1. Рассмотрим теперь задачу о накоплении возмущений на бесконечном интервале времени $J$, т. е. на полуоси $0 \leqslant$ $\leqslant t<\infty$. Предположим, что внешнее возмущение $u(t)$ принадлежит пространству $\boldsymbol{C}$, тогда согласно (4.9) имеем неравенство
\[
\|\Phi\|=\sup _{t \geqslant 0} \int_{0}^{t}\|W(t, \tau)\| d \tau
\]

где оператор Ф задается соотношением
\[
\Phi u=\int_{0}^{t} W(t, \tau) u(\tau) d \tau .
\]

Таким образом, если величина
\[
\Phi_{0}=\sup _{t \geqslant 0} \int_{0}^{t}\|W(t, \tau)\| d \tau
\]

является конечной величиной, то задача о накоплении возмущений имеет решение. Это означает, что всякой ограниченной по норме $\boldsymbol{C}$ функции $u(t)$ соответствует ограниченное решение $x(t)$ задачи (4.1).

Оказывается, имеет место следующий более глубокий результат.

Лемма 5.1. Ecлu onepamop $\Phi u=\int_{0}^{t} W(t, \tau) u(\tau) d \tau$ nepeводит банахово пространство $\boldsymbol{B}$ функций й $(t)$ в пространство $\boldsymbol{C}$ функций $x(t)$, то он ограничен. Это значит, что существует постоянная положительная величина $К$ такая, что
\[
\|x\|_{C} \leqslant K\|i\|_{B} .
\]

В самом деле, определим оператор $\Phi_{k_{k}}$, переводящий $\boldsymbol{B}$ в иространство $\boldsymbol{E}$, соотношением $\Phi_{k} u=\int_{0}^{k} W\left(t_{k} \tau\right) u(\tau) d \tau$, где $\left\{t_{k}\right\}$ — последовательность положительных рациональных чисел, перенумерованных в каком-либо порядке. Если $\boldsymbol{B} \boldsymbol{B}$, то последовательность $\Phi_{k} u$ ограничена по предположению и, следовательно, по теореме 1.1 существует такое $K>0$, что $\left\|\Phi_{k} u\right\| \leqslant K\|u\|_{B}$.

Так как для любого вещественного числа $t \geqslant 0$ существует подпоследовательность рациональных чисел $t_{m}$, сходящаяся к $t$, то в силу последнего неравенства получим
\[
\left\|\int_{0}^{t} W(t, \tau) u(\tau) d \tau\right\| \leqslant K\|u\|_{B}
\]

что и требовалось доказать.
Лемм а 5.2. Если $\boldsymbol{E}$ — векторное конечномерное пространство и всякому ограниченному возмущению $u(t)$ соответствует ограниченное на $J$ решение задачи (4.1), то величина $\Phi_{0}$, заданная соотношением (5.2), конечна.

Действительно, в этом случае оператор Коши $W(t, \tau)$ превращается в матрицу с элементами $w_{i k}$. Для определенности будем считать, что норма вектора и норма матрицы определены в соответствии с (1.5) и (1.6).

Рассмотрим векторную функцию $u^{i}(\tau)$, определяя ее следующим образом:
\[
u_{k}^{i}(\tau)=\operatorname{sign} w_{i k}(t, \tau),
\]

где через $u_{k}^{i}(\tau)$ обозначена $k$-я проекция вектора $u^{i}(\tau)$.
В силу леммь 5.1 существует такая постоянная $K$, что
\[
\left\|\int_{0}^{t} W(t, \tau) u^{i}(\tau) d \tau\right\| \leqslant K
\]

при любом $t \geqslant 0$, где $u^{i}(\tau)$ рассматривается как элемент банахова пространства $\boldsymbol{L}_{\infty}$.
Таким образом, для любого $i$ имеем
\[
\int_{0}^{t} \sum_{k=1}^{n} w_{i k} u_{k}^{i} d \tau=\int_{0}^{t} \sum_{k=1}^{n}\left|w_{i k}(t, \tau)\right| d \tau \leqslant K .
\]

Но отсюда следует, что существует постоянная $M$ (равная, например, $n K$, где $n$ — размерность пространства $\boldsymbol{E}$ ), такая, что
\[
\int_{0}^{t}\|W(t, \tau)\| d \tau \leqslant M \quad \text { при любом } t .
\]

Лемма 5.3. Eсли величина $\Phi_{0}$ конечна $и\|A(t)\| \leqslant A_{0}<$ $<\infty$ на полуоси $J$, то существует такая положительная постоянная $W_{0}$, не зависящая от $t$ и $t_{0}$, что $\|W(t, \tau)\| \leqslant W_{0}$ npu $0 \leqslant \tau \leqslant t<\infty$.
В самом деле, из соотношения
\[
\frac{d}{d \tau} U(\tau) U^{-1}(\tau)=U(\tau) \frac{d U^{-1}(\tau)}{d \tau}+\frac{d U(\tau)}{d \tau} U^{-1}(\tau)=0
\]

имеем
\[
\frac{d U^{-1}(\tau)}{d \tau}=-U^{-1}(\tau) \frac{d U(\tau)}{d \tau} U^{-1}(\tau) .
\]

Так как $W(t, \tau)=U(t) U^{-1}(\tau)$, где $U(t)$ — фундаментальный оператор, то
\[
\frac{d W(t, \tau)}{d \tau}=-U(t) U^{-1}(\tau) \frac{d U(\tau)}{d \tau} U^{-1}(\tau) .
\]

По определению фундаментального оператора имеем $\frac{d U(\tau)}{d \tau}=$ $=A(\tau) U(\tau)$, отсюда следует
\[
\frac{d W(t, \tau)}{d \tau}=-W(t, \tau) A(\tau) .
\]

Интегрируя по $\tau$ последнее соотношение в пределах от $t_{0}$ до $t$, получим
\[
W(t, \tau)-I=-\int_{t_{0}}^{t} W(t, \tau) A(\tau) d \tau .
\]

Следовательно,
\[
\|W(t, \tau)-I\|=\left\|\int_{t_{0}}^{t} W(t, \tau) A(\tau) d \tau\right\| \leqslant A_{0} \Phi_{0} .
\]

Отсюда следует, что $\|W(t, \tau)\| \leqslant A_{0} \Phi_{0}+1$ и, следовательно, можно положить $W_{0}=A_{0} \Phi_{0}+1$.

