$\S 1$

До сих пор мы изучали движение жддкости только в предположении, что ее можно рассматривать как несжимаемуо; теперь будем учитывать изменение ее плотности. К явленияи, которые нам придется здесь изучать, относятся преимущественно ззукозые колгбания воздуха. Будем под жидкостью здесь подразумевать возд $y$, хотя пролзводимые вычисления пригодны для всякой жидкости. Предполож ми, что существует потенциал скоростей, что силы не действуюг и скојость всюлу изменяется непрерывно. Обозначим для точки $(x, y, z)$ в момент $t$ через ч потенциал скоростей, через $p$ – давление, через $\mu$ – плотность. Тогда из уравнений (20), (21) и (6) пятнадцатой лекции получим
\[
\begin{array}{c}
-P=\frac{\partial \varphi}{\partial t}+\frac{1}{2}\left[\left(\begin{array}{l}
\partial \varphi \\
\partial x
\end{array}\right)^{2}+\left(\begin{array}{l}
\partial \varphi \\
\partial y
\end{array}\right)^{2}+\left(\begin{array}{c}
\partial \varphi \\
\partial z
\end{array}\right)^{2}\right], \\
0=\frac{\partial \mu}{\partial t}+\frac{\partial\left(\mu \frac{\partial \varphi}{\partial x}\right)}{\partial x}+\frac{\partial\left(\mu \frac{\partial \varphi}{\partial y}\right)}{\partial y}+\frac{\partial\left(\mu \frac{\partial \varphi}{\partial z}\right)}{\partial z}, \\
P=\int_{\mu}^{d p}
\end{array}
\]

где обозначенный через $P$ интеграл можн вычислить из соотношения, существуюцего между $p$ и $\mu$, прлчем ніжнй предел интеграла может быть выо́ран произвольно. $M$ м огрднячиися исследованием случая, когда скорости, так же как изиененяя дэвләняя и плогности, можно рассматривать как бесконечно малые. Прежде всего тогда можно положить
\[
d p=a^{2} d \mu \text {, }
\]

где через $a$ обозначено положттельное постоянное, которое, как мы увидим, представляет скорость распрогтранения звука в воздухе. Положим далее
\[
\mu=\mu_{0}(1+\sigma),
\]

причем под $\mu_{0}$ мы будем понимать постоянное, бесконечно мало отличающееся от $\mu$; величину $\sigma$ мы назовем сгущением в точке $(x, y, z)$ в момент $t$.

Примем во внимание только члены низшего порядка; тогда, полагая, что $\sigma$ и $P$ одновременно обращаются в нуль, из (3), (4) и (5) будем иметь
\[
P=a^{2} \sigma,
\]

а из (1) и (2)
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{\partial \varphi}{\partial t}+a^{2} \sigma=0, \\
\partial s+\Delta \varphi=0 .
\end{array}\right\}
\]

Отсюда найдем для $\varphi$ дифференциальное уравнение в частных производных
\[
{ }_{\partial t^{2}}^{\partial^{2} \varphi}=a^{2} \Delta \varphi
\]

По определению потенциала скоростей, $\frac{\partial \varphi}{\partial x}, \frac{\partial \varphi}{\partial y}, \frac{\partial \varphi}{\partial z}$ являются компонентами скорости, и по уравнению (6) выражение $-\frac{1}{1} \partial \varphi$ есть сгущение в точке $(x, y, z)$ в момент $t$. Поэтому все эти величины будут найдены, если известна $\varphi$ как функция $x, y, z, t$ с точностью до постоянного, независимого от этих четырех аргументов. Докажем, что уравненнем (7) $\varphi$ вполне определено, если $\varphi$ и $\frac{\partial \varphi}{\partial t}$ будут даны для $t=0$ как функции $x, y, z$, и для всех элементов поверхности, ограничивающей рассматриваемую массу воздуха, $\frac{\partial \varphi}{\partial n}$ будет дано как функция $t$, и ч будет предположено непрерывным. Обозначим через $d \tau$ объем, занимаемый элементом массы воздуха в момент $t$; умножим уравнение (7) на $\frac{\partial \varphi}{\partial t} d \tau$ и проинтегрируем по $\tau$. Тогда уравнение (7) перейдет в следующее:
\[
\frac{d}{d t} \int\left(\begin{array}{c}
\partial \varphi \\
\partial t
\end{array}\right)^{2} d \tau=2 a^{2} \int_{\partial t}^{\partial \varphi} \Delta \varphi d \tau
\]

