1. Рассмотрим уравнение третьего порядка
\[
\ddot{x}+a \ddot{x}+b \dot{x}+c x=-a K x,
\]

эквивалентное системе
\[
\dot{x}=y, \dot{y}=z, \quad z=-c x-b y-a z-\alpha K x .
\]

Пусть параметры $a, b, c, K$ будут произвольными постоянными, причем коэффициент $K$ положителен.
Величину $\alpha$ определим по формуле
\[
\alpha=\operatorname{sign}[x A \operatorname{sign} x(y+D x)+B y+z] x,
\]

где $A, B, D$ – положительные постоянные.
Таким образом, величина $\alpha$ может изменить знак на одной из плоскостей:
\[
\begin{array}{r}
x=0, T(x, y)=y+D x=0, \\
R_{1}(x, y, z)=A x+B y+z=0, \\
R_{2}(x, y, z)=-A x+B y+z=0 .
\end{array}
\]

Поверхность переключения составлена из плоскости $x=0$, поверхности $\mathcal{S}$, которая состоит из частей $S_{1}, S_{3}$ плоскости $R_{1}=0$, частей $S_{2}$ и $S_{4}$ плоскости $R_{2}=0$, и частей $T_{1}$ и $T_{2}$ плоскости $T(x, y)=y+D x=0$ (рис. 16). Точки поверхности $\mathcal{S}$, для которых $y+D x
eq 0$, удовлетворяют, очевидно, уравнению
\[
R(x, y, z)=A x \operatorname{sign} x(y+D x)+B y+z=0 .
\]

Поверхность $S$ и плоскость $x=0$ делят фазовое пространство на четыре области, $G_{1}, G_{2}, G_{3}, G_{4}$, определяемые соответственно неравенствами
\begin{tabular}{ll}
область $G_{1}:$ & $x \geq 0, R>0$ \\
область $G_{2}:$ & $x<0, R \geq 0$, \\
область $G_{3}:$ & $x<0, R<0$, \\
область $G_{4}:$ & $x>0, R<0$.
\end{tabular}

Очевидно, имеем $\alpha=1$ в областях $G_{1}$ и $G_{3}$ и $\alpha=-1$ в областях $G_{9}$ и $G_{4}$.

На поверхности $S$ вблизи прямой $N_{1} O N_{2}$, по которои пересекаются плоскости $R_{1}=0, R_{2}=0$ и $x=0$, выделяются секторы $L_{1} O L_{2}$ и $L_{3} O L_{4}$, в которых траектории системы (11.2) «прошивают» поверхность $\mathcal{S}$. Можно показать, что путем выбора достаточно большого $K$ углы этих секторов можно сделать как угодно малыми. Во всех остальных точках поверхность $S$ является поверхностью скольжения. Плоскость $x=0$ является «прошиваемой» плоскостью.
2. Теорем 11.1 . Если параметры $A$, $B, D$ положительны и $K \geqslant K_{0}$, где $K_{0}-$ Рис. 16.

достаточно большое число, то все решения системы (11.2) обладают свойством $\lim _{t \rightarrow \infty} x(t)=\lim _{t=\infty} y(t)=\lim _{t \rightarrow \infty} z(t)=0$.

Наибольший интерес представляет поведение траекторий в случае, когда выполнены неравенства
\[
B^{2}-4 A<0, \quad D<0,5\left(B+\sqrt{B^{2}+4 A}\right) .
\]

Этот случай, являющийся наиболее трудным, мы и рассмотрим подробно в дальнейшем. Типичное поведение траектории при выполнении неравенств (11.6) описывается следующим образом. Произвольная точка фазового пространства либо попадает через конечный промежуток времени на поверхность $\mathcal{S}$, либо за бесконечный промежуток времени непосредственно в начало координат. Если точка $M$ попадет на части $S_{1}$ или $S_{3}$ поверхности $S$, то в дальнейшем она будет двигаться в силу системы
\[
\dot{x}=y, \quad \dot{y}=-A x-B y
\]

по спиралевиднои кривой, пока не дойдет до плоскости $T=0$. Пройдя плоскость $T=0$, точка $M$ должна попасть, например, с части $S_{3}$ на часть $S_{2}$, а с части $S_{1}$ на часть $S_{4}$. На частях $S_{3}$ и $S_{4}$ плоскости $R_{2}=0$ действует система
\[
\dot{x}=y, \dot{y}=A x-B y,
\]

и если $K$ достаточно велико, то точка $M$ пойдет по кривой гиперболического типа снова к плоскости $T=0$. Однако, проидя эту плоскость, точка снова попадет в область притяжения плоскости $R_{1}=0$. Таким образом, переходя с одной стороны плоскости $T=0$ на другую и колеблясь между плоскостями $R_{1}=0$ и $R_{2}=0$, точка $M$ придет в начало координат, т. е. мы получаем неидеальный скользящий режим движения точки $M$ по поверхности $S$. В плоскости $T=0$ существует прямая линия
\[
y+D x=0, z+D y=0,
\]

которая, в некогором смысле, направляет движение изображающей точки к началу координат.

В некоторых случаях при выполнении неравенств (11.6) движение изображающей точки в заключительной стадии может происходить по-иному. Дойдя по поверхности $S_{3}$ до плоскости $T=0$, точка $M$ соидет с нее, но может не дойти до части $S_{2}$, а повернуть вокруг линии (11.9) обратно к $S_{3}$. В этом случае точка $M$, быстро вращаясь вокруг линии (11.9), будет асимптотически приближаться к началу координат.

Ниже дается подробное обоснование высказанных сейчас положенић.
3. Перейдем к доказательству теоремы.
Пусть для определенности точка $M$ в начальный момент времени лежит в области $G_{1}$. Покажем сначала, что с ростом $t$ точка $M$ попадет на поверхность $S$.

Из доказательства теоремы 9.1 второй главы следует, что с ростом времени точка $M$ либо попадет на плоскость $R_{1}=0$, а следовательно, на часть $S_{1}$ или $S_{4}$ поверхности $S$, либо на плоскость $x=0$. В последнем случае точка $M$ выйдет в область $G_{2}$. Область $G_{2}$ рассекается интегральной плоскостью системы (11.2) при $\alpha=-1$ на две части. Уравнение этой плоскости имеет вид
\[
\left(\gamma^{2}+\delta^{2}\right) x-2 \gamma y+z=0,
\]

где $\gamma$ и $\delta$-вепественная и мнимая части корней уравнения
\[
\lambda^{3}+a \lambda^{2}+b \lambda+c-K=0 .
\]

При $K$ достаточно большом уравнение (11.11) имеет пару комплексных корней $\gamma \pm i \delta(\gamma<0, \delta>0)$ и вещественный положительный корень $\mu$. Очевидно, с ростом $K$ неограниченно растут и величины $|\gamma|, \delta$, $\mu$. Если точка $M$ лежит выше интегральной плоскости (10.10), то с ростом $t$ она выйдет на плоскость $x=0$ (при $y<0$ ) или попадет на плоскость $R_{2}=0$, т. е. на части $S_{2}$ или $S_{4}$ поверхности $S$.

Если же точка $M\left(x_{0}, y_{0}, z_{\theta}\right)$ лежит ниже плоскости (11.10), то нетрудно показать, что $M$ не может выити из области $O_{2}$ через плоскость $x=0$. Справедливость этих утверждений вытекает из доказательства теоремы 9,1.

С другой стороны, легко видеть, что вдоль траектории точки $M$ имеем
\[
R_{2}(x, y, z)=c_{0} e^{\mu t}\left(\mu^{2}+B \mu-A\right)+\varphi(t),
\]

где $\varphi(t) \rightarrow 0$ при $t \rightarrow \infty$ и
\[
c_{0}=\left[\left(\gamma^{2}+\delta^{2}\right) x_{0}-2 \gamma y_{0}+z_{0}\right]\left[(\mu-\gamma)^{2}+\delta^{2}\right]^{-1} .
\]

Так как величина $\mu^{2}+B \mu-A$ при $K$ достаточно больщом является положительной, то величина $R_{9}(x, y, z)$ необходимо должна перейти из области положительных значений $\left(R_{2}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)>0\right)$ в область отрицательных значений. Таким образом, точка $M$ либо попадет на часть $S_{2}$ или $S_{3}$ поверхности $\mathcal{S}$, либо выйдет на плоскость $x=0$ при $y \geqslant 0$. Но в последнем случае в $\S 9$ доказано, что точка $\bar{M}$, попав в область $G_{1}$, необходимо должна попасть на плоскость $R_{1}=0$, т. е. либо на части $S_{1}, S_{4}$ поверхности $S$, либо на часть $T_{1}$ плоскости $T=0$.

