Учитывая условия (3.5), перепишем систему (3.6) в виде
\[
\left.\begin{array}{l}
\dot{x}=y \\
\dot{y}=-A x-B y+s, \\
\dot{s}=-[f(B-a)+\alpha K] x+(B-a) s,
\end{array}\right\}
\]

и проведем замену переменных $t=p \tau, X=x, Y=p y, R=p^{2} s$, где $p=K^{-1 / 3}$.

—————————————————————-
0116_fiz_teor_kol_book3_no_photo_page-0077.jpg.txt

§ 4$]$
СТАБИЛИЗАЦИЯ СИСТЕМЫ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА, 2
75
Новая система будет иметь вид
\[
\begin{array}{l}
\frac{d X}{d \tau}=Y \\
\frac{d Y}{d \tau}=-A \rho^{2} X-B \rho Y+R \\
\frac{d R}{d \tau}=-\alpha X-\rho^{3} f(B-a) X+\rho(B-a) R .
\end{array}
\]

Пусть $K$-достаточно большое положительное число, тогда величину $p$ можно считать малым параметром.
Наряду с системой (4.2) рассмотрим упрощенную систему
\[
\frac{d X}{d \tau}=Y, \quad \frac{d Y}{d \tau}=R, \quad \frac{d R}{d \tau}=-\alpha X .
\]

Исследуем движения системы (4.3) в области $R>0$. Так как в этой области $\alpha=\operatorname{sign} X$, то система (4.3) примет вид
\[
\frac{d X}{d \tau}=Y, \quad \frac{d Y}{d \tau}=R, \quad \frac{d R}{d \tau}=-|X| .
\]

Исследуем свойства движений системы (4.4), рассматривая ее во всем фазовом пространстве переменных $X, Y, R$.

Лемма 4.1. Ecли начальная точка ( $\left.X_{0}, Y_{0}, R_{0}\right)$, где $R_{0}>0$, не лежит на прямой $X=-Y=R$, то решение системы (4.4), определяемое этой точкой, обладает свойством
\[
\lim _{\tau \rightarrow \infty} X(\tau)=\lim _{\tau \rightarrow \infty} Y(\tau)=\lim _{\tau \rightarrow \infty} R(\tau)=-\infty .
\]

Если же выполнено условие $X_{0}=-Y_{0}=R_{0}$, то решение системы (4.4) обладает свойством
\[
\lim _{\tau \rightarrow \infty} X(\tau)=\lim _{\tau \rightarrow \infty} Y(\tau)=\lim _{\tau \rightarrow \infty} R(\tau)=0 .
\]

В самом деле, из третьего уравнения системы (4.4) следует, что величина $R$ убывает с ростом времени. Предположим, что $\lim _{\tau \rightarrow \infty} R(\tau)=L$, и пусть $L>-\infty$. Если $L$ отлично от нуля, то из первого и второго уравнений системы следует, что $|Y(\tau)| \rightarrow \infty$ и $|X(\tau)| \rightarrow \infty$ при $\tau \rightarrow \infty$, но тогда. из последнего уравнения выводим, что $\lim _{\tau \rightarrow \infty} R(\tau)=-\infty$, что приводит к противоречию. Если $L=0$, то будем иметь

—————————————————————-
0116_fiz_teor_kol_book3_no_photo_page-0078.jpg.txt

76
УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ РЕГУЛИРОВАНИЯ
[гл. II
$R(\tau)>0$, откуда следует, что $Y(\tau)$ возрастает. Предположим, что $\lim _{\tau \rightarrow \infty} Y(\tau)=L_{1}$. Если $L_{1}$ не равно нулю, то из первого уравнения системы (4.4) сразу следует, что $\lim _{\tau \rightarrow \infty}|X(\tau)|=\infty$, а из третьего уравнения получаем $\lim _{\tau \rightarrow \infty} R(\tau)=-\infty$, что снова приводит к противоречию. Таким образом, имеем $L=$ $=L_{1}=0$. Но если $L_{1}=0$, то величина $Y(\tau)$ будет отрицательной и, следовательно, $X(\tau)$ убывает. Если $\lim _{\tau \rightarrow \infty} X(\tau)=$ $=L_{2}
eq 0$, то снова получаем противоречие с предположением, что $\lim _{\tau \rightarrow \infty} R(\tau)
eq-\infty$.

