1. Рассмотрим теперь задачу отыскания управления, обеспечивающего точное или приближенное осуществление заданного процесса. Задача ставится следующим образом. Пусть дано дифференциальное уравнение
$$\dot{x}=X(x,\eta ,t)+u(y,t),$$

где $x(t),\eta (t),y(t)$ — функции со значениями в банаховом пространстве $\mathit{E}$, функция $\eta (t)$ является, вообще говоря, случайной. Предположим, что в фазовом пространстве $\mathit{E}$ задана при $0⩽t<T(0<$ $<T⩽\mathrm{\infty }$ ) некоторая траектория $x=\psi (t)$. Предполагая, что поступает некоторая информация об изменении функции $\eta (t)$, играющей роль помехи, требуется поРис. 18. добрать такое управление за счет выбора $y(t)$, чтобы некоторое решение уравнения (8.1) точно или приближенно осуществляло движение по траектории $x=\psi (t)$ на заданном интервале времени. Задача может быть осложнена ограничением множества возможных значений функции $y(t)$; это множество может, например, быть ограниченным, компактным, иметь конечную размерность и т. д.

Структурная схема соответствующей автоматической системы дана на рис. 18. На этом рисунке $O$ — объект регулирования, назначением которого является получение заданного режима $x=\psi (t)$. Чтобы осуществить этот режим вводится звено $y$, предназначенное для выработки управления $u$. При формировании управления используется информация об осуществляемом режиме $\psi (t)$ и помехе $\eta (t)$, причем информация о последней может поступить с искажением в силу ряда причин. Например, такое искажение может наступить в силу появления запаздываний, инерционности в линии связи ${}^{\circ }C$, ошибок измерения, случайных ошибок и т. д.

Так как управление рассматриваемой автоматической системы изменяется в соответствии с заранее заданной функциен времени $\psi (t)$, то рассматриваемая система является программной автоматической системой.

Если бы поставленная таким образом задача программного регулирования имела точное решение, то искомое управление определялось бы из уравнения
$$u(y(t),t)=\psi (t)-X(\psi (t),\eta (t),t).$$

Однако уравнение (8.2) во многих случаях является неразрешимым относительно управляющей функции $y(t)$. Неразрешимость указанного уравнения может быть следствием ограничений, наложенных на норму функции $y(t)$, ограничений размерности $y(t)$, наличия неполной или искаженной информации о внешнем воздействии $\eta (t)$. Может случиться и так, что управление можно выбирать только из какого-либо узко очерченного класса функций, например, кусочно-постоянных функций, тригонометрических полиномов и т. д.
2. В уравнении (8.1) проведем замену $z=x-\psi (t)$; новое уравнение будет иметь вид
$$z=Z(z,\eta ,t)+\mathrm{\Delta }(y,\psi (t),\eta (t),t),$$

где
$$\begin{array}{c}Z(z,\eta ,t)=X(z+\psi (t),{\eta }_{(}(t),t)-X(\psi (t),\eta (t),t),\\ \mathrm{\Delta }(y,\psi (t),{\eta }_i(t),t)=X(\psi (t),r_1(t),t)-\psi (t)+u(y,t)=\mathrm{\Delta }(t).\end{array}$$

В уравнении возмущенного движения функция $\mathrm{\Delta }(t)$ определяет ошибку приближения программирующей функции, отклонение решения $z(t)$ уравнения (8.3) от нуля совпадает с отклонением решения $x(t)$ уравнения (8.1) от заданной функции $\psi (t)$. Основной задачей здесь является оценка $\Vert z(t)\Vert$ в зависимости от $\Vert \mathrm{\Delta }(t)\Vert$. Эту задачу в общем виде мы рассмагривали в § 2, а для случая, когда $Z$ — линейный оператор относительно $z$, указанная задача решалась в $\mathrm{\S }4$ как задача о накоплении возмущений.

Если идет речь об осуществлении заданного режима на бесконечном интервале времени $0⩽t<\mathrm{\infty }$, то, как нетрудно видеть, приближенное решение задачи возможно, если нулевое решение уравнения
$$z=Z(z,\eta ,t)$$

устойчиво по отношению к постоянно действующим возмущениям, ограниченным по огношению к той метрике, в которой оценивается ошибка приближения $\mathrm{\Delta }(t)$. Теоремы 6.2 и 6.3 дают возможность оценить точность приближения $\Vert z(t)\Vert$ программируемого режима с помощью нормы $\mathrm{\Delta }(t)$, взятой в пространствах $\mathit{C},\mathit{M},{\mathit{M}}_2$. Теорема 6.4 позволяет получить соответствующий результат в случае осуществления периодического режима.

Если программируемый режим является разрывным, то для указанных оценок следует привлечь теоремы $\mathrm{\S }7$.

Наконец, если мы хотим осуществить случайный режим, подчеркивая стохастический характер рассматриваемых уравнений, то следует принять во внимание пример 5 из $\mathrm{\S }3$. Проведенные там рассуждения позволяют свести поставленную задачу к детерминированному случаю [114].

Из теоремы 6.5 следует, что устойчивость при постоянно действующих возмущениях гарантируется равномерной асимптотической устойчивостью нулевого решения уравнения (8.4). Отсюда возникает интересная задача.

Назовем режим $\psi (t)$ устойчивым по отношению к уравнению $\dot{x}=X(x,t)$, если нулевое решение уравнения $\dot{z}=$ $=X(z+\psi (t),t)-X(\psi (t),t)$ равномерно асимптотически устойчиво. Из предыдущего ясно, что только устойчивые режимы могут претендовать на хорошее приближение при всех $t⩾0$.

Очевидно, в случае, когда оператор $X(x,t)$ линеен относительно $x$, всякий режим будет устойчивым, если нулевое решение уравнения $\dot{x}=X(x,t)$ равномерно асимптотически устойчиво.

Таким же свойством обладают системы, рассмотренные Н. Н. Красовским [120]. Эти системы определяются тем, что для каждой из них можно указать постоянную симметричную матрицу $A$, имеющую положительные собственные числа, и такую, что симметризованная матрица

где
$$\{B{\}}_{ik}=\{{\left(A\frac{\partial X}{\partial x}\right)}_{ik}+{\left(A\frac{\partial X}{\partial x}\right)}_{ki}\},$$
${\left(\frac{\partial X}{\partial x}\right)}_{ik}=\frac{\partial X_i}{\partial x_k}$,
имеет отрицательные собственные числа ${\mu }_i$, удовлетворяющие неравенству ${\mu }_i<-\alpha ,\alpha >0$ во всех точках пространства, $-\mathrm{\infty }<x_i<\mathrm{\infty },i==1,2,\dots ,n,0⩽t<\mathrm{\infty }$. Здесь $X_i$ — проекции векторной функции $X(x,t)$.

3. Рассмотрим теперь в $n$-мерном линейном векторном пространстве ${\mathit{E}}_n$ дифференциальное уравнение
$$\dot{\mathit{x}}=X(\mathit{x},t)+\sum _{k=1}^m{\mathit{c}}_k{y}_k(t).$$

Здесь $\mathit{x},{\mathit{c}}_{\mathit{k}}$ — $n$-мерные векторы, ${\mathit{y}}_{\mathit{k}}$ — скалярные функции. Если ставится задача осуществления процесса $\mathit{x}=\mathit{\psi }(t)$ на промежутке $0⩽t⩽T$, то замена $\mathit{z}=\mathit{x}-\mathbf{\Psi }(t)$ сведет уравнение (8.5) к уравнению
$$\dot{z}=Z(z,t)+\mathrm{\Delta }(t),$$

где
$$\begin{array}{l}Z(z,t)=X(z+\mathrm{\Psi }(t),t)-X(\mathrm{\Psi }(t),t),\\ \mathrm{\Delta }(t)=X(\mathrm{\Psi }(t),t)-\dot{\mathrm{\Psi }}(t)+\sum _{k=1}^m{c}_k{y}_k(t).\end{array}$$

Пусть в области $\Vert \mathit{z}\Vert ⩽H,0⩽t⩽T$ функция $Z(\mathit{z},t)$ удовлетворяет условию Липшица
$$\Vert Z(z_1,t)-Z(z_2,t)\Vert ⩽L\Vert z_1-z_2\Vert .$$

