1. Здесь и в следующем параграфе мы рассмотрим вопросы устоичивости нелинейных систем третьего порядка. Теорема 7.1, приведенная ниже, обобщает в некотором смысле результаты работы [34], в, которой рассмотрен линейный случай. Основные результаты по нелинейным системам опубликованы в работах $[35,36]$. Характерным моментом исследований, проведенных в этих работах, является отказ от требования выполнения условий скольжения. На поверхности переключения в этом случае получается некоторая полоса прошиваемости, однако эту полосу можно сделать как угодно узкой за счет увеличения коэффициента усиления $K$.
Рассмотрим дифференциальное уравнение
\[
\ddot{x}+F(x, \dot{x}, \ddot{x}, t)+K x \operatorname{sign}[x(\ddot{x}-\varphi(x, \dot{x}))]=0,
\]

где $K$-положительная постоянная величина, функция $F(x, \dot{x}, \ddot{x}, t)$ непрерывна по всем своим аргументам в области $|x|<\infty,|\dot{x}|<\infty,|\ddot{x}|<\infty, 0 \leqslant t<\infty$, ограничена по $t$ при фиксированных значениях $x, \dot{x}, \ddot{x}$ и имеет непрерывные частные производные первого порядка по аргументам $x, \dot{x}, \ddot{x}, t$; фунция $\varphi(x, \dot{x})$ непрерывна и имеет кусочно-непрерывные частные производные первого и второго порядков по $x, \dot{x}$ в области $|x|<\infty,|\dot{x}|<\infty$.

Уравнение (7.1) эквивалентно системе дифференциальных уравнений
\[
\left.\begin{array}{c}
\dot{x}=y, \dot{y}=z \\
z=-F(x, y, z, t)-K x \operatorname{sign}[x(z-\varphi(x, y))] .
\end{array}\right\}
\]

Наложим следующие ограничения на функции $\varphi(x, y)$ и $F(x, y, z, t):$
a)
\[
\mid p^{2} F\left(x, p^{-1} y, \rho^{-2} z, p t \mid<A(x, y, z)\right.
\]

и
\[
\left|\rho \varphi\left(x, p^{-1} y\right)\right|<B(x, y)
\]

для достаточно малых значений параметра $\rho$; здесь $A(x, y, z)$ и $B(x, y)$ предполагаютея непрерывными функциями своих аргументов для всех значений $x, y, z$;
b)
\[
\begin{array}{c}
\varphi(0,0)=0, \quad \varphi(x, 0) x<0 \quad \text { при } \quad x
eq 0, \\
{[\varphi(x, y)-\varphi(x, 0)] y<0 \text { при } y
eq 0,} \\
\int_{+\infty}^{0} \varphi(x, 0) d x=\infty .
\end{array}
\]

Заметим, что условие а) удовлетворяется в случае, когда функция $F(x, y, z, t)$ линейна относительно $x, y, z$ и ограничена по $t$ для $0 \leqslant t<\infty$. Любая линейная функция $\varphi(x, y)=$ $=c x+d y$, где $c$ и $d$ – постоянные, также удовлетворяет условию а); кроме того, она будет удовлетворять и условию b), если положить $c<0$ и $d<0$.

В общем случае уравнение (7.1) описывает систему регулирования нелинейного объекта, отрабатывающего входное воздействие произвольного вида.

К системам типа (7.2) приводят некоторые задачи об отыскании оптимального управления. В самом деле, рассмотрим систему дифференциальных уравнений
\[
\dot{x}=y, \quad \dot{y}=z, \quad \dot{z}=-F(x, y, z, t)-K u(t) x,
\]

и попытаемся найти функцию $u(t)$ таким образом, чтобы при $|u(t)| \leqslant 1$ некоторая функция $v(x, y, z)$ имела бы в силу этой системы наибольшую скорость убывания. Нетрудно видеть, что функция $t(t)$ должна в этом случае иметь вид $u(t)=\operatorname{sign} x \frac{\partial v}{\partial z}$, а это при некоторых дополнительных предположениях о структуре функции $v$ приводит к системе (7.2).

Теорема 7.1. Пусть выполнены условия а) $u$ b) $u$ пусть задано положительное число є. Тогда для заданной ограниченной области $G$ базового пространства можно указать такое положительное число $K_{0}$, что при $K \geqslant K_{0}$ любое решение системы (7.2), определяемое начальными условиями пз области $G$, будет удовлетворять с некоторого момента времени условиям $|x(t)|<$ $<\varepsilon,|y(t)|<\varepsilon,|z(t)|<\varepsilon$.
2. Докажем теорему. Покажем сначала, что любая точка из области $G$ – области воӟможных начальных положений, двигаясь в силу уравнений системы (7.2), попадает в некоторый момент времени на поверхность $\mathcal{S}$, заданную уравнением $s=z-\varphi(x, y)=0$.
Для этого в системе (7.2) проведем замену переменных
\[
t=p \tau, X=x, Y=p y, Z=\rho^{2} z .
\]

Новая система запишется в виде
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d X}{d \tau}=Y, \\
\frac{d Y}{d \tau}=Z, \\
\frac{d Z}{d \tau}=-\alpha X-\rho^{3} F\left(X, \rho^{-1} Y, \rho^{-2} Z, \rho \tau\right),
\end{array}\right\}
\]

где
\[
\alpha=\operatorname{sign}\left[X\left(Z-p^{2} \varphi\left(X, p^{-1} Y\right)\right)\right] .
\]

Наряду с системой (7.4), эквивалентной системе (7.2), рассмотрим упрощенную систему
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d X}{d \tau}=Y, \\
\frac{d Y}{d \tau}=Z, \\
\frac{d Z}{d \tau}=-|X| \operatorname{sign} R
\end{array}\right\}
\]

где
\[
R=Z-\rho^{2} \varphi\left(X, \rho^{-1} Y\right) .
\]

Пусть в начальный момент времени $R>0$. Система (7.4) имеет тогда следующий вид:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d X}{d \tau}=Y, \\
\frac{d Y}{d \tau}=Z, \\
\frac{d Z}{d \tau}=-|X| .
\end{array}\right\}
\]

Из леммы 4.1 следует, что решение системы (7.5) обладает своиством $X \rightarrow-\infty, Y \rightarrow-\infty, Z \rightarrow-\infty$, если только начальная точка не лежит на прямой $X=-Y=Z$. Из условия b) следует, что при $X<0$ имеем $\varphi(X, 0)>0$. Так как
\[
Y \varphi(X, Y)<Y \varphi(X, 0),
\]

то при $X<0, Y<0$ имеем $\varphi(X, Y)>0$; отсюда получим
\[
R=Z-\rho^{2} \varphi\left(X, \rho^{-1} Y\right)<Z .
\]

Так как $Z \rightarrow-\infty$, то величина $R$ должна стать отрицательной, следовательно, любая точка $M$ фазового пространства должна попасть из области $R>0$ на поверхность $R=0$. Аналогичный вывод делаем и для точек области $R<0$.

Таким образом, нами доказано, что точка $M(\tau)$, лежащая в области $G$, двигаясь в силу уравнений упрощенной системы (7.5), либо попадает на поверхность $S$ в конечный момент времени $\tau$, либо асимптотически приближается к началу координат в случае, когда точка $M(0)$ принадлежит прямой $X=-Y=Z$. В силу теоремы о непрерывной зависимости решений от параметра, аналогичный вывод делаем для системы (7.4), а значит, и для изучаемой системы (7.2); иначе говоря, доказано, что при значении $K$ достаточно большом точка $M(t)$, лежащая в области $G$ возможных начальных условий, двигаясь под действием уравнений системы (7.2), попадает на поверхность переключения $S$ с ростом $t$.
3. Далее перейдем ко второй части доказательства теоремы – изучим поведение изображающей точки $M(t)$, попавшей под дейстием уравнений системы (7.2) на поверхность переключения $S$. Для этого перейдем к новой системе координат, где $x$ и $y$ остаются прежними и вводится координата $s=z-\varphi(x, y)$. Тогда система (7.2) преобразуется в эквивалентную систему дифференциальных уравнений
\[
\left.\begin{array}{c}
\dot{x}=y, \quad \dot{y}=s+\varphi(x, y), \\
\dot{s}=-\varphi_{y}^{\prime}(x, y) s-F(x, y, s+\varphi(x, y), t)- \\
-\varphi_{x}^{\prime}(x, y) y-\varphi_{y}^{\prime}(x, y) \varphi(x, y)-\alpha K x, \\
(\alpha=\operatorname{sign} x s) .
\end{array}\right\}
\]