так как член, который при раскрытии левой части (8) появится в ней вследствие того, что $d \tau$ изменяется с временем, будет высшего порядка малости сравнительно с остальными членами. На этом же основании будем иметь

Правая часть зтого уравнения, а вместе с нею и левая, на основании выраженной уравнением (14) шестнадцатой лекции теоремы Грина, равна
\[
-2 \int_{\partial t}^{\partial \varphi} \Delta \varphi d \tau-2 \int_{\partial t}^{\partial \varphi} \partial \varphi d s
\]

где через $d s$ обозначен элемент поверхности массы воздуха и через $n$ – направленная внутрь этой массы нормаль к $d s$; это предложение применимо также и в том случае, когда $\varphi$ многозначно, так как все производные $\varphi$ по $x, y, z$ и $t$ однозначны. Поэтому уравнение (8) примег вид

Это выражает теорему живых сил для случая, который мы рассматриваем. Если для всех элементов поверхности, при всяком значении времени, $\frac{\partial \varphi}{\partial n}=0$, то найденное уравнение интегрируется и дает
\[
\int\left[\frac{1}{a^{2}}\left(\begin{array}{l}
\frac{\partial}{\partial t}
\end{array}\right)^{2}+\left(\begin{array}{c}
\partial \varphi \\
\partial x
\end{array}\right)^{2}+\left(\frac{\partial \varphi}{\partial y}\right)^{2}+\left(\begin{array}{c}
\partial \varphi \\
\partial z
\end{array}\right)^{2}\right] d \tau=C,
\]

где $C$ – не зависящая от $t$ величина. Если для $t=0$ всюду $\varphi$ и $\frac{\partial \varphi}{\partial t}$ обра. щаются в нуль, то $C=0$. Тогда $\varphi$ не зависит от $x, y, z, t$, т. е. всегда и везде $\varphi=0$. Итак, мы докажем, что если $\varphi$ удовлетворяет дифференциальному уравнению (7), для $t=0$ функции $\varphi$ и $\frac{\partial \varphi}{\partial t}$ обращаются в нуль, и на поверхности для всякого зчачения времени $\frac{\partial \varphi}{\partial n}=0$, то, вообще. $\varphi=0$. Огсюда следует, что если $\varphi_{1}$ и $\varphi_{2}$ удовлетворяют уравнению (7), для $t=0$ имеют место равенства
\[
\varphi_{1}=\varphi_{2} \text { и } \frac{\partial \varphi_{1}}{\partial t}=\frac{\partial \varphi_{2}}{\partial t},
\]

н на поверхности будет
\[
\frac{\partial \varphi_{1}}{\partial n}=\frac{\partial \varphi_{2}}{\partial n},
\]

то, вообще, имеем
\[
\varphi_{1}=\varphi_{2} .
\]

Для некоторого промежутка времени для каждой точки массы возду. ха $\varphi$ можно выразить более простым образом через значения $\varphi$ и $\frac{\partial \varphi}{\partial t}$, которые они имеют в начальный момент. Чтобы показать это, воспользуемся частным решением уравнения (7), которое выведем в следующем пара. графе.
$\S 2$
Предположим, что $\varphi$ не зависит от $x$ и $y$; тогда уравнение (7) перейдет в следующее:
\[
\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial t^{2}}=a^{2} \frac{\partial^{2} \varphi}{\partial z^{2}} .
\]

Положим
\[
x=z-a t, y=z+a t,
\]

причем величинам $x$ и $y$ дано новое значение; тогда получим
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial t^{2}}=a^{2}\left(\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial y^{2}}-2 \frac{\partial^{2} \varphi}{\partial x \partial y}\right), \\
\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial z^{2}}=\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial y^{2}}+2 \frac{\partial^{2} \varphi}{\partial x \partial y}
\end{array}
\]

следовательно, уравн ение (9) примет вид
\[
\frac{\partial^{2} \varphi_{-}}{\partial x \partial y}=0
\]

Отсюда следует, что $\frac{\partial \varphi}{\partial x}$ не зависит от $y$; поэтому $\varphi$ должно быть суммов̈ функции $x$ и функции $y$. Следовательно, общим решением уравнения (9) будет
\[
\varphi=F_{1}(z-a t)+F_{2}(z+a t),
\]

где $F_{1}$ и $F_{2}$ означают пролзвольные функа ии указанных аргументов.
Положим, что
\[
\varphi=F_{1}(z-a t),
\]