Тогда согласно теореме 2.6 решение $\mathit{z}(t)$ уравнения (8.6) может быть оценено следуюшим образом:
$$\Vert z(t)\Vert ⩽{\int }_0^T{e}^{L(t-s)}\mathrm{\Delta }(s)ds.$$

Очевидно, чтобы решить задачу приближенного осуществления процесса $z=0$, необходимо за счет выбора либо векторов $c_k$, либо функций $y_k(t)$, либо тех и других, сделать векторную функцию $\mathbf{\Delta }(s)$ достаточно малой по отношению к той или иной метрике.
Пусть будет
$$r(t)=\dot{\mathit{\psi }}-X(\mathbf{\Psi }(t),t)$$

тогда будем иметь
$$\mathrm{\Delta }(t)=\sum _{k=1}^m{c}_k{y}_k(t)-r(t)$$

и, следовательно, задача сводится к задаче аппроксимации функции $r(t)$ линейным агрегатом $y(t)=\sum _{k=1}^m{c}_k{y}_k(t)$. Указанная задача является очевидно задачей теории приближений. Проще всего такие задачи решаются в метрике ${\mathit{L}}_2$, т. е. в терминах теории среднеквадратических приближений. Напомним некоторые основные положения этой теории [121].

В линейном пространстве $\mathit{H}$ сопоставим каждой паре элементов $x,y$ некоторое число $(x,y)$, которое назовем скалярным произведением. Пусть будут выполнены следующие условия:
a)
$$(x,y)=(y,x),$$
b) $(\alpha x+\beta y,z)=\alpha (x,z)+\beta (y,z)$,
c) $(x,x)⩾0$,
d) $(x,x)=0$ тогда и только тогда, когда $x=0$.

Норму в пространстве $\mathit{H}$ введем по правилу
$$\Vert x{\Vert }^2=(x,x)\text{. }$$

Пространство $\mathit{H}$ назовем пространством Гӥльберта. Если $(x,y)=0$, то элементы $x$ и $y$ будем называть ортогональными.

Систему элементов $x_1,\dots ,x_m$ из $\mathit{H}$ назовем линейно независимой, если из
$${\alpha }_1{x}_1+\dots +{\alpha }_m{x}_m=0,$$

где ${\alpha }_k$ — вещественные числа, следует ${\alpha }_k=0$ для любого значения $k$. Систему элементов $x_1,\dots ,x_m$ назовем ортонормированной, если $(x_i,x_k)=0$ при $ieqk,(x_i,x_i)=1$ при $i=1,2,\dots ,m$.

Если $x_1,\dots ,x_m$ — система линеино независимых элементов пространства $\mathit{H}$, то можно построить ортонормированную систему $y_1,\dots ,y_m$, элементы которой являются линенными комбинациями $x_1,\dots ,x_m$, и наоборот.

Пусть ${\mathit{H}}_m$ — некоторое $m$-мерное подпространство пространства $\mathit{H}$, т. е. подпространство, порожденное $m$ линейно независимыми элементами ${\mathit{h}}_1,\dots ,{\mathit{h}}_m$, и пусть $\mathit{f}$-произвольный элемент пространства $\mathit{H}$. Поставим задачу подбора таких чисел ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m$, чтобы величина
$$\Vert f-{\alpha }_1{h}_1-\dots -{\alpha }_m{h}_m\Vert$$

была наименьшей.

Такая задача всегда имеет решение и оно единственно. Если
$$h_0=\sum _{k=1}^m{\alpha }_k{\mathit{h}}_k$$

является наилучшим приближением в указанном выше смысле, то справедливо равенство
$$(\mathit{f}-{\mathit{h}}_0,\mathit{h})=0,$$

где $\mathit{h}$ — любой элемент из ${\mathit{H}}_{\mathit{m}}$.
Равенство (8.7) означает, что элемент $\mathit{f}$ — ${\mathit{h}}_0$ ортогонален к любому элементу $\mathit{h}$ из ${\mathit{H}}_m$. Этот факт, очевидно, допускает простую наглядную интерпретацию, если $\mathit{H}$-конечномерное векторное пространство, то $h_0$ в этом случае является проекцией вектора $\mathit{f}$ на гиперплоскость ${\mathit{H}}_m$.

