Достаточно высокая скорость протекания переходного процесса в системах с переменной структурой обеспечивается отчасти за счет понижения размерности фазового пространства системы, так как переходу в скользящий режим соответствует переход движения точки фазового пространства в движение по некоторой поверхности скольжения, имеющей низшую размерность.

Естественной кажется мысль ускорить протекание процесса скольжения путем организации нового скольжения вдоль поверхности еще более низкой размерности. Таким образом, понижая последовательно размерность поверхности скольжения, мы должны на конечном этапе получить движение вдоль некоторой одномерной линии. К указанным соображениям приводит также рассмотрение оптимальных систем, так как характерным для протекания оптимального процесса является также последовательное понижение размерности многообразии, по которым движется точка фазового пространства.

Очевидно, процесс скольжения описывается системой дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями. Так как уравнение поверхности скольжения после обычного перехода от координат к производным переходит в дифференциальное уравнение, описывающее процесс скольжения, то отсюда следует, что для наличия скольжений более высоких порядков, основная ( $n-1$ )-мерная поверхность скольжения должна быть разрывной.

Таким образом, организация чистого (идеального) скольжения более высокого порядка оказывается невозможной. Можно получить только неидеальное скольжение, характеризуемое наличием быстрых движений точки фазового пространства в окрестности поверхности разрыва. Пренебрегая этими быстрыми колебаниями и фиксируя внимание на медленном движении точки фазового пространства, можем свести рассмотрение процесса неидеального скольжения к рассмотрению процесса идеального скольжения, описываемого уравнением более низкого порядка.

Таким образом, всякий режим неидеального скольжения рассматривается нами как режим идеального скольжения с точностью до быстрых движении. С этой точки зрения основную\” исследуемую систему дифференциальных уравнений будем рассматривать как систему, описывающую неидеальное скольжение. Пренебрегая быстрыми движениями, получим систему, описывающую скольжение первого порядка. Разделяя в новой системе быстрые и медленные движения, получим систему ( $n-2$ )-го порядка, описывающую скольжение второго порядка и т. д.

Разделение быстрых и медленных движений можно осуществить путем введения малого параметра.

Если после организации скольжения перв ого порядка следящая система работает удовлетворительно, то нет необходимости введения в системе скольжений второго порядка. Если же переходные процессы в системе совершаются недостаточно быстро, то следует организовать скольжение второго порядка. Таким образом, организация в системе регулирования скольжений достаточно высоких порядков (быть может, до ( $n-1$ )-го порядка включительно) может обеспечить требуемое улучшение динамических свойств системы.
1. Перейдем к определению скольжения $m$-го порядка.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
\[
\left.\begin{array}{l}
\dot{x}_{i}=x_{i+1}, \quad i=1, \ldots, n-1, \\
\dot{x}_{n}=-\sum_{k=1}^{n} c_{0 k} x_{k},
\end{array}\right\}
\]

где коэффициенты $c_{0 k}$-произвольные постоянные при $k=2, \ldots, n$, а величина $c_{01}$ определяется соотношениями
\[
\begin{aligned}
c_{01} & =b_{0}(K) \operatorname{sign} x_{1} \sigma_{1}, \quad \sigma_{1}=\sum_{k=1}^{n} c_{1 k} x_{k}, \\
\cdots & \cdots \cdot \cdots \cdot \cdots \cdot \cdots \cdot \cdots \cdot . \\
c_{m 1} & =b_{m}(K) \operatorname{sign} x_{1} \sigma_{m+1}, \quad \sigma_{m+1}= \\
& =\sum_{k=1}^{n-m} c_{m+1, k} x_{k}, m=1, \ldots, n-1, \\
c_{n 1} & =1, \quad \sigma_{n}=x_{1} .
\end{aligned}
\]

Здесь $K$-достаточно большая положительная постоянная величина, $b_{0}(K), \ldots, b_{n-1}(K)$ – положительные функции $K$, причем
\[
\lim _{k \rightarrow \infty} \frac{b_{i+1}(K)}{b_{i}(K)}=0, \quad b_{i}(K) \rightarrow \infty, \quad i=0,1, \ldots, n-1,
\]

при $K \rightarrow \infty$. Коэффициенты $c_{i k}$ при $k
eq 1$ предполагаются постоянными, причем $c_{k, n-k+1}=1$, при $k=1, \ldots, n$. В некоторых случаях закон изменения $c_{01}$ может быть упрощен, а цепочка соотношений (10.2) укорочена. Это делается путем выполнения требования $\sigma_{r}=x_{1}$ для некоторого $r, 1 \leqslant r<n$. Полагаем в этом случае $c_{r 1}=b_{r}(K)=1$ и $c_{m k}=0$ при $m=r+1, \ldots, n$.

