В этой главе будут рассмотрены вопросы устойчивости систем автоматического регулирования с переменной структурой. В системах с переменной структурой устойчивость достигается путем скачкообразного изменения некоторых параметров системы. Характерной особенностью протекания переходного процесса в таких системах является вхождение системы, начиная с некоторого момента времени, в скользящий режим.
1. Прежде чем перейти к систематическому изложению материала, остановимся кратко на некоторых основных понятиях теории автоматического регулирования. В любой автоматической системе выделяют обычно управляемый объект и управляющее устройство или регулятор. Назначением регулятора является выработка управляющего сигнала, воздействующего на объект с целью обеспечения требуемых значении показателей регулируемого процесса. Так, например, на рис. 4 демонстрируется простейшая система регулирования уровня жидкости в баке.

Здесь регулируемой величиной является уровень $h$ жидкости в баке. В зависимости от значения величины $h$ в данный момент регулятор путем изменения площади сечения подающей жидкость трубы устанавливает количество жидкости $x$, попадающей в единицу времени в бак. По отношению к объекту, т. е. к баку, сигнал $x$ является входным, а сигнал $h-$ выходным сигналом. В данном случае выходной сигнал $h$ поступает в управляющее устройство с целью определения величины угіравляюшего сигнала $x$. гаким образом, рассматриваемая автоматическая система обладает обратной связью.

В принципе автоматическая система может решать следующие задачи:
1. Поддерживать выходной сигнал объекта на одном и том же постоянном уровне (стабилизирующая автоматическая система).
2. Изменять управляемый сигнал в соответствии с заранее заданной функцией времени (программная автоматическая система).
3. Изменять управляемый сигнал в зависимости от неизвестного заранее переменного задающего воздействия (следящая ав гоматическая система).
Рис. 4.
Автоматическая система может быть подразделена на звенья (объект, регулятор и т. д.), каждое из которых преобразует входной (по отношению к этому звену) сигнал $x$ в выходной $y$. Математически соотношение между входной и выходной величиной может быть задано уравнением $y(t)=A x(t)$, где $A-$ некоторый оператор, определенный в пространстве входных сигналов $x$.

Чаще всего вид оператора $A$ определяется некоторым дифференциальным уравнением. Например, в линейном случае соотношение между $y(t)$ и $x(t)$ может быть задано линейным дифференциальным уравнением
\[
P(D) y(t)=Q(D) x(t),
\]

где $P(D), Q(D)$ – полиномиальные функции $D$, а $D$ – оператор дифференцирования, т. е. $D=\frac{d}{d t}$.

Если исходить из нулевых начальных условий для $y(t)$, то для изображений по Лапласу функций $x(t), y(t)$, т. е. для функций
\[
X(p)=\int_{0}^{\infty} e^{-p t} x(t) d t, \quad Y(p)=\int_{0}^{\infty} e^{-p t} y(t) d t
\]

справедливо соотношение
\[
Y(p)=\frac{Q(p)}{P(p)} X(p) .
\]

Функция $L(p)=\frac{Q(p)}{P(p)}$ обычно называется передаточной функцией звена. Очевидно, передаточная функция полностью определяет вид дифференциального уравнения, описывающего данное звено. Следовательно, если дополнительно учесть начальные условия для выходного сигнала $y(t)$, то можно, зная передаточную функцию звена, полностью определить оператор $A$.

Обычно автоматическую систему задают с помощью структурной схемы (блоксхемы), причем на отдельных блоках такой схемы отмечаются соответствующие передаточные функции. Так, например, на рис. 5 изображена структурная схема простейшей следящей системы.

Через \& на этой схеме обозначен задающий сигнал, через $\varphi$ – выходной сигнал. Выходной сигнал $\varphi$ поступает по линии обратной связи на вход системы, где вычитается из сигнала $\psi$. Сигнал $x=\psi-\psi$ поступает на объект, передаточная функция которого равна $\frac{K}{L(p)}$. Назначением следящей системы в данном случае является отслеживание задающего сигнала $\psi$, т. е. сигнал на выходе $\varphi$ должен в результате работы системы как можно менее отличаться от сигнала $\psi$. Таким образом, величина $x$ должна быть возможно меньше.

Рассматривая передаточную функцию как оператор, получаем сортношение $\frac{K}{L(p)} x=\varphi$; отсюда следует, что
\[
L(p) x=L(p) \psi-K x .
\]

Уравнение (1.1) можно рассматривать как дифференциальное уравнение, если символ $p$ понимать как оператор дифференцирования.

Записав (1.1) в виде $x=\frac{L(p)}{L(p)+K} \psi$, можем сделать интуитивный вывод, что для уменьшения абсолютной величины сигнала $x$, т. е. для увеличения точности слежения, необходимо увеличивать параметр $K$, который обычно называют коэффициентом усиления системы.
2. Отметим теперь следующее обстоятельство. Следящая система, о которой шла речь, постоянно подвержена действию возмущений; эти возмущения отражаются на величине сигнала $x$. Допустим, новое значение $x$ после действия возмущения равно $x_{1}=x+\Delta x$. Величина $x_{1}$ также удовлетворяет уравнению (1.1), и мы имеем
\[
L(p) x_{1}=L(p) \psi-K x_{1},
\]

так как задающее воздействие $\psi$ останется одним и тем же. Легко видеть, что для величины отклонения $x$, т. е. для величины $\Delta x$, получим уравнение
\[
L(p) \Delta x=-K \Delta x .
\]

Если нулевое решение уравнения (1.2) асимпто нически устойчиво по Ляпунову, то следящая система будет работать надежно, т. е. отклонение $\Delta x$ с ростом времени будет асимптотически стремиться к нулю. Таким образом, исследование следящей системы сводится к исследованию стабилизирующей системы, заданной уравнением (1.2). Для того чтобы уравнение (1.2) обладало свойством асимптотической устойчивости, необходимо и достаточно, чтобы корни уравнения $L(\lambda)+K=0$ имели отрицательные вещественные части.

Таким образом, обеспечение точности слежения требует выбора достