1. Пусть каждому вещественному значению $t$ поставлен. в соответствие оператор $X(x,t)$, переводящий простренство $\mathit{E}$ в себя. В этом случае можно рассматривать дифференциальное уравнение
$$\dot{x}=X(x,t),$$

где через $\dot{x}$ обозначена, как обычно, производная абстрақтной функции $x(t)$ по $t$.

Очевидно, что решение уравнения (2.1), удовлетворяющее начальному условию $x\left(t_0\right)=x_0$, должно быть также решением интегрального уравнения
$$x(t)=x_0+{\int }_{t_0}^{t}X(x(t),t)dt.$$

Обозначим через $D$ область $\Vert x-x_0\Vert ⩽r,|t-t_0|⩽T$, и предположим, что в этой области операторная функция $X(x,t)$ непрерывна и удовлетворяет условию Липшица
$$\Vert X(x,t)-X(y,t)\Vert ⩽L\Vert x-y\Vert .$$

В силу непрерывности $X(x,t)$ функция $\Vert X(x_0,t)\Vert$ будет ограниченной на отрезке $|t-t_0|⩽T$ и пусть $M_0=sup\Vert X(x_0,t)\Vert$ на этом отрезке. Из условия Липшица имеем
$$\Vert X(x,t)\Vert ⩽\Vert X(x_0,t)\Vert +L\Vert x-x_0\Vert ⩽M_0+rL.$$

Таким образом, полагая $M=M_0+rL$, получим в области $D$
$$\Vert X(x,t)\Vert ⩽M\text{. }$$

Приведем теперь, опираясь на принцип сжатых отображений, простейший вариант теоремы существования и единственности решения уравнения (2.1).

Теорема 2.1. Уравнение (2.1) при указанных выше условиях имеет единственное решение $x(t)$, удовлетворяющее условию $x\left(t_0\right)=x_0$; это решение определено на интервале $|t-t_0|<r{M}^{-1}$.
Для доказательства теоремы рассмотрим оператор
$$A(x(t))=x_0+{\int }_0^{t}X(x(t),t)dt,$$

переводящий непрерывную функцию $x(t)$ также в непрерывную функцию. Пространство $C$ непрерывных функций $x(t)$ с. нормой
$$\Vert x(t){\Vert }_C=\underset{t-t_0\mid ⩽1}{sup}\Vert x(t){\Vert }_E$$

будет, очевидно, банаховым пространством.
Из условия (2.3) следует
$$\Vert A(x(t))-A(y(t)){\Vert }_C⩽L|t-t_0|\Vert x(t)-y(t){\Vert }_C,$$

а из неравенства (2.4) получим
$${\Vert A(x(t))-x_0\Vert }_C⩽M(t-t_0).$$

Если положить $|t-t_0|<r{M}^{-1}$, то получим $\Vert A(x(t))-$ — $x_0{\Vert }_C⩽r$ и, кроме того,
$$\Vert A(x(t))-A(y(t)){\Vert }_c⩽\alpha \Vert x(t)-y(t){\Vert }_C,$$

где $\alpha =rL{M}^{-1}=rL{(M_0+rL)}^{-1}<1$. Таким образом, оператор $A$ переводит шар $\Vert x(t)-x_0\Vert ⩽r$ банахова пространства в себя и удовлетворяет условиям теоремы 1.2.

Доказанная теорема утверждает существование решения лишь на интервале $|t-t_0|<d$, где $d=r{M}^{-1}$; беря конец интервала за исходную точку, можем продолжить решение и далее, однако, нет гарантии, что такое продолжение возможно на весь бесконечный промежуток времени. Очевидно, что в случае непродолжаемости траектория выходит при ограниченных значениях $t$ за пределы любой ограниченной области пространства $\mathit{E}$.

Уточним последнее утверждение. Пусть решение $x(t)$ при $t⩾t_0$ не выходит из некоторой области $G_1$, заданной неравенством $\Vert x-x_0\Vert <r_1$, где $r_1<r$. Пусть в области $G$, заданной неравенством $\Vert x-x_0\Vert <r$, выполнено при $t⩾t_0$ условие (2.3) и, кроме того, условие
$$\Vert X(x_0,t)\Vert ⩽N<\mathrm{\infty }.$$

Из условий (2.3) и (2.5) следует, что $\Vert X(x,t)\Vert ⩽M$ при $t⩾t_0$, где $M=N+rL$.