Произведем в системе (10.1) замену времени $t=\mu \tau$, где $\mu=\left[b_{0}(K)\right]^{-1}$ играет роль малого параметра. Новая система будет иметь вид
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d x_{i}}{d \tau}=\mu x_{i+1}, \quad i=1, \ldots, n-1, \\
\frac{d x_{n}}{d \tau}=-\left|x_{1}\right| \operatorname{sign} \sigma_{1}-\mu \sum_{k=2}^{n} c_{0 k} x_{k} .
\end{array}\right\}
\]

При $\mu=0$ получим уравнение
\[
\frac{d x_{n}}{d \tau}=-\left|x_{1}\right| \operatorname{sign} \sigma_{1},
\]

описывающее быстрое движение системы. Это уравнение в совокупности с условиями
\[
x_{i}=x_{i}^{0}=\mathrm{const}, \quad l=1, \ldots, n-1
\]

выделяет в системе координату $x_{n}$, имеющую более быстрое изменение по сравнению с остальными координатами. Предположим сначала, что $x_{1}^{0}
eq 0$. В силу уравнения (10.4) точка фазового пространства совершает быстрое движение по прямой (10.5) к точке, определяемой уравнением $\sigma_{1}=0$ или, что то же самое, уравнением
\[
x_{n}=-c_{11} x_{1}^{0}-\ldots-c_{1, n-1} x_{n-1}^{0} .
\]

Заметим, что здесь величина $c_{11}$, зависящая от $x_{1}^{0}, \ldots, x_{n-1}^{0}$, является постоянной, поэтому уравнение (10.6) для данных начальных значений точно определяет предельную величину переменной $x_{n}$.

Не производя пока полного анализа движения изображающей точки в силу (10.1), можем сделать вывод, что медленное движение точки фазового пространства этой системы будет совершаться вблизи или на поверхности (10.6). Отсюда следует, что уравнение
\[
x_{1}^{(n-1)}+c_{1, n-1} x_{1}^{(n-2)}+\ldots+c_{11} x_{1}=0,
\]

эквивалентное системе
\[
\left.\begin{array}{rl}
\dot{x}_{i} & =x_{i+1}, \quad i=1, \ldots, n-2, \\
\dot{x}_{n-1} & =-\sum_{k=1}^{n-1} c_{1 k} x_{k},
\end{array}\right\}
\]

приближенно описывает медленное движение системы (10.1).
Таким образом, при достаточно большом значении $K$ систему (10.8) можно рассматривать как систему, описывающую скольжение первого порядка.

Рассматривая теперь систему (10.8) как исходную, и применяя к ней аналогичные рассуждения, в частности, заменяя время $t=\mu_{1} \tau$, где $\mu_{1}^{-1}=b_{1}(K)$, получим систему, подобную системе (10.8):
\[
\left.\begin{array}{rl}
\dot{x}_{i} & =x_{i+1}, \quad i=1, \ldots, n-3 \\
\dot{x}_{n-2} & =-\sum_{k=1}^{n-2} c_{2 k} x_{k},
\end{array}\right\}
\]

описывающую скольжение второго порядка.
Скольжение $m$-го порядка описывается системой
\[
\left.\begin{array}{rl}
\dot{x}_{i} & =x_{i+1}, \quad i=1, \ldots, n-m-1, \\
\dot{x}_{n-m} & =-\sum_{k=1}^{n-m} c_{m, k} x_{k} .
\end{array}\right\}
\]

В частности, скольжение $n-1$-го порядка определяется уравнением
\[
\dot{x}_{1}=-x_{1} .
\]

Заметим еще раз, что переход от системы ( $n-m+1$ )-го порядка к системе $(n-m)$-го порядка, описывающей скольжение $m$-го порядка, происходит в результате некоторой идеализации движения, состоящей в рассмотрении движения с точностью до быстро меняющихся компонент.
2. Чтобы предыдущие рассуждения не были формальными, необходимо рассмотреть более подробно две проблемы. Нужно показать, что скользящий режим существует, и показать, что система начиная с некоторого момента времени входит в скользящий режим. Остановимся сначала на вопросе существования скольжения.