Итак, любая точка фазового пространства необходимо попадает на поверхность $S$.
4. Рассмотрим далее движение точки $M$ по поверхности $S$, предполагая выполненными неравенства (11.6).

Так как $B^{2}-4 A<0$, то точка $O$ для системы (11.7) является особой точкой типа «фокус», а для системы (11.8) особой точкой типа «седло».

Из второго неравенства (11.6) следует, что одна из сепаратрис системы (11.8) лежит на частях $S_{z}$ и $S_{4}$ поверхности $\mathcal{S}$.

Таким образом, легко устанавливается характер движения точки по поверхности $S$ до тех пор, пока точка не дойдет до плоскости $T=y+D x=0$ или до секторов прошиваемости $L_{1} O L_{2}, L_{3} O L_{4}$. В последнем случае точка $M$, оторвавшись от поверхности $\mathcal{S}$, снова понадает на нее по другую сторону сектора, причем величина отклонения точки от $\mathcal{S}$ с ростом $K$ становится как угодно малой (см. § 7 второй главы).

Остается рассмотреть поведение точек, попавших на плоскость $T=0$, т.е. на одну из линий $O Q_{i}(i=1,2,3,4 ;$ рис. 16). Допустим, для определенности, что точка $M$ лежит на линии $O Q_{1}$.

Нетрудно видеть, что при выполнении условий (11.6) след плоскости $z+D y=0$ на плоскости $T=0$ лежит в секторе, образованном следами плоскостей $R_{1}=0$ и $R_{2}=0$. Поэтому вдоль траектории движения точки $M$ величина $\dot{T}$ меняет знак и движение является существенно криволинейным.

Опираясь на метод малого параметра, можно показать путем рассуждений, приведенных в § 10 , что движение изображающей точки в заключительной стадии будет происходить по некоторой спиралевидной кривой, охватывающей прямую (11.9); это движение и будет скольжением второго порядка. Таким образом, скольжение второго порядка осложнено быстрыми движениями вокруг прямой (11.9). Игнорирование быстрых движений приведет к идеализации скольжения второго порядка, и мы получим уравнение $\dot{x}+D x=0$, описывающее идеальное скольжение второго порядка.
5. Остановимся кратко на описании остальных случаев, когда хотя бы одно из неравенств (11.6) не выполняется. Если выполнено неравенство
\[
B^{2}-4 A \geqslant 0,
\]

то начало координат для системы (11.7) будет особой точкой типа «узел». Если наряду с (11.13) выполнено неравенство
\[
D<0,5\left(B+\sqrt{B^{2}+4 A}\right),
\]

то часть точек $S_{1}$ и $S_{3}$ будет входить в начало координат вдоль прямой
\[
y=-0,5\left(B-\sqrt{B^{2}-4 A}\right) x, R_{1}=0,
\]

а остальные точки снова будут попадать на плоскость $y+$ $+D x=0$ и совершать в дальнейшем к точке $O$ скользящее движение точно такого же типа, какое мы рассматривали ранее.
Если наряду с (11.13) выполнено условие
\[
D \geqslant 0,5\left(B+\sqrt{B^{2}+4 A}\right) \text {, }
\]

то все точки поверхности $S$ будут завершать свое движение к началу координат вдоль прямой (11.15).

Если наряду с (11.16) выполнено неравенство $B^{2}-4 A<0$, то «второе скольжение» ие будет иметь места. В этом случае изображающая точка, попав, например, на часть $S_{3}$, доходит до линии $O Q_{1}$. Если $K$-достаточно большая величина, то линия $O Q_{1}$ целиком далее переходит в линию $O Q_{1}^{\prime}$, лежащую как угодно близко к линии $O Q_{2}$. В самом деле, след плоскости $D y+z=0$ на плоскости $T=0$ лежит в этом случае вне сектора, образованного следами плоскостей $R_{1}=0$, $R_{2}=0$. В области $T_{1} \geqslant 0, R_{2}>0, x<0$ действует неустойчивая система, так как $\alpha=-1$. Величина $\dot{T}$ вдоль траектории движения не меняет знак. Поэтому при $K$ достаточно большом переход точки $M$ с линии $O Q_{1}$ на линию $O Q_{1}^{\prime}$ можно считать совершающимся по некоторой прямой.

