1. Как и в предыдущем параграфе, здесь будут рассмотрены нелинейные системы третьего порядка. Так же как и ранее, точки фазового пространства переводятся сначала на некоторую поверхность, а затем в скользящем режиме совершают движение по этой поверхности к началу координат. Однако, в отличие от способа формирования управления, рассмотренного ранее, введение дополнительных изменяемых параметров управляющего устройства позволяет обеспечить для любого движения скользящий режим на всем протяжении времени, начиная с некоторого момента. Это последнее обстоятельство и позволяет получить свойство асимптотичежкой устойчивости нулевого решения системы.
Рассмотрим дифференциальное уравнение
\[
\begin{array}{l}
\ddot{x}+F(x, \dot{x}, \ddot{x}, t)+ \\
\quad+\left(K|x|+K_{1}|\dot{x}|\right) \operatorname{sign}(\ddot{x}-\varphi(x, \dot{x}))=0 .
\end{array}
\]

Здесь $K, K_{1}$ – положительные параметры, $F(x, \dot{x}, \ddot{x}, t)$, $\varphi(x, \dot{x})$ – непрерывные функции своих аргументов при всех значениях $x, \dot{x}, \ddot{x}$ и $t \geqslant 0$.
Уравнение (8.1) эквивалентно системе
\[
\begin{array}{c}
\dot{x}=y, \\
\dot{y}=z, \\
z=-F(x, y, z, t)-\left[K|x|+K_{1}|y|\right] \operatorname{sign}(z-\varphi(x, y)) .
\end{array}
\]

Предположим, что выполнены следующие условия:
a) $|F(x, y, z, t)| \leqslant a|x|+b|y|+c|z|$ для любых значений $x, y, z, t \geqslant 0$. Здесь $a, b, c$ – неотрицательные постоянные.
b) Функция $\varphi(x, y)$ всюду определена и непрерывно дифференцируема по $x$ и $y$, причем существуют такие положительные числа $M$ и $N$, что выполняются соотношения $\left|\varphi_{x}^{\prime}\right| \leqslant M,\left|\varphi_{y}^{\prime}\right| \leqslant N$ для всех $x$ и $y$.
c) $x \varphi(x, 0)<0$ при $x
eq 0, y[\varphi(x, y)-\varphi(x, 0)]<0$ при $y
eq 0, \int_{\mp \infty}^{0} \varphi(x, 0) d x=\infty$.

Заметим, что условие а) обеспечивает продолжаемость движений системы (8.2), по крайней мере до того момента времени, пока точка не попадет на поверхность $S$, заданную уравнением $z=\varphi(x, y)$. Если все точки некоторой области $O$ фазового пространства попадут при своем движении на поверхность $\mathcal{S}$, а потом с ростом $t$ будут двигаться по $S$ к началу координат в силу системы
\[
\dot{x}=y, \quad \dot{y}=\varphi(x, y),
\]

то мы и получим требуемое свойство асимптотической устоичивости нулевого решения.

Теорема 8.1. Пусть функции $F(x, y, z, t) \boldsymbol{u} \varphi(x, y)$ удовлетворяют условиям а), b), с), а параметр $K_{1}$ фиксирован и выбран согласно неравенству
\[
K_{1} \geqslant b+M+c N+N^{2}
\]

и пусть задана ограниченная область $а$ фазового пространства. Можно указать такое положительное число $K_{0}$, ито при $К>K_{0}$ нулевое решение системы (8.2) будет асимптотически устойчивым, причем область $О$ будет лежать в области притяжения начала координат.

Покажем сначала, что увеличивая $K$, можно получить скользящий режим на всей поверхности $S$. В самом деле, беря производную функции $s(x, y, z)=z-\varphi(x, y)$ в силу системы (8.2), получим
\[
\frac{d s}{d t}=\Phi(x, y, s, t)-\left(K|x|+K_{1}|y|\right) \operatorname{sign} s,
\]

где $\Phi(x, y, s, t)=-F(x, y, s+\varphi(x, y), \quad t)-\varphi_{x}^{\prime} y-$ $\varphi_{y}^{\prime}(s+\varphi(x, y))$. Поскольку для функций $F(x, y, z, t)$ и $\varphi(x, y)$ выполнены соотношения a), b), то функция $\Phi(x, y, s, t)$ также удовлетворяет аналогичному а) неравенству:
\[
|\Phi(x, y, s, t)| \leqslant A|x|+B|y|+C|s|,
\]