и $F_{1}$ имеет переменное значение только тогда, когда аргумент лежит между нулем и $\varepsilon$. Тогда в момент $t$ имеет переменное значение только тогда, когда $z$ лежит между at и at $+\varepsilon$, и именно то самое значение, которое должно быть для этого момента $t$. Говорят: волна постоянной формы распространяется в направлении оси $z$ со скоростью $a$.
Если
\[
\varphi=F_{2}(z+a t),
\]
$F_{2}$ имеет переменное значение только тогда, когда аргумент лежит внутри некоторого интервала, то мы имеем волну, которая распространяется с той же скоростью в противопэлож тои направлении. Самое общее движение, представляемое уравнением (10), соответствует случаю, когда имеются две волны или две системы волн, которые распространяются со скоростью $a$ в направлении оси $z$ и в противоположном.

Предположим, что имеется твердая сте нка, для которой $z=l$, так что для этого значения $z$ всегда должно быть $\frac{\partial \chi}{\partial z}=0$. Пусть для рассматриваемой массы воздуха $z<l$ и $t$ положительно, и пусть в момент $t=0$ имеется одна волна, которая двжжется в направлении оси $z$, но не достигает этой стенки. Тогда для $t=0$ и для достаточно малых значений $t$ имеем
\[
\varphi=F_{1}(z-a t) ;
\]

функция $F_{1}(x)$ будет при этом определена для всех значений $x$, которые меньше $l$, с точностью до дојавочной постоянной, через сгущения или через скорости, которые имеог место в момент $t=0$. Она будет вполне огрєделена для этих значений $x$, если мы еще примем, что $F_{1}(x)=0$, когда $x$ близко к значению $l$. Применим уравнение (10) к нашему случаю; тогда мы должны положить $F_{2}(y)=0$ для всех значений $y$, меньших $l$; для больших значений аргумента определим $F_{2}$ из условия, которое должно быть выполнено для $z=l$.

Действительно, обозначим через $F_{1}^{\prime}$ и $F_{2}^{\prime}$ производные от $F_{1}$ и $F_{2}$, взятые по их аргументам; тогда для положительных значений $t$ должно быть
\[
F_{1}^{\prime}(l-a t)+F_{2}^{\prime}(l+a t)=0,
\]

нли, если положим, что для всех значений $y$, больших $l, y=l+a t$, то
\[
F_{2}^{\prime}(y)=-F_{1}^{\prime}(2 l-y) .
\]

Проинтегрируем это уравнение, умножив его на $d y$ и выбрав постоянные интегрирования так, чтоб́ы $F_{2}(y)$ оггавалась непрерывной при $y=l$; тогда получим
\[
F_{2}(y)=F_{1}(2 l-y) .
\]

Это уравнение применимо только для случая, когда $y>l$; его можно распространить также и на случай, когда $y<l$, в котором $F_{2}(y)=0$, если $F_{1}(x)$, определенная до сих пор только для значений $x$, меныших, чем $l$. Мы примем значения $x>l$ равными нулю. Тогда в общем случае будем иметь
\[
\varphi=F_{1}(z-a t)+F_{1}(2 l-z-a t) .
\]

Второй член в этом выражении представляет волну, которая движется в направлении, противоположном оси $z$; о ней говорят, что она отражен. ная, так как она возникает вследствие отражения от стенки при $z=l$.

Мы еще упростим рассматриваемый случай, предположив, что $l$ бесковечно велико и $F_{1}(x)$ обращается в нуль для бесконечно больших положительных значений $x$. Тогда для конечных значений $t$ уравнение (11) будет
\[
\varphi=F_{1}(z-a t),
\]
г. е. движение происходит так, как если бы стенки при $z=l$ не было Для бесконечно больших значений $t$ последнее уравнение неприменимо В любом месте оно удовлетворяется до тех пор, пока отраженная от стенки волна не достигнет его.