Лемма 5.4. (Л.Массера, Д. Шеффер [94|). Пусть $\psi(t)$ — положительная функция, $p(t)$ — непрерывная положительная функция при $t \geqslant 0$. Если $\inf _{t \geqslant 0} \rho(t)<1$ идля всех $t \geqslant t_{0} \geqslant 0$ имеет место неравенство
\[
\psi(t) \leqslant p\left(t-t_{0}\right) \psi\left(t_{0}\right),
\]

то существуют положительные числа $\alpha, B$, не зависящие от $t_{0}$, такие, что при $t \geqslant t_{0} \geqslant 0$ справедливо неравенство
\[
\psi(t) \leqslant B e^{-a\left(t-t_{0}\right)} \psi\left(t_{0}\right) .
\]

В самом деле, существует положительное число $\tau$ такое, что $p(\tau)=\gamma<1$. Положим $\alpha=-\tau^{-1} \ln \gamma$ и $B=\max _{0 \leqslant t \leqslant \tau} e^{\alpha t} p(t)$. Очевидно, что число $B$ с указанным свойством существует в силу непрерывности $\rho(t)$. При $n=0,1, \ldots$ имеем в силу (5.3)
\[
\psi\left(t_{0}+n \tau\right) \leqslant \gamma^{n} \psi\left(t_{0}\right) .
\]

Для любого $t \geqslant t_{0} \geqslant 0$ имеет место при некотором целом и положительном $n$ неравенство $t_{0}+n \tau \leqslant t \leqslant t_{0}+(n+1) \tau$.

Таким образом, получим согласно (5.3) и (5.5)
\[
\psi(\tau) \leqslant \rho\left(t-t_{0}-n \tau\right) \psi\left(t_{0}+n \tau\right) \leqslant \rho\left(t-t_{0}-n \tau\right) \gamma^{n} \psi\left(t_{0}\right) .
\]

Справедливо также неравенство
\[
\psi(t) \leqslant e^{\alpha\left\langle t-t_{0}-n \tau\right\rangle} \rho\left(t-t_{0}-n \tau\right) \gamma^{n} e^{\alpha n \tau} e^{-\alpha\left(t-t_{0}\right)} \psi\left(t_{0}\right) .
\]

Так как $e^{\alpha \tau}=\gamma^{-1}$, то согласно выбору числа $B$ получаем требуемое неравенство (5.4).

Лемма 5.5. Если существуют положительные постоянные $\Phi_{0}$ и W $_{0}$ maкие, что
\[
\int_{t_{0}}^{t}\|W(t, \tau)\| d \tau \leqslant \Phi_{0}, \quad\left\|W\left(t, t_{0}\right)\right\| \leqslant W_{0}
\]

при любых $0 \leqslant t_{0} \leqslant t<\infty$, то можно указать положительные постоянные а и $B$ такие, что
\[
\left\|W\left(t, t_{0}\right)\right\| \leqslant B e^{-\alpha\left(t-t_{0}\right)}
\]

при любых $0 \leqslant t_{0} \leqslant t<\infty$.
Действительно, так как $W\left(t, t_{0}\right)=W(t, \tau) W\left(\tau, t_{0}\right)$, то имеем
\[
\left\|\int_{t_{0}}^{t} W(t, \tau) W\left(\tau, t_{0}\right) d \tau\right\|=\left\|W\left(t, t_{0}\right)\right\|\left(t-t_{0}\right) \leqslant \Phi_{0} W_{0} .
\]

Используя дополнительно неравенство $\left\|W\left(t, t_{0}\right)\right\| \leqslant W_{0}$, получим
\[
\left\|W\left(t, t_{0}\right)\right\| \leqslant \frac{W_{0}\left(1+\Phi_{0}\right)}{1+t-t_{0}}=p\left(t-t_{0}\right) .
\]

В общем случае имеем, очевидно,
\[
\left\|W\left(t, t_{0}\right)\right\| \leqslant\left\|W\left(t, t_{1}\right)\right\|\left\|W\left(t_{1}, t_{0}\right)\right\| \leqslant \rho\left(t-t_{1}\right)\left\|W\left(t_{1}, t_{0}\right)\right\|
\]

и мы можем применить лемму 5.4.
Определение. Нулевое решение уравнения
\[
\dot{y}=A(t) y
\]

назовем экспоненциально устойчивым, если существуют положительные постоянные а и $B$, не зависящие от $t_{0}$ и такие, что любое решение уравнения (5.7) удовлетворяет неравенству
\[
\|y(t)\| \leqslant B e^{\left.-\alpha t^{\prime}-t_{0}\right\}}\left\|y\left(t_{0}\right)\right\| .
\]

Очевидно, что экспоненциально устойчивое нулевое решение будет равномерно асимптотически устойчивым решением при любых начальных возмущениях. Это значит, что нулевое решение будет устойчивым, и что для любых положительных чисел в и $\delta$ можно указать такое число $T>0$, что из $\left\|y\left(t_{0}\right)\right\|<\varepsilon$ следует $\|y(t)\|<\delta$ при $t \geqslant t_{0}+T$.

Если операторная функция $A(t)$ не зависит от $t$, то экспоненциальная устойчивость имеет место тогда и только тогда, когда спектр оператора $A$ лежит внутри левой полуплоскости ([75]).

Теорема 5.1. Пусть $E$ — векторное конечномерное пространство и пусть $\|A(t)\|$ ограничека на J. Для того чтобы всякой ограниченной на $J$ функции и $(t)$ соответствовало ограниченное (равномерно по $t_{0}$ ) решение задачи (4.1), необходимо и достаточно, чтобы нулевое решение уравнения (5.7) было экспоненщиально устойчивым.