Беря в качестве $\mathit{h}$ любой из порождающих элементов ${\mathit{h}}_{\mathit{i}}$ из (8.7), выводим
$$(\mathit{f}-\sum _{k=1}^m{\alpha }_k{\mathit{h}}_k,{\mathit{h}}_i)=0,$$

откуда следует
$$\sum _{k=1}^m{\alpha }_k({\mathit{h}}_k,{\mathit{h}}_i)=(\mathit{f},{\mathit{h}}_i),i=1,2,\dots ,m.$$

Система (8.8) дает возможность найти числа ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m$. Определитель этой системы

называется определителем Грама. Если элементы ${\mathit{h}}_1,\dots ,{\mathit{h}}_m$ линейно независимы, то определитель Грама всегда положителен. С помощью определителя Грама можно найти ошибку приближения, т. е. величину
$$\delta =\Vert f-h_0\Vert .$$

Справедлива формула
$${\delta }^2=\frac{\mathrm{\Gamma }(h_1,\dots ,h_m,f)}{\mathrm{\Gamma }(h_1,\dots ,h_m)}.$$

Если система $\left\{{\mathit{h}}_i\right\}$ ортонормированная, то имеем
$${\delta }^2=(f,f)-\sum _{i=1}^m{\alpha }_i^2.$$

Если система $\left\{{\mathit{h}}_i\right\}$ ортонормированных векторов является бесконечной, то ряд
$$\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{\alpha }_i{\mathit{h}}_i$$

где ${\alpha }_i=(\mathit{f},{\mathit{h}}_{\mathit{i}})$, называется рядом Фурье. Бесконечная ортонормированная система называется полной, если не существует элемента, отличного от нуля, который был бы ортогонален к каждому элементу рассматриваемой системы.

Если пространство $\mathit{H}$ сепарабельно, т. е. в нем имеется счетное всюду плотное множество элементов, то в $\mathit{H}$ всегда существует счетная и полная ортонормированнная система элементов. Из (8.10) следует в этом случае неравенство Бесселя
$$\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{\alpha }_i^2⩽\Vert f{\Vert }^2.$$

Если пространство $\mathit{H}$ сепарабельно и полно, то ряд Фурье любого элемента $\mathit{f}$ по полной ортонормированной системе сходится к $\mathit{f}$ и имеет место равенство Парсеваля
$$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\alpha }_k^2=\Vert f{\Vert }^2.$$
4. Вернемся теперь снова к нашей задаче, т. е. к задаче аппроксимации векторной функции $\mathit{r}(t)$ линейным агрегатом
$$\sum _{k=1}^m{c}_k{y}_k(t)$$
3адача А. Подобрать векторы $c_k$ таким образом, чтобы ошибка
$$\delta ={({\int }_0^T\Vert \mathrm{\Delta }(t){\Vert }^{2}dt)}^{1/2}$$

стала нацменьшей.

Здесь
$$\Vert \mathrm{\Delta }(t){\Vert }^2=\sum _{i=1}^n{(\sum _{k=1}^m{c}_{ik}{y}_k(t)-r_i(t))}^2,$$
$c_{ik}$ — проекции вектора $c_k$. Имеем
$${\delta }^2=\sum _{i=1}^n{\delta }_i^2$$

где
$${\hat{\delta }}_i^2={\int }_0^T{(\sum _{k=1}^m{c}_{ik}{y}_k(t)-r_i(t))}^{2}dt$$

и задача сводится к минимизации каждой из частных ошибок ${\delta }_i$. Такое разделение можно сделать потому, что выбор величин $c_{ik}$ при одном значении $i$ не влияет на выбор этих величин при другом значении $l$.

Рассмотрим пространство $\mathit{H}$, элементами которого являются функции $f(t)$ с интегрируемым квадратом на отрезке $[0,T]$. Скалярное произведение в $\mathit{H}$ введем по правилу
$$(f_1,f_2)={\int }_0^T{f}_1(t)f_2(t)dt.$$

Подпространство ${\mathit{H}}_m$, теперь будет подпространством, порожденным функциями $y_1(t),\dots ,y_m(t)$. Таким образом, ставится задача отыскания наилучшего среднеквадратического приближения функции $r_i(t)$ линейным агрегатом
$$\sum _{k=1}^m{c}_{ik}{y}_k(t)$$