Мы исследовали плоскую волну, теперь рассмотрим сферическущ. Положим
\[
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}
\]

и допустим, что, помимо $t, \varphi$ зависит еще только от $r$. Так как в эток случае
\[
\Delta \varphi=\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial r^{2}}+\frac{2}{r} \frac{\partial \varphi}{\partial r},
\]
ro уравнение (7) перейдет в
\[
\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial t^{2}}=a^{2}\left(\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial r^{2}}+\frac{2}{r} \frac{\partial \varphi}{\partial r}\right),
\]

или, по умножении на $r$, в
\[
\underset{\partial t^{2}}{\partial^{2}(\varphi r)}=a^{2} \frac{\partial^{2}(r \varphi)}{\partial r^{2}} .
\]

Это уравнение того же вида, как (9); его общим решением является
\[
\varphi=\frac{1}{r} F_{1}(r-a t)+\frac{1}{r} F_{2}(r+a t),
\]

где $F_{1}$ и $F_{2}$ – по-прежнему произвольные функции.
Этим уравнением представлены две системы шаровых волн, из кота рых одна распространяется от начала наружу, другая же идет снаружь к исходной точке со скоростью a. Но при расирсстранении этих волв скорость и изменение плотности не повторяются от волны к волне, кав в случае плоских волн. Всләдс твие множителя ! , эти величины пр расширяющихся волнах убывают, а при сходящихся возрастают.
§ 3
Теперь все подготовлено к доказательству предложения, сформулирс ванного в конце § 1 . Пусть $U$ и $V$ – две функции прямоугольных коор динат $x, y, z$, которые вместе со своими первыми производными непре рывны внутри ограниченного односвязного объема, $d \tau$-элемент этоге объема, $d s$ – элемент его поверхности и $n$ – направленная внутрь нормаль $\kappa d s$. Тогда по теореме Грина имеем
\[
\int d \tau(U \Delta V-V \Delta U)=\int d s\left(V_{\partial n}^{\partial U}-U \frac{\partial V}{\partial n}\right) .
\]

В этом уравнении положим $U$ равным потенциалу скоростей $\varphi$, здесь рассматриваемому, т. е. удовлетворяющему уравнению (7), и выберем $V$ гак, чтобы было
\[
{ }_{\partial t^{2}}{ }^{2}=a^{2} \Delta V \text {. }
\]

Гогда имеем
\[
\begin{array}{c}
\int d \tau(\varphi \Delta V-V \Delta \varphi)={ }_{a^{2}}^{1} \int d \tau\left(\varphi \frac{\partial^{2} V}{\partial t^{2}}-V \frac{\partial^{2} \varphi}{\partial t^{2}}\right)= \\
=-\frac{1}{a^{2}} \frac{\partial}{\partial t} \int d \tau\left(\varphi \frac{\partial V}{\partial t}-V_{\partial t}^{\partial t}\right),
\end{array}
\]
t, следовательно, получим, если обозначим через $T$ любое значение $t$,
\[
\int_{0}^{T} d t \int d s\left(V_{\partial n}^{\partial \varphi}-\varphi \frac{\partial V}{\partial n}\right)={ }_{a^{2}}^{1}\left[\int d \tau\left(\varphi \frac{\partial V}{\partial t}-V \frac{\partial \varphi}{\partial t}\right)\right]_{0}^{T} .
\]

Зозьмем начало коор ұинат в лојой точке объема воздуха, к которому этносится $\varphi$, и полэжим
\[
V=\frac{F(r+a t)}{r}, r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} .
\]

Из смысла уравнения (12) следует, что $V$ удовлетворяет установленному для него дифференциальному уравнению в частных производных. Относительно функшии $F$ мы примем, что она имеет отличные от нуля значения только тогда, когда ее аргумент лежит между $a t^{\prime}$ и $a t^{\prime}+\varepsilon$; здесь функция $F$ положительна. Пусть при этом
\[
\begin{array}{c}
0<a t^{\prime}<a t^{\prime}+\varepsilon<a T, \\
\int_{a t^{\prime}}^{a t^{\prime}+\varepsilon} F(r) d r=1
\end{array}
\]
$1 \varepsilon$ бесконечно мало. Тэгда $F(r)$ дэл к иметь бесконечно большое знаqение порядка $\frac{1}{e}$. Огранич и объеи, элемент которого $d \tau$, двумя шаровыми поверхностями, общий центр которых лежит в начале координат. Радиус одной из шаровых поверхнсстей бесконечно мал по сравнению с $\varepsilon$. Радиус другой $-R$ равен кратчайшему расстоянию от начала корданат до поверхности объема воздуха, к которому относится $\varphi$. Вельчина $t^{\prime}$ должна быть при этом выбрана так, чтојы
\[
a t^{\prime}+\varepsilon<R \text {. }
\]