При таком преобразовании координат поверхность переключения $z=\varphi(x, y)$ переходит в плоскость переключения $s=0$. Поэтому, исследовав судьбу изображающей точки, попавшей под действием уравнений (7.7) на плоскость $s=0$, сможем сделать соответствующие выводы о поведении изображающей точки системы (7.2) на поверхности $S$.
На плоскости $s=0$ величина $\dot{s}$ запишется в виде
\[
\dot{s}=-\alpha K x-\Phi(x, y, t),
\]

где введено обозначение
\[
\begin{array}{l}
\Phi(x, y, t)=F(x, y, \varphi(x, y), t)+\varphi_{x}^{\prime}(x, y) y+ \\
+\varphi_{y}^{\prime}(x, y) \varphi(x, y) .
\end{array}
\]

Обозначим через $D$ область плоскости $s=0$, порожденную концами дуг траекторий, выходящих из области $G$. Из предыдущей части доказательства следует, что область $D$ является при $K \rightarrow \infty$ равномерно ограниченнои областью. В самом деле, преобразование (7.3) переводит область $G$ в область $G_{p}$, причем легко видеть, что при $p_{1}>p_{2}$ будем иметь $G_{\rho_{1}} \supset G_{\rho_{2}}$. Точки областей $G_{\rho_{1}}$ и $G_{\rho_{2}}$, двигаясь по траекториям системы (7.5), перейдут в точки областей $D_{\rho_{1}}$ и $D_{\rho_{2}}$, лежащие на плоскости $s=0$, причем $D_{\rho_{1}} \supset D_{\rho_{2}}$. Принимая во внимание теорему о непрерывной зависимости решений от параметра, мы можем сделать вывод об ограниченности области, состоящей из точек поверхности $\mathcal{S}$, пришедших из области $G_{p}$ по траекториям системы (7.4). Возвращаясь к старым координатам, получаем ограниченность области $D$ при $p \rightarrow 0$.

В силу сформулированных выше предположений относительно функций $F(x, y, z, t)$ и $(x, y)$ будем иметь в области $D$ соотношение
\[
|\Phi(x, y, t)|<m .
\]

Из равенства (7.8) легко видеть, что прямые $x=\Delta x$ и $x=-\Delta x$, где $\Delta x=\frac{m}{k}$, выделяют на плоскости $s=0$ нолосу $|x| \leqslant \Delta x$, вне которой знак производной $\dot{s}$ для системы (7.7) определен соотношением $\operatorname{sign} \dot{s}=-\alpha \operatorname{sign} x$. Анализ этой формулы показывает, что точки плоскости $s=0$, расположенные вне указанной полосы, являются точками скольжения системы (7.7). Движение изображающей точки $M(t)$ из этой части плоскости $s=0$ (вне полосы $|x| \leqslant \Delta x$ ) определяется предельным дифференциальным уравнением $\ddot{x}=\varphi(x, \dot{x})$, которое эквивалентно системе дифференциальных уравнений
\[
\dot{x}=y, \quad \dot{y}=\varphi(x, y) .
\]

Внутри полосы $|x| \leqslant \Delta x$ плоскости $s=0$ знак производной $\dot{s}$ не определен. Полоса содержит области «прошиваемости», ограниченные кривыми
\[
\Phi(x, y, t)+\alpha K x=0,
\]

где траектории системы (7.7) с ростом времени пересекают плоскость $s=0$.

