Докажем теперь ряд теорем о существовании функции Ляпунова для линейных систем. Приводимые ниже результаты были получены А. М. Ляпуновым; который строил функции в виде однородных форм $m$-го порядка. Однако мы, ограничиваясь для простоты квадратичными формами, несколько усиливаем формулировки А. М. Ляпунова. Это усиление состоит в том, что, рассматривая уравнения (8.9), мы отказываемся от требования знакоопределенности функции (Ю. И. Алимов [9]).

Теорема 9.1. Если все корни характеристического уравнения имеют отриательные вещественные части, то, какова бы ни была наперед заданная знакоотрицательная квадратичная борма $w$, обращающаяся в нуль на множестве $M$, не содержащем целых траекторий, кроме точки $O$, существует одна и только одна квадратичная форма v, удовлетворяющая уравнению (8.9), и эта форма обязательно будет определенно положительной.

В самом деле, по теореме 8.1, так как величина $\lambda_{i}+\lambda_{k}$ не обращается в нуль, существует форма $v$, удовлетворяющая уравнению (8.9). Остается показать, что $v$ является определенно положительной. Допустим, в некоторой точке $p\left(x_{1}^{\prime \prime}, \ldots\right.$, $x_{n}^{0}$ ) выполнено неравенство $v\left(x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}\right)<0$. В силу однородности функции $v$ мы будем иметь неравенство $v\left(k x_{1}^{0}, \ldots\right.$, $\left.k x_{n}^{0}\right)<0$ при любом положительном $k$; это означает, что в любой окрестности точки $O$ имеются точки, в которых $v$ отрицательна. Множество $M$, где $w=0$, не содержит целых траекторий. Из теоремы 6.3 (при замене $v$ на $-v$ и $w$ на – ) следует неустойчивость положения равновесия, что противоречит предположению, так как при условиях теоремы обеспечивается асимптотическая устойчивость. Допустим теперь, что в некоторой точке имеем $v(p)=0$. Так как $\dot{v} \leqslant 0$, и вдоль траектории $f(p, t)$ не может выполняться тождественное равенство $\dot{v}=0$, то найдется точка $q=f(p, t)$, в котоpoй $v(q)<0$, что снова приводит к противоречию. Таким образом, всюду, кроме точки $O$, имеем $v(p)>0$, что и доказывает теорему.

Теорем а 9.2. Если среди корней характеристического уравнения системы (8.1) имеется хотя бы один с положительной вещественной частью, и если ни при каких $i, k$ величина $\lambda_{i}+\lambda_{k}$ не обращается в нуль, то какова бы ни была знакоположительная форма ш, обращающаяся в нуль на множестве $M$, не содержащем целых траекторий, существует одна и только одна квадратичная борма v, удовлетворяющая уравнению (8.9), причем эта борма не будет знакоотрицательной.

В самом деле, по теореме 8.1 форма $v$ существует. Остается лишь доказать, что форма $v$ принимает положительные значения. Допустим, что всюду, кроме точки $O$, выполнено неравенство $v<0$, но в таком случае мы находимся в условиях применения теоремы 5.2 (снова заменяя $v$ на и $w$ на – ), из которой следует, что нулевое решение системы (8.1) асимптотически устойчиво. Однако из предположения теоремы о корнях характеристического уравнения системы (8.1) мы имеем неустойчивость. Если же в какойлибо точке $v(p)=0$, то, так как $\dot{v}$ не может равняться нулю вдоль всей траектории точки $p$, приходим к заключению, что на этой траектории найдется точка $q$, в которой $v(q)>0$, что согласуется с утверждением теоремы. Теорема доказана,
так как последняя возможность существования точек, в которых $v(q)>0$, и является утверждением нашей теоремы.

Примечание. Покажем, что теорема 9.2 становится неверной, если не выполнено условие $\lambda_{i}+\lambda_{k}
eq 0$. Рассмотрим случай, когда среди корней уравнения (8.2) есть нулевой корень. В этом случае определитель $|A|$, составленный из коэффициентов системы (8.1), равен нулю, и система уравнений
\[
\sum_{k=1}^{n} a_{i k} x_{k}=0, \quad i=1,2, \ldots, n
\]

будет иметь ненулевое решение $x_{k}=x_{k}^{0}, k=1,2, \ldots, n$. Какова бы ни была функция $v$, получим в точке $Q\left(x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}\right)$
\[
\frac{d v}{d t}=\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial v}{\partial x_{i}} \sum_{k=1}^{n} a_{i k} x_{k}^{v}=0,
\]

поэтому $\dot{v}$ не будет знакоопределенной; более того, множество, где $\dot{v}=0$, содержит целые траектории, так как точка $Q$ является особой.

Теорема 9.3. Если среди корней характеристического уравнения системы (8.1) существует хотя бы один с положительной вещественной частью, то, какова бы ни была знакоположительная квадратичная форма ш, обращающаяся в нуль на множестве $M$, не содержащем целых траекторий, всегда найдется квадратичная форма $v$ и положительное число а такие, что будет выполняться соотношение
\[
\frac{d v}{d t}=\alpha v+w,
\]

причем функция $v$ не будет знакоотрицательной.
Для доказательства рассмотрим наряду с системой (8.7) систему
\[
\frac{d x}{d \tau}=\left(A-\frac{\alpha}{2} E\right) x .
\]

Характеристическое уравнение этой системы будет иметь вид
\[
\left|A-\left(\frac{a}{2}+\rho\right) E\right|=0 .
\]
Очевидно, корни характеристического уравнения системы (8.7) и системы (9.3) связаны между собой соотношением $\lambda_{i}=p_{i}+\frac{\alpha}{2}$. Выберем а настолько малым, чтобы выполнялись условия:
1) Из $\operatorname{Re} \lambda_{i}>0$ следует $\operatorname{Re} \rho_{i}>0$,
2) $p_{i}+p_{k}
eq 0$ ни при каких целых $l$ и $k$.
Очевидно, первому условию легно удовлетворить, выбирая $\alpha$ достаточно малым. Замечая, что $\rho_{i}+\rho_{k}=\lambda_{i}+\lambda_{k}-\alpha$, мы можем выбрать $\alpha$ не совпадающим ни с одним из конечного множества чисел $\lambda_{i}+\lambda_{k}$, следовательно, можем удовлетворить и второму условию.

По теореме 9.2 существует функция $v$, принимающая положительные значения, и такая, что в силу системы (9.3) $\frac{d v}{d \tau}=w$. Так как
\[
\frac{d v}{d \tau}=\left(A-\frac{\alpha}{2} E\right) x \operatorname{grad} v=A x \operatorname{grad} v-\frac{\alpha}{2} x \operatorname{grad} v,
\]

и так как по теореме Эилера об однородных функциях
\[
x \operatorname{grad} v=\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial v}{\partial x_{i}} x_{i}=2 v,
\]

то имеем
\[
w=\frac{d v}{d \tau}=\frac{d v}{d t}-\alpha v,
\]

где через $\frac{d v}{d t}$ обозначена производная функции $v$, взятая в силу системы (8.7). Таким образом, соотношение (9.2) доказано.