Прежде чем с учетом эгих предполэжений раскрыть уравнение (13), наметим, что интеграл
\[
\int d s\left(V_{\partial n}^{\partial \varphi}-\varphi \frac{\partial V}{\partial n}\right),
\]

распространенный по шару рддуса $R$, обращается в нуль для !сех положительных значений $t$, потому чго $V$ и $\frac{\partial V}{\partial n}$ (или, что то же самое, $-\frac{\partial V}{\partial r}$ ) для них равны нуло. Иатегралы, рлпреграненные по бесконечно малоиу шару, равны
\[
\begin{array}{c}
\int d s V{ }_{\partial n}^{\partial \varphi}=0, \\
\int d s \varphi \frac{\partial V}{\partial n}=-4 \pi \varphi_{0} F(a t),
\end{array}
\]

где $\varphi_{0}$ – значение $\varphi$ в точке $r=0$ в момент $t$, как в этом легко убедимся, если выразим $d s$ в полярных координатах. Пээтому, произведя интегрирование по $t$, найдем, что левая часть уравнения (13) равна
\[
{ }_{a}^{4 \pi} \varphi_{0},
\]

где $\varphi_{0}$ относится к моменту $t^{\prime}$.
Выражение, стоящее в прямых скобках правой часги уравнения (13), обращается в нуль при $t=T$, потом;; что $V$ и $\frac{\partial V}{\partial t}$ при этом равны нулю. Чтобы вычислить значение этого выражения при $t=0$, введеи полярные координаты $r, \vartheta, \omega$ и обозначим через $F^{\prime}$ прэизводную функцию $F$ по ее аргументу. Тогда правая часть урнвленая (13) будет
\[
a^{2} \iiint \sin \vartheta l \vartheta d \omega r d r\left[F(r)_{\partial t}^{\partial \varphi}-a F^{\prime}(r) \varphi\right],
\]

где надо положить $t=0$ в $\varphi$ и в $\frac{\partial \varphi}{\partial t}$ и интегрировать по $\theta$ от нуля до $\pi$, по (1) – от нуля до $2 \pi$ и по $r$-от нуля до $R$.
Интегрирование по $r$ можно выполнить. Действительно, имеем
\[
\begin{array}{l}
\int_{0}^{R} r d r F(r) \frac{\partial \varphi}{\partial t}=a t^{\prime} \frac{\partial \varphi}{\partial t}, \\
\int_{0}^{R} r d r F^{\prime}(r) \varphi=[r \varphi F(r)]_{0}^{R}-\int_{0}^{R} \partial(r \varphi) F(r) d r=-\frac{\partial\left(t^{\prime} \varphi\right)}{\partial t^{\prime}} . \\
\end{array}
\]

где в $р$ и $\frac{\partial \varphi}{\partial t}$ в правой части равенства положено $r=a t^{\prime}$. Поэтому уравнение (13) дает
\[
4 \pi \varphi_{0}=\iint \sin \vartheta d \vartheta d \omega\left(t^{\prime} \frac{\partial p}{\partial t}+\frac{\partial\left(t^{\prime} \varphi\right)}{\partial t^{\prime}}\right) .
\]

Это выражение определяет значенне $\varphi$ в точке $r=0$ в момент $t$ по значеняям $\frac{\partial \varphi}{\partial t}$ на шаровой поверхности и значение $\varphi$ в точках, олизких к шаровой поверхности, описанной рачиусом $a t^{\prime}$ вэкруг точки $r=0$. в момент t. Эга точка может быть прэ ғзэльно выбана в рассматр.іваемом объеме воздуха и $t^{\prime}$ также мэжег быть взяго прздзвльнэ, только оно должно лежать в интервале от нуля до ${ }_{a}^{R}$. Если $\varphi$ и $\partial \varphi$ при $t=0$ даны всюду, то таким образом мэжно опре челить $\varphi$ в каж ұой точке и для некоторого промежутка времени. Есл об́ъем воздуха рассматривать как беспредельный, то тогда $\varphi$ определ пся вплле.
§ 4
Раньше мы нашли движение твер цого тела в неподвижной жидкости, предполагая, что ее можно рассматрлвать как несжимаену о. Геперь мы рассмотрим движение твердого тела прл прэстейшхх предполэжениях, учитьвая изменение плотности ждцкости. Рассмотрим движение, для которого
\[
\varphi=\frac{\partial}{\partial z}\left[\begin{array}{c}
F(r-a t) \\
r .
\end{array}\right],
\]