Очевидно, в любой момент времени, пока траектория находится в области $G_1$, ее можно продолжить снова на промежуток времени $d=r{M}^{-1}$, не зависящий от момента времени, в который мы осуществляем продолжение. Таким образом, в данном случае решение может быть продолжено на промежуток времени $t_0⩽t<\mathrm{\infty }$. Игак, сейас мы доказали следующее утверждение:

Теорема 2.2. Ecли в области $\Vert x-x_0\Vert ⩽r<\mathrm{\infty }$, $t⩾t_0$ выполнены условия (2.3) $u$ (2.5), то всякая траектория, не выходящая из некоторой подобласти $\Vert x-x_0\Vert ⩽r_1<r$, продолжима на бесконечный интервал времени $t_0⩽t<\mathrm{\infty }$.
Приведем и другие признаки продолжаемости решений Теорема 2.3. Пусть при $\Vert x\Vert <\mathrm{\infty },t⩾t_0$ выполнено условие
$$\Vert X(x,t)\Vert ⩽L(\Vert x\Vert ),$$

где $L(r)$ — непрерывная бункция, обладающая свойством
$${\int }_{r_0}^r\frac{dr}{L(r)}\to \mathrm{\infty }\text{ npu }r\to \mathrm{\infty }.$$

Всякое решение уравнения (2.1) может быть продолжено на бесконечный интервал времени $t_0⩽t<\mathrm{\infty }$.
В самом деле, так как
$$\Vert \frac{x\left(t_2\right)-x\left(t_1\right)}{t_2-t_1}\Vert ⩾\left|\frac{\Vert x\left(t_2\right)\Vert -\Vert x\left(t_1\right)\Vert }{t_2-t_1}\right|,$$

то имеем $\Vert \frac{dx}{dt}\Vert ⩾\left|\frac{d\Vert x\Vert }{dt}\right|$. Отсюда следует, что $\left|\frac{d\Vert x\Vert }{dt}\right|⩽$ $⩽L(\Vert x\Vert )$. Беря интеграл вдоль кривой $x=x(t)$ от точки $x_0=x\left(t_0\right)$ до точки $x$ в сторону возрастания $t$, получим
$$t-t_0⩾{\int }_{\Vert x_0\Vert }^{\Vert x}\frac{dr}{L(r)}.$$

Таким образом, если $\Vert x\Vert \to \mathrm{\infty }$, то и $t\to \mathrm{\infty }$, что означает продолжаемость решения. Если же величина $\Vert x$ || остается ограниченной, то решение будет продолжаемым в силу теоремы 2.2 .

Теорема 2.4 (М. А.Красносельский, С.Г.Креин [74|). Пусть существует бункционал $\mathrm{\Phi }(x)$, обладающий свойством
$$\underset{\Vert x\Vert \to \mathrm{\infty }}{lim}\mathrm{\Phi }(x)=\mathrm{\infty },\frac{d\mathrm{\Phi }}{dt}⩽L(\mathrm{\Phi }(x))$$

при $t⩾t_0$, где через $\frac{d\mathrm{\Phi }}{dt}$ обозначена производная $\mathrm{\Phi }(x)$ вдоль траекторий уравнения (2.1), а функция $L(r)$ удовлетворяет условию (2.7); тогда всякое решение уравнения (2.1) будет продолжаемым на интервале $t_0⩽t<\mathrm{\infty }$.

В самом деле, из условия (2.7) снова получаем (2.8). Если $\Vert x\Vert \to \mathrm{\infty }$, то и $\mathrm{\Phi }(x)\to \mathrm{\infty }$, следовательно, имеем $t\to \mathrm{\infty }$, что означает продолжаемость неограниченного решения.

Из теоремы 2.3, в частности, следует, что если в $\mathit{E}$ выполнены условия (2.3) и (2.5) при $t⩾t_0$, то всякое решение уравнения (2.1) продолжаемо на полубесконечный интервал времени. Очевидно, для применения теоремы 2.3 в данном случае следует положить $L(r)=Lr+N$.

В заключение приведем теорему, которая значительно обобщает условия существования, данные в теореме 2.1.