Необходимость условий теоремы вытекает из лемм 5.1 5.3 и 5.5.
Достаточность условий следует из формулы (4.2).
Так как из неравенства (5.8) и формулы (4.2) следует неравенство $\left\|W\left(t, t_{0}\right)\right\| \leqslant B e^{-a\left(t-t_{0}\right)}$, то имеем при $\|u(t)\| \leqslant$ $\leqslant c<\infty$
\[
\|x(t)\| \leqslant \int_{t_{0}}^{t}\|W(t, \tau)\|\|u(\tau)\| d \tau \leqslant \frac{B c}{\alpha},
\]

что и дает требуемыи результат.
Необходимость условий теоремы 5.1 была установлена И. Г. Малкиным ([8], стр. 367) с помощью применения функций Ляпунова. Критерий (5.8) был впервые введен К. II. Персидским. В дальнейшем изложении этот критерий будет играть существенную роль.

Наряду с задачей (4.1) рассмотрим теперь более общую задачу
\[
\dot{x}=A(t) x+u(t), \quad x\left(t_{0}\right)=x_{0} .
\]

Теорема 5.2 (Т. Ф. Бриджлэнд [97]). Пусть $\boldsymbol{E}$-векторное конечномерное пространство и \| $A(t) \|$ интегрируена на любом конечном интервале полуоси J. Если всякой ограниченной на $J$ бункции и $(t)$ соответствует при любом $x_{0}$ ограниченное (равномерно по $t_{0}$ ) решение $x(t)$ задачи (5.9), то нулевое решение системы (5.7) будет экспоненциально устойчивым.

В самом деле, полагая $x_{6}=0$, получаем задачу (4.1) и, следовательно, в силу леммы (5.2) будет справедливо неравенство $\int_{t_{0}}^{t}\|W(t, \tau)\| d \tau \leqslant \Phi_{0}$. Полагая $u(t) \equiv 0$, получим ограниченную функцию $y(t)=x(t)=W\left(t, t_{0}\right) x_{0}$ и, следовательно, получим неравенство $\left\|W\left(t, t_{0}\right)\right\| \leqslant W_{0}$. Требуемыи результат вытекает теперь из леммы 5.5.
Разумеется, справедлива и обратная
Теорема. Если всякое решение системы (5.7) удовлетворяет неравенству (5.8), то всякой ограниченной бункции и $(t)$ и любой начальной точке будет соответствовать ограниченное решение задачи (5.9).

Проверка этого факта осуществляется точно так же, как при доказательстве предыдущей теоремы.

Теорема 5.2 интересна тем, что в ее формулировке не накладывается дополнительных ограничений на матрицу $A(t)$, кроме тех, которые обеспечивают существование решения задачи 4.1. Теорема 5.1 справедлива в случае, когда $\boldsymbol{E}$ — банахово пространство. Теорема 5.6, приводимая ниже, значительно усиливает результат, приведенный в теореме 5.1. Однако метод доказательства теоремы 5.1, а так же и результаты и простые методы доказательства предварительных лемм, представляют самостоятельный интерес с точки зрения задачи о накоплении возмущений.
2. Обозначим через $\boldsymbol{L}_{p}^{a}$ пространство функций $u(t)$, определенных на $J$ со значениями в $\boldsymbol{E}$ и таких, что
\[
\int_{0}^{\infty}\|u(t)\|^{p} e^{a p t} d t<\infty .
\]

Через $\boldsymbol{L}_{\infty}^{a}$ обозначим пространство функций, для которых
\[
\text { vrai } \sup _{t \geqslant 0}\|u(t)\| e^{a t}<\infty .
\]

Введем соответственно нормы в пространствах $\boldsymbol{L}_{p}^{a}, \boldsymbol{L}_{\infty}^{a}$
\[
\begin{array}{c}
\|u\|_{(p, a)}=\left(\int_{0}^{\infty}\|u(\tau)\|^{p} e^{a p \tau} d \tau\right)^{1 / p} \quad 1 \leqslant p<\infty, \\
\|u\|_{(\infty, a)}=\operatorname{vrai} \sup _{t \geqslant 0}\|u(t)\| e^{a t} .
\end{array}
\]

Легко видеть, что соответствие $Q_{t}=e^{a t} u(t)$ является линейным взаимно однозначным соогветствием между $L_{p}^{a}$ и $L_{p}^{0}$, сохраняющим норму. Так как пространство $\boldsymbol{L}_{p}^{\prime}=\boldsymbol{L}_{p}$ является при любом $p, 1 \leqslant p \leqslant \infty$ банаховым пространством, то такими же будут и пространства $\boldsymbol{L}_{p}^{a}$.

В силу леммы 5.1 оператор $\Phi_{u}=\int_{0}^{t} W(t, \tau) u(\tau) d \tau$, переводящий пространство $\boldsymbol{L}_{p}^{a}$ в пространство $\boldsymbol{L}_{\infty}^{b}$, будет ограниченным оператором. Это значит, что существует такая положительная постоянная $K$, что
\[
\|\Phi u\|_{(\infty, b)}=\operatorname{vrai} \sup _{t \geqslant 0} e^{b t}\left\|\int_{0}^{t} W(t, \tau) u(\tau) d \tau\right\| \leqslant K\|u\|_{(p, a)} \text {. }
\]

Теорема 5.3 (М. Регис [98]). Пусть выполнено условue
\[
\int_{t}^{t+1}\|A(\tau)\| d \tau<\infty
\]

при $t \geqslant 0$. Если можно указать $p, 1 \leqslant p<\infty$ такое, что для всякой функции и $(t) \subset L_{p}^{a}$ решение задачи (4.1) принадлежит $L_{\infty}^{b}$, где $a>0, b>0$, то можно указать такое положительное число $N$, что выполняется неравенство
\[
\left\|W\left(t, t_{0}\right)\right\| \leqslant N e^{a t_{0}} e^{-b t} .
\]

Докажем теорему. Пусть $\sup _{i \geqslant 0}^{t+1} \int_{i}^{1}\|A(\tau)\| d \tau=A_{1}$. В силу (3.12) имеет место неравенство при $|t-\tau| \leqslant 1$ :
\[
\|W(t, \tau)\| \leqslant e^{A_{1}} .
\]

Определим далее функцию для целого $m \geqslant 0 . \quad n_{m}(t)=$ $=\frac{W(t, m) x_{0}}{e^{a t}\|W(t, m)\|}$ при $m \leqslant t \leqslant m+1,\left\|x_{0}\right\|=1, u_{m}(t)=0$ всюду в остальных точках. Очевидно, $u_{m} \subset L_{p}^{a}$, так как $\left\|\boldsymbol{u}_{m}\right\|_{(p, a)} \leqslant 1$.
Согласно (5.10) имеем
\[
e^{b t}\left\|\int_{0}^{t} W(t, \tau) u_{m}(\tau) d \tau\right\| \leqslant K .
\]

С другой стороны,
\[
\begin{array}{l}
\left\|\int_{0}^{t} W(t, \tau) u_{m}(\tau) d \tau\right\|=\left\|\int_{m}^{m+1} W(t, \tau) \frac{W(\tau, m) x_{0}}{e^{a \tau}\|W(\tau, m)\|} d \tau\right\|= \\
=\|W(t, m)\| \int_{m}^{m+1} \frac{d \tau}{e^{a \tau}\|W(\tau, m)\|} \geqslant e^{-A_{1}} e^{—(m+1) a}\|W(t, m)\| .
\end{array}
\]

Согласно (5.12) получим
\[
\|W(t, m)\| \leqslant K e^{A_{1}} e^{(m+1) a} e^{-b t} .
\]

Если $m \leqslant \tau \leqslant m+1$, то
\[
\|W(t, \tau)\| \leqslant\|W(t, m)\|\|W(m, \tau)\| \leqslant K e^{2 A_{1}+a} e^{a \tau} e^{-b t},
\]

следовательно, можно положить $N=K e^{2 A_{1}+a}$.
Заметим, что мы доказали здесь теорему М. Региса, несколько усилив ее, так как, в отличие от формулировки, данной в [98], мы заменили свойство ограниченности $\|A(t)\|$ на всей полуоси $J$ требованием
\[
\sup _{t \geqslant 0} \int_{t}^{+1}\|A(\tau)\| d \tau=A_{1}<\infty .
\]
3. В 1948 г. теорема 5.1 была перенесена М. Г. Крейном [99] на случай, когда фазовое пространство $\boldsymbol{E}$ является банаховым пространством. Д. Л. Кучер [100] получил аналогичный результат в случае, когда $t(t) \subset \boldsymbol{L}_{p}$. В работе Д. Л. Массера и Д. Шеффера [94] соответствующие теоремы были рассмотрены для случая условной устоичивости. В этих работах снимается обычное требование ограниченности $\|A(t)\|$ и требуется лишь интегрируемость этой функции на любом конечном интервале. Однако чтобы получить результат, аналогичный результату теоремы 5.1, авторы потребовали выполнения условия (5.13). Это условие обеспечивает равномерность асимптотической устойчивости нулевого решения уравнения (5.7), что соответствует независимости величины $B$, фигурирующей в условии (5.8), от величины $t_{0}$.

формулировки теорем, приведенных ниже, так же как и доказательства этих теорем, приведены нами в соответствии с работой [94].

Теорема 5.4. Если для пюбой функции $u(t) \subset \boldsymbol{L}_{p}$, $1<p<\infty$, задача (4.1) имеет ограниченное решение, то существует положительное число а и скалярная положительная функция $N(t)$ такие, что любое решение уравнения (5.7) удовлетворяет неравенству при $t \geqslant t_{0}$ :
\[
\|y(t)\| \leqslant N\left(t_{0}\right) e^{-\alpha\left(t-t_{0}\right)^{1 / q}}\left\|y\left(t_{0}\right)\right\|,
\]

где $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$.
Докажем теорему. Пусть $y(t)$ — ненулевое решение уравнения (5.7). Выберем произвольные числа $\tau \geqslant t_{0}>0$ и определим функцию $\gamma(t)$, полагая $\gamma(t)=1$ при $t_{0} \leqslant t \leqslant t_{0}+\tau$ и $\gamma(t)=0$ вне указанного промежутка.
Очевидно, функция
\[
x(t)=y(t) \int_{t_{0}}^{t} \tau(\tau)\|y(\tau)\|^{-1} d \tau
\]

является решением задачи (4.1) при $u(t)=\gamma(t) y(t)\|y(t)\|^{-1}$. Так как $u(t) \subset L_{p}$ и $\|u\|_{p}=\tau^{1 / p}$, то по условию теоремы $x(t)$ будет ограниченным решением задачи (4.1). В силу леммы 5.1 существует положительная постоянная $K_{p}$ такая, что
\[
\|x(t)\| \leqslant K_{p}\|u\|_{p}=K_{p}^{\tau^{1 / p}} .
\]

Полагая
\[
\varphi(t)=\int_{t_{0}}^{t}\|y(s)\|^{-1} d s,
\]

получим при $\tau>0$
\[
\left\|y\left(t_{0}+\tau\right)\right\| \varphi\left(t_{0}+\tau\right) \leqslant K_{p} \tau^{1 / p} .
\]

Так как $\left\|y\left(t_{0}+\tau\right)\right\|^{-1}=\dot{\varphi}\left(t_{0}+\tau\right)$, то из (5.16) следует
\[
\dot{\varphi}\left(t_{0}+\tau\right) \supseteqq K_{p}^{-1} \tau^{-1 / p} \varphi\left(t_{0}+\tau\right) .
\]

Интегрируя последнее выражение в пределах от $\tau_{0}$ до $\tau$, получим
\[
\varphi\left(t_{0}+\tau\right) \geqslant \varphi\left(t_{0}+\tau_{0}\right) \exp \left[q K_{p}^{-1}\left(\tau^{1 / q}-\tau_{0}^{1 / q}\right)\right] .
\]

В силу (2.28) имеем $\left\|y\left(t_{0}+\tau\right)\right\| \leqslant \Delta\left(t_{0}, \tau\right)\left\|y\left(t_{0}\right)\right\|$, где
\[
\Delta\left(t_{0}, \tau\right)=\exp \int_{t_{0}}^{t_{0}+\tau}\|A(s)\| d s .
\]