где $A=a+c M+N M, B=b+M+c N+N^{2}, C=c+N$. Вычислим предельные значения производной $\dot{S}$ при приближении изображающей точки системы (8.2) к поверхности $S$ :
\[
\begin{aligned}
\lim _{s \rightarrow-0} \dot{s}=\Phi(x, y, 0, t)+K|x| & +K_{1}|y|> \\
& >(K-A)|x|+\left(K_{1}-B\right)|y|
\end{aligned}
\]

и
\[
\begin{aligned}
\lim _{s \rightarrow+0} \dot{s}=\Phi(x, y, 0, t)-K|x| & -K_{1}|y|< \\
& <(A-K)|x|+\left(B-K_{1}\right)|y|
\end{aligned}
\]

при всех значениях $x$ и $y$.
Для того чтобы обеспечить режим скольжения на всей поверхности $z=\varphi(x, y)$ достаточно, очевидно, потребовать выполнения неравенств $K \geqslant A$ и $K_{1} \geqslant B$.

Покажем теперь, что для любой ограниченной области $G$ фазового пространства можно подобрать такое значение $K_{0}$, что при $K>K_{0}$ любая точка $M(t)$ области $G$, двигаясь с ростом $t$ по траектории системы (8.2), попадет на поверхность $S$. Так же как и ранее, проведем в системе (8.2) замену переменных $t=p \tau, X=x, Y=p y, Z=p^{2} z, p=K^{-1 / 8}$. Новая система будет иметь вид
\[
\left.\begin{array}{rl}
\frac{d X}{d \tau}=Y, \quad \frac{d Y}{d \tau}=Z & \left(R=Z-\rho^{2} \varphi\left(X, \rho^{-1} Y\right)\right), \\
\frac{d Z}{d \tau}=-|X| \operatorname{sign} R-\rho^{2} K_{1}|Y| \operatorname{sign} R- \\
-\rho^{3} F\left(X, \rho^{-1} Y, \rho^{-2} Z, \rho \tau\right) .
\end{array}\right\}
\]

При большом значении $K$ величина $\rho$ играет роль малого параметра, поэтому упрощенная система при $p=0$ запишется в виде
\[
\frac{d X}{d \tau}=Y, \quad \frac{d Y}{d \tau}=Z, \quad \frac{d Z}{d \tau}=-|X| \operatorname{sign} R .
\]

Систему (8.8) мы уже изучали при доказательстве теоремы (7.1). Любая точка фазового пространства, двигаясь по траектории системы (8.8), попадет на поверхность $S$ за конечный промежуток времени. Исключение составляют лишь точки фазового пространства, лежащие на интегральной прямой $X=-Y=Z$, они приближаются к началу координат асимптотически.

Из условия (а) следует ограниченность в области $Q$ величины $p^{2} F\left(X, p^{-1} Y, p^{-2} Z, p \tau\right)$ при малых значениях $p$. Выбирая $p$ достаточно малым и используя известные соображения, вытекающие из свойства непрерывности решений по параметру, приходим к выводу, что все точки области $G$, за исключением достаточно узкой трубки, описанной около прямой $X=-Y=Z$, двигаясь в силу системы (8.7), попадут на поверхность $\mathcal{S}$ за конечный промежуток времени, а точки указанной трубки либо выйдут с ростом времени из этой трубки и попадут на $S$, либо останутся в ней и, следовательно, тоже попадут на $\mathcal{S}$ за конечный или бесконечный промежуток времени.

Попав на поверхность $\mathcal{S}$, изображающая точка будет двигаться по ней в силу системы (8.3). Из рассмотрения примера 4 в $\S 14$ первой главы следует, что условия (с) обеспечивают асимптотическую устойчивость нулевого решения этой системы. Таким образом, показано, что любая точка области $O$ будет асимптотически приближаться к началу координат. Чтобы завершить доказательство теоремы, остается лишь, ссылаясь на лемму 4.5, установить факт устоичивости по Ляпунову. Очевидно, рассуждения, аналогичные проведенным при доказательстве теоремы 4.1, легко приводят нас к требуемому заключению.

Примечание 8.1. Пусть $x_{0}>0, y_{0} \geqslant 0, z_{0} \geqslant \varphi\left(x_{0}, y_{0}\right)$. Пользуясь результатом лемм 4.1, 4.2 и 4.3 , нетрудно получить для системы (8.2) оценку времени попадания $T$ точки $M\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ на поверхность скольжения $S$. Эта оценка имеет вид
\[
T \leqslant \frac{z_{0}-\varphi\left(x_{0}, y_{0}\right)}{K x_{0}}(1+O(\rho)),
\]

