1. Пусть каждому вещественному значению $t$ поставлен. в соответствие оператор $X(x, t)$, переводящий простренство $\boldsymbol{E}$ в себя. В этом случае можно рассматривать дифференциальное уравнение
\[
\dot{x}=X(x, t),
\]

где через $\dot{x}$ обозначена, как обычно, производная абстрақтной функции $x(t)$ по $t$.

Очевидно, что решение уравнения (2.1), удовлетворяющее начальному условию $x\left(t_{0}\right)=x_{0}$, должно быть также решением интегрального уравнения
\[
x(t)=x_{0}+\int_{t_{0}}^{t} X(x(t), t) d t .
\]

Обозначим через $D$ область $\left\|x-x_{0}\right\| \leqslant r,\left|t-t_{0}\right| \leqslant T$, и предположим, что в этой области операторная функция $X(x, t)$ непрерывна и удовлетворяет условию Липшица
\[
\|X(x, t)-X(y, t)\| \leqslant L\|x-y\| .
\]

В силу непрерывности $X(x, t)$ функция $\left\|X\left(x_{0}, t\right)\right\|$ будет ограниченной на отрезке $\left|t-t_{0}\right| \leqslant T$ и пусть $M_{0}=\sup \left\|X\left(x_{0}, t\right)\right\|$ на этом отрезке. Из условия Липшица имеем
\[
\|X(x, t)\| \leqslant\left\|X\left(x_{0}, t\right)\right\|+L\left\|x-x_{0}\right\| \leqslant M_{0}+r L .
\]

Таким образом, полагая $M=M_{0}+r L$, получим в области $D$
\[
\|X(x, t)\| \leqslant M \text {. }
\]

Приведем теперь, опираясь на принцип сжатых отображений, простейший вариант теоремы существования и единственности решения уравнения (2.1).

Теорема 2.1. Уравнение (2.1) при указанных выше условиях имеет единственное решение $x(t)$, удовлетворяющее условию $x\left(t_{0}\right)=x_{0}$; это решение определено на интервале $\left|t-t_{0}\right|<r M^{-1}$.
Для доказательства теоремы рассмотрим оператор
\[
A(x(t))=x_{0}+\int_{0}^{t} X(x(t), t) d t,
\]

переводящий непрерывную функцию $x(t)$ также в непрерывную функцию. Пространство $C$ непрерывных функций $x(t)$ с. нормой
\[
\|x(t)\|_{C}=\sup _{t-t_{0} \mid \leqslant 1}\|x(t)\|_{E}
\]

будет, очевидно, банаховым пространством.
Из условия (2.3) следует
\[
\|A(x(t))-A(y(t))\|_{C} \leqslant L\left|t-t_{0}\right|\|x(t)-y(t)\|_{C},
\]

а из неравенства (2.4) получим
\[
\left\|A(x(t))-x_{0}\right\|_{C} \leqslant M\left(t-t_{0}\right) .
\]

Если положить $\left|t-t_{0}\right|<r M^{-1}$, то получим $\| A(x(t))-$ — $x_{0} \|_{C} \leqslant r$ и, кроме того,
\[
\|A(x(t))-A(y(t))\|_{c} \leqslant \alpha\|x(t)-y(t)\|_{C},
\]

где $\alpha=r L M^{-1}=r L\left(M_{0}+r L\right)^{-1}<1$. Таким образом, оператор $A$ переводит шар $\left\|x(t)-x_{0}\right\| \leqslant r$ банахова пространства в себя и удовлетворяет условиям теоремы 1.2.

Доказанная теорема утверждает существование решения лишь на интервале $\left|t-t_{0}\right|<d$, где $d=r M^{-1}$; беря конец интервала за исходную точку, можем продолжить решение и далее, однако, нет гарантии, что такое продолжение возможно на весь бесконечный промежуток времени. Очевидно, что в случае непродолжаемости траектория выходит при ограниченных значениях $t$ за пределы любой ограниченной области пространства $\boldsymbol{E}$.