Таким образом, изображающая точка $M(t)$ системы (7.7), попав на плоскость $s=0$, движется по ней в силу уравнений системы (7.10) до тех пор, пока не попадет в момент времени $t=t_{0}>0$ на границу области прошиваемости, т. е. на одну из кривых (7.11), в некоторой точке $M_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$. Сам факт попадания обусловливается устойчивостью в целом нулевого решения системы (7.10). Эта устойчивость вытекает из выполнения условий b) для функции $\varphi(x, y)$ (см. пример 4 в $\$ 14$ первой главы). Затем с ростом $t$ изображающая точка $M(t)$ соидет с плоскости $s=0$ и начнет двигаться под действием уравнений системы (7.7) либо в полупространстве $s>0$ (при $\alpha=-1$ ), либо в полупространстве $s<0$ (при $\alpha=1$ ). Покажем, что при достаточно большом значении $K$ точка $M(t)$ системы (7.7), побывав некоторое достаточно малое время вне плоскости $s=0$, вновь вернется в нее в точке, расположенной достаточно близко к оси $O y$.
Пусть для определенности точка $M_{0}$ расположена во втором квадранте плоскости $s=0$, т. е. для ее координат выполняются соотношения
$-\Delta x \leqslant x_{0}<0, y_{0}>0$ (рис. 13). Кроме того, предположим, что выполняется также соотношение
\[
y_{0} \gg \Delta x \text {. }
\]

Пользуясь уравнениями
\[
\left.\begin{array}{rl}
y \frac{d y}{d x} & =s+\varphi(x, y), \\
y \frac{d s}{d x}=-\varphi_{y}^{\prime} s-F(x, y, s+\varphi(x, y), t)- \\
& -\alpha K x-\varphi_{x}^{\prime} y-\varphi_{y}^{\prime} \varphi,
\end{array}\right\}
\]

полученными из дифференциальных уравнений системы (7.7), найдем приближенное решение $y(x)$ и $s(x)$ системы (7.13), соответствующее траектории изображающей точки $M(t)$ с начальной точкой $M_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)=M\left(t_{0}\right)$. Так как для точки $M_{0}$, по предположению, имеем $y_{0}>0$, то с ростом времени $t>t_{0}$ изображающая точка, сойдя с плоскости $s=0$, движется в сторону возрастания $x$, т. е. по направлению к плоскости $x=0$. С другой стороны, поскольку $\left|x_{0}\right| \leqslant \Delta x$, а величина $\Delta x=\frac{m}{K}$ может быть сделана за счет увеличения значения $K$ сколь угодно малой, то искомое решение будем рассматривать на интервале $\left[x_{0}, 0\right]$, а для нахождения соответствующего решения ограничимся его первым приближением
\[
\begin{array}{l}
y(x)=y_{0}+\frac{\varphi\left(x_{0}, y_{0}\right)}{y_{0}}\left(x-x_{0}\right), \\
s(x)=\alpha K x_{0}-\frac{\Phi\left(x_{0}, y_{0}, t_{0}\right)}{y_{0}}\left(x-x_{0}\right) .
\end{array}
\]

Полученные формулы позволяют найти приближенное значение координат точки $M_{1}\left(x_{1}, y_{1}, s_{1}\right)$ – точки, в которой траектория пересекает при некотором значении $t=t_{1}>t_{0}$ плоскость $x=0$, а именно, получим равенства
\[
x_{1}=0, \quad y_{1}=y_{0}-\frac{\varphi\left(x_{0}, y_{0}\right)}{y_{0}} x_{0} \approx y_{0}, \quad s_{1} \approx 0,
\]

справедливые при достаточно больших значениях $K$, когда можно пренебречь слагаемыми одного порядка малости с величиной $\Delta x$.