где через $r$ по-прежнему обозначенз л иния, проветенная из начала координат в точку, к когорой огнослгея $\varphi ; F$ – некоторая функция, которой мы можем произвольно распорядиться. Это выражение можно принять за потенциал скоростей, так как оно удовлетворяет уравнению (7). Равнозначацим уравнению (14) будет уравнение
\[
\varphi=\frac{\partial}{\partial r}\left[\frac{F(r-a t)}{r}\right] \begin{array}{l}
\partial r \\
\partial z
\end{array},
\]

или
\[
\varphi=\frac{\partial}{\partial r}\left\lceil\frac{F(r-a t)}{r}\right\rceil \cos \vartheta,
\]

єсли мь обозначим через $\vartheta$ угол между направлением оси $z$ и $r$. Тогда компоненту скорости частйы воздуха по направлению $r$, т. е. $\frac{\partial \varphi}{\partial r}$, определим из уравнения
\[
\frac{\partial \varphi}{\partial r}=\partial^{2}\left[\frac{F(r-a t)}{\partial r^{2}}\right] \cos \vartheta^{2}
\]

Пусть $R$ будет частное значение $r$ и
\[
\frac{\partial^{2}}{\partial R^{2}}\left[\frac{F(R-a t)}{R}\right]=f(t) .
\]

Тогда для $r=R$ имеем
\[
\frac{\partial \varphi}{\partial r}=f(t) \cos \vartheta
\]

Отсюда следует, что уравнение (14) годится для случая, когда твердый шар радиусом $R$, центр которого расположен бесконечно близко от начала координат, движется в направлении оси $z$ так, что $f(t)$ есть его бесконечно малая скорость в момент $t$. Если $f$ – произвольная функция, то уравнение (15) послужит для определения $F$. Действительно, обозначив первую и вторую производные функции $F$ по ее аргументу через $F^{\prime}$ и $F^{\prime \prime}$, будем иметь
\[
\frac{\partial^{2}}{\partial R^{2}}\left[\frac{F(R-a t)}{R}\right]=\frac{2}{R^{3}} F(R-a t)-\frac{2}{R^{2}} F^{\prime}(R-a t)+\frac{1}{R} F^{\prime \prime}(R-a t) .
\]

Положим
\[
F(R-a t)=U(t) \text {, нли, короче, } U \text {; }
\]

и уравнение (15) примет вид
\[
\frac{2}{R^{3}} U+\frac{2}{a R^{2}} \cdot \frac{c U}{d t}+\frac{1}{a^{2} R} \frac{d^{2} U}{d t^{2}}=f(t) .
\]

Интегрирование этого уравнения не представляет никакой трудности. Пусть $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$ будут корни квадратного уравнения
\[
2{ }_{R^{2}}^{a^{2}}+2{ }_{R}^{a} \lambda+\lambda^{2}=0,
\]
т. е. пусть
\[
\lambda_{1}=-\frac{a}{R}(1+i), \quad \lambda_{2}=-{ }_{R}^{a}(1-i), \quad i=\sqrt{-1} ;
\]

гогда будем иметь
\[
U=U_{1} e^{\lambda_{1} t}+U_{2} e^{\lambda \cdot t},
\]

если $U_{1}$ и $U_{2}$ будут определены как функции $t$ из уравнений
\[
\begin{array}{c}
\frac{d U_{1}}{d t} e^{\lambda_{1} t}+\frac{d U_{2}}{d t} e^{\lambda_{2} t}=0, \\
\lambda_{1} \frac{d U_{1}}{d t} e^{\lambda_{1} t}+\lambda_{2} \frac{d U_{2}}{d t} e^{\lambda_{2} t}=a^{2} R f(t),
\end{array}
\]
т. е. если
\[
U_{1}=\frac{a^{2} R}{i_{1}-\lambda_{2}} \int f(t) e^{-\lambda_{1} t} d t, \quad U_{2}=\frac{a^{2} R}{\lambda_{2}-\lambda_{1}} \int f(t) e^{-\lambda_{2} t} d t,
\]

где нижними границами обоих интегралов являются произвольные постоянные. Если определим $U$, то $\varphi$ найдем из (14) и (16); второе из них дает
\[
F(r-a t)=U\left(t-\frac{r-R}{a}\right) \text {. }
\]