Уточним последнее утверждение. Пусть решение $x(t)$ при $t \geqslant t_{0}$ не выходит из некоторой области $G_{1}$, заданной неравенством $\left\|x-x_{0}\right\|<r_{1}$, где $r_{1}<r$. Пусть в области $G$, заданной неравенством $\left\|x-x_{0}\right\|<r$, выполнено при $t \geqslant t_{0}$ условие (2.3) и, кроме того, условие
\[
\left\|X\left(x_{0}, t\right)\right\| \leqslant N<\infty .
\]

Из условий (2.3) и (2.5) следует, что $\|X(x, t)\| \leqslant M$ при $t \geqslant t_{0}$, где $M=N+r L$.

Очевидно, в любой момент времени, пока траектория находится в области $G_{1}$, ее можно продолжить снова на промежуток времени $d=r M^{-1}$, не зависящий от момента времени, в который мы осуществляем продолжение. Таким образом, в данном случае решение может быть продолжено на промежуток времени $t_{0} \leqslant t<\infty$. Игак, сейас мы доказали следующее утверждение:

Теорема 2.2. Ecли в области $\left\|x-x_{0}\right\| \leqslant r<\infty$, $t \geqslant t_{0}$ выполнены условия (2.3) $u$ (2.5), то всякая траектория, не выходящая из некоторой подобласти $\left\|x-x_{0}\right\| \leqslant r_{1}<r$, продолжима на бесконечный интервал времени $t_{0} \leqslant t<\infty$.
Приведем и другие признаки продолжаемости решений Теорема 2.3. Пусть при $\|x\|<\infty, t \geqslant t_{0}$ выполнено условие
\[
\|X(x, t)\| \leqslant L(\|x\|),
\]

где $L(r)$ — непрерывная бункция, обладающая свойством
\[
\int_{r_{0}}^{r} \frac{d r}{L(r)} \rightarrow \infty \text { npu } r \rightarrow \infty .
\]

Всякое решение уравнения (2.1) может быть продолжено на бесконечный интервал времени $t_{0} \leqslant t<\infty$.
В самом деле, так как
\[
\left\|\frac{x\left(t_{2}\right)-x\left(t_{1}\right)}{t_{2}-t_{1}}\right\| \geqslant\left|\frac{\left\|x\left(t_{2}\right)\right\|-\left\|x\left(t_{1}\right)\right\|}{t_{2}-t_{1}}\right|,
\]

то имеем $\left\|\frac{d x}{d t}\right\| \geqslant\left|\frac{d\|x\|}{d t}\right|$. Отсюда следует, что $\left|\frac{d\|x\|}{d t}\right| \leqslant$ $\leqslant L(\|x\|)$. Беря интеграл вдоль кривой $x=x(t)$ от точки $x_{0}=x\left(t_{0}\right)$ до точки $x$ в сторону возрастания $t$, получим
\[
t-t_{0} \geqslant \int_{\left\|x_{0}\right\|}^{\| x} \frac{d r}{L(r)} .
\]

Таким образом, если $\|x\| \rightarrow \infty$, то и $t \rightarrow \infty$, что означает продолжаемость решения. Если же величина $\| x$ || остается ограниченной, то решение будет продолжаемым в силу теоремы 2.2 .

Теорема 2.4 (М. А.Красносельский, С.Г.Креин [74|). Пусть существует бункционал $\Phi(x)$, обладающий свойством
\[
\lim _{\|x\| \rightarrow \infty} \Phi(x)=\infty, \frac{d \Phi}{d t} \leqslant L(\Phi(x))
\]

при $t \geqslant t_{0}$, где через $\frac{d \Phi}{d t}$ обозначена производная $\Phi(x)$ вдоль траекторий уравнения (2.1), а функция $L(r)$ удовлетворяет условию (2.7); тогда всякое решение уравнения (2.1) будет продолжаемым на интервале $t_{0} \leqslant t<\infty$.