Согласно (5.15) имеем
\[
\begin{aligned}
\varphi\left(t_{0}+\tau_{0}\right)=\int_{t_{0}}^{t_{0}+\tau_{0}}\|y(s)\|^{-1} d s & \geqslant\left\|y\left(t_{0}\right)\right\|^{-1} \int_{t_{0}}^{t_{0}+\tau_{0}} \frac{d s}{\Delta\left(t_{0}, s\right)} \geqslant \\
& \geqslant \tau_{0}\left(\left\|y\left(t_{0}\right)\right\| \Delta\left(t_{0}, \tau_{0}\right)\right)^{-1} .
\end{aligned}
\]

Таким образом, из (5.16) и (5.17) следует
\[
\begin{aligned}
\left\|y\left(t_{0}+\tau\right)\right\| \geqslant K_{p} \Delta\left(t_{0}, \tau_{0}\right) \tau_{0}^{-1} \exp & \left(q K_{p}^{-1} \tau_{0}^{1 / q}\right) \tau^{1 / p} \times \\
& \times \exp \left(-q K_{p}^{-1} \tau^{1 / q}\right)\left\|y\left(t_{0}\right)\right\| .
\end{aligned}
\]

Пусть $\alpha$ — произвольное положительное число из интервала $0<\alpha<q K_{p}^{-1}$. Нетрудно убедиться, что
\[
\max \tau^{1 / p} \exp \left(\alpha-q K_{p}^{-1}\right) \tau^{1 / q}=\left|e p q^{-1}\left(q K_{p}^{-1}-\alpha\right)\right|^{-q / p}=\lambda(\alpha) .
\]

Пусть
\[
N\left(t_{0}\right)=N\left(\alpha, t_{0}, \tau_{0}\right)=\Delta\left(t_{0}, \tau_{0}\right) \exp \left(q K_{p}^{-1} \tau_{0}^{1 / q}\right) \max \left(1, K_{p} \lambda(\alpha) \tau_{0}^{-1}\right) .
\]

Очевидно, при $\tau \geqslant 0$ получим
\[
\left\|y\left(t_{0}+\tau\right)\right\| \leqslant N\left(t_{0}\right) e^{-\alpha t_{1 / q}^{1 / q}}\left\|y\left(t_{0}\right)\right\|,
\]

что эквивалентно (5.14).
Теорема 5.5. Если для всякой функции $и(t) \subset \boldsymbol{C}_{0}$ задача (4.1) имеет ограничнное решение, то существует постоянная а и скалярная положительная функция $N(t)$ такие, что любое решение $y(t)$ уравнения (5.7) удовлетворяет при $t \geqslant t_{0} \geqslant 0$ неравенству
\[
\|y(t)\| \leqslant N\left(t_{0}\right) e^{-\alpha\left(t-t_{0}\right)}\left\|y\left(t_{0}\right)\right\| .
\]

Докажем теорему. Определим функцию $\gamma(t)$ следующим образом:
\[
\gamma(t)=\left\{\begin{array}{ll}
1 & \text { при } t \leqslant t_{0}+\tau, \\
1-\left(t-t_{0}-\tau\right) & \text { при } t_{0}+\tau \leqslant t \leqslant t_{0}+\tau+1, \\
0 & \text { при } t_{0}+\tau+1 \leqslant t .
\end{array}\right.
\]

Рассмотрим функцию $u(t)=\gamma(t) y(t)\|y(t)\|^{-1}$, где $y(t)-$ ненулевое решение уравнения (5.7). Очевидно, имеем $\|u(t)\| c_{0}=$ $=1$. Функция
\[
x(t)=y(t) \int_{t_{0}}^{t} \gamma(s)\|y(s)\|^{-1} d s
\]

является решением задачи (4.1) при выбранном возмущении $u(t)$, следовательно, в силу леммы 5.1 имеем при $t \geqslant t_{0}$, $\|x(t)\| \leqslant K$, где $K$ — некоторое положительное число.

Снова определяя функцию $\varphi(t)$ соотношением (5.15), получим
\[
\begin{array}{l}
\left\|y\left(t_{0}+\tau\right)\right\| \varphi\left(t_{0}+\tau\right)= \\
=\left\|y\left(t_{0}+\tau\right)\right\| \int_{t_{0}}^{t_{0}+\tau}\|y(s)\|^{-1} d s \leqslant K,
\end{array}
\]

откуда следует
\[
\dot{\varphi}\left(t_{0}+\tau\right) \geqslant K^{-1} \varphi\left(t_{0}+\tau\right) .
\]

Интегрирование последнего неравенства в пределах от $\tau_{0}$ до $\tau, \tau>\tau_{0}$ дает нам
\[
\varphi\left(t_{0}+\tau\right) \geqslant \varphi\left(t_{0}+\tau_{0}\right) \exp K^{-1}\left(\tau-\tau_{0}\right) .
\]

Таким образом, из (5.19), (5.17) и (5.20) выводим
\[
\left\|y\left(t_{0}+\tau\right)\right\| \leqslant K \exp \left(K^{-1} \tau_{0}\right) \tau_{0}^{-1} \Delta\left(t_{0}, \tau_{0}\right) \exp \left(-K^{-1} \tau\right)\left\|y\left(t_{0}\right)\right\|
\]

и вводя функцию
\[
N\left(t_{0}\right)=\Delta\left(t_{0}, \tau_{0}\right) e^{K-1 \tau_{0}} \max \left(1, K \tau_{\theta}^{-1}\right),
\]

получим требуемый результат
\[
\left\|y\left(t_{0}+\tau\right)\right\| \leqslant N\left(t_{0}\right) e^{-K^{-1} \tau}\left\|y\left(t_{0}\right)\right\| .
\]

Чтобы получить (5.18), достаточно положить $\alpha=K^{-1}$.
Так как любую функцию из $\boldsymbol{C}_{0}$ можно считать принадлежащей любому из пространств $\boldsymbol{C}, \boldsymbol{L}_{\infty}, \boldsymbol{M}_{p}$, то теорема 5.5 будет справедлива и в том случае, если в ее формулировке заменить пространство $\boldsymbol{C}_{0}$ любым из указанных пространств.