Согласно (8.8) для определения величин $c_{ik}$ при данном значении $l$ имеем систему
$$\sum _{k=1}^m{c}_{ik}(y_k,y_j)=(r_i,y_j),j=1,2,\dots ,m.$$

Для определения векторов ${\mathit{c}}_{\mathit{k}}$ согласно (8.11) можем получить систему
$$\sum _{k=1}^m{c}_k(y_k,y_j)=(r,y_j),j=1,2,\dots ,m.$$

Квадрат ошибки приближения в данном случае будет равен
$${\delta }^2=\sum _{i=1}^n\frac{\mathrm{\Gamma }(y_1,\dots ,y_m,r_i)}{\mathrm{\Gamma }(y_1,\dots ,y_m)}.$$

Задача В. При заданных векторах $c_k$ найти систему функций $y_1(t),\dots ,y_m(t),m⩽n$, минимизирующих $\delta$.

Прежде всего следует заметить, что выбор значений функций $y_k(t)$ в данный момент $t$ не влияет на выбор значенин этих функций в любой другой момент времени. Поэтому задача сводится к минимизации величины
$$\Vert \mathrm{\Delta }(t){\Vert }^2=\sum _{i=1}^n{(\sum _{k=1}^m{c}_{ik}{y}_k(t)-r_i(t))}^2.$$

Теперь уже в качестве гильбертова пространства $\mathit{H}$ следует рассматривать пространство $n$-мерных векторов ${\mathit{c}}_k$, а в качестве подпространства ${\mathit{H}}_m$ будет фигурировать подпространство, порожденное векторами ${\mathit{c}}_1,\dots ,{\mathit{c}}_m$.
Согласно (8.8) получаем систему для определения $y_k(t)$ :
$$\sum _{k=1}^m{y}_k(t)(c_k,c_j)=(r(t),c_j),j=1,2,\dots ,m.$$

Здесь выражения $({\mathit{c}}_k,{\mathit{c}}_j),(\mathit{r}(t),{\mathit{c}}_j$ ) означают скалярные произведения соответствующих векторов в обычном смысле.
Согласно (8.9) получим
$${\delta }^2={\int }_0^T\Vert \mathrm{\Delta }(t){\Vert }^{2}dt=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(c_1,\dots ,c_m)}{\int }_0^T\mathrm{\Gamma }(c_1,\dots ,c_m,\mathit{r}(t))dt.$$

Задача имеет простую геометрическую интерпретацию. Обозначим через ${\mathit{H}}_m$ плоскость, порожденную векторами ${\mathit{c}}_1,\dots ,{\mathit{c}}_m$. В $n$-мерном пространстве $\mathit{H}$ задана кривая $\mathit{z}=\mathit{r}(t)$; требуется найти кривую
$$\mathit{z}=\sum _{k=1}^m{c}_k{y}_k(t)$$

которая имеет наименьшее среднеквадратичное отклонение от заданной кривой. Решение задачи состоит в том, что каждую точку искомой кривой мы получаем как проекцию на плоскость ${\mathit{H}}_m$ соответствующей точки первой кривой $\mathit{z}=\mathit{r}(t)$. Отсюда следует, что решение задачи не изменится, если в качестве порождающей системы векторов ${\mathit{c}}_1,\dots ,{\mathit{c}}_m$ возьмем эквивалентную ей ортонормированную систему. В этом случае получим
$$\begin{array}{c}{y}_j(t)=(\mathit{r}(t),c_j),\\ {\delta }^2={\int }_0^T{\mathit{r}}^2(t)dt-\sum _{j=1}^m{(\mathit{r}(t),c_j)}^{2}dt.\end{array}$$
3адача С. Найти оптимальную систему векторов $c_k$ и функций $y_k(t)$ минимизирующих б.
Рассмотрим матрицу $B$, элементы которой имеют вид
$$b_{ik}={\int }_0^T{r}_i(t)r_k(t)dt$$

где $r_i(t)$ — проекции вектора $\mathit{r}(t)$.
Так как матрица $B$ симметрична, то ее собстеенные числа вещественны. Более того, собственные числа матрицы $B$ неотрицательны. В самом деле, матрица $B$ является матрицей знакоположительной квадратичной формы
$$I(x)=\sum _{i,k=1}^n{b}_{ik}{x}_i{x}_k={\int }_0^T{(\sum _{k=1}^n{r}_k(t)x_k)}^2.$$