Теорема 2.5 (М.А.Красносельский, С.Г.Крей [74]). Пусть $X(x,t)=X_1(x,t)+X_2(x,t)$, где оператор $X_1(x,t)$ вполне непрерывен, $m$. е. переводит всякое оараниченное множество из $D$ в компактное множество пространства $\mathit{E}$, а оператор $X_2(x,t)$ непрерывен в $D$ и удовлетворяет условию
$$\Vert X_2(x,t)-X_2(y,t)\Vert ⩽K(t)\Vert x-y\Vert .$$
$$\begin{array}{r}\text{ Пусть }d>0\text{, такое, что }{\int }_{t_0-d}^{t_0+d}K(t)dt<1\text{ ll }\\ d[\underset{D}{sup}\Vert X_1(x,t)\Vert +\underset{D}{sup}\Vert X_2(x,t)\Vert ]⩽r.\end{array}$$

Тогда существует решение $x(t)$ уравнения (2.1), определенное на отрезке $t_0-d⩽t⩽t_0+d$, и такое, что $x\left(t_0\right)=x_0$.

Всюду в дальнейшем мы не будем специально оговаривать условия, обеспечивающие существование решений рассматриваемых дифференциальных уравнении, а будем всегда считать эти условия выполненными.
2. Следующая лемма является значительным обобщением леммы 1.1 первой главы.

Лемма 2.1. Пусть и(t) и $f(t)$ — скалярные, неотрицательные, интегрируемые на отрезке $t_0⩽t⩽t_0+T$ функции. Пусть, кроме того, скалярная неотрицательная оункция $K(t,s)$ ограничена при $t_0⩽s⩽t⩽t_0+T$.

Если имеет место неравенство
$$u(t)⩽f(t)+{\int }_{t_0}^{t}K(t,s)u(s)ds,$$

то справедливо неравенство и $(t)⩽\psi (t)$ при $t_0⩽t⩽t_0+T$, где $\psi (t)$-решение интегрального уравнения
$$\psi (t)=f(t)+{\int }_{t_0}^{t}K(t,s)\psi (s)ds.$$

Лемму 2.1 докажем, слелуя ([75], стр. 64), где рассмотрен случай непрерывных функций $u(t),f(t),K(t,s)$. Обозначив
$$Ku={\int }_{t_0}^{t}K(t,s)u(s)ds,$$

получим из (2.9)
$$u⩽f+Kf+\dots +K^{n-1}f+K^{n}u.$$

Пусть $|K(t,s)|⩽M$ при $t_0⩽s⩽t⩽t_0+T$. Легко доказывается ([76], стр. 23), что
$$\left|K^{n}u\right|⩽\frac{M^n{T}^{n-1}}{(n-1)!}{\int }_{t_0}^{t_0+T}|u(s)|ds.$$

Следовательно, $\left|K^{n}u\right|\to 0$ при $n\to \mathrm{\infty }$ и ряд $\mathrm{\Gamma }f=f+Kf+$ $+\dots +K^{n-1}f+\dots$ сходится к решению интегрального уравнения (2.10).
Таким образом, из (2.11) имеем $u(t)⩽\psi (t)$.
Лемма 2.2 (Ю. М. Репин [77|). Пусть $u(t),f(t)$ — неотрицательные интегрируемые на отрезке $t_0⩽t⩽t_0+T$ функции, $L$ — положительная постоянная. Eсли выполнено неравенство
$$u(t)⩽f(t)+L{\int }_{t_0}^{t}u(s)ds,t_0⩽t⩽t_0+T,$$

то имеет место неравенство
$$u(t)⩽f(t)+L{\int }_{i_9}^t{e}^{L(t-s)}f(s)ds.$$

Справедливость леммы непосредственно вытекает из леммы 2.1. Непосредственной проверкой можно в данном случае убедиться, что функция
$$\mathrm{\Psi }(t)=f(t)+L{\int }_{t_0}^t{e}^{L.t-s)}f(s)ds$$

удовлетворяет интегральному уравнению
$$\psi (t)=f(t)+L{\int }_{t_0}^t\psi (s)ds.$$

Лемма 2.3. Если при выполнении условий предыдущей леммы $f(t)$ является функцией ограниченной вариации на отрезке $t_0⩽t⩽t_0+T$, то из неравенства (2.12) следyem
$$u(t)⩽f\left(t_0\right)e^{L(t-t_0)}+{\int }_{t_0}^t{e}^{L(t-s)}df(s),$$

где интеграл в правой части есть интеграл Стилтвеса. Если функция $f(t)$ дифференцируема, то справедливо неравенство
$$u(t)⩽f\left(t_0\right)e^{L(t-t_0)}+{\int }_{t_0}^t{e}^{L(t-s)}{f}^{\prime }(s)ds.$$

Неравенство (2.14) вытекает непосредственно из неравенства (2.13), если воспользоваться для интеграла, стоящего в правой части этого неравенства, формулой интегрирования по частям, условия применимости которой в данном случае выполнены.
3. Рассмотрим теперь наряду с уравнением
$$\dot{x}=X(x,t)$$

уравнение
$$\dot{y}=X(y,t)+R(y,t)\text{. }$$

Предположим, что в области $D:\Vert x\Vert ⩽r,t_0⩽t⩽t_0+T$ выполнены условия
$$\begin{array}{c}\Vert X(x,t)-X(y,t)\Vert ⩽L\Vert x-y\Vert ,\\ \Vert R(x,t)\Vert ⩽\eta (t),\end{array}$$

где $\eta (t)$ — непрерывная функция на отрезке $t_0⩽t⩽t_0+T$,

Пусть будут выполнены условия, которые обеспечивают в совокупности с условиями (2.18) и (2.19) существование решений уравнений (2.16) и (2.17) в рассматриваемой области. Такими условиями могут быть в силу теоремы (2.1) непрерывность операторов $X(x,t),R(x,t)$ в области $D$ и выполнение условия Липшица для $R(x,t)$, или, в силу теоремы 2.5 , непрерывность $X(x,t)$ и полная непрерынность $R(x,t)$.

Пусть $x(t)$ — решение уравнения (2.16), удовлетворяющее условию $x\left(t_0\right)=x_0$ и $y(t)$ — решение уравнения (2.17), такое, что $y\left(t_0\right)=y_0$.
Теорема 2.6. Справедлива оценка: при $t_0⩽t⩽t_0+T$
$$\Vert x(t)-y(t)\Vert ⩽\Vert x_0-y_0\Vert e^{L(t-t_0)}+{\int }_{t_0}^t{e}^{L(t-s)}\eta (s)ds.$$

Действительно, из интегральных уравнений
$$\begin{array}{c}x(t)=x_0+{\int }_{t_0}^{t}X(x,t)dt\\ y(t)=y_0+{\int }_{t_0}^t[X(y,t)+R(y,t)]dt,\end{array}$$

соответствующих уравнениям (2.16) и (2.17), имеем
$$\begin{array}{r}\Vert x(t)-y(t)\Vert ⩽\Vert x_0-y_0\Vert +{\int }_{t_0}^t\{\Vert X(x,t)-X(y,t)\Vert +\\ +\Vert R(y,t)\Vert \}dt.\end{array}$$

Используя (2.18) и (2.19), получим
$$\begin{array}{l}\Vert x(t)-y(t)\Vert ⩽\Vert x_0-y_0\Vert +{\int }_{i_0}^t\eta (t)dt+\\ +L{\int }_{t_0}^t\Vert x(t)-y(t)\Vert dt.\end{array}$$

Доказываемое неравенство следует теперь из неравенства (2.15). Рассмотрим частные случаи:
a). Если $\eta (t)=0$, то получаем оценку
$$\Vert x(t)-y(t)\Vert ⩽\Vert x_0-y_0\Vert e^{L_{(}(t-t_0)},$$

из которой следует факт непрерывности решения уравнения (2.16) по начальным данным.
b) Если $x_0=y_0$ и ${\eta }_1(t)⩽{\gamma }_0$ при $t_0⩽t⩽t_0+T$, то получаем оценку
$$\Vert x(t)-y(t)\Vert ⩽\frac{{\eta }_0}{L}(e^{L(t-t_0)}-1).$$
c) Полагая
$${\int }_{t_0}^{t_0+T}{\eta }_1(t)dt={\eta }_1,$$

получаем при $x_0=y_0$
$$\Vert x(t)-y(t)\Vert ⩽{\eta }_{i1}(1-\frac{1}{L^2}+\frac{1}{L^2}{e}^{L(t-t_0)}).$$
d) Пусть
$${({\int }_{t_0}^{t_0+T}{\eta }^2(t)dt)}^{1/2}={\eta }_{i_2}.$$

Пользуясь неравенством Буняковского-Шварца, получим
$$\Vert x(t)-y(t)\Vert ⩽{\eta }_2{\left(\frac{e^{2L(t-t_0)}-1}{2L}\right)}^{1/2}.$$

Полученные оценки говорят о непрерывности решения по отношению к изменению правой части уравнения (соответственно в метрике пространств $\mathit{C},\mathit{L},{\mathit{L}}_2;$ см. § 4 данной главы).
4. Рассмотрим теперь линейное уравнение
$$\dot{x}=A(t)x.$$

Предположим, что оператор $A(t)$ при каждом фиксированном значении $t$ является линейным ограниченным оператором, и операторная функция $A(t)$ непрерывна по $t$ при $t⩾0$.

Из теоремы 2.1 будет следовать в этом случае существование и единственность решений уравнения (2.1), а из теоремы 2.3 следует неограниченная продолжаемость всех решений этого уравнения на полубесконечный интервал времени.

Обозначим через $\mathit{E}$ пространство линейных ограниченных операторов, отображающих $\mathit{E}$ в $\mathit{E}$. Известно ([71], стр. 146), что $\mathit{E}$ будет также банаховым пространством.

Рассмотрим в $\bar{\mathit{E}}$ уравнение
$$\dot{U}=A(t)U,$$

где $U(t)$ — операторная функция со значениями в $\bar{\mathit{E}}$. Пусть $U(t)$ — решение уравнения (2.22), удовлетворяющее условию $U(0)=I$. Покажем, что существует обратнюй оператор $U^{-1}(t)$.
Обозначим через $V(t)$ решение уравнения
$$\dot{V}=-VA(t)\text{, }$$

также удовлетворяющее условию $V(0)=I$. Полагая $W_1(t)=$ $=V(t)U(t)$, находим
$${\dot{W}}_1(t)=V(t)\dot{U}(t)+\dot{V}(t)U(t)=VAU-VAU=0.$$

Следовательно, $W_1(t)$ — постоянный оператор и равен $I$. Пусть $W_2(t)=U(t)V(t)$; имеем
$${\dot{W}}_2(t)=AUV-UVA=A{W}_2-W_{2}A.$$

Так как этому последнему уравнению удовлетворяет решение $W_2=I$, то всякое другое решение, определяемое условием $W_2(0)=I$, должно в силу свойства единственности совпадать с этим решением. Таким образом, $W_2(t)=I$ и $UV=VU=I$, что и .требовалось доказать.

Введем обозначение $W(t,t_0)=U(t)U^{-1}\left(t_0\right)$. Операторную функцию $W(t,t_0)$ будем называть оператором Коши. Отметим одно важное свойство оператора Коши:
$$W(t,t_1)W(t_1,t_0)=W(t,t_0).$$

Непосредственной проверкой можно убедиться, что решение уравнения (2.21), удовлетворяющее условию $x\left(t_0\right)=x_0$, может быть записано в форме
$$x(t)=W(t,t_0)x_0.$$

Рассмотрим теперь неоднородное уравнение
$$\dot{x}=A(t)x+u(t),$$

где $n(t)$ — функция со значениями в $\mathit{E}$.
Решение этого уравнения можно получить по формуле Коши:
$$x(t)=W(t,t_0)x_0-{\int }_{i,t}^{t}W(t,s)u(s)ds.$$

Справедливость формулы Коши также устанавливается непосредственной проверкой.

Заметим, что функция $u(t)$, как правило, в приложениях является разрывной или даже обобщенной функцией. В этих более сложных случаях формула Коши будет справедливой, если только дать более широкое толкование интегралу, стоящему в правой части формулы (2.27).

Отметим еще одно важное неравенство, которым мы воспользуемся в дальнейшем:
$$\Vert W(t,t_0)\Vert ⩽\exp {\int }_{t_0}^t\Vert A(s)\Vert ds.$$

Справедливость этого неравенства устанавливается следующим образом. Так как имеем $\dot{W}(t,t_0)=A(t)W(t,t_0)$, и так как $\left|\frac{d}{dt}\Vert W(t,t_0)\Vert \right|⩽\Vert \frac{d}{dt}W(t,t_0)\Vert$, то получаем
$$\frac{d}{dt}\Vert W(t,t_0)\Vert ⩽\Vert A(t)\Vert \Vert W(t,t_0)\Vert .$$

Решая последнее неравенство, получим (2.28).
Неравенство (2.28) показывает, что линейный оператор $W(t,t_0)$ является ограниченным оператором.

Заметим, что все предыдущие рассуждения остаются справедливыми, если вместо непрерывности по $t$ операторной функции $A(t)$ потребовать интегрируемость $\Vert A(t)\Vert$ на любом конечном интервале.

Отметим также, что наиболее полное описание линейных систем в конечномерном случае дано в монографиях Н. П. Еругина $[78,79]$.