Следствие. Если при и $(t) \subset \boldsymbol{C}_{0}$ задача (4.1) имеет ограниченное решение $x(t)$, то это решение обладает свойством $\lim _{t \rightarrow \infty} x(t)=0$.

В самом деле, так как $u(t) \subset \boldsymbol{C}_{0}$, то для любого $\varepsilon>0$ существует $\tau$ такое, что $\|a(t)\| \leqslant \varepsilon K^{-1}$ при $t \geqslant \tau$, где постоянная $K$ взята из доказательства предылущей теоремы.

Определим далее функцию $f(t)$, полагая $f(t)=u(\tau)$ при $t \leqslant \tau$ и $f(t)=u(t)$ при $t \geqslant \tau$. Очевидно, справедливо неравенство $\|f(t)\| \leqslant \varepsilon K^{-1}$ и, следовательно, задача $\dot{y}=A(t) y+$ $+f(t), y\left(t_{0}\right)=0$ имеет ограниченное решение. В силу леммы 5.1 имеем также $\|y(t)\| \leqslant K\|f(t)\| \leqslant \varepsilon$.

Пусть $z(t)$ — решение задачи $z=A(t) z+u(t), \quad z(\tau)=$ $=y(\tau)$. Так как при $t \geqslant \tau y(t)=z(t)$, то $\lim \sup _{t \rightarrow \infty}\|z(t)\| \leqslant \varepsilon$. Если $x(t)$ — решение задачи (4.1), то $x(t)-z(t)$ будет ограниченным решением уравнения (5.7) и по теореме 5.5 будем иметь $\lim _{t \rightarrow \infty}\|x(t)-z(t)\|=0$. Следовательно, имеем также $\lim \sup _{t \rightarrow \infty}\|x(t)\| \leqslant \varepsilon$, и так как $\varepsilon-$ произвольное число, то получаем требуемый результат.

Теорема 5.6. Пусть $A(t)$ удовлетворяет условию (5.13). Если для всякой функции и $(t) \subset \boldsymbol{B}$ (где В-одно из пространств $\left.\boldsymbol{C}_{0}, \boldsymbol{C}, \boldsymbol{M}_{p}, 1 \leqslant p<\infty, \boldsymbol{L}_{p}, \quad 1<p \leqslant \infty\right)$ задача (4.1) имеет ограниченное решение, то нулевое решение уравнения (5.7) экспоненциально устойчиво.
Рассмотрим сначала случай $B=C_{0}$.
Пусть
\[
\sup _{t \geqslant 0} \int_{t}^{+1}\|A(s)\| d s=A_{1}<\infty .
\]

Проводя те же рассуждения, что и при доказательстве теоремы 5.5, примем $\tau_{0}=1$. Получим тогда
\[
N\left(t_{0}\right) \leqslant \exp \left(A_{1}+K^{-1}\right) \max (1, K) .
\]

Таким образом, неравенство (5.8) будет справедливо. Очевидно, точно так же устанавливается справедливость теоремы ири $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{C}, \boldsymbol{B}=\boldsymbol{L}_{\infty}, \boldsymbol{B}=\boldsymbol{M}_{p}, 1 \leqslant p<\infty$.

Іусть теперь $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{L}_{p}, \quad 1<p<\infty$. Повторяя доказательство теоремы 5.4, примем $\tau_{0}=1$. В силу (5.13) получим
\[
N\left(t_{0}\right)=\exp \left(A_{1}+q K_{p}^{-1}\right) \max \left(1, K_{p} \lambda(\alpha)\right)=N,
\]

откуда согласно (5.14) следует
\[
\|y(t)\| \leqslant p\left(t-t_{0}\right)\left\|y\left(t_{0}\right)\right\|,
\]

где
\[
\rho(t)=N \exp \left(-\alpha t^{1 / q}\right) \text { и } \lim _{t \rightarrow \infty} \rho(t)=0 .
\]

Требуемый результат следует теперь из леммы 5.4.
Рассмотрим теперь случай, когда $u(t) \subset \boldsymbol{L}$.
Теорема 5.7. Если для всякой функции и(t) $\subset \boldsymbol{L}$ задача (4.1) имеет огранчченное решение, то любое решение $y(t)$ уравнения (5.7) удовлетворяет неравенству
\[
\|y(t)\| \leqslant N\left\|y\left(t_{0}\right)\right\|,
\]

где $N$ не зависит oт $t_{0}$.
В самом деле, пусть выбраны числа $0 \leqslant t_{0} \leqslant t_{1}$, и $0<\delta \leqslant$ $\leqslant t_{1}-t_{0}$. Положим $\gamma(t)=1$ при $t_{0} \leqslant t \leqslant t_{0}+\delta, \gamma(t)=0$ вне указанного промежутка. Пусть $u(t)=\gamma(t)\|y(t)\|^{-1} y(t)$. Очевидно, функция $u(t)$ принадлежит $L$ и $\|u\|_{1}=\delta$. Следовательно, по условию теоремы
\[
x(t)=y(t) \int_{t_{0}}^{t} \gamma(s)\|y(s)\|^{-1} d s
\]

является ограниченной функцией.
В силу леммы 5.1 имеем
\[
\|x(t)\| \leqslant N\|u\|_{1}=N \text {. }
\]

Так как
\[
\begin{aligned}
\|x(t)\|=\|y(t)\| \int_{t_{0}}^{t} \gamma(s) \| y(s) & \|^{-1} d s= \\
& =\|y(t)\| \int_{t_{0}}^{t_{0}+\delta} \gamma(s)\|y(s)\|^{-1} d s
\end{aligned}
\]

при $t>t_{0}+\delta$, то
\[
\left\|x\left(t_{1}\right)\right\|=\left\|y\left(t_{1}\right)\right\| \int_{t_{0}}^{t_{0}+\delta} \gamma(s)\|y(s)\|^{-1} d s \leqslant N \delta .
\]

При $\delta \longrightarrow 0$ получим
\[
\left\|y\left(t_{1}\right)\right\|\left\|y\left(t_{0}\right)\right\|^{-1} \leqslant N,
\]

откуда в силу произвольности $t_{1}$ и следует требуемый результат.

Очевидно, теорема 5.7 допускает обращение. Если выполнено условие (5.21), то при $t(t) \subset \boldsymbol{L}$ задача (4.1) будет иметь ограниченное решение.
4. Приведем некоторые примеры.
Пример 1 (Л. Массера, Д. Шеффер [94]). Рассмотрим ряд отрезков $J_{n}=\left[n-e^{-n^{2}}, n+e^{-n^{2}}\right], n=1,2, \ldots$ и определим, функцию $\lambda(t)$, полагая $\lambda(t)=1$ вне $J_{n}, \lambda(n)=e^{\text {gn }}$. На каждом из отрезков $J_{n}$ оиределим функцию $\lambda(t)$ так, чтобы выполнялось неравенство $1 \leqslant \lambda(t) \leqslant e^{3 n}$. Очевидно, функция $\lambda(t)$ может быть построена так, что она будет не-прерывной и дифференцируемой при $t>0$.

Рассмотрим линейное однородное уравнение, решением которого является функция $y(t)=e^{-t}(\lambda(t))^{-1}$. Так как
\[
y\left(n+e^{-n^{2}}\right)(y(n))^{-1}=\exp \left(2 n-e^{-n^{2}}\right) \rightarrow \infty,
\]

то решение $y(t)$ не может удовлетворять неравенству типа $|y(t)| \leqslant N\left|y\left(t_{0}\right)\right|$, где $N$ не зависит от $t_{0}$, тем более $y(t)$ не может быть связанным неравенством типа (5.8).

Если $u(t) \subset L_{p}, 1<p \leqslant \infty$, то решение соответствующего неоднородного уравнения
\[
x(t)=\frac{e^{-t}}{\lambda(t)} \int_{0}^{t} e^{s \lambda}(s) u(s) d s
\]

будет ограниченным.
В самом деле, используя неравенство Гёльдера, получим
\[
\begin{array}{l}
|x(t)| \leqslant e^{-t} \int_{0}^{t} e^{s}|u(s)| d s+e^{-t} \sum_{n=1}^{\infty} \int_{J_{n}} e^{s} \lambda(s)|u(s)| d s \leqslant \\
\leqslant q^{-1 / q}\|u\|_{p}+e^{-t}\|u\|_{p} \sum_{n=1}^{\infty} e^{2 n} \exp \left(n+e^{-n^{2}}\right)\left(2 e^{-n^{2}}\right)^{1 / q} \leqslant \\
\leqslant\|u\|_{p}\left\{q^{-1 / q}+e \sum_{n=1}^{\infty} \exp \left(2 n+e^{-n^{2}}\right)\left(2 e^{-n^{2}}\right)^{1 / q}\right\} .
\end{array}
\]

Очевидно, $|x(t)|$ будет ограниченной функцией, так как последний ряд сходится при любом $q$.

Таким образом, в формулировке теорем 5.4 и 5.5 невозможно полагать величину $N\left(t_{\theta}\right)$ не зависящей от $t_{0}$. Чтобы получить это ценное свойство независимости, необходимо либо наложить ограничение типа (5.13) на $A(t)$ (теорема 5.6), либо ограничиться случаем $p=1$, как это сделано в теореме 5.7.

Пример 2 (Л. Массера, Д. Шеффер [94], О. Перрон [101]). Рассмотрим уравнение
\[
\dot{x}+(a-\sin \ln (t+1)-\cos \ln (t+1)) x=u(t),
\]

где $1<a<1+\frac{1}{2} e^{-\pi}$. Очевидно, имеем $\mid a-\sin \ln (t-1)-$
$-\cos \ln (t+1) \mid \leqslant a+\sqrt{2}$, следовательно, $A(t)$ принадлежит
C. Решение однородного уравнения имеет вид
\[
y(t)=y(0) e^{a} e^{-(a-\sin \ln (t+1))(t+1)}
\]

и является ограниченным.
Так как $|y(0)| e^{a} e^{-(a+1)(t+1)} \leqslant|y(t)| \leqslant|y(0)| e^{a} e^{-(a-1)(t+1)}$,

то при $\tilde{t} \geqslant t_{0} \geqslant 0$ имеем
\[
|y(t)| \leqslant e^{2\left(t_{0}+1\right)} e^{-(a-1)\left(t-t_{0}\right)}\left|x\left(t_{0}\right)\right|,
\]

поэтому выполняется неравенство (5.18) и тем более (5.14) при любых $q<\infty$.

Рассмотрим далее соответствующее неоднородное уравнение (5.22), полагая $u(t)=e^{-a(t+1)}$. Очевидно, $u(t) \subset L_{p}$ при $1 \leqslant p \leqslant \infty$ и $u(t) \subset \boldsymbol{C}_{0}$. Решение задачи (4.1) имеет вид
\[
x(t)=e^{-(a-\sin \ln (t+1))(i+1)} \int_{0}^{t} e^{-(s+1) \sin \ln (s+1)} d s .
\]

Положим $t_{n}=e^{(2 n+1 / 2) \pi}, \quad n=1,2, \ldots$ Если $t_{n} e^{-\pi} \leqslant s \leqslant$ $\leqslant t_{n} e^{-\frac{2}{3} \pi}$, то $-1 \leqslant \sin \ln s \leqslant-1 / 2$, и мы имеем
\[
\int_{0}^{t_{n}-1} e^{-(s+1) \sin \ln (s+1)} d s>\int_{t_{n} e^{-\pi}}^{t_{n} e^{-\frac{2}{3} \pi}} e^{-s \sin \ln s} d s>
\]
$>\int_{t_{n} e^{-\pi}}^{t_{n} e^{-\frac{2}{3} \pi}} e^{s / 2} d s=2 \exp \left(1 / 2 t_{n} e^{-\pi}\right)\left\{\exp \left(1 / 2 t_{n}\left(e^{-\frac{2}{3} \pi}-e^{-\pi}\right)\right)-1\right\}$
С другой стороны, $\left(a-\sin \ln t_{n}\right) t_{n}=(a-1) t_{n}$. Поэтому, так как $t_{n} \rightarrow \infty$ и $a<1+\frac{1}{2} e^{-\pi}$, получим
\[
\begin{array}{l}
x\left(t_{n}-1\right)>2 \exp \left(\left(1+\frac{1}{2} e^{-\pi}-a\right) t_{n}\right) \times \\
\times\left\{\exp \left(\frac{1}{2} t_{n}\left(e^{-\frac{2}{3} \pi}-e^{-\pi}\right)\right)-1\right\}
\end{array}
\]

и, следовательно, $x\left(t_{n}-1\right) \rightarrow \infty$. Таким образом, функция $x(t)$ является неограниченнои, следовательно, этот пример показывает, что теоремы 5.4 и 5.5 в общем случае необратимы.