Чтобы поверхность $\sigma_{1}=0$ (в точках, где $\sigma_{2}
eq 0$ ) была поверхностью скольжения системы (10.1), необходимо выполнение в точках поверхности соотношений
\[
\lim _{\sigma_{1} \rightarrow+0} \dot{\sigma}_{1}<0, \lim _{\sigma_{1} \rightarrow-0} \dot{\sigma}_{1}>0 .
\]

Из уравнений (10.1) и (10.2) получим
\[
\dot{\sigma}_{1}=-c_{01} x_{1}+\left(c_{11}-c_{02}\right) x_{2}+\ldots+\left(c_{1, n-1}-c_{0 n}\right) x_{n} .
\]

Чтобы условия (10.12) выполнялись, достаточно потребовать выполнения неравенства
\[
b_{0}(K)\left|x_{1}\right|>\left|\left(c_{11}-c_{02}\right) x_{2}+\ldots+\left(c_{1, n-1}-c_{0 n}\right) x_{n}\right| .
\]

Таким образом, скольжение отсутствует в той части поверхности $\sigma_{1}=0$, где выполнено неравенство:
\[
b_{0}(K)\left|x_{1}\right|<\left|\left(c_{11}-c_{02}\right) x_{q}+\ldots+\left(c_{1, n-1}-c_{0 n}\right) x_{n}\right| .
\]

При достаточно большом $K$ это будет узкий сектор, содержащий внутри себя многообразие $\sigma_{1}=0, x_{1}=0$, назовем его сектором прошиваемости. Дойдя до границы сектора прошиваемости, точка фазового пространства сходит с поверхности $\sigma_{1}=0$ с тем, чтобы быстро вернуться на нее. Таким образом, мы получаем здесь быстрое движение и, следуя нашей методике, можем им пренебречь. Дойдя до поверхности $\sigma_{1}=0$, точка фазового пространства снова начинает совершать быстрые движения от одной части поверхности $\sigma_{1}=0$ (при $c_{11}>0$ ) к другой (при $c_{11}<0$ ). Это будет скольжение второго порядка, которое детально рассмотрено ниже.

Рассуждение о существовании скользящего режима, проведенное для системы (10.1), разумеется, справедливо и для системы (10.10). Таким образом, доказывается существование у системы (10.1) скольжений всех порядков от первого до $(n-1)$-го включительно.
3. Задача доказательства попадания точки фазового пространства на поверхность $\sigma_{i}=0$ осложняется тем обстоятельством, чтто коэффициенты, входящие в уравнения этих поверхностей, могут быть неположительными. Более того, коэффициенты $c_{i 1}$ при $i=1, \ldots, n-2$, являются знакопеременными.

Из уравнения (10.4) следует, что если $x_{1}^{0}
eq 0$ и $\sigma_{1}>0$, то величина $x_{n}$ убывает до тех пор, пока величина $\sigma_{1}$ не станет равной нулю. Если же $\sigma_{1}<0$, то величина $x_{n}$ будет возрастать снова до тех пор, пока не получим равенство $\sigma_{1}=0$. Так как попадание изображающей точки на поверхность $\sigma_{1}=0$ происходит за конечный промежуток времени, то аналогичный вывод можно сделать и для полной системы (10.3), если только в процессе движения выполнено неравенство $\left|x_{1}^{0}\right|>\varepsilon$. Если же выполнено неравенство $\left|x_{1}^{0}\right|<\varepsilon$, где $\varepsilon-$ достаточно малое число, то цель процесса регулирования следует считать достигнутой.

Аналогичное рассуждение можно провести и для любой из систем (10.10).

Более детальное обсуждение проблемы попадания изображающей точки на поверхность переключения будет проведено для системы третьего порядка в следующем параграфе.
4. Рассмотрим теперь более подробно движения системы (10.1), сопутствующие скольжению первого порядка. Ранее было показано, что эти движения описываются уравнением (10.4) в совокупности с условиями $x_{i}=x_{i}^{9}=$ const при $l=$ $=1, \ldots, n-1$. На оси переменной $x_{n}$ рассмотрим точки
\[
\begin{array}{l}
\sigma_{1}^{+}=x_{n}+b_{1}(K) x_{1}^{0}+c_{12} x_{2}^{0}+\ldots+c_{1, n-1} x_{n-1}^{0}=0, \\
\sigma_{1}^{-}=x_{n}-b_{1}(K) x_{1}^{0}+c_{12} x_{2}^{0}+\ldots+c_{1, n-1} x_{n-1}^{0}=0 .
\end{array}
\]

Очевидно, что при достаточно большом $K$ точки $\sigma_{1}^{+}=0$ и $\sigma_{1}=0$ находятся по разные стороны от точки $x_{n}=0$.

