{z}+a_{31} x_{x}+a_{32} y_{y}+a_{33} z_{z}+a_{36} x_{y}, \\
\frac{1}{2} X_{y}=a_{61} x_{x}+a_{62} y_{y}+a_{63} z_{z}+a_{66} x_{y}, \\
\frac{1}{2} Z_{y}=a_{44} z_{y}+a_{45} z_{x}, \\
\frac{1}{2} Z_{x}=a_{54} z_{y}+a_{56} z_{x},
\end{array}
\]

где
\[
a_{12}=a_{21}, \quad a_{13}=a_{31}, \ldots
\]

Поэтому на основании уравнений (15) последнее из уравнений (16) будет
\[
a_{55} \frac{\partial^{2} w_{0}}{\partial x^{2}}+2 a_{45} \frac{\partial^{2} w_{0}}{\partial x \partial y}+a_{44} \frac{\partial^{2} w_{0}}{\partial y^{2}}=0
\]

и последнее из уравнений (17) будет
\[
\begin{array}{c}
{\left[a_{54}\left(\frac{\partial w_{0}}{\partial y}+r x\right)+a_{55}\left(\frac{\partial w_{0}}{\partial x}-r y\right)\right] \frac{\partial g}{\partial x}+} \\
+\left[a_{44}\left(\frac{\partial w_{0}}{\partial y}+r x\right)+a_{45}\left(\frac{\partial w_{0}}{\partial x}-r y\right)\right] \frac{\partial g}{\partial y}=0 .
\end{array}
\]

Из этих уравнений и третьего из уравнений (18) надо определить $w_{0}$ Из остальных уравнений (16), (17) и (18) – $u_{0}$ и $v_{0}$; мы удовлетворим им, если положим
\[
X_{x}=0, \quad Y_{y}=0, \quad X_{y}=0 .
\]

Действительно, решив эти уравнения относительно $x_{x}, y_{y}, x_{y}$, получим для этих величин линейные функции $x$ и $y$, причем $z_{z}$ должно быть заменено его значением из (15). Вследствие этого возможно определить $u_{0}$ и $v_{0}$ соответственно уравнениям
\[
x_{x}=\frac{\partial u_{0}}{\partial x}, \quad y_{y}=\frac{\partial v_{0}}{\partial y}, \quad x_{y}=\frac{\partial u_{0}}{\partial y}+\frac{\partial v_{0}}{\partial x},
\]

интегрирование которых вводит три произвольных постоянных, надлежащим выбором которых можно удовлетворить уравнениям (18).
$\S 4$
Когда $u_{0}, v_{0}, w_{0}$ найдены, то надо будет еще определить $p, q, r, \sigma$ в случае равновесия как функции $s$, а в случае движения как функции $s$ и $t$. Для этого можно в первом случае пользоваться принципом возможных перемещений, во втором – принципом Гамильтона. Следовательно, в обоих случаях прежде всего необходимо составить выражение потенциала сил, производимых расширением. Обозначим, как прежде, через $f$ однородную функцию $x_{x}, x_{y}, \ldots$; тогда этот потенциал равен
\[
\int f d x d y d s
\]

где интегрирование по $x$ и $y$ распространяется по поперечному сечению, а по $s$ – по длине стержня. Подставим здесь вместо $x_{x}, y_{y}, \ldots$ их значения из (15); так как эти значения являются линейными однородными функциями $p, q, r, \sigma$, то $f$ будет однородной функцией второй степени $p, q, r, \sigma$, коэффициенты которой зависят только от $x$ и $y$. Теперь положим
\[
F=\int f d x d y
\]

тогда $F$ будет однородной функцией второй степени $p, q, r, \sigma$ с постоянными коэффициентами и потенциал будет равен
\[
\int F d s .
\]

Обозначим через $U^{\prime}$ работу сил, действующих внутри, и работу сил давления, действующих на боковой поверхности и на концевых сечениях стержня при некотором изменении количеств $p, q, r, \sigma$; далее, обозначим через $T$ живую силу. Тогда условие равновесия будет
\[
U^{\prime}+\delta \int F d s=0,
\]

и для движения можно будет написать уравнение
\[
\int d t\left[U^{\prime}+\delta T+\delta \int F d s\right]=0 .
\]

Чтобы получить значение $T$, надо продифференцировать выражения (10) по $t$, умножить суммы квадратов производных на $1 / 2$ элемента массы стержня и проинтегрировать по стержню. При этом $\frac{\partial u}{\partial t}, \frac{\partial v}{\partial t} \frac{\partial w}{\partial t}$ пренебрежем как бесконечно малыми сравнительно с членами, с ними складываемыми, и положим $z=0$, что возможно, так как выражения (10) есть функции $s+z$, и $s$ мы рассматриваем как переменное. Тогда производные этих выражений будут
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial \xi}{\partial t}+x \frac{\partial \alpha_{1}}{\partial t}+y \frac{\partial \alpha_{2}}{\partial t}, \\
\frac{\partial \eta}{\partial t}+x \frac{\partial \beta_{1}}{\partial t}+y \frac{\partial \beta_{2}}{\partial t}, \\
\frac{\partial \zeta}{\partial t}+x \frac{\partial \gamma_{1}}{\partial t}+y \frac{\partial \gamma_{2}}{\partial t} .
\end{array}
\]

Сумма квадратов этих выражений, умноженная на $d x d y$ и проинтегрированная по сечению стержня, с учетом уравнений (9) будет
\[
\begin{array}{c}
{\left[\left(\frac{\partial \xi}{\partial t}\right)^{2}+\left(\frac{\partial \eta}{\partial t}\right)^{2}+\left(\frac{\partial \xi}{\partial t}\right)^{2}\right] \int d x d y+} \\
+\left[\left(\frac{\partial \alpha_{1}}{\partial t}\right)^{2}+\left(\frac{\partial \beta_{1}}{\partial t}\right)^{2}+\left(\frac{\partial \gamma_{1}}{\partial t}\right)^{2}\right] \int x^{2} d x d y+ \\
+\left[\left(\frac{\partial \alpha_{2}}{\partial t}\right)^{2}+\left(\frac{\partial \beta_{2}}{\partial t}\right)^{2}+\left(\frac{\partial \gamma_{2}}{\partial t}\right)^{2}\right] \int y^{2} d x d y .
\end{array}
\]

Положим теперь
\[
\begin{aligned}
-P & =\alpha_{2} \frac{\partial \alpha_{3}}{\partial t}+\beta_{2} \frac{\partial \beta_{3}}{\partial t}+\gamma_{2} \frac{\partial \gamma_{3}}{\partial t}, \\
Q & =\alpha_{1} \frac{\partial \alpha_{3}}{\partial t}+\beta_{1} \frac{\partial \beta_{3}}{\partial t}+\gamma_{1} \frac{\partial \gamma_{3}}{\partial t}, \\
R & =\alpha_{2} \frac{\partial \alpha_{1}}{\partial t}+\beta_{2} \frac{\partial \beta_{1}}{\partial t}+\gamma_{2} \frac{\partial \gamma_{1}}{\partial t} .
\end{aligned}
\]

Далее, из уравнений, которые могут быть составлены по образцу уравнений (20) пятой лекции, мы получим
\[
\begin{array}{l}
\left(\frac{\partial \alpha_{1}}{\partial t}\right)^{2}+\left(\frac{\partial \beta_{1}}{\partial t}\right)^{2}+\left(\frac{\partial \gamma_{1}}{\partial t}\right)^{2}=Q^{2}+R^{2}, \\
\left(\frac{\partial \alpha_{2}}{\partial t}\right)^{2}+\left(\frac{\partial \beta_{2}}{\partial t}\right)^{2}+\left(\frac{\partial \gamma_{2}}{\partial t}\right)^{2}=P^{2}+R^{2} .
\end{array}
\]

Заметим теперь, что, вследствие уравнений (12), $\frac{\partial \alpha_{3}}{\partial t}, \frac{\partial \beta_{3}}{\partial t}, \frac{\partial \gamma_{3}}{\partial t}$, не могут быть бесконечно велики по сравнению с $\frac{\partial \xi}{\partial t}, \frac{\partial \eta}{\partial t}$, $\frac{\partial \zeta}{\partial t}$, если предположить, что производные этих величин по $s$ не бесконечно велики по сравнению с ними. Отсюда следует, что $P$ и $Q$ не могут быть бесконечно велики по сравнению с $\frac{\partial \xi}{\partial t}, \frac{\partial \eta}{\partial t}, \frac{\partial \zeta}{\partial t}$, между тем как относительно $R$ этого утверждать нельзя. И, наконец, последнее замечание: из трех интегралов, входящих в выражение (24), два последних бесконечно малы по сравнению с первыми, поэтому это выражение равно
\[
\left[\left(\begin{array}{c}
\partial \xi \\
\partial t
\end{array}\right)^{2}+\left(\frac{\partial \eta}{\partial t}\right)^{2}+\left(\frac{\partial \xi}{\partial t}\right)^{2}\right] \int d x d y+R^{2} \int\left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y .
\]

Положим
\[
\int d x d y=\lambda, \quad \int\left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y=x
\]

и обозначим по-прежнему плотность через $\mu$; тогда получим
\[
T=\frac{\mu}{2} \int d s\left\{\lambda\left[\left(\frac{\partial \xi}{\partial t}\right)^{2}+\left(\frac{\partial \eta}{\partial t}\right)^{2}+\left(\frac{\partial \xi}{\partial t}\right)^{2}\right]+x R^{2}\right\} .
\]
$\S 5$
Рассмотрим теперь ближе равновесие стержня в предположении, что на части его не действуют никакие силы и только по концевым сечениям его приложены силы давления. Но вместо того чтобы применить при этом принцип возможных перемещений, мы будем исходить непосредственно из определения давления, данного уравнениями (1) и (2) одиннадцатой лекции. Применим его к части стержня между двумя любыми поперечными сечениями. Обозначим через $A, B, \Gamma$ суммы компонент давления по осям $\xi, \eta, \zeta$, которое производится на элементы некоторого поперечного сечения $s$ (со стороны частей стержня, для которых $s$ имеет меньшее значение по сравнению с частями, для которых $s$ имеет большее значение), и через $M_{\alpha}, M_{\beta}, M_{\tau}$ – моменты этих давлений относительно тех же осей; тогда, предположив, что существует равновесие и внутри стержня никакие силы не действуют, мы получим
\[
\begin{array}{c}
A=\text { const }, \quad B=\text { const, } \quad \Gamma=\text { const }, \\
M_{\alpha}=\text { const }, \quad M_{\beta}=\text { const }, \quad M_{\Upsilon}=\text { const } .
\end{array}
\]

Если для одного конца стержня $s=0$, для другого $s=l$ и $l$ положительно, то тогда $A, B, \Gamma, M_{\alpha}, M_{\beta}, M_{\uparrow}$ равны суммам компонент и моментов вращения давлений, производимых извне на элементы поперечного сечения $s=0$. Для другого конца такое же значение имеют $-A,-B$, $-\Gamma,-M_{a},-M_{\beta},-M_{\top}$.

Теперь мы введем моменты давлений, от которых происходят $M_{\alpha}, M_{\beta}$, $M_{\uparrow}$, относительно осей $x, y, z$, соответствующих выбранному значению $s$, и обозначим их через $M_{x}, M_{y}, M_{2}$. Одновременно мы выберем (что всегда возможно) ось $\zeta$ так, чтобы было $A=0, B=0$ и $\Gamma$ отрицательно или равно нулю. Тогда, вследствие выведенных в § 4 пятой лекции соотношений, мы получим
\[
\begin{array}{l}
M_{\alpha}=\alpha_{1} M_{x}+\alpha_{2} M_{y}+\alpha_{3} M_{z}+\eta \Gamma=\text { const, } \\
M_{\beta}=\beta_{1} M_{x}+\beta_{2} M_{y}+\beta_{3} M_{z}-\xi \Gamma=\text { const, } \\
M_{\gamma}=\gamma_{1} M_{x}+\gamma_{2} M_{y}+\gamma_{3} M_{z}=\text { const. }
\end{array}
\]

Продифференцируем эти уравнения по $s$, помножим их на $\alpha_{1}, \beta_{1}, \gamma_{1}$ или $\alpha_{2}, \beta_{2}, \gamma_{2}$, или $\alpha_{3}, \beta_{3}, \gamma_{3}$ и каждый раз сложим. Вследствие соотношений, существующих между девятью косинусами, и уравнений (12) и (13), получим
\[
\begin{array}{l}
\frac{d M_{x}}{d s}=r M_{y}-q M_{z}+\gamma_{2} \Gamma, \\
\frac{d M_{y}}{d s}=p M_{z}-r M_{x}-\gamma_{2} \Gamma, \\
\frac{d M_{z}}{d s}=q M_{x}-p M_{y} .
\end{array}
\]

Теперь мы выведем, в каком отношении находятся моменты $M_{x}, M_{y}, M_{z}$ к выраженной в предыдущем параграфе функции $F$. Для этого рассмотрим приращение $\delta f$, которое получит $f$, когда состояние стержня вблизи поперечного сечения, соответствующего некоторому постоянному значению $s$, изменится так, что $p, q, r, \sigma$ возрастут на $\delta p, \delta q, \delta r, \delta \sigma$.
Прежде всего получим
\[
\delta f=X_{x} \delta x_{x}+Y_{y} \delta y_{y}+Z_{z} \delta z_{z}+Y_{z} \delta y_{z}+Z_{x} \delta z_{x}+X_{y} \delta x_{y},
\]

гак как $X_{x}, Y_{y}, \ldots$ – частные производные $f$ по $x_{x}, y_{y}, \ldots$ При помощи уравнений (15) будем иметь
\[
\begin{array}{c}
\delta f=X_{x} \delta \frac{\partial u_{0}}{\partial x}+Y_{y} \delta \frac{\partial u_{0}}{\partial y}+Z_{z}(y \delta p-x \delta q+\delta \sigma)+ \\
+Y_{z}\left(\delta \frac{\partial w_{0}}{\partial y}+x \delta r\right)+Z_{x}\left(\delta \frac{\partial w_{0}}{\partial x}-y \delta r\right)+X_{y} \delta\left(\frac{\partial u_{0}}{\partial y}+\frac{\partial v_{0}}{\partial x}\right) .
\end{array}
\]

Умножим это уравнение на $d x d y$ и проинтегрируем по поперечному сечению стержня. Тогда, по (21), левая часть его есть $\delta F$. Правую часть преобразуем при помощи уравнения
\[
\begin{array}{c}
0=\int d x d y\left\{X_{x} \delta \frac{\partial u_{0}}{\partial x}+Y_{y} \delta \frac{\partial v_{0}}{\partial y}+Y_{z} \delta \frac{d v_{0}}{\partial y}+\right. \\
\left.\quad+Z_{x} \delta \frac{\partial w_{0}}{\partial x}+X_{y} \delta\left(\frac{\partial u_{0}}{\partial y}+\frac{\partial v_{0}}{\partial x}\right)\right\}
\end{array}
\]

это уравнение мы получим интегрированием по частям, приняв во внимание уравнения (17), в которых можно подставить $\cos (n x)$ и $\cos (n y)$ вместо $\frac{\partial g}{g x}$ и $\frac{\partial g}{\partial y}$, если умножить уравнения (16) на $d x d y \delta u_{0}, d x d y \delta v_{0}, d x d y \delta w_{0}$, сложить и проинтегрировать по поперечному сечению. Положим
\[
\begin{aligned}
Z & =\int d x d y Z_{z}, \\
M_{x} & =\int d x d y y Z_{z}, \\
M_{y} & =-\int d x d y x Z_{z}, \\
M_{z} & =\int d x d y\left(x Y_{z}-y X_{z}\right),
\end{aligned}
\]

где через $Z$ обозначена компонента силы $F$ по оси $z$, и $M_{x}, M_{y}, M_{z}$ имеют те значения, которые приняты в уравнениях (28) и (29). Таким образом, отсюда получим
\[
\delta F=M_{x} \delta p+M_{y} \delta q+M_{z} \delta r+Z \delta \sigma,
\]

откуда следует, что
\[
\frac{\partial F}{\partial p}=M_{x}, \quad \frac{\partial F}{\partial q}=M_{y}, \quad \frac{\partial F}{\partial r}=M_{z}, \quad \frac{\partial F}{\partial \sigma}=Z .
\]

Следовательно, функция $2 F$ есть однородная функция второй степени $p, q, r, \sigma$, коэффициенты которой зависят от постоянных упругости и постоянных поперечного сечения стержня. Поэтому имеем
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial F}{\partial \sigma}=\gamma_{3} \Gamma=A_{00} \sigma+A_{01} p+A_{02} q+A_{03} r, \\
\frac{\partial F}{\partial p}=M_{x}=A_{10} \sigma+A_{11} p+A_{12} q+A_{13} r, \\
\frac{\partial F}{\partial q}=M_{y}=A_{20} \sigma+A_{21} p+A_{22} q+A_{23} r, \\
\frac{\partial F}{\partial r}=M_{z}=A_{30} \sigma+A_{31} p+A_{32} q+A_{33} r,
\end{array}
\]

где $A_{00}, A_{01}, \ldots=A_{10}, A_{11}, \ldots$ – упомянутые коэффициенты. Величины их не одного порядка. Так как $\sigma$-отвлеченное число, а $p, q, r$ – числа, обратные длинам, то те $A$, которые содержат один раз индекс 0 , должны иметь одним измерением меньше, чем те, в которые этот индекс не входит, и одним измерением больше, чем $A_{00}$. Но длины, которые входят в выражения величин $A$, будут порядка размеров сечения, следовательно, бесконечно малы. Поэтому $A_{01}, A_{02}, A_{03}$ должны быть бесконечно малы сравнительно с $A_{00}$ и бесконечно велики сравнительно с другими $A$. На этом основании мы не можем пренебречь в (31) членом, содержащим $\sigma$, хотя $\sigma$ бесконечно мало, но $p, q, r$ мы должны рассматривать как конечные. Из (31) (первое уравнение) следует, что
\[
\sigma=-\frac{A_{01} p+A_{0,} q+A_{03} r-\gamma_{3} \Gamma}{A_{00}} .
\]

Подставим это значение $\sigma$ в выражения (31) для $M_{x}, M_{y}, M_{z}$ и допустим, что $\Gamma$ не бесконечно велико по сравнению с $M_{x}, M_{y}, M_{z}$; тогда из выведенных соотношений между величинами $A$ вытекает, что входящим туда членом, зависящим от $\Gamma$, как бесконечно малым по сравнению с $M_{x}, M_{y}, M_{z}$, можно пренебречь. Тогда мы получим эти моменты как линейные однородные функции $p, q, r$. Их можно представить следующим образом. Пусть $G$ будет функцией $p, q, r$, в которую перейдет $F$, если при помощи уравнения $\frac{\partial F}{\partial \sigma}=0$ выразить $\sigma$ в ней через $p, q, r$; тогда
\[
M_{x}=\frac{\partial G}{\partial p}, \quad M_{y}=\frac{\partial G}{\partial q}, \quad M_{z}=\frac{\partial G}{\partial r} .
\]

Действительно, когда $\sigma$ будет выражено из $\frac{\partial F}{\partial \sigma}=0$ через $p, q, r$, то
\[
\frac{\partial F}{\partial p}=\frac{\partial G}{\partial p}
\]

в самом деле, если бы $G$ мы получили из $F$, заменив $\sigma$ произвольными функциями $p, q, r$, то
\[
\frac{\partial G}{\partial p}=\frac{\partial F}{\partial p}+\frac{\partial F}{\partial \sigma} \frac{\partial \sigma}{\partial p},
\]

и подобные же выражения имели бы место для соответственных производных по $q$ и $r$. Таким образом, уравнения (29) принимают вид
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial}{d s} \frac{\partial G}{\partial p}=r \frac{\partial G}{\partial q}-q \frac{\partial G}{\partial r}+\Gamma \gamma_{2}, \\
\frac{d}{d s} \frac{\partial G}{\partial q}=p \frac{\partial G}{\partial r}-r \frac{\partial G}{\partial p}-\Gamma \gamma_{1}, \\
\frac{d}{d s} \frac{\partial G}{\partial r}=q \frac{\partial G}{\partial p}-p \frac{\partial G}{\partial q} .
\end{array}
\]

Эти уравнения, в которых $G$ означает однородную функцию второй степени $p, q, r$ с постоянными коэффициентами, имеют такой же вид, как уравнения (17) седьмой лекции, которые относятся к вращению тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. Для полного их согласования достаточно положить в (34) $s=t, G=T$ и $\Gamma$ равным произведению веса тела на расстояние его центра тяжести от неподвижной точки. При этом значения девяти косинусов $\alpha, \beta, \gamma$ и величин $p, q, r$ будут одинаковы. Так как там за ось $z$ была принята прямая, проведенная через центр тяжести и неподвижную точку, а здесь осью $z$ является касательная к стержню, то получаем: тяжелое неизменяемое тело, вращающеесе вокруг неподвижной точки, всегда соответствует стержню в том смысль что прямая, проходящая через неподвижную точку и центр тяжести всегда параллельна касательной к оси стержня при условии, если $s=t$ Если решена задача о вращении, то, чтобы найти форму стержня, надо еще составить уравнения
\[
\xi=\int \alpha_{3} d s, \quad \eta=\int \beta_{3} d s, \quad \zeta=\int \gamma_{3} d s
\]
$\S 6$
Задача о вращении тяжелого тела вокруг неподвижной точки, как было разъяснено в седьмой лекции, неразрешима в общем виде. Решение возможно лишь в том случае, когда на тело не действует тяжесть. Это будет случай, когда $\Gamma=0$, т. е. сумма компонент сил давления по любому направлению, действующих на элементы конца стержня, обращается в нуль. Второй случай, когда задача о вращении может быть решена, это тот, когда тяжесть действует на тело, но телом является тело вращения, и неподвижная точка расположена на оси вращения. В данном случае это возможно тогда, когда между постоянными упругости стержня и постоянными его поперечного сечения существуют некоторые соотношения. Эти соотношения существуют, как это будет видно из изложенного, если вещество стержня изотропно и его поперечное сечение есть круг.
Для изотропного тела, по §1 предыдущей лекции,
\[
f=-K\left\{x_{x}^{2}+y_{y}^{2}+z_{z}^{2}+\frac{1}{2} y_{z}^{2}+\frac{1}{2} z_{x}^{2}+\frac{1}{2} x_{y}^{2}+\theta\left(x_{x}+y_{y}+z_{z}\right)^{2}\right\} .
\]

Поэтому из уравнений (20a) следует, что
\[
x_{x}=y_{x}=-\frac{\theta}{1+2 \theta} z_{z}, \quad x_{y}=0 .
\]
$У$ равнения (19) и (20) примут вид
\[
\frac{\partial^{2} w_{0}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} w_{0}}{\partial y^{2}}=0,
\]

и для $g=0$ будем иметь
\[
\left(\frac{\partial w_{0}}{\partial x}-r y\right) \frac{\partial g}{\partial x}+\left(\frac{\partial w_{0}}{\partial y}+r x\right) \frac{\partial g}{\partial y}=0 .
\]

Если мы предположим, что поперечное сечение стержня есть круг, то
\[
g=x^{2}+y^{2}-\text { const. }
\]

При этом значении $g$ из (35), (36) и (18) следует, что
\[
w_{0}=0 \text {. }
\]

Поэтому уравнения (15) дадут
\[
z_{z}=p y-q x+\sigma, \quad y_{z}=r x, \quad x_{z}=-r y .
\]

Следовательно,
\[
f^{2}=-K\left[\frac{1+3 \theta}{1+2 \theta}\left(p y-q x+\sigma^{2}+\frac{1}{2} r^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)\right] .\right.
\]

По (21), если воспользуемся определенными в (26) величинами $x$ и $\lambda$, будем иметь
\[
F=-K\left[\frac{1+3 \theta}{1+2 \theta} \frac{x}{2}\left(p^{2}+q^{2}\right)+\frac{x}{2} r^{2}+\frac{1+30}{1+2 \theta} \lambda \sigma^{2}\right] .
\]

Отсюда мы получим, наконец, для определяемой выражением (33) функции $G$ :
\[
G=-K \frac{x}{2}\left[\frac{1+3 \theta}{1+2 \theta}\left(p^{2}+q^{2}\right)+r^{2}\right] .
\]

Этим доказано указанное выше предложение, что для изотропного стерж ня круглого поперечного сечения $G$ – такая же функция $p, q, r$, как живая сила тела вращения, вращающая его вокруг точки оси симметрии, и кроме того показано, что общее решение уравнения (34) для стержня указанных свойств может быть найдено таким же путем, как для соответственной задачи о вращении тела в § 4 седьмой лекции. Мы ограничимся тем, что найдем решение для некоторого частного случая. Положим
\[
A_{11}=-K x \frac{1+3 \theta}{1+2 \theta}, \quad A_{33}=-K x
\]

и введем определяемые уравнениями (8) пятой лекции углы $\vartheta, \varphi, f$, причем $f$ здесь имеет значение, отличное от того, которое оно имело до сих пор. Тогда уравнения (34) примут вид
\[
\begin{array}{c}
A_{11} \frac{d p}{d s}=r q\left(A_{11}-A_{33}\right)+\Gamma \sin f \sin \vartheta, \\
A_{11} \frac{d q}{d s}=r p\left(A_{33}-A_{11}\right)-\Gamma \cos f \sin \vartheta, \\
\frac{d r}{d s}=0 .
\end{array}
\]

K ним мы добавим уравнения
\[
\begin{aligned}
\frac{d \vartheta}{d s} & =p \sin f-q \cos f, \\
\sin \vartheta \frac{d \varphi}{d s} & =p \cos f+q \sin f, \\
\frac{d f}{d s} & =\cos \vartheta \frac{d \varphi}{d s}-r,
\end{aligned}
\]

которые получаются из уравнений (21), (13) и (15) седьмой лекции при помощи уравнений (8) пятой лекции, если заменить $t$ на $s$. Заметим, что уравнениям (39) и (40) можно удовлетворить, предположив $\vartheta=$ const. Решение, которое имеется в этом предположении, именно то, какое мы хотим составить; оно соответствует движению тяжелого тела вращения, вращающегося вокруг точки оси симметрии, при котором эта ось описывает прямой конус вокруг вертикали. Если $\vartheta$ постоянно, то первое из уравнений (40) будет
\[
0=p \sin f-q \cos f,
\]

следовательно, можно написать
\[
p=\sqrt{p^{2}+q^{2}} \cos f, \quad q=\sqrt{p^{2}+q^{2}} \sin f,
\]

где знак перед $\sqrt{p^{2}+q^{2}}$ остается неопределенным.
Поэтому два первых уравнения из уравнений (39), если умножим их на $p$ и $q$ и сложим, дадут
\[
p^{2}+q^{2}=\text { const, }
\]

в то время как из третьего следует, что
\[
r=\text { const. }
\]

Далее, если обозначить произвольные ностоянные через $\varphi_{0}$ и $f_{0}$, то два последние уравнения (40) примут вид
\[
\varphi-\varphi_{0}=\frac{\sqrt{p^{2}+q^{2}}}{\sin \vartheta} s, \quad f-f_{0}=\left(\frac{\sqrt{p^{2}+q^{2}}}{\operatorname{tg} \theta}-r\right) s .
\]

Остается еще удевлетворить одному из двух первых уравнений (39). Подставим вместо $p$ или $q$ их значения из (41), тогда оно превратится в уравнение между постоянными, именно уравнение
\[
0=A_{11}-\frac{\sqrt{p^{2}+q^{2}}}{\operatorname{tg} \vartheta}-A_{33}+\Gamma \frac{\sin \vartheta}{\sqrt{p^{2}+q^{2}}} .
\]