5. Рассмотрим теперь полученные результаты с точки зрения теории автоматического регулирования. В § 1 второй главы уже отмечалось, что всякую автоматическую систему можно рассматривать как совокупность звеньев, каждое из которых характеризуется оператором, переводяцим входной сигнал в выходной сигнал. Было отмечено, что в большинстве случаев оператор звєна может быть описан с помощью передаточной функции. сигнал, тогда можно записать $x=\Phi(u)$, где $\Phi$ — некоторый оператор, может быть, и нелинейный. Допустим, в силу некоторых причин сигнал $u$ изменился и превратился в новый сигнал $u+\delta t ;$ в этом случае сигнал $x$ тоже изменится и перейдет в $x+\delta x$. Очевидно, будем иметь $x+\delta x=\Phi(t+\delta u)$, откуда следует $\delta x=\Phi(u+\delta u)-\Phi(u)$.

Одним из желательных свойств рассматриваемого звена часто бывает свойство нечувствительности по отношению к входному сигналу; это значит, что для любого положительного числа $\varepsilon>0$. можно указать такое $\eta>0$, что из неравенства $\| \delta$ ви $\|<\eta$ следует неравенство $\|\delta x\|<\varepsilon$.

Таким образом, свойство нечувствительности (или, как часто говорят, свойство инвариантности с точностью до в) состоит в том, что оператор звена $\Phi$ является непрерывным.

Если оператор $\Phi$ ограничен, то в этом случае всякому ограниченному возмущению входного сигнала $u$ соответствует ограниченное возмущение выходного сигнала $x$. Это свойство рассматриваемого звена также представляет интерес.

Для линейных операторов, как известно, свойство ограниченности и свойство непрерывности эквивалентны. Если $K=\|\Phi\|$ — норма линейного ограниченного оператора, то имеем $\|\delta x\| \leqslant K\|\delta u\|$.

Очевидно, нечувствительность звена растет с убыванием величины $K$, которую иногда называют коэффициентом усиления звена [102].
Если оператор $\Phi$ задан соотношением
\[
x(t)=\Phi u=\int_{0}^{t} W(t, \tau) u(\tau) d \tau,
\]

то смысл доказанных теорем сводится к следующему. Рассмотрим в качестве входного сигнала функцию $u_{0}(t)=$ $=x_{0} \delta\left(t-t_{0}\right)$, где $\delta\left(t-t_{0}\right)$ — функция Дирака. Тогда получим $\Phi u_{0}=W\left(t, t_{0}\right) x_{0}$. Следовательно, реакция на импульсное воздействие будет в данном случае функцией, являющейся решением задачи $\dot{x}=A(t) x, x\left(t_{0}\right)=x_{0}$. Смысл установленных теорем состоит в том, что из факта ограниченности оператора звена при некоторых дополнительных ограничениях, накладываемых на операторную функцию $A(t)$, выводится суждение об асимптотическом поведении реакции звена на импульсное воздействие.

С точки зрения логической стройности теории наиболее приятными результатами выглядят результаты леммы 5.5, теорем 5.2, 5.4, 5.5 (включая следствие), 5.7, так как в этих теоремах не накладываются дополнигельные ограничения на операторную функцию $A(t)$ и асимптотическое поведение реакции на импульсное воздействие целиком определяется реакцией звена на воздействия, принадлежацие тому или иному пространству, т. е. целиком определяется свойствами оператора Коши. K сожалению, как показали примеры, приведенные выше теоремы 5.4 и 5.5 необратимы.

Теоремы 5.1, 5.2, 5.6 дают условия, при выполнении которых ограниченность оператора $\Phi$ влечет за собой экспоненциальную устойчивость свободной системы. Экспоненциальная устойчивость линейного звена очевидно эквивалентна равномерной асимптотической устойчивости [8].

В теоремах $5.3-5.5$ из свойства ограниченности оператора выводится свойство асимптотической устойчивости, которая может быть и неравномерной.

Впервые важность свойства ограниченности оператора Ф указана в монографии [103]. В этой книге устойчивость фильтра непосредственно отождествлялась с ограниченностью соответствующего оператора. Различные аспекты этой новой теории обсуждались в работах Л. А. Заде [104], Р. Кэлмана [105], Т. Бриджлэнда [97].

На наш взгляд, определение того или иного рода устойчивости звена следует связывать с асимптотическим поведением реакции звена на импульсное воздействие. Эта точка зрения соответствует классическому представлению об устойчивости как о внутреннем свойстве системы, характеризующем поведение системы при дећствии мгновенных возмущений. При этом поведение системы при постоянно дейтвующих возмущениях, конечно, определяется характером устойчивости этой системы, а поведение системы при мгновенных возмущениях определяется характером поведения системы шри постоянно действующих возмущениях.

Отметим еще следующий факт. Выше мы предполагали всюду, что линейный оператор $A(t)$ является ограниченным оператором. Это требование, по существу, нужно было только для того, чтобы обеспечить ограниченность оператора, заданного формулой (4.2). В настоящее время появилось много работ, в которых снимается требование ограниченности оператора $A(t)$. Полученные таким образом результаты могут быть непосредственно применены к исследованию вопросов устойчивости решений уравнений в частных производных $[106,107]$.