Предположим относительно функции $f(t)$, что она обращается в нуль при всех отрицательных значениях $t$, т. е. что шар начинает двигаться в момент $t=0$. Положим одновременно, что нижний предел обоих интервалов в выражениях $U_{1}$ и $U_{2}$ равен нулю; тогда $U(t)$ обратится в нуль при всех отрицательных значениях $t$; также обратятся в нуль $\varphi$ и $\frac{\partial \varphi}{\partial t}$ при $t=0$ и при $r>R$. Следовательно, сделанные предположения соответствуют случаю, когда при $t=0$ скорость и сгущение для всех частиц воздуха равны нулю. При этом
\[
F(r-a t)=0, \text { если } a t<r-R ;
\]

любая частица воздуха остается в покое, пока существует это неравенство. Для положительных значений $t f(t)$ может еще быть выбрана произвольно. Предположим для нее
\[
f(t)=c,
\]

где $c$ означает постоянное, или (что в результате приводит к тому же) предположим, что в то время, как $t$ возрастает от нуля до бесконечно малого значения, $f(t)$ растет непрерывно от нуля до постолнного значения $c$. Тогда получим
\[
U(t)=\frac{a^{2} R c}{\lambda_{1}-\lambda_{2}}\left[\frac{1}{\lambda_{1}}\left(e^{\lambda_{1} t}-1\right)-\frac{1}{\lambda_{2}}\left(e^{\lambda_{2} t}-1\right)\right] .
\]

или, если ввести значения $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$,
\[
U(t)=\frac{R^{3} c}{2}\left[1-\sqrt{2} e^{-\frac{a t}{r^{r}}} \cos \left(\begin{array}{c}
a t \\
R
\end{array}-\frac{\pi}{4}\right)\right] .
\]

Отсюда по (18), при at $>r-R$, имеем
\[
F(r-a t)=\frac{R^{3} c}{2}\left[1-\sqrt{2} e^{\frac{r-R-a t}{R}-r} \cos \left(\frac{r-R-a t}{R}+\frac{\pi}{4}\right)\right] .
\]

Для очень больших значений $t$ будет
\[
F(r-a t)=\frac{R^{3} c}{2},
\]

и потенциал скоростей получит то же значение, как прежде, при нахождении движения шара в несжимаемой жидкости.

Так же легко вычислить $U$ и в том случае, если для положительных значений $t$ будет
\[
f(t)=c \cos x a t,
\]

где $x$ – постоянное. Мы легче придем к цел: если воспользуемся замечанием, что функция, принимаемая за $f(t)$, представляет действлгельную часть выражения $c e^{i \kappa a t}$; введем эту показательную функцию вместо $f(t)$ в выражение для $U$ и затем удержим его действительную часть. Эгот спосоо́ верен потому, что если мы положим $f(t)$ равным сумме двух функций $t$, то получим для $U$ сумму таких выражений, которые будут иметь место для $U$, если положить $f(t)$ равным той илх другой из предыдуцих функций; сверх того, $U$ должно быть действттельно, есля действительно $f(t)$. Тогда найдем, что $U(t)$ равно действ.тельной части выражения
\[
\frac{R^{3} c}{2}\left\lfloor\frac{e^{i \kappa a t}-e^{-\frac{\partial t}{R}} e^{-i \frac{i t}{R}}}{1+\alpha R-i}+\frac{e^{i
u a t}-e^{-\frac{\partial t}{R}} e^{i \frac{(t}{R}}}{1-\kappa R+i}\right] .
\]

Отсюда для очень больших значений $t$ получаем
\[
U=A \cos x t t+B \sin x t t,
\]

где $A$ и $B$ – постоянные. Так как это выражение для $U$ есть дейс інтельная часть выражения
\[
(A-i B)(\cos x \cdot t+i \sin x \cdot t),
\]

то она должна удовлетворять уравнению
\[
{ }_{2}^{R^{3} c}\left(\frac{1}{1+\varkappa R-1}+\frac{1}{1-x R+1}\right)=A-i B
\]

или уравнению
\[
A-i B=\frac{R^{3} c}{2-\varkappa^{2} R^{2}+i=2 R},
\]

откуда следует, что
\[
\begin{array}{l}
A=R^{3} c \begin{array}{c}
2-x^{2} R^{2} \\
4+x^{4} R^{4}
\end{array}, \quad B=R^{3} c \begin{array}{c}
2 x R \\
4+\chi^{4} R^{4}
\end{array}, \\
\sqrt{A^{2}+B^{2}=} \begin{array}{c}
R^{3} c \\
\sqrt{4}+x^{4} R^{4}
\end{array} \\
\end{array}
\]