где через $O(p)$ обозначена величина порядка малости $\rho$. Если $x_{0}, y_{0}, z_{0}$ – числа произвольного знака, то общее время пребывания изображающей точки в области $|x|>\delta, z
eq \varphi(x, y)$ не превосходит величины
\[
T_{1}=3 \frac{\left|z_{0}-\varphi\left(x_{0}, y_{0}\right)\right|}{K \delta}(1+O(\rho)) .
\]
2. Рассмотрим дифференциальное уравнение
\[
\begin{array}{l}
\ddot{x}+F(x, \dot{x}, \ddot{x})+ \\
+\left(K|x|+K_{1}|\dot{x}|+K_{2}|\ddot{x}|\right) \operatorname{sign}(\ddot{x}-\varphi(x, \dot{x}))=0,
\end{array}
\]

где функции $F(x, \dot{x}, \ddot{x}), \varphi(x, \dot{x})$ удовлетворяют снова условиям a), b), с). В отличие от предыдущего случая, полагаем, однако, функцию $F(x, \dot{x}, \ddot{x})$ не зависящей явно от $t$.
Уравнение (8.9) эквивалентно системе
\[
\begin{array}{c}
\dot{x}=y, \\
\dot{y}=z, \\
z=-F(x, y, z)-\left(K|x|+K_{1}|y|+K_{3}|z|\right) \times \\
\times \operatorname{sign}(z-\varphi(x, y)) .
\end{array}
\]

Теорема 8.2. Если функции $F(x, y, z)$ и $\varphi(x, y)$ удовлетворяют условиям а), b), с), а параметры $K, K_{1}, K_{8}$ выбраны согласно неравенствам
\[
K \geqslant a, \quad K_{1} \geqslant b+1+M, \quad K_{2} \geqslant c+N,
\]

то нулевое решение системы (8.10) будет асимптотически устойчивым в целом.

Докажем теорему. Рассмотрим новую координату $s=$ $=z-\varphi(x, y)$, и перепишем систему (8.10) в новых координатах $x, y, s$ :
\[
\begin{array}{l}
\dot{x}=y, \\
\dot{y}=s+\varphi(x, y), \\
\dot{s}=-F(x, y, s+\varphi(x, y))- \\
\quad \quad-\varphi_{x}^{\prime} y-\varphi_{y}^{\prime}(s+\varphi(x, y))- \\
-\left(K|x|+K_{1}|y|+K_{2}|s+\varphi(x, y)|\right) \text { sign } s .
\end{array}
\]

Рассмотрим функцию Ляпунова
\[
v=s^{2}+y^{2}-2 \int_{0}^{x} \varphi(x, 0) d x .
\]

Из условия с) следует, что функция $v$ является определенно положительной и бесконечно большой.
Вычислив производную $\dot{v}$ в силу системы (8.12), получим
\[
\begin{array}{r}
\dot{\boldsymbol{v}}=2 y[\varphi(x, y)-\varphi(x, 0)]-2|s|\left[K|x|+K_{1}|y|+\right. \\
\left.+K_{z}|s+\varphi(x, y)|\right]+2 s\left[-F(x, y, s+\varphi(x, y))-\varphi_{x}^{\prime} y-\right. \\
\left.-\varphi_{y}^{\prime}(s+\varphi(x, y))+y\right] .
\end{array}
\]

Принимая во внимание условия a), b), получим
\[
\begin{array}{l}
\dot{v} \leqslant 2 y[\varphi(x, y)-\varphi(x, 0)]-2|s|\left[(K-a)|x|+\left(K_{1}-\right.\right. \\
\left.-b-M-1)|y|+\left(K_{2}-c-N\right)|s+\varphi(x, y)|\right] .
\end{array}
\]

Так как, по условиям теоремы, выполняются соотношения c) и (8.11), то из последнего неравенства следует, что производная функции $v$, взятая в силу системы (8.12), будет знакоотрицательной функцией, обращающейся в нуль на оси $O x$. Очевидно, на оси $O x$ нет целых траекторий системы (8.2), за исключением особой точки $O(0,0,0)$; кроме того, функция $v$ является бесконечно большой. Таким образом, можно применить теперь теорему (12.2) первой главы, что и заканчивает доказательство нашей теоремы.

Что касается соображений относительно качественного расположения траекторий системы (8.9), то легко видеть, что поверхность $Z=\varphi(x, y)$ является поверхностью скольжения во всех ее точках. Это проверяется вычислениями, подобными тем, которые проведены в доказательстве теоремы 8.1. Поэтому изображающая точка системы (8.9) при $t \rightarrow \infty$ либо непосредственно приближается асимптотически к началу координат, либо попадает предварительно через конечное время на поверхность скольжения, а затем, двигаясь по ней, также асимптотически приближается к началу координат.