Попав на линию $O Q_{1}^{\prime}$, изображающая точка $M$ будет скользить по части $S_{2}$ до тех пор, пока не дойдет до сектора прошиваемости $L_{1} O L_{9}$. Попав на линию $O L_{1}$, изображающая точка сойдет с поверхности $S$ и через малый промежуток времени (сравнить с $\S 7$ ) снова попадет на поверхность $\mathcal{S}$, но уже на часть $S_{1}$.

Заметим, что если бы проекция точки $M$ на плоскости $(x, y)$ двигалась в силу системы (11.7), то за время $\Delta t$ она попала бы на линию $D_{1} x+y=0$ (с точностью до малых $o\left(K^{-1}\right)$ ). Этот факт подсказывает следующую интерпретацию движения по поверхности $S$ : поверхность $R=0$ непрерывна, $R=R_{1}(x, y, z)$ и знак $A$ меняется не на плоскости $T=0$, а на плоскости $T^{\prime}=D_{1} x+y=0$.

Если пренебречь в этом случае ошибкой одинакового порядка с $K^{-2}$, то движение точки по поверхности $S$ можно описать системой
\[
\dot{x}=y, \dot{y}=-B y-\alpha_{1} A x, \alpha_{1}=\operatorname{sign} x\left(y+D_{1} x\right) .
\]

Производная по времени функции $v=A x^{2}+y^{2}$, взятая в силу системы (11.17), имеет вид
\[
\begin{aligned}
\dot{v}=-2 B y^{2}+2 A & \left(1-\alpha_{1}\right) x y= \\
& =\left\{\begin{array}{ll}
-2 B y^{2} & \text { при }\left(D_{1} x+y\right) x \geqslant 0, \\
-2 B y^{2}-4 A|x y| & \text { при }\left(D_{1} x+y\right) x<0 .
\end{array}\right.
\end{aligned}
\]

Следовательно, функция $v(x, y)$ удовлетворяет условиям теоремы 12.2 первой главы, из которой следует асимптотическая устойчивость в целом нулевого решения системы (11.17). Впрочем, справедливость нашей теоремы в данном случае вытекает из непосредственного качественного исследования поведения траекторий на поверхности $S$. Заметим, что в этом случае изображающая точка движется к точке $O$ по спиралевидной кривой, отклоняющенся незначительно от $S$ в секторах $L_{1} O L_{2}, L_{3} O L_{4}$.

Заметим, наконец, что доказанную теорему можно было бы трактовать как теорему об асимптотической устоичивости нулевого положения равновесия. Ради математической строгости
Рис. 17.

можно было бы в этом случае показать, что для любого $\varepsilon>0$ можно указать число $\delta$ такое, что из $x_{0}{ }^{2}+y_{0}{ }^{2}+z_{0}{ }^{2}<\delta^{2}$ следовало бы при $t>0 x^{2}(t)+y^{2}(t)+z^{2}(t) \leqslant \varepsilon^{2}$, где $x(t), y(t)$, $z(t)$ – решение системы (11.2), определяемое начальными условиями $x(0)=x_{0}, y(0)=y_{0}, z(0)=z_{0}$.

Однако доказательство этого факта мы опускаем, заметим только, что это доказательство можно было бы провести точно так же, как это сделано в § 8 второй главы.

На рис. 17 приводятся графики переходных процессов, полученные на модели МН-14, при следующих значениях параметров: $a=0, b=0, c=1, K=100$. Кривая (1) соответ: ствует значениям параметров $A=12, B=2, D=2,34$. Очевидно, в этом случае выполняются оба неравенства (11.6). Кривая (2) соответствует случаю, когда выполняются неравенства (11.13) и (11.14); здесь принято $A=10, B=10$, $D=5$. Кривая (4) совпадает с кривой (2), так как она получена при $A=10, B=10, D=20$. Изменение $D$ обеспечило в этом случае выполнение неравенств (11.13) и (1116), однако не отразилось на протекании переходного процесса, что вполне соответствует выводам, приведенным выше, так как в обоих рассмотренных случаях движение завершается вдоль прямой (11.15).

Наконец, кривая (3) соогветствует значениям $A=10$, $B=2, D=10$. В этом случае выполнены неравенства $B^{2}-$ – $4 A<0$ и (11.16), следовательно, скольжение второго порядка отсутствует.

Таким образом, только переходный процесс, изображенный кривой (1), соответствует процессу с наличием скольжения второго порядка. Из сравнения указанных кривых следует вывод о значительных преимуществах систем переменной структуры с форсированным скользящим режимом.