Эти значения легко найти также из уравнения (17), есля полсгавить туда выражения $f(l)$ и $U$ из (19) и (20).
Для потенциала скоростей, пользуись (18) и (14), из (20) получим
\[
\varphi=\frac{\partial}{\partial r}\left[A \frac{\cos \varkappa(r-R-a t)}{r}-B \frac{\sin x(r-R-a t)}{r}\right] \cos \vartheta .
\]

При движении воздуха, как оно представлено этим уравнением, если ка лежит межау известными границами, суцествует простой тон. B’сота тона обусловливается названной выше величнной, или, что то же самое, прбдолжтельностью колгбания частицы воздуха; определим эту велячину как продолжительность двоӥного колејнн.ін, т. е. $2 \pi /$ х l. ’јратное этому количество называется числои колезан ий тона. Прогяжение, на когорое распространяется волна за время одного колебания, т. е. $2 \pi /$, назывдетея длимой волны тона. Под интг:сивно ть’о тона известной высоты мы будем подразумевать величину, которая пропорциональна квадрату наибольшего сгущения частиц воздуха, т. е. пропорциональна максимальному значению, которое получает $\left(\begin{array}{l}\partial p \\ \partial t\end{array}\right)^{2}$ для определенного момента времени. При движении воздуха, представленном уравнением (21), интенсивность тона зависит от $r$ и $\vartheta$; от $r$ – довольно сложным о.разом. Что касается $\vartheta$, то интенсивность просто пропорцнональна $\cos ^{2} 9$. Следовательно, она равна нулю в плоскости, проведенной через центр колеблющегося шара перпендикулярно к направлению колебаний.
$\S 5$
В восемнадцатой лекции мы разобрали случай, когда два бесконечно малых шара движутся в несжимаемой жи ткости. В этом случае длн всех частиц жидкости, не лежащих бесконечғ о близко к этим шарам, потенциал скоростей можно положить равным сумме зчачений, которые он имел оыы, если бы в жидкости был только один из двух шаров. Если же жиакость изменяет плотность, то это не имеет места. Представим себе. два бесконечно малых шара равных размеров, центры которых совершают бесконечно малые маятникообразные колебания по оси $z$, так чіо скорости их в каждый момент равны и противоположны го направлению. Пусть $r$ и $r^{\prime}$ – рісстояния точек, к которым откосится $\varphi$, от центров шаров; движение возтуха, аналогичное рассмотренному в конце пре,дыдущего параграфа, при соответствующем выборе начала счета времени, будет представлено уравнением
\[
\left.\varphi=C_{\partial z}^{\partial}\left[\begin{array}{c}
\sin x(r-a t) \\
r
\end{array}\right] \frac{\sin x\left(r^{\prime}-a t\right)}{r^{\prime}}\right],
\]

где $C$ – постоянное.
Найдем точки, в которых интенсивность тока равна нулю, т. е. $\frac{\partial \varphi}{\partial t}$ всегла обращается в нуль; для них получим

Обозначим через $\rho$ расстояние точки, к которой отнесится $\varphi$, от оси $z$; тогіз эти два уравнения будут уравнениями меж ду $\rho$ и $z$. Поэтому в общ:м случае интенсивность тона может ојратигься в нуль тольк на отдєльных окружностях, для которых общей осью является ось 2. Но мы получим поверхность, на которой интенсивность равна нулю, еслі $\frac{1}{2}$, т. е. если длина волны тона бесконечно велика по сравнению с $r$ и r’. Тогда переое из этих двух уравнений будет выполнено всюду, и вторюе обратится в
\[
\frac{\partial}{\partial z}\left(\begin{array}{c}
1 \\
r
\end{array}-\begin{array}{c}
1 \\
r^{\prime}
\end{array}\right)=0
\]

или в
\[
\frac{\partial}{\partial z}\left[\frac{1}{V(z-c)^{2}+p^{2}}-\frac{1}{V(z+c)^{2}+p^{2}}\right]=0,
\]

если для центров двух шаров будет $z=c$ и $z=-c$. Это уравнение представляет поверх́ность вращения, направляющая кривая которой имеет гиперсолическую форму, проходит через центры обоих шаров и имеет асимптоты, образующие с осью $z$ углы, кослнусы которых равны $\pm \sqrt{3}$ –

Опытным путем доказано, что вјлизи концов звучащего камертона находягся такие поверхности, по которым интенсивность тона обращается в нуль.