Из точки $M_{1}$ изображающая точка $M(t)$ движется с ростом времени $t>t_{1}$ в полупространстве $x>0$ до тех пор, пока ордината точки остается положительной. Так как ордината точки $M_{1}$ вследствие выполнения соотношения (7.12) снова положительна, то с ростом времени $t$ изображающая точка $M(t)$ из точки $M_{1}$ движется вновь в сторону возрастания $x(t)$, по крайней мере для значений $x$ положительных, достаточно малых, сравнимых по величине с числом $\Delta x$. Найдем решение $s(x)$ системы (7.13), соответствующее выходящей из точки $M_{1}$ траектории, в виде степенного ряда по степеням $x$, пренебрегая степенями $x$, начиная с $x^{3}$. При этом примем во внимание ограниченность функции $F(x, y, z, t), \varphi(x, y)$ и их производных, а также считаем значение $K$ достаточно большим. \”Тогда будем иметь
\[
s(x)=-\frac{\Phi\left(0, y_{0}, t_{1}\right)}{y_{0}} x-\alpha K \frac{x^{2}}{2 y_{0}},
\]

откуда найдем значение $x$, при котором функция $s(x)$ обращается в нуль. Тем самым найдем значение абсциссы точки $M_{2}=M\left(t_{2}\right)$ – точки возвращения при $t=t_{2}>t_{1}$ изображающей точки на плоскость $s=0$. Очевидно, для абсциссы точки $M_{2}$ получим равенство $x_{2}=-\frac{2 \Phi\left(0, y_{0}, t_{1}\right)}{\alpha K}$. Принимая во внимание условие (7.9), получим соотношение $\left|x_{2}\right| \leqslant 2 \Delta x$. Причем для рассматриваемой траектории, очевидно, $x_{9}>0$, так как значение ординаты точки $M_{2}$ отличается от ординаты начальной точки $M_{0}$ траектории на величину одного порядка малости с величиной $\Delta x$, т. е. на интервале $[-\Delta x, 2 \Delta x]$ знак ординаты точки в нашем случае остается положительным.

Таким образом, мы показали, что при достаточно большом значении $K$ изображающая точка $M(t)$ системы (7.7), сойдя с плоскости $s=0$ в точке $M_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$, для координат которой справедливы соотношения $\left|x_{0}\right| \leqslant \Delta x, y_{0} \geqslant \Delta x$, вновь возвращается на плоскость $s=0$ в точке $M_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right)$, ордината которой по-прежнему положительна и сравнима по величине с числом $y_{0}$, а абсцисса не превосходит числа $2 \Delta x$ (см. рис. 13). Поскольку разность абсцисс точек $M_{0}$ и $M_{z}$ не больше числа $3 \Delta x$, то время перехода изображающей точки из точки $M_{0}$ в точку $M_{2}$ при достаточно большом значении $K$ будет малым.

Аналогичные рассуждения могут быть проведены для траектории системы (7.7), сходящей с плоскости $s=0$ в некоторой точке $M_{0}^{*}\left(x_{0}^{*}, y_{0}^{*}\right)$, где $y_{0}^{*}<0$ и $0<x_{0}^{*} \leqslant \Delta x$, если только выполняется соотношение $\left|y_{0}^{*}\right| \geqslant \Delta x$, т. е. и в этом случае может быть показано, что изображающая точка $M(t)$, покинув плоскость $s=0$ в точке $M_{0}^{*}$, пересечет плоскость $x=0$, затем, побывав некоторое малое время вне плоскости, вновь вернется в нее в области скольжения в точке $M_{2}^{*}\left(x_{2}^{*}, y_{2}^{*}\right)$, для координат которой имеют место соотношения $x_{2}^{*}<0$, $\left|x_{2}^{*}\right| \leqslant 2 \Delta x$.

Итак, наличие полосы $|x| \leqslant \Delta x$, содержащей внутри себя области прошиваемости системы (7.7), вызывает отклонение рассмотренных траекторий системы от плоскости $s=0$. Это отклонение происходит на полосе, не выходящей из полосы $|x| \leqslant 2 \Delta x$. Так как $\Delta x=\frac{m}{K}$, где $m$ – постоянная из соотношения (7.9), то всегда можно выбрать значение $K$ настолько большим, что значение $\Delta x$ станет сколь угодно малым. Одновременно с $\Delta x$ станут сколь угодно малыми как максимальное отклонение функции $s(x)$ от нуля, так и время нахождения изображающей точки рассматриваемых траекторий вне плоскости $s=0$.

4. В первой части доказательства теоремы нами доказано, что из любой точки фазового пространства изображающая точка системы (7.2) попадает с ростом времени на поверхность $s=0$. Дальнейшее поведение изображающей точки определяется ее движением на самой поверхности $S$ и отклонением от этой поверхности, определяемым существованием областей прошиваемости системы.

Рассмотрим теперь на плоскости $s=0$ наряду с системой (7.10) систему
\[
\dot{x}=y, \quad \dot{y}=\varphi(x, y)+s(t),
\]

образованную двумя первыми уравнениями системы (7.7). Здесь через $s(t)$ обозначено значение величины $s$ в процессе изучаемого нами выше движения точки $M(t)$. Поэтому $s(t)=0$, если точка $M(t)$ скользит по плоскости $s=0$, и $s(t)
eq 0$, если точка $M(t)$ сходит с этой плоскости. Следовательно, система (7.15) описывает движение проекции точки $M(t)$ на плоскости $s=0$.

Выше показано, что при достаточно большом значении $K$ функция $s(t)$ может быть сделана как угодно малой по абсолютной величине. Кроме того, вследствие выполнения условий (b) нулевое положение равновесия является для системы (7:10) асимптотически устоичивым при любых начальных возмущения. Рассмотрим теперь функцию $v=y^{2}-$ $-2 \int_{0}^{x} \varphi(x, 0) d x$. Производная этой функции, взятая в силу системы (7.15), имеет вид
\[
\begin{array}{l}
\dot{\boldsymbol{v}}=2 y[\varphi(x, y)-\varphi(x, 0)]-2 s(t) y= \\
=2 y \varphi(0, y)+2 y[\varphi(x, y)-\varphi(0, y)]-2 y \varphi(x, 0)-2 y s(t) .
\end{array}
\]

Но из (7.14) легко следует, что $|y s(t)|<\frac{m^{2}}{2 K}$, где $m$ – положительная постоянная. С другой стороны, если $y_{0}$ – произвольно малое положительное число, то, учитывая, что из условий (b) следует неравенство $y \varphi(0, y)<0$, а также, что для лежащей в области $D$ точки величина ее ординаты $y$ является ограниченной, будем иметь при $|y|>y_{0}$ строгое неравенство $y_{\varphi}(0, y)<-r_{0}$, где $r_{0}$ – некоторая положительная постоянная.

Далее, выбирая значение $K$ достаточно большим, можем добиться в силу непрерывности функции $\varphi(x, y)$ для точек полосы $|x| \leqslant 2 \Delta x$ (в пределах области $D$ ) выполнения неравенств $|y[\varphi(x, y)-\varphi(0, y)]|<\frac{r_{0}}{4}$ и $|y \varphi(x, 0)|<\frac{r_{0}}{4}$. Наконец, при $K>\frac{2 m^{2}}{r_{0}}$ будем иметь также соотношение $|y s(t)|<\frac{r_{0}}{4}$. Таким образом, в полосе $|x| \leqslant 2 \Delta x$ при $|y|>y_{0}$ будем иметь для производной $\dot{v}$ неравенство $i<-\frac{1}{2} r_{0}<0$.

Кроме того, $\dot{v} \leqslant 0$ всюду в области $D$ вне полосы $|x| \leqslant$ $\leqslant 2 \Delta x$. Отсюда следует, что, выбирая значение $K$ достаточно большим, мы можем добиться того, что производная $\dot{v}$ станет отрицательной всюду в области $D$, за исключением как угодно малой окрестности начала координат и точек прямой $y=0$. Так как на прямой $y=0$ нет целых траекторий системы (7.10), то приходим к выводу, что любая траектория системы (7.15) попадает в є-окрестность начала координат, если только величина $K$ является достаточно большсн.