Чтобы найти форму стержня, которая удовлетворяет составленным уравнениям, надо еще развернуть уравнения (34a). Положим в них соответственно уравнениям (8) пятой лекции
\[
\alpha_{3}=\cos \varphi \sin \vartheta, \quad \beta_{3}=\sin \varphi \sin \vartheta, \quad \gamma_{3}=\cos \vartheta ;
\]

при вычислении $\xi$ и $\eta$ примем во внимание, что, согласно (42),
\[
d s=\frac{\sin \vartheta}{\sqrt{p^{2}+q^{2}}} d \varphi
\]

и выберем надлежащим образом начало координат $\xi, \eta$, $\zeta$; тогда получим
\[
\xi=\frac{\sin ^{2} \vartheta}{\sqrt{p^{2}+q^{2}}} \sin \varphi, \quad \eta=-\frac{\sin ^{2} \theta}{\sqrt{p^{2}+q^{2}}} \cos \varphi, \quad \zeta=s \cos \vartheta .
\]

Стержень образует винтовую линию, ось которой есть ось $\zeta$, а радиус цилиндра, на котором она лежит, равен
\[
\frac{\sin ^{2} \vartheta}{\sqrt{p^{2}+q^{2}}}
\]

величина шага винта есть
\[
\frac{2 \pi \sin \vartheta \cos \vartheta}{\sqrt{p^{2}+q^{2}}} \text {. }
\]

Давление, которое должно быть произведено извне на концевое сечение стержня $s=0$, чтобы он находился в равновесии при произвольных заданных значениях постоянных $\forall, \sqrt{p^{2}+q^{2}}$ и $r$, можно определить из (43).

Чтобы получить полную аналогию между задачей о равновесии упругого стержня и задачей о вращении тяжелого твердого тела, мы выбрали ось $\zeta$ так, чтобы $\Gamma$, если оно не обращается в нуль, было отрицательным. Основываясь на этом предположении, мы рассмотрим его как условие, которому должны удовлетворять значения $\vartheta, \sqrt{p^{2}+q^{2}}, r$, чтобы из уравнения (41) не получались положительные значения $\Gamma$. Это условие отпадает, если мы откажемся (что мы и сделали) от полноты аналогии и оставим положительные и отрицательные значения для $\Gamma$. Остается еще найти моменты $M_{\alpha}, M_{\beta}, M_{\uparrow}$. Прежде всего из (33), (37) и (38) получим
\[
M_{x}=A_{11} p, M_{y}=A_{11} q, M_{z}=A_{33} r ;
\]

вместо этого по (4) можно написать
\[
\begin{array}{l}
M_{x}=A_{11} \frac{\sqrt{p^{2}+q^{2}}}{\sin \vartheta} \gamma_{1}, M_{y}=A_{11} \frac{\sqrt{p^{2}+q^{2}}}{\sin \vartheta} \Upsilon_{2}, \\
M_{2}=A_{11} \frac{\sqrt{p^{2}+q^{2}}}{\sin \vartheta} \gamma_{3}+A_{33} r-A_{11} \frac{\sqrt{p^{2}+q^{2}}}{\operatorname{tg} \vartheta} .
\end{array}
\]

Подставив эти значения в уравнения (28), опираясь на соотношения между девятью косинусами $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots$ и на уравнения (43) и (44), найдем
\[
\begin{array}{c}
M_{\alpha}=0, M_{\beta}=0, \\
M_{\gamma}=A_{11} \sqrt{p^{2}+q^{2}} \sin \vartheta+A_{33} r \cos \vartheta
\end{array}
\]

Упомянем еще один относящийся сюда частный случай. Если между постоянными $\vartheta, \sqrt{p^{2}+q^{2}}, r$ существует соотношение
\[
\operatorname{tg} \vartheta=\frac{\sqrt{p^{2}+q^{2}}}{r},
\]

то $f$, как это следует из (42), постоянно, именно равно $f_{0}$. Тогда, по (41), будут постоянны также $p$ и $q$, как и $r$. Трем величинам $p, q, r$ могут быть даны любые постоянные значения, причем надо только надлежащим образом выбрать величины $\sqrt{p^{2}+q^{2}}, f_{0}, r$. Следовательно, случай, когда $p, q, r$ постоянны, входил в рассмотренный прежде. Так же и в этом случае стержень образует винтовую линию; радиус цилиндра, на котором она лежит, равен
\[
\frac{\sqrt{p^{2}+q^{2}}}{p^{2}+q^{2}+r^{2}} ;
\]

величина шага винта равна
\[
\frac{2 \pi r}{p^{2}+q^{2}+r^{2}},
\]

на основании выражений (45) и (46), если принять во внимание, что из (47) следует, что
\[
\cos \vartheta=\frac{r}{\sqrt{p^{2}+q^{2}+r^{2}}}, \quad \sin \vartheta=\frac{\sqrt{p^{2}+q^{2}}}{\sqrt{p^{2}+q^{2}+r^{2}}},
\]

