Пример 1. Рассмотрим систему уравнений
\[
\dot{x}=a x^{3}+b y, \quad \dot{y}=-c x+d y^{3}
\]

и попытаемся найти для нее функцию Ляпунова в виде $v=F_{1}(x)+F_{2}(y)$. Будем иметь в этом случае $\dot{v}=F_{1}^{\prime}(x) \times$ $X\left(a x^{3}+b y\right)-F_{2}(y)\left(c x-d y^{3}\right)$. Потребуем снова, чтобы функция $\dot{v}$ имела такую же функциональную структуру, что и функция $v$, т. е. потребуем, чтобы тождественно выполнялось $b F_{1}^{\prime}(x) y-c F_{2}^{\prime}(y) x=0$. Деля переменные, получим
\[
\frac{c x}{F_{1}^{\prime}(x)}=\frac{b y}{F_{2}^{\prime}(y)},
\]

и, следовательно, каждая из этих дробей должна быть постоянной величиной, например, равной $1 / 2$.

Таким образом, получим $F_{1}(x)=c x^{2}$ и $F_{2}(y)=b y^{8}$, т. е. $v=c x^{2}+b y^{2}$. Для производной $\dot{v}$ получим выражение $\dot{v}=$ $=2 a c x^{4}+2 b d y^{4}$. Если $a<0, d<0, b c>0$, то мы находимся в условиях применения теоремы 4.2 и положение равновесия будет асимптотически устойчивым. Если $a=0, b>0$, $d<0, c>0$, то нулевое решение будет устойчивым в смысле Аяпунова, как это следует из теоремы 4.1. Однако в данном случае из теоремы 5.2 следует и асимптотическая устойчивость. В самом деле, множеством $M$ в данном случае служит множество $y=0$, т. е. ось $O x$. Но легко видеть, что на оси $O X$ нет целых траекторий системы (7.1). В самом деле, если бы такая траектория лежала на оси $O x$, то мы имели бы тождественно вдоль нее $y=0, \dot{y}=0$ и из второго уравнения системы (7.1) вывели бы, что $x=0$. Таким образом, на оси $O x$ находится только одна целая траектория – особая точка $O(0,0)$. Если $b c<0, a d<0$ или $a>0, b>0, c>0$, $d>0$, то мы находимся в условиях применения теоремы 6.1 и нулевое решение будет неустойчивым. Неустойчивость будет также иметь место в силу теоремы (6.3) и в том случае, когда $a=0, b c<0, d
eq 0$.

Заметим, что метод построения функции Ляпунова, продемонстрированный сейчас, носит название метода деления переменных [18].

Пример 2. Рассмотрим теперь уравнение колебанић маятника
\[
l \ddot{\varphi}+n \dot{\varphi}+M g l \sin \varphi=L,
\]

где $l$ – момент инерции, $n \dot{\varphi}$ – момент силы трения, $M g l \sin \varphi-$ момент силы тяжести, $L$ – вращающий момент, $M$ – масса, $g$ – ускорение силы тяжести, $l$ – расстояние от центра массы маятника до оси вращения, $\varphi$-угол отклонения маятника от вертикали.

Разделив на $l$ и введя новые обозначения $a=\frac{n}{I}, b=$ $=\frac{M g l}{I}, N=\frac{L}{I}$, запишем уравнение в виде
\[
\ddot{\varphi}+a \dot{\varphi}+b \sin \varphi=N,
\]

или в виде системы
\[
\dot{\varphi}=\omega, \quad \dot{\omega}=-b \sin \varphi-a \omega+N .
\]

Очевидно, система (7.4) будет иметь положение равновесия, определяемое из уравнении
\[
\omega=0, \quad-b \sin \varphi-a \omega+N=0,
\]

откуда следует, что положение равновесия существует, если уравнение $\sin \varphi=N / b$ имеет решение $\varphi_{0}$. Таким образом, для существования положения равновесия необходимо выполнение неравенства $|N| \leqslant b$. Вводя новую переменную $\boldsymbol{x}=$ $=\varphi-\varphi_{0}$, сведем уравнение (7.3) к уравнению
\[
\ddot{x}+a \dot{x}+b\left(\sin \left(x+\varphi_{0}\right)-\sin \varphi_{0}\right)=0,
\]

для которого равновесным состоянием будет состояние $x=0$, $\dot{x}=0$. Система, эквивалентная уравнению (7.5), имеет вид
\[
\dot{x}=y, \quad \dot{y}=-b\left(\sin \left(x+\varphi_{0}\right)-\sin \varphi_{0}\right)-a y .
\]

Заметим, что в случае отсугствия трения уравнение (7.2) обладает первым интегралом (интегралом энергии)
\[
E=\frac{l \omega^{2}}{2}+\operatorname{Mgl}(1-\cos \varphi)-L \varphi=c .
\]

Этот первый интеграл находится при $n=0$ из уравнения (7.3) подстановкой $\omega=\dot{\varphi}$. Физическии смысл первого интеграла состоит в том, что он дает полную энергию маятника, причем эта энергия остается в процессе колебаний маятника постоянной, так как рассеивания энергии не происходит. Если же в рассматриваемой системе имеется трение (в точке подвеса маятника, сопротивление среды и т. д.), то происходит рассеивание энергии, и величина $E$ уже не будет постояннои вдоль траектории, а будет убывать, т. е. будет вести себя как функция Ляпунова системы (7.6). Проведя в (7.7) замену переменных $x=\varphi-\varphi_{0}, y=\omega$, рассмотрим новую функцию: $v=\frac{l y^{2}}{2}+l b\left(\cos \varphi_{0}-\cos \left(x+\varphi_{0}\right)-x \sin \varphi_{0}\right)$. Очевидно, $v$ отличается от $E$ на постоянную величину. В силу системы (7.6) получим $\dot{v}=-$ Iау $^{2}$. Если $\cos \varphi_{0}>0$, то при достаточно малых $x$ функция $v$ будет определенно положительной.
В самом деле, из формулы Тейлора следует, что
\[
F(x)=\cos \varphi-\cos \left(x+\varphi_{0}\right)-x \sin \varphi_{0}=\frac{\cos \left(x^{*}+\varphi_{0}\right)}{2} x^{2},
\]

где $\left|x^{*}\right| \leqslant|x|$; очевидно, при $x$ достаточно малом знак функции $F(x)$ совпадает со знаком $\cos \varphi_{0}$.

Заметим далее, что $\dot{v}$ обращается в нуль только на оси $O x$, таким образом, множеством $M$, фигурирующим в формулировке теоремы 5.1, будет линия $y=0$ или отрезок этой линии. Легко видеть, что на линии $y=0$ нет целых траекторий, кроме особых точек, абсциссы которых удовлетворяют уравнению
\[
\sin \left(x+\varphi_{0}\right)-\sin \varphi_{0}=0 .
\]

Чтобы применить теорему 5.1, следует в качестве множества взять интервал оси $O x$, заключенный между ближайшими к началу координат особыми точками. Область, заключенная внутри линии $v=c$, проходящей через ближайшую точку, будет, очевидно, обладать тем свойством, что все ее точки притягиваются к точке $(0,0)$.

Очевидно, в случае $\cos \varphi_{0}<0$ точка $(0,0)$ является неустойчивым положением равновесия.