Таким образом, имеют место два случая: либо $\lim _{\tau \rightarrow \infty} R(\tau)=$ $=-\infty$, либо $\lim _{\tau \rightarrow \infty} X(\tau)=\lim _{\tau \rightarrow \infty} Y(\tau)=\lim _{\tau \rightarrow \infty} R(\tau) \stackrel{\tau \rightarrow \infty}{=}$. В первом случае имеем также $\lim _{\tau \rightarrow \infty} X(\tau)=\lim _{\tau \rightarrow \infty} Y(\tau)=-\infty$. Во втором случае решение системы (4.4) должно удовлетворять неравенствам
\[
X(\tau)>0, \quad Y(\tau)<0, R(\tau)>0 .
\]

Нетрудно показать, что попадание изображающей точки в начало координат в этом случае может произойти только вдоль интегральной прямой
\[
X=-Y=R
\]

системы (4.3) при $\alpha=1$. Других траекторий, по которым изображающая точка могла бы попасть непосредственно в начало координат, не попадая предварительно на плоскость $R=0$, система (4.3) не имеет. В самом деле, при $\alpha=1$ решение системы (4.3) имеет вид
\[
X=c_{0} e^{-\tau}+\varphi_{1}(\tau), \quad Y=-c_{0} e^{-\tau}+\varphi_{2}(\tau), \quad R=c_{0} e^{-\tau}+\varphi_{3}(\tau),
\]

где $\varphi_{i}(\tau)$ – неограниченные функции. Подбором начальных данных эти неограниченные функции можно исключить из решения; в этом случае и получим единственное частное решение $X=c_{0} e^{-\tau}, \quad Y=-c_{0} e^{-\tau}, R=c_{0} e^{-\tau}$, соответствующе интегральной прямой (4.5).

Легко проверить, что система (4.3) при $\alpha=-1$ траекторић, приходящих в начало координат с сохранением знака $X$, не имеет. Лемма доказана.

—————————————————————-
0116_fiz_teor_kol_book3_no_photo_page-0079.jpg.txt

8 4]
СТАБИЛИЗАЦИЯ СИСТЕМЫ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА, 2
77
Лемма 4.2. Если точка $M(\tau)$ движется из положения $M_{0}\left(X_{0}, Y_{0}, R_{0}\right)$ по траектории системы (4.4), то она не может находиться в области $|X|>\delta, R>0$ более $R_{0} / \delta$ единиц времени.

В самом деле, из последнего уравнения системы (4.4) имеем $R<R_{0}-\delta \tau$, где $\tau$ отсчитывается от того момента времєни, начиная с которого выполняется неравенство $|X| \geqslant \delta$. Если $\tau_{1}>R_{\theta} / \delta$, то $R\left(\tau_{1}\right)$ уже будет отрицательной величиной и точка $M\left(\tau_{1}\right)$ окажется вне рассматриваемой области. Таким образом, за промежуток времени $0 \leqslant \tau \leqslant \tau_{1}$ точка $M(\tau)$ попадет либо в область $|X|<\delta$, либо на плоскость $R=0$.

Заметим, что если начальная точка $M_{0}\left(X_{0}, Y_{0}, R_{0}\right)$ удовлетворяет условиям $X_{0}>\delta, \quad Y_{0}>0$, то точка $M(\tau)$ может попасть только на плоскость $R=0$.

Отсюда следует, что любая точка фазового пространства может заходить в область $|X|<\delta$ не более двух раз.

Лемма 4.3. Если выполнены условия $\left|X_{0}\right|<\delta,\left|Y_{0}\right|<\delta$, $0<R_{0}<\delta$, то решение системы (4.4), определяемое начальной точкой $M_{0}\left(X_{0}, Y_{0}, R_{0}\right)$, удовлетворяет в области $R \geqslant 0$ неравенствам $-2 \delta<X(\tau)<5 \delta,-\delta<Y(\tau)<48$, $0<R(\tau)<\delta$.

Очевидно, последнее из доказываемых неравенств непосредственно вытекает из третьего уравнения системы (4.4). Покажем теперь, что имеет место неравенство
\[
-\delta<\gamma(\tau)<4 \delta .
\]

Предположим, что $Y_{0}>0$. Так как $X(\tau)$ и $Y(\tau)$ могут только расти, то обозначим через $\tau_{0}$ момент времени, когда $X\left(\tau_{0}\right)=\delta$, и через $\tau_{0}^{\prime}$ – момент времени, когда $Y\left(\tau_{0}^{\prime}\right)=\delta$. Через $\tau_{1}$ обозначим момент встречи точки $M(\tau)$ с плоскостью $R=0$.

В силу леммы 4.2 , если $\tau_{1}=\infty$, то $|X(\tau)|<\delta$ для всех положительных значений $\tau$; если при этом $\tau_{0}=\infty$, то неравенство (4.6) будет иметь место. Возможны два случая. В первом случае предположим, что $\tau_{0} \leqslant \tau_{0}^{\prime}$. Из второго уравнения системы (4.4) следует при $\tau \geqslant \tau_{0}^{\prime} Y(\tau)-Y\left(\tau_{0}^{\prime}\right) \leqslant$ $\leqslant R_{0}\left(\tau-\tau_{0}^{\prime}\right)$. Но так как в силу леммы $4.2 \tau-\tau_{0}^{\prime}<\tau_{1}-$ – $\tau_{0}^{\prime}<1$, то получим $Y(\tau)<2 \delta$ при всех $\tau$ из промежутка $\tau_{0}^{\prime} \leqslant \tau \leqslant \tau_{1}$.

Во втором случае предположим, что $\tau_{0}^{\prime}<\tau_{0}$, и оценим разность $\tau_{0}-\tau_{0}^{\prime}$. Снова принимая во внимание второе

—————————————————————-
0116_fiz_teor_kol_book3_no_photo_page-0080.jpg.txt

78
УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ РЕГУЛИРОВАНИЯ
ггл. It
уравнение системы (4.4), получим
\[
\delta<Y(\tau)<R_{0}\left(\tau-\tau_{0}^{\prime}\right)+\delta \text { при } \tau>\tau_{0}^{\prime} .
\]

Левая часть этого неравенства дает оценку
\[
\delta\left(\tau_{0}-\tau_{0}^{\prime}\right)+X\left(\tau_{0}^{\prime}\right)<X\left(\tau_{0}\right),
\]

откуда следует, что $\tau_{0}-\tau_{0}^{\prime}<2$. Правая часть того же неравенства (4.7) дает оценку $Y(\tau)<\delta\left(\tau-\tau_{0}+\tau_{0}-\tau_{0}^{\prime}\right)+$ $+\delta<4 \delta$, так как $\tau-\tau_{0}<1$ согласно лемме 4.2 .

Теперь рассмотрим случай, когда $Y_{0}<0$. Если $Y(\tau)$ не меняет знак, то неравенство (4.6) выполнено. Если $Y(\tau)$ меняет знак в момент времени $\tau_{3}$, то возможны снова два случая. В случае $\left|X\left(\tau_{3}\right)\right|<\delta$, при $\tau>\tau_{3}$ точка $M(\tau)$ попадает в условия, которые рассмотрены выше. Если же $X\left(\tau_{3}\right)<-\delta$, то точка $M(\tau)$ не может, согласно лемме 4.2 , находиться вне полосы $|X|<\delta$ более одной единицы времени, но за это время $Y(\tau)$ может вырасти не более чем на $\delta$, поэтому точка $M(\tau)$ снова попадает в область $|X|<\delta,|Y|<\delta$, причем величина $Y(\tau)$ будет при этом уже положительной и, следовательно, будет удовлетворять оценке (4.6).

Покажем теперь, что до тех пор, пока точка $M(\tau)$ не попадет на плоскость $R=0$, имеет место неравенство
\[
-2 \delta<X(\tau)<5 \delta \text {. }
\]

В самом деле, если точка $M(\tau)$ выйдет в область $X>\delta$, то она не вернется в полосу $|X|<\delta$ и должна попасть на плоскость $R=0$. Но в этом случае из первого уравнения системы (4.4) следует
\[
X(\tau)-X\left(\tau_{0}\right)<Y(\tau)\left(\tau-\tau_{0}\right)
\]

при $\tau_{0} \leqslant \tau \leqslant \tau_{1}$. Из леммы 4.2 следует, что $\tau-\tau_{0}<1$, а из неравенства (4.6) имеем $0<Y(\tau)<4 \delta$. Таким образом, $-\delta<X(\tau)<5 \delta$ при $\tau>\tau_{0}$.