В самом деле, из условия (2.7) снова получаем (2.8). Если $\|x\| \rightarrow \infty$, то и $\Phi(x) \rightarrow \infty$, следовательно, имеем $t \rightarrow \infty$, что означает продолжаемость неограниченного решения.

Из теоремы 2.3, в частности, следует, что если в $\boldsymbol{E}$ выполнены условия (2.3) и (2.5) при $t \geqslant t_{0}$, то всякое решение уравнения (2.1) продолжаемо на полубесконечный интервал времени. Очевидно, для применения теоремы 2.3 в данном случае следует положить $L(r)=L r+N$.

В заключение приведем теорему, которая значительно обобщает условия существования, данные в теореме 2.1.

Теорема 2.5 (М.А.Красносельский, С.Г.Крей [74]). Пусть $X(x, t)=X_{1}(x, t)+X_{2}(x, t)$, где оператор $X_{1}(x, t)$ вполне непрерывен, $m$. е. переводит всякое оараниченное множество из $D$ в компактное множество пространства $\boldsymbol{E}$, а оператор $X_{2}(x, t)$ непрерывен в $D$ и удовлетворяет условию
\[
\left\|X_{2}(x, t)-X_{2}(y, t)\right\| \leqslant K(t)\|x-y\| .
\]
\[
\begin{array}{r}
\text { Пусть } d>0 \text {, такое, что } \int_{t_{0}-d}^{t_{0}+d} K(t) d t<1 \text { ll } \\
d\left[\sup _{D}\left\|X_{1}(x, t)\right\|+\sup _{D}\left\|X_{2}(x, t)\right\|\right] \leqslant r .
\end{array}
\]

Тогда существует решение $x(t)$ уравнения (2.1), определенное на отрезке $t_{0}-d \leqslant t \leqslant t_{0}+d$, и такое, что $x\left(t_{0}\right)=x_{0}$.

Всюду в дальнейшем мы не будем специально оговаривать условия, обеспечивающие существование решений рассматриваемых дифференциальных уравнении, а будем всегда считать эти условия выполненными.
2. Следующая лемма является значительным обобщением леммы 1.1 первой главы.

Лемма 2.1. Пусть и(t) и $f(t)$ — скалярные, неотрицательные, интегрируемые на отрезке $t_{0} \leqslant t \leqslant t_{0}+T$ функции. Пусть, кроме того, скалярная неотрицательная оункция $K(t, s)$ ограничена при $t_{0} \leqslant s \leqslant t \leqslant t_{0}+T$.

Если имеет место неравенство
\[
u(t) \leqslant f(t)+\int_{t_{0}}^{t} K(t, s) u(s) d s,
\]

то справедливо неравенство и $(t) \leqslant \psi(t)$ при $t_{0} \leqslant t \leqslant t_{0}+T$, где $\psi(t)$-решение интегрального уравнения
\[
\psi(t)=f(t)+\int_{t_{0}}^{t} K(t, s) \psi(s) d s .
\]

Лемму 2.1 докажем, слелуя ([75], стр. 64), где рассмотрен случай непрерывных функций $u(t), f(t), K(t, s)$. Обозначив
\[
K u=\int_{t_{0}}^{t} K(t, s) u(s) d s,
\]

получим из (2.9)
\[
u \leqslant f+K f+\ldots+K^{n-1} f+K^{n} u .
\]

Пусть $|K(t, s)| \leqslant M$ при $t_{0} \leqslant s \leqslant t \leqslant t_{0}+T$. Легко доказывается ([76], стр. 23), что
\[
\left|K^{n} u\right| \leqslant \frac{M^{n} T^{n-1}}{(n-1) !} \int_{t_{0}}^{t_{0}+T}|u(s)| d s .
\]

