В основу данной книги положены лекции, прочитанные автором в Уральском государственном университете им. А. М. Горького для студентов-математиков старших курсов. Эти лекции посещали также научные работники и инженеры, интересующиеся приложением методов теории устойчивости. Указанное обстоятельство явилось причиной ряда специфических особенностей предлагаемого курса. С одной стороны, автором руководило стремление дать слушателям-математикам представление о современном уровне развития теорич устойчивости, показать связь этой теории с другими областями математики, познакомить с новейшими методами исследования, наконец, изложить результаты самого автора и его учеников. С другой стороны, автор понимал, что слушатели не должны были уходить с лекций, унося в голове только голые математические конструкции. Поэтому на лекциях каждый математический факт обсуждался с точки зрения его применимости и ценности в прикладных вопросах. К сожалению, мы не нашли возможным включить все такие обсуждения в эту книгу, однако специфика подбора материала отражает в достаточной степени указанную выше ситуацию.

В первой главе рассматриваются вопросы метода функцић Ляпунова. Этот метод был развит в книге А. М. Ляпунова «Общая задача об устойчивости движения», вышедшей из печати в 1892 г. Дальнейшему развитию метода функций Ляпунова были посвящены известные монографии А. И. Лурье [22], Н. Г. Четаева [26], И. Г. Малкина [8], А. М. Летова [23], Н. Н. Красовского [7], В. И. Зубова [138] у нас в СССР и Ж. Ла-Салля, С. Лефшеца [11], В. Гана [137] за рубежом.

В нашей книге, далеко не претендующей на полноту, не изложены даже в полном объеме те теоремы, которые вошли в знаменитую монографию А. М. Ляпунова. Здесь нами расмотрены только автономные системы. В линеином случае мы ограничились обзором функций Ляпунова только в виде квадратичных форм. В нелинейном случае не обсуждается вопрос об обратимости теорем об устойчивости и неустойчивости.

С другой стороны, в первой главе подробно обсуждаются вопросы устойчивости при любых начальных возмущениях. Как известно, эта теория возникла в 1950-1955 rr. Первые сушественные результаты в этой области принадлежат Н.П.Еругину $[133-135,16]$. А. И. Лурье и И. Г. Малкину принадлежит заслуга привлечения $\mathrm{k}$ указанным вопросам метода функций Ляпунова. Значительную роль в развитии теории устойчивости в целом сыграли теоремы типа теорем 5.2, 6.3, 12.2, приведенных в первой главе. В этих теоремах свойство устойчивости обусловливается наличием функции Ляпунова, имеющеђ знакопостоянную, а не знакоопределенную, как это требуется в некоторых теоремах Ляпунова, производную по времени. Особая роль этих теорем объясняется тем, что почти любая попытка построения простых функций Ляпунова для нелинейных систем приводит к функциям с указанным свойством.

При изложении материала первой главы в любом удобном случае показывается методика построения функций Ляпунова. В конце главы даны примеры, каждый из которых представляет самостоятельный интерес.

Вторая глава посвящена вопросам устойчивости систем с переменной структурой. С математической точки зрения такие системы представляют весьма узкий класс систем дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями. Однако именно благодаря этому факту автору вместе с его сотрудниками удалось построить более или менее полную и стройную теорию для рассматриваемого класса систем. Следует отметить важность исследования устойчивости систем с переменной структурой, так как такие системы позволяют осуществлять стабилизацию объектов с существенно переменными параметрами. Часть результатов второй главы получена совместно с инженерами, которые осуществляли как разработку отдельных направлений теории, так и моделирование исследуемых систем.

Метод функций Ляпунова также нашел здесь свое применение, однако заинтересованны читатель может познакомиться с содержанием этой главы независимо от предыдущей.

В третьей главе обсуждаются вопросы устойчивости решений дифференциальных уравнений в банаховых пространствах. Намерение включить эту главу в книгу появилось в силу следующих обстоятельств. Прежде всего, к моменту начала работы над этой главой не было монографий и фундаментальных работ, посвященных указанным вопросам, за исключением статей Л. Массера и Д. Шеффера [94, 95, 139, 140]. Автором руководило также желание продемонстрировать роль методов функционального анализа в теории устойчивости. Первый результат в этом направлении принадлежит М. Г. Крейну [99]. В дальнейшем Л. Массера и Д. Шеффер, опираясь, в частности, на метод М.Г.Крейна, значительно развили теорию устойчивости в функциональных пространствах. К моменту завершения работы над этой главой вышла из печати книга М.Г. Крейна [75]. Однако различие научных интересов автора указанной выше книги и автора данной книги привело к тому, что пересечение результатов имеет место только в общих вопросах.

Отметим особенности изложения материала в третьей главе нашей работы. Нами дана трактовка задачи о накоплении возмущений как задача отыскания нормы оператора, преобразующего входной сигнал в выходной. Далее, значительное место уделено теоремам Л. Массера и Д. Шеффера, причем снова эти теоремы рассматриваются с точки зрения накопления возмущений, но уже на полубесконечном интервале времени.

В настоящее время стала очень распространенной точка зрения на устойчивость, как на устойчивость по отношению к возмущению входного сигнала. Предположим, что некоторое звено системы автоматического регулирования преобразует входной сигнал в некоторый сигнал. Закон преобразования этих сигналов задается некоторым оператором. Устойчивость состоит в том, что малое возмущение входного сигнала вызывает малое возмущение выходного сигнала. С математической точки зрения указанное своиство соответствует свойств непрерывности рассматриваемого оператора. Представляет интерес дать внутреннюю характеристику таких операторов. Как правило, эта характеристика сводится к описанию асимптотического поведения матрицы Коши (переходных функций). Именно в таком плане мы и рассматриваем результаты $\$ 5$ и 6 .

Следует заметить, что асимптотическое поведение матрицы Коши линеиной системы полностью характеризуется поведением реакции звена на импульсное возденствие. Таким образом, теоремы § 5 и 6 можно рассматривать как теоремы, описывающие поведение реакции системы на импульсный сигнал в зависимости от поведения системы при действии возмущении других типов. Поэтому большое внимание уделено вопросам преобразования импульсных воздействий. Здесь на базе понятия функций ограниченной вариации и понятия интеграла Стилтьеса строится элементарная теория устойчивости по отношению к импульсным воздействиям. Указанный подход позволяет рассматривать вопросы устойчивости в смысле Ляпунова (т. е. вопросы устойчивости по отношению к начальным возмущениям) и вопросы устоћчивости по отношению к постоянно действующим возмущениям с единой точки зрения.

Последний параграф третьей главы посвящен вопросам программного регулирования. Материал $\S 6$ и 7 изложен так, чтобы применение его для решения задачи осуществления движения по заданной траектории не представляло затруднений Единственное, что здесь потребовалось для развития теории, это привлечение методов и результатов теории среднеквадратических приближений.

Следует отметить, что третья глава требует от читателя несколько большей математической подготовки. В этой главе мы используем основные понятия функционального анализа, с которыми можно познакомиться, например, по книге [71]. Однако для удобства читателя все основные определения и положения функционального анализа, которыми мы пользуемся в третьей главе, приведены в $§ 1$ этой главы.

В конце книги приведена подробная библиография работ, имеющих отношение к вопросам, рассматриваемым в книге.

Автор благодарен Н. Н. Красовскому за ценные замечания и советы.
В. А. Табуева, Е. И. Геращенко, В. Л. Гасилов, С. Т. Завалишин, А. Ф. Клейменов, Л. В. Киселев указали мне ряд недочетов, допущенных при оформлении работы. Ю. К. Сергеев провел моделирование некоторых результатов второй главы. Всем указанным товарищам автор приносит свою глубокую благодарность.

числа. Таким образом, приходим к выводу, что все точки, не лежащие внутри рассматриваемой трубки, попадут, двигаясь по траекториям системы (4.2), на плоскость $R=0$.

Если же начальная точка лежит внутри трубки, то она может при своем движении либо выйти из трубки и больше никогда в нее не попадать, либо попадать в трубку в как угодно большие моменты времени. В первом случае применимы только что приведенные рассуждения. Во втором случае приходим к выводу, что изображающая точка попадет неизбежно на плоскость $R=0$ или, что то же самое, на плоскость $s=0$.

Попав на плоскость $s=0$, изображающая точка будет совершать свое движение в силу системы (3.10), описывающей скольжение. Условия $A>0, B>0$ обеспечивают движение точки по плоскости $\mathcal{S}$ к началу координат.

Чтобы завершить доказательство теоремы, остается показать, что имеет место устойчивость по Ляпунову. Таким образом, нужно доказать существование для любого заданного $\varepsilon>0$, такого числа $\delta$, что из неравенств $\left|X_{0}\right|<\delta$, $\left|Y_{0}\right|<\delta,\left|R_{0}\right|<\delta$ следовали бы для решений системы (4.2) неравенства
\[
|X(\tau)|<\varepsilon,|Y(\tau)|<\varepsilon,|R(\tau)|<\varepsilon \text { при } \tau>0 .
\]

Однако такое число $\delta$ мы можем выбрать согласно лемме 4.5. Некоторое осложнение доставляют точки, лежащие на плоскости $R=0$, так как о них в лемме 4.5 ничего не говорится. Но так как эти точки скользят по плоскости $R=0$ в силу асимптотически устойчивой системы (3.10), то и для них требуемое свойство имеет место.

Сделаем следующее замечание. Характеристическое уравнение (3.10), описывающее процесс скольжения, имеет вид
\[
\lambda^{2}+B \lambda+A=0 .
\]

Корни этого уравнения, с учетом первого из условии (3.5) существования скольжения, определяются формулой $\lambda_{1,2}=$ $=-\frac{B}{2} \pm \sqrt{-\frac{3}{4} B^{2}+a B-b}$. Отсюда видно, что для обеспечения высокой скорости скольжения необходимо значение $B$ выбирать настолько большим, насколько позволяет второе из условий (3.5). При этом корни характеристического уравнения (4.17) могут стать комплексными, и режим