Если же точка $M(\tau)$ выйдет в область $X<-\delta$ в момент времени $\tau_{4}$, то либо она попадет на плоскость $R=0$, не возврашаясь в полосу $|X|<\delta$, либо вернется в эту полосу. В первом случае получим – $\left(\tau-\tau_{4}\right)<X(\tau)-X\left(\tau_{4}\right)$, откуда следует $X(\tau)>-2 \delta$. Во втором случае точка $M(\tau)$ возвратится в область $|X|<\delta,|Y|<\delta$, и будет иметь место уже рассмотренная ситуация. Заметим, что минимальное значение

—————————————————————-
0116_fiz_teor_kol_book3_no_photo_page-0081.jpg.txt

§ 4]
СТАБИЛИЗАЦИЯ СИСТЕМЫ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА, 2
79
$X\left(\tau_{3}\right)$ во втором случае удовлетворяет неравенству $X\left(\tau_{3}\right)>$ $>-2 \delta$. Лемма доказана.

В дальнейшем нам понадобится следующий общий результат. Наряду с уравнением
\[
\dot{x}=X(x, t)
\]

рассмотрим уравнение
\[
\dot{y}=\boldsymbol{X}(y, t)+\boldsymbol{R}(y, t),
\]

где $x, y \quad n$-мерные векторы $\boldsymbol{X}(x, t)$ и $\boldsymbol{R}(y, t)$ – векторные функции. Предположим, что в некоторой области $D$ фазового пространства на интервале $t_{0} \leqslant t \leqslant t_{0}+T$ выплнены условия
\[
\|\boldsymbol{X}(y, t)-\boldsymbol{X}(x, t)\| \leqslant L\|y-x\|
\]

и
\[
\|\boldsymbol{R}(y, t)\| \leqslant M\|y\| .
\]

Предположим, далее, что на рассматриваемом промежутке времени решение $x(t)$ системы (4.9) удовлетворяет неравенству
\[
\|x(t)\| \leqslant \varepsilon .
\]

Лемма 4.4. Пусть выполнены условия (4.11), (4.12); тогда на интервале времени $t_{0} \leqslant t \leqslant t_{0}+T$ имеет место оценка
\[
\|y(t)-x(t)\| \leqslant \frac{M \varepsilon}{M+L}\left(e^{(M+L)\left(t-t_{0}\right\}}-1\right),
\]

где $x(t)$ и $y(t)$-соответственно решения уравнений (4.9) и (4.10), определяемые одинаковыми начальными условия.Mu.
В самом деле, исходя из неравенства
\[
\|y(t)-x(t)\| \leqslant \int_{t_{0}}^{t}[\|X(y, t)-X(x, t)\|+\|\boldsymbol{R}(y, t)\|] d t,
\]

получим
\[
\|y(t)-x(t)\| \leqslant \int_{t_{0}}^{t}[L\|y(t)-x(t)\|+M\|y(t)\|] d t .
\]

Так как $\|y(t)\| \leqslant\|y(t)-x(t)\|+\|x(t)\|$ и $\|x(t)\| \leqslant \varepsilon$,

—————————————————————-
0116_fiz_teor_kol_book3_no_photo_page-0082.jpg.txt

80
УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ РЕГУЛИРОВАНИЯ
[гл. II
то получим
\[
\|y(t)-x(t)\| \leqslant \int_{t_{0}}^{t}[M \varepsilon+(M+L)\|y(t)-x(t)\|] d t .
\]

Неравенство (4.13) непосредственно следует теперь из леммы 1.1 первой главы.
Наряду с системой (4.4) рассмотрим теперь систему
\[
\begin{array}{c}
\frac{d X}{d \tau}=Y, \\
\frac{d Y}{d \tau}=R+p \varphi_{1}(X, Y), \\
\frac{d R}{d \tau}=-|X|+p F_{1}(X, Y, R, \tau) .
\end{array}
\]

Пусть функции $\varphi_{1}(X, Y)$ и $F_{1}(X, Y, R, \tau)$ в области $|X|<\infty,|Y|<\infty, R>0, \tau \geqslant 0$ удовлетворяют условиям
\[
\left.\begin{array}{c}
\left|\varphi_{1}(X, Y)\right| \leqslant L_{1}(|X|+|Y|), \\
\left|F_{1}(X, Y, R)\right| \leqslant L_{2}(|X|+|Y|+R),
\end{array}\right\}
\]