Величина $\sigma_{2}\left(x_{1}^{0}, \ldots, x_{n-1}^{0}\right)$ при рассмотрении быстрых движений является постоянной величиной. Для определенности будем считать, что $x_{1}^{0}>0$ и $\sigma_{2}\left(x_{1}^{0}, \ldots, x_{n-1}^{0}\right)>0$. В точках оси $x_{n}$, где выполнено неравенство $\sigma_{1}^{-} \geqslant 0$, имеем также $\sigma_{1}^{+}>0$ и поэтому $\sigma_{1}>0$. В области $\sigma_{1}^{+}<0$ соответственно получим $\sigma_{1}<0$. Если же выполнены одновременно неравенства $\sigma_{1}^{+}>0$ и $\sigma_{1}^{-}<0$, то, учитывая, что $\sigma_{2}>0$, из соотношений (10.2) получим $\sigma_{1}=\sigma_{1}^{+}$и, следовательно, в этой области $\sigma_{1}>0$. Таким образом, в области $\sigma_{1}^{+}>0$ действует уравнение
\[
\frac{d x_{n}}{d \tau}=-x_{1}^{0}
\]

а в области $\sigma_{1}^{+}<0$ действует уравнение
\[
\frac{d x_{n}}{d \tau}=x_{1}^{0} .
\]

Из любого положения на прямой $O x_{n}$ точка $M$ движется в силу уравнения (10.4) до положения $\sigma_{1}^{+}=0$, которое является в данном случае положением равновесия.

Если выполнено неравенство $\sigma_{2}\left(x_{1}^{3}, \ldots, x_{n-1}^{0}\right)<0$, то положением равновесия будет точка $\sigma_{1}^{-}=0$. Если же $x_{1}^{0}<0$, то точки $\sigma_{1}^{-}$и $\sigma_{1}^{+}$поменяют свое положение относительно начала координат и картина останется прежней.

Так как $x_{1}^{0}, \ldots, x_{n-1}^{0}$ в действительности медленно меняются, то медленно движется и положение равновесия, однако в момент, когда $\sigma_{2}\left(x_{1}^{0}, \ldots, x_{n-1}^{0}\right)$ или $x_{1}^{0}$ меняет знак, положение равновесия мгновенно меняет свою координату, т. е. переходит из точки $\sigma_{1}^{+}=0$ в точку $\sigma_{1}^{-}=0$ или наоборот. Изображающая точка при этом меняет свое направление движения от прежнего положения равновесия к новому. Таким образом, в заключительной стадии движения изображающая точка совершает колебания между положениями $\sigma_{1}^{+}=0$ и $\sigma_{1}^{-}=0$. Заметим, что амплитуда рассматриваемых колебаний будет уменьшаться.

В самом деле, координата $x_{n}$ положения равновесия линейно зависит от остальных медленно меняющихся координат $x_{1}^{0}, \ldots, x_{n-1}^{0}$. Изменение этих координат описывается приближенно системой (10.8). Если система (10.8) устойчива, то и точки $\sigma_{1}^{+}=0, \sigma_{1}^{-}=0$ будут медленно совершать движение к нулевой точке. Таким образом, из устойчивости системы (10.8) следует устойчивость системы (10.1).

Все проведенные здесь рассуждения справедливы для любой системы вида (10.10). Так как процесс, описываемый уравнением (10.11), устойчив, то, рассматривая последовательно системы возрастающего порядка, убедимся в устойчивости системы (10.1).
5. Ранее мы определили скольжение второго порядка как движение, описываемое системой (10.9). Система (10.9) была получена в результате игнорирования быстрых движений системы (10.8), описывающей скольжение первого порядка. Представляет интерес изучение скольжения второго порядка не косвіенным образом, а непосредственно в фазовом пространстве системы (10.1) с учетом быстрых движений. С этон целью проведем в системе (10.1) замену координат $y_{i} \rightleftharpoons x_{i}$, $(i=1, \ldots, n-1), y_{n}=
u x_{n}, t=v \tau,
u^{-2}=b_{0}(K)$. Новая система примет следующий вид:
\[
\left.\begin{array}{rl}
\frac{d y_{i}}{d \tau} & =v y_{i+1}, \quad i=1, \ldots, n-2, \\
\frac{d y_{n-1}}{d \tau} & =y_{n}, \\
\frac{d y_{n}}{d \tau} & =-v c_{0 n} y_{n}-v^{2} \sum_{k=2}^{n-2} c_{0 k} y_{k}-\left|y_{1}\right| \operatorname{sign} \sigma_{1} .
\end{array}\right\}
\]

Предположим далее, что $\lim _{k \rightarrow \infty} b_{1}^{2}(K) b_{0}^{-}{ }^{1}(K)=0$. При $
u=0$ получаем систему второго порядка:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d y_{n-1}}{d \tau}=y_{n}, \\
\frac{d y_{n}}{d \tau}=-\left|y_{1}^{0}\right| \operatorname{sign} \sigma_{1}, y_{i}=y_{i}^{n}=\mathrm{const} \text { при } i=1, \ldots, n-2,
\end{array}\right\}
\]