Отсюда согласно § 10 первой главы выводим, что наименьшее собственное число ${\lambda }_n$, как минимум формы $I(x)$ на единичной сфере, должно быть неотрицательным. Расположим собственные числа матрицы $B$ в порядке убывания
$${\lambda }_1⩾{\lambda }_2⩾\dots ⩾{\lambda }_n⩾0.$$

Каждому собственному числу ${\lambda }_k$ соответствует по крайней мере один собственный вектор ${\mathit{c}}_k$. Известно ([5], стр. 20), что систему собственных векторов можно ортонормировать. Таким образом получим ортонормированную систему собственных векторов матрицы $B$.

Теорема 8.1. Ортонорированная система собственных векторов $c_1,\dots ,c_m$ матриы $B$ является оптимальной системой управляющих векторов, причем, если система управляющих бункций $y_k(t)$ выбрана согласно (8.13), то
$${\delta }^2=\sum _{k=m+1}^n{\lambda }_k.$$

В самом деле, если система векторов ${\mathit{c}}_1,\dots ,{\mathit{c}}_m$ ортонормирована, то согласно формуле (8.14) имеем
$${\delta }^2={\int }_0^T{r}^2(t)dt-\sum _{k=1}^m{\int }_0^T{(c_k,\mathit{r}(t))}^{2}dt.$$

Необходимо систему векторов подобрать таким образом, чтобы сумма
$$\sum _{k=1}^m{\int }_0^T{(c_k,r(t))}^{2}dt$$

была наибольшей. Рассмотрим первое слагаемое этой суммы:
$$\begin{array}{l}{I}_1=I\left(c_{1i}\right)={\int }_0^T{(c_1,r(t))}^{2}dt=\\ =\sum _{i,k=1}^n({\int }_0^T{r}_i(t)r_k(t)dt{c}_{1k}{c}_{1i})=\sum _{i,k=1}^n{b}_{ik}{c}_{1i}{c}_{1k}.\end{array}$$

Здесь $c_{ik}$ — проекции вектора $c_i$. Задача сводится к тому, чтобы найти максимум квадратичной формы $I\left(c_{1i}\right)$ при условии
$$\sum _{i=1}^n{c}_{1i}^2=1.$$

Согласно $\mathrm{\S }10$ первой главы искомый максимум равен наибольшему собственному числу ${\lambda }_1$ и достигается для собственного вектора ${\mathit{c}}_1$, отвечающего этому числу. Чтобы сделать максимальным следующее слагаемое,
$$I_2={\int }_0^T{(c_2,r(t))}^{2}dt=I\left(c_{2i}\right)$$

при дополнительных условиях $(c_1,c_2)=0,c_2^2=1$, нужно взять собственный вектор ${\mathit{c}}_2$, отвечающий следующему собственному. числу. Согласно экстремальной теории квадратичных форм ([5]), максимум $I_2$ будет равен ${\lambda }_2$. Если ${\lambda }_1={\lambda }_9$, то в качестве ${\mathit{c}}_2$ следует выбрать среди бесконечного множества собственных векторов кратного корня ${\lambda }_1$ вектор, ортогональный к ${\mathit{c}}_1$. Пользуясь аналогичными рассуждениями, получим полное решение нашей задачи.
Так как
$${\int }_0^T{r}^{2}dt=\sum _{i=1}^n{c}_{ii}=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i$$

есть инвариант квадратичной формы $I$, то формула (8.15) непосредственно вытекает из формулы (8.14).

Заметим теперь, что добиться точного осуществления траектории путем выбора оптимальной системы управляющих функций и управляющих векторов можно при $m⩽n$ только в том случае, если
$${\lambda }_{m+1}={\lambda }_{m+2}=\dots ={\lambda }_n=0.$$

Но это означает, что уравнение
$$D(\lambda )=|B-\lambda E|=0\text{ ( }E\text{ — единичная матрица) }$$

имеет нулевой корень кратности $n-m$. Условия существования такого корня имеют вид $D(0)=D^{\prime }(0)=\dots =D^{(n-m+1)}(0)=0$. Геометрически эти условия означают, что кривая $z=\mathit{r}(t)$ лежит в $m$-мерном линейном подпространстве пространства ${\mathit{E}}_n$. Если же величина
$${\delta }^2=\sum _{k=m+1}^n{\lambda }_k$$

не равна нулю, то она равна минимуму квадрата среднеквадратичного отклонения кривой $\mathit{z}=\mathit{r}(t)$ от $m$-мерной гиперплоскости пространства ${\mathit{E}}_n$.