где знак корня $\sqrt{p^{2}+q^{2}+r^{2}}$ должен быть определен соответствующим образом.
$\S 7$
Рассмотрим теперь пример на равновесие изотропного искривленного в естественном состоянии стержня. Согласно сделанному в конце §2 разъяснению, чтобы перейти от случая первоначально прямого изотропного стержня к случаю первоначально искривленного, мы должны поставить в выражение функцию $f$ вместо $p, q, r, p-p^{\prime}, q-q^{\prime}, r-r^{\prime}$, где $p^{\prime}, q^{\prime}, r^{\prime}$ представляют значения, которые получат $p, q, r$, если стержень из состояния, когда он был прямым, перейдет в свое естественное состояние. Произведем эту подстановку в $F$ и $G$; тогда останутся в силе все те заключения, которые были связаны с функцией $f$ в 4 и 5, и будут иметь место уравнения (34).

Если поперечное сечение стержня есть круг, тогда вместо уравнений (39) будем иметь следующие:
\[
\begin{array}{l}
A_{11} \frac{d\left(p-q^{\prime}\right)}{d s}=A_{11} r\left(q-q^{\prime}\right)-A_{33}\left(r-r^{\prime}\right)+\Gamma \sin f \sin \vartheta \\
A_{11} \frac{d\left(q-q^{\prime}\right)}{d s}=A_{33} p\left(r-r^{\prime}\right)-A_{11} r\left(p-p^{\prime}\right)-\Gamma \cos f \sin \vartheta \\
A_{33} \frac{d\left(r-r^{\prime}\right)}{d s}=A_{11}\left[q\left(p-p^{\prime}\right)-p\left(q-q^{\prime}\right)\right] .
\end{array}
\]

K ним надо добавить неизмененными уравнения (40).

Функции $p^{\prime}, q^{\prime}, r^{\prime}$, вообще говоря, будут функциями $s$, которые обусловлены начальной формой стержня. Предположим, что они постоянны, исходя из сделанного в конце предыдущего параграфа примечания, что первоначально стержень представляет винтовую линию. Тогда уравнениям (49) и (40) можно удовлетворить предположением, что $p, q, r$ есть также постоянные, т. е. предположением, что стержень останется винтовой линией. При таком предположении последнее из уравнений (49) дает
\[
\frac{p^{\prime}}{p}=\frac{q^{\prime}}{q}
\]

и оба других сведутся к одному
\[
0=A_{11} r\left(1-\frac{p^{\prime}}{p}\right)-A_{33}\left(r-r^{\prime}\right)+\frac{\Gamma}{\sqrt{p^{2}+q^{2}+r^{2}}},
\]

если воспользоваться тем, что по (41) и (48)
\[
\sin f \sin \vartheta=\frac{q}{\sqrt{p^{2}+q^{2}+r^{2}}}, \quad \cos f \sin \vartheta=\frac{p}{\sqrt{p^{2}+q^{2}+r^{2}}} .
\]

Но уравнения (40) будут выполнены, если положить
\[
\begin{aligned}
\cos \theta & =\frac{r}{\sqrt{p^{2}+q^{2}+r^{2}}}, \\
\varphi & =\varphi_{0}+s \sqrt{p^{2}+q^{2}+r^{2}}, \\
\operatorname{tg} f & =\frac{q}{p} ;
\end{aligned}
\]

Эти уравнения выведены в предыдущем параграфе из уравнений (40) в предположении, что $\vartheta$ и $f$ постоянны.
Тогда далее получим
\[
\xi=\frac{\sqrt{p^{2}+q^{2}}}{p^{2}+q^{2}+r^{2}} \sin \varphi, \quad \eta=-\frac{\sqrt{p^{2}+q^{2}}}{p^{2}+q^{2}+r^{2}} \cos \varphi, \quad \zeta=\frac{r}{p^{2}+q^{2}+r^{2}} s,
\]

и если воспользуемся тем, что
\[
M_{x}=A_{11}\left(p-p^{\prime}\right), \quad M_{y}=A_{11}\left(q-q^{\prime}\right), \quad M_{z}=A_{33}\left(r-r^{\prime}\right),
\]

то будем иметь
\[
\begin{array}{c}
M_{\alpha}=0, M_{\beta}=0, \\
M_{\Upsilon}=A_{11} \frac{p^{2}+q^{2}}{\sqrt{p^{2}+q^{2}+r^{2}}}\left(1-\frac{p^{\prime}}{p}\right)+A_{33} \frac{r\left(r-r^{\prime}\right)}{\sqrt{p^{2}+q^{2}+r^{2}}} .
\end{array}
\]
23
r. Кирxroф