описывающую быстрые движения. Поверхность $\sigma_{1}=0$ изобразится на плоскости $\left(y_{n-1}, y_{n}\right)$ линией, составленной из полупрямых
\[
\left.\begin{array}{l}
\sigma_{1}^{+}=y_{n}+v c_{1, n} y_{n-1}+v\left(\sum_{k=2}^{n-2} c_{1 k} y_{k}^{0}+b_{1}(K) y_{1}^{0}\right)=0, \\
\sigma_{1}^{-}=y_{n}+v c_{1, n} y_{n-1}+v\left(\sum_{k=2}^{n-2} c_{1 k} y_{k}^{n}-b_{1}(K) y_{1}^{0}\right)=0 .
\end{array}\right\}
\]

При $K$ достаточно большом прямые $\sigma_{1}^{+}=0$ и $\sigma_{1}^{-}=0$ лежат по разные стороны от начала координат. Поверхности $\sigma_{2}=0$ будет соответствовать линия, составленная из отрезков прямых
\[
\left.\begin{array}{c}
\sigma_{2}^{+}=y_{n-1}+b_{2}(K) y_{1}^{0}+\sum_{k=2}^{n-2} c_{2 k} y_{k}^{0}=0, \\
\sigma_{2}^{-}=y_{n-1}-b_{2}(K) y_{1}^{0}+\sum_{k=2}^{n-2} c_{2 k} y_{k}^{0}=0 .
\end{array}\right\}
\]

Очевидно, при $K$ достаточно большом линии $\sigma_{2}^{+}=0$ и $\sigma_{2}^{+}=0$ лежат по разные стороны от начала координат.

Пусть для определенности $y_{1}^{0}>0$. Величина $\sigma_{3}\left(y_{1}^{n}, \ldots\right.$ $\ldots, y_{n-2}^{0}$ ) постоянна и поэтому имеет определенный знак или равна нулю. Пусть $\sigma_{3}\left(y_{1}^{1}, \ldots, y_{n-2}^{0}\right)>0$. Из соотношений (10.2) следует, что в эгом случае $\sigma_{2}\left(y_{1}^{n}, \ldots, y_{n-1}\right)=$ $=\sigma_{2}^{+}\left(y_{1}^{0}, \ldots, y_{n-1}\right)$.

Таким образом, имеем $\sigma_{1}>0$ в области $\sigma_{1}^{-}>0$ и в области $\sigma_{1}^{+}>0$, $\sigma_{9}^{+}>0$. Следовательно, в этих областях действует система
\[
\frac{d y_{n-1}}{d \tau}=y_{n}, \quad \frac{d y_{n}}{d \tau}=-y_{1}^{0} .
\]

В области $\sigma_{1}^{\perp}<0$ и в области $\sigma_{1}^{-}<0$, $\sigma_{2}^{+}<0$ действует система
\[
\frac{d y_{n-1}}{d \tau}=y_{n}, \quad \frac{d y_{n}}{d \tau}=y_{1}^{0} .
\]

Таким образом, линия переключения системы (10.4) является ломаной $A B C E F$ (рис. 15). Если $\sigma_{3}\left(y_{1}^{0}, \ldots, y_{n-2}^{0}\right)<0$, то линией переключения будет ломаная $A B D E F$. На рис. 15 показан вид интегральной кривой системы (10.14) в случае $\sigma_{3}>0, y_{1}^{0}>0$, $c_{12} y_{2}^{0}+\ldots+c_{1, n-2} y_{n-2}^{0}<$ $<0$.

Точка $M$, двигаясь по параболе в силу системы (10.16), попадает на прямую $C F$ и скользит по ней до точки $C$. Из точки $C$ движение далее происходит по параболе в силу системы (10.17) до точки $\digamma_{1}$, лежащей на прямой $\sigma_{2}^{+}=0$. В точке $P_{1}$ происходит переключение и в дальнейшем движение происходит по предельному циклу $P_{1} P_{2} C P_{3}$.

Мы описали сейас быстрое движение системы. Диаметр рассматриваемого предельного цикла, очевидно, является величиной одинакового порядка малости с ». Кроме того, с (медленным) убыванием величин $y_{1}^{n}, \ldots, y_{n-2}^{n}$ вдоль траектории диаметр предельного цикла также убывает. Отсюда следует, что если система (10.9), описывающая скольжение второго порядка, устойчива, то будет устойчивой и система (10.1).