где $L_{1}, L_{2}$ – некоторые положительные постоянные.
Лемма 4.5. Всякое решение системы (4.14), определенное начальной точкой $M_{0}\left(X_{0}, Y_{0}, R_{0}\right)$, лежащей в области $|X|<\delta,|Y|<\delta, 0<R<\delta$, удовлетворяет в полупространстве $R$ неравенствам
\[
|X|<5 \delta+A_{1} \rho \delta,|Y|<4 \delta+A_{2} \rho \delta, R<\delta+A_{3} \rho \delta,
\]

где $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ – постоянные, зависящие от $L_{1} u L_{8}$.
Справедливость леммы 4.5 вытекает непосредственно из предыдущей леммы. В самом деле, из доказательства леммы 4.3 следует, что точка $M(\tau)$, двигаясь по траектории системы (4.4), находится вне области $|X|<\delta,|Y|<\delta, R>0$ не более трех единиц времени, при этом точка $M(\tau)$ не выходит за пределы области
\[
|X|<5 \delta,|Y|<4 \delta, 0<R<\delta .
\]

Отсюда следует, что норма вектора $\boldsymbol{P}\left(0, p \varphi_{1}, p F_{1}\right)$, характеризующего отклонение систем (4.4) и (4.14), может быть с учетом (4.15) оценена следующим образом:
\[
\|\boldsymbol{P}\| \leqslant N_{1} \rho\|\boldsymbol{F}\|,
\]

—————————————————————-
0116_fiz_teor_kol_book3_no_photo_page-0083.jpg.txt

§ 4]
СТАБИЛИЗАЦИЯ СИСТЕМЫ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА, 2
81
где через $F$ обозначен вектор с проекциями $X, Y, R$. Кроме того, согласно лемме 4.3, имеем $\|\boldsymbol{F}\| \leqslant N_{8} \delta$. Таким образом, полагая $M=N_{1} p$ и $\varepsilon=N_{q} \delta$, можем применить оценку леммы (4.4) и получим оценку отклонения решений систем (4.4) и (4.14). Из этой оценки и будет следовать требуемый результат.

Замечание 4.1. Заметим теперь, что легко сформулировать результаты, аналогичные результатам, приведенным в леммах 4.1, 4.2, 4.3 и 4.5 для системы
\[
\frac{d X}{d \tau}=Y, \frac{d Y}{d \tau}=R, \frac{d R}{d \tau}=|X|,
\]

эквивалентной системе (4.3) в области $R<0$.
Так, например, соображения о симметрии расположения траекторий систем (4.4) и (4.16) приводят к выводу, что если начальная точка не лежит на прямой $X=-Y=R$, то решение системы (4.16) обладает свойством $\lim _{\tau \rightarrow \infty} X(\tau)=$ $=\lim _{\tau \rightarrow \infty} Y(\tau)=\lim _{\tau \rightarrow \infty} R(\tau)=\infty$. Аналогичным образом могут быть перефразированы и остальные леммы.

Теорема 4.1. Пусть $A>0, B>0$ и, кроме того, выполнены условия (3.5). Можно указать такое положительное число $K_{0}$, что при $K>K_{0}$ нулевое решение системы (3.2) будет асимптотически устойчивым при любых начальных возмущениях.

Пусть для определенности начальная точка $M_{0}$ лежит в области $R>0$ (если точка $M_{0}$ лежит в области $R<0$, то всюду в дальнеиших рассуждениях следует учитывать замечание 4.1). Из леммы 4.1 следует, что изображающая точка $M(\tau)$, движущаяся по траектории системы (4.3), либо попадает на плоскость $R=0$ за конечный промежуток времени, либо будет асимптотически приближаться к началу координат по прямой (4.5).

Окружим теперь прямую (4.5) достаточно узкой трубкой Если изображающая точка $M(\tau)$ лежит вне этой трубки, то для заданной ограниченной области начальных условий фазового пространства время попадания на плоскость $R=0$ будет ограничено. Следовательно, по теореме 1.1 первой главы можно указать настолько малое значение $p$, что отклонение траекторий систем (4.2) и (4.3) за указанный промежуток времени будет меньше наперед заданного положительного скольжения будет представлять собой затухающий колебательный процесс.

Если колебательный характер скольжения по какой-либо причине не является приемлемым, то следует нарушить (за счет увеличения $B$ ) условие $A=B^{2}-a B+b$, с тем, чтобы корни характеристического уравнения (4.17) стали действительными. Можно показать $[34]$, что свойство устойчивости в этом случае не исчезнет. Более подробно эти вопросы для нелинейного случая будут рассмотрены в $\S 7$.