Следовательно, $\left|K^{n} u\right| \rightarrow 0$ при $n \rightarrow \infty$ и ряд $\Gamma f=f+K f+$ $+\ldots+K^{n-1} f+\ldots$ сходится к решению интегрального уравнения (2.10).
Таким образом, из (2.11) имеем $u(t) \leqslant \psi(t)$.
Лемма 2.2 (Ю. М. Репин [77|). Пусть $u(t), f(t)$ — неотрицательные интегрируемые на отрезке $t_{0} \leqslant t \leqslant t_{0}+T$ функции, $L$ — положительная постоянная. Eсли выполнено неравенство
\[
u(t) \leqslant f(t)+L \int_{t_{0}}^{t} u(s) d s, \quad t_{0} \leqslant t \leqslant t_{0}+T,
\]

то имеет место неравенство
\[
u(t) \leqslant f(t)+L \int_{i_{9}}^{t} e^{L(t-s)} f(s) d s .
\]

Справедливость леммы непосредственно вытекает из леммы 2.1. Непосредственной проверкой можно в данном случае убедиться, что функция
\[
\Psi(t)=f(t)+L \int_{t_{0}}^{t} e^{L . t-s)} f(s) d s
\]

удовлетворяет интегральному уравнению
\[
\psi(t)=f(t)+L \int_{t_{0}}^{t} \psi(s) d s .
\]

Лемма 2.3. Если при выполнении условий предыдущей леммы $f(t)$ является функцией ограниченной вариации на отрезке $t_{0} \leqslant t \leqslant t_{0}+T$, то из неравенства (2.12) следyem
\[
u(t) \leqslant f\left(t_{0}\right) e^{L\left(t-t_{0}\right)}+\int_{t_{0}}^{t} e^{L(t-s)} d f(s),
\]

где интеграл в правой части есть интеграл Стилтвеса. Если функция $f(t)$ дифференцируема, то справедливо неравенство
\[
u(t) \leqslant f\left(t_{0}\right) e^{L\left(t-t_{0}\right)}+\int_{t_{0}}^{t} e^{L(t-s)} f^{\prime}(s) d s .
\]

Неравенство (2.14) вытекает непосредственно из неравенства (2.13), если воспользоваться для интеграла, стоящего в правой части этого неравенства, формулой интегрирования по частям, условия применимости которой в данном случае выполнены.
3. Рассмотрим теперь наряду с уравнением
\[
\dot{x}=X(x, t)
\]

уравнение
\[
\dot{y}=X(y, t)+R(y, t) \text {. }
\]

Предположим, что в области $D:\|x\| \leqslant r, t_{0} \leqslant t \leqslant t_{0}+T$ выполнены условия
\[
\begin{array}{c}
\|X(x, t)-X(y, t)\| \leqslant L\|x-y\|, \\
\|R(x, t)\| \leqslant \eta(t),
\end{array}
\]

где $\eta(t)$ — непрерывная функция на отрезке $t_{0} \leqslant t \leqslant t_{0}+T$,

Пусть будут выполнены условия, которые обеспечивают в совокупности с условиями (2.18) и (2.19) существование решений уравнений (2.16) и (2.17) в рассматриваемой области. Такими условиями могут быть в силу теоремы (2.1) непрерывность операторов $X(x, t), R(x, t)$ в области $D$ и выполнение условия Липшица для $R(x, t)$, или, в силу теоремы 2.5 , непрерывность $X(x, t)$ и полная непрерынность $R(x, t)$.