Таким образом, величина $\delta$ в данном случае является $m$-м поперечником кривой $\mathit{z}=\mathit{r}(t)$ в пространстве ${\mathit{E}}_n$ [122].

Для вычисления ${\delta }^2$ по формуле (8.15) необязательно нужно знать корни ${\lambda }_{m+1},\dots ,{\lambda }_n$. Известно ([123], стр. 80), что
$${\delta }^2=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{R}z\frac{D^{\prime }(z)}{D(z)}dz,$$

где $R$-любой контур плоскости комплексного переменного, охватывающий только указанные корни уравнения $D(\lambda )=0$. В частности, $R$ может быть окружностью радиуса $\epsilon$ с центром в начале координат, если известно, что ${\lambda }_{m+1}<\epsilon <{\lambda }_m$. Для определения минимального количества управляющих функции, позволяющих осуществить траекторию с заданной точностью, полезно использовать принцип аргумента или какойлибо другой известный метод (например, метод Штурма) определения числа корней уравнения $D(\lambda )=0$, лежащих в интервале $(0,\epsilon )$. Если это число равно $l$, то $n-l$ управляющих функций и $n-l$ управляющих векторов можно будет подобрать так, что будет иметь место неравенство ${\delta }^2<\epsilon l$. Лучшую оценку точности приближения дает в этом случае снова формула (8.15). Во всяком случае, полезно помнить, что приближение при помощи $m$ управляющих функций будет тем точнее, чем меньше будут по абслютной величине коэффициенты уравнения $D(\lambda )=0$ при степеня $\lambda$, не превосходящих $m-n$.
5. В случае, когда интервал времени, на котором мы осуществляем заданный процесс, полубесконечен, т. е. задан неравенством $0⩽t<\mathrm{\infty }$, необходимо обратиться к лемме 6.2 (неравенство (6.17)) и к теореме 6.5. Если мы хотим оценивать величину $\mathbf{\Delta }(t)$ по норме $M_2$, то можем выбрать управляющие векторы ${\mathit{c}}_k$ таким образом, чтобы минимизировать
$$\Vert r(s)-\sum _{k=1}^m{c}_k{y}_k(s)\Vert \text{ на интервале }t⩽s⩽t+1.$$

В этом случае, очевидно, при переменном $t$ векторы ${\mathit{c}}_k$ превращаются в векторные функции ${\mathit{c}}_k(t)$. Эти векторные функции можно сделать кусочно-постоянными, если минимизацию проводить только на интервалах $k⩽t⩽k+1$, где $k$-целое число. Задача наилучшего приближения в ${\mathit{M}}_{\mathbf{2}}$ и в том и в другом случаях не будет решена точно, однако найденное управление может оказаться практически удовлетворительным.
6. Может случиться так, что на величину управляющих векторов наложены некоторые ограничения. В работе [124] указан способ решения задачи в этом случае. Различные другие подходы к рассматриваемой здесь задаче освещены в статьях [125-131].

В задаче осуществления процесса мы предполагали все время, что начальные точки действительной и осуществляемой траектории совпадают. Если начальное состояние не соответствует желаемому, то предварительно следует осуществлять переходный процесс [124]. Однако более перспективный способ состоит в том, что переходный процесс и процесс осуществления движения по заданной траектории производятся одновременно. В этом случае надо задать семейство переходных кривых, которое определяет поле направлений в фазовом пространстве. Это семейство может быть задано также дифференциальными уравнениями. Заданная система дифференциальных уравнений также определяет некоторое поле направлений, которое зависит от управления. Управление находится из условия минимизации в каждый момент времени квадратичного отклонения между соответствующими векторами указанных направлений [130].

Впрочем, следует заметить, что аналогичный результат получится, если управление выбирать исходя из требования максимума скорости убывания некоторой функции Ляпунова, составленной для уравнений возмущенного движения.