Пусть $x(t)$ — решение уравнения (2.16), удовлетворяющее условию $x\left(t_{0}\right)=x_{0}$ и $y(t)$ — решение уравнения (2.17), такое, что $y\left(t_{0}\right)=y_{0}$.
Теорема 2.6. Справедлива оценка: при $t_{0} \leqslant t \leqslant t_{0}+T$
\[
\|x(t)-y(t)\| \leqslant\left\|x_{0}-y_{0}\right\| e^{L\left(t-t_{0}\right)}+\int_{t_{0}}^{t} e^{L(t-s)} \eta(s) d s .
\]

Действительно, из интегральных уравнений
\[
\begin{array}{c}
x(t)=x_{0}+\int_{t_{0}}^{t} X(x, t) d t \\
y(t)=y_{0}+\int_{t_{0}}^{t}[X(y, t)+R(y, t)] d t,
\end{array}
\]

соответствующих уравнениям (2.16) и (2.17), имеем
\[
\begin{array}{r}
\|x(t)-y(t)\| \leqslant\left\|x_{0}-y_{0}\right\|+\int_{t_{0}}^{t}\{\|X(x, t)-X(y, t)\|+ \\
+\|R(y, t)\|\} d t .
\end{array}
\]

Используя (2.18) и (2.19), получим
\[
\begin{array}{l}
\|x(t)-y(t)\| \leqslant\left\|x_{0}-y_{0}\right\|+\int_{i_{0}}^{t} \eta(t) d t+ \\
\quad+L \int_{t_{0}}^{t}\|x(t)-y(t)\| d t .
\end{array}
\]

Доказываемое неравенство следует теперь из неравенства (2.15). Рассмотрим частные случаи:
a). Если $\eta(t)=0$, то получаем оценку
\[
\|x(t)-y(t)\| \leqslant\left\|x_{0}-y_{0}\right\| e^{L_{(}\left(t-t_{0}\right)},
\]

из которой следует факт непрерывности решения уравнения (2.16) по начальным данным.
b) Если $x_{0}=y_{0}$ и $\eta_{1}(t) \leqslant \gamma_{0}$ при $t_{0} \leqslant t \leqslant t_{0}+T$, то получаем оценку
\[
\|x(t)-y(t)\| \leqslant \frac{\eta_{0}}{L}\left(e^{L\left(t-t_{0}\right)}-1\right) .
\]
c) Полагая
\[
\int_{t_{0}}^{t_{0}+T} \eta_{1}(t) d t=\eta_{1},
\]

получаем при $x_{0}=y_{0}$
\[
\|x(t)-y(t)\| \leqslant \eta_{i 1}\left(1-\frac{1}{L^{2}}+\frac{1}{L^{2}} e^{L\left(t-t_{0}\right)}\right) .
\]
d) Пусть
\[
\left(\int_{t_{0}}^{t_{0}+T} \eta^{2}(t) d t\right)^{1 / 2}=\eta_{i_{2}} .
\]

Пользуясь неравенством Буняковского-Шварца, получим
\[
\|x(t)-y(t)\| \leqslant \eta_{2}\left(\frac{e^{2 L\left(t-t_{0}\right)}-1}{2 L}\right)^{1 / 2} .
\]

Полученные оценки говорят о непрерывности решения по отношению к изменению правой части уравнения (соответственно в метрике пространств $\boldsymbol{C}, \boldsymbol{L}, \boldsymbol{L}_{2} ;$ см. § 4 данной главы).
4. Рассмотрим теперь линейное уравнение
\[
\dot{x}=A(t) x .
\]

Предположим, что оператор $A(t)$ при каждом фиксированном значении $t$ является линейным ограниченным оператором, и операторная функция $A(t)$ непрерывна по $t$ при $t \geqslant 0$.

Из теоремы 2.1 будет следовать в этом случае существование и единственность решений уравнения (2.1), а из теоремы 2.3 следует неограниченная продолжаемость всех решений этого уравнения на полубесконечный интервал времени.

Обозначим через $\boldsymbol{E}$ пространство линейных ограниченных операторов, отображающих $\boldsymbol{E}$ в $\boldsymbol{E}$. Известно ([71], стр. 146), что $\boldsymbol{E}$ будет также банаховым пространством.

Рассмотрим в $\overline{\boldsymbol{E}}$ уравнение
\[
\dot{U}=A(t) U,
\]

где $U(t)$ — операторная функция со значениями в $\overline{\boldsymbol{E}}$. Пусть $U(t)$ — решение уравнения (2.22), удовлетворяющее условию $U(0)=I$. Покажем, что существует обратнюй оператор $U^{-1}(t)$.
Обозначим через $V(t)$ решение уравнения
\[
\dot{V}=-V A(t) \text {, }
\]

также удовлетворяющее условию $V(0)=I$. Полагая $W_{1}(t)=$ $=V(t) U(t)$, находим
\[
\dot{W}_{1}(t)=V(t) \dot{U}(t)+\dot{V}(t) U(t)=V A U-V A U=0 .
\]

Следовательно, $W_{1}(t)$ — постоянный оператор и равен $I$. Пусть $W_{2}(t)=U(t) V(t)$; имеем
\[
\dot{W}_{2}(t)=A U V-U V A=A W_{2}-W_{2} A .
\]

Так как этому последнему уравнению удовлетворяет решение $W_{2}=I$, то всякое другое решение, определяемое условием $W_{2}(0)=I$, должно в силу свойства единственности совпадать с этим решением. Таким образом, $W_{2}(t)=I$ и $U V=V U=I$, что и .требовалось доказать.

Введем обозначение $W\left(t, t_{0}\right)=U(t) U^{-1}\left(t_{0}\right)$. Операторную функцию $W\left(t, t_{0}\right)$ будем называть оператором Коши. Отметим одно важное свойство оператора Коши:
\[
W\left(t, t_{1}\right) W\left(t_{1}, t_{0}\right)=W\left(t, t_{0}\right) .
\]

Непосредственной проверкой можно убедиться, что решение уравнения (2.21), удовлетворяющее условию $x\left(t_{0}\right)=x_{0}$, может быть записано в форме
\[
x(t)=W\left(t, t_{0}\right) x_{0} .
\]

Рассмотрим теперь неоднородное уравнение
\[
\dot{x}=A(t) x+u(t),
\]

где $n(t)$ — функция со значениями в $\boldsymbol{E}$.
Решение этого уравнения можно получить по формуле Коши:
\[
x(t)=W\left(t, t_{0}\right) x_{0}-\int_{i, t}^{t} W(t, s) u(s) d s .
\]

Справедливость формулы Коши также устанавливается непосредственной проверкой.

Заметим, что функция $u(t)$, как правило, в приложениях является разрывной или даже обобщенной функцией. В этих более сложных случаях формула Коши будет справедливой, если только дать более широкое толкование интегралу, стоящему в правой части формулы (2.27).

Отметим еще одно важное неравенство, которым мы воспользуемся в дальнейшем:
\[
\left\|W\left(t, t_{0}\right)\right\| \leqslant \exp \int_{t_{0}}^{t}\|A(s)\| d s .
\]

Справедливость этого неравенства устанавливается следующим образом. Так как имеем $\dot{W}\left(t, t_{0}\right)=A(t) W\left(t, t_{0}\right)$, и так как $\left|\frac{d}{d t}\left\|W\left(t, t_{0}\right)\right\|\right| \leqslant\left\|\frac{d}{d t} W\left(t, t_{0}\right)\right\|$, то получаем
\[
\frac{d}{d t}\left\|W\left(t, t_{0}\right)\right\| \leqslant\|A(t)\|\left\|W\left(t, t_{0}\right)\right\| .
\]

Решая последнее неравенство, получим (2.28).
Неравенство (2.28) показывает, что линейный оператор $W\left(t, t_{0}\right)$ является ограниченным оператором.

Заметим, что все предыдущие рассуждения остаются справедливыми, если вместо непрерывности по $t$ операторной функции $A(t)$ потребовать интегрируемость $\|A(t)\|$ на любом конечном интервале.

Отметим также, что наиболее полное описание линейных систем в конечномерном случае дано в монографиях Н. П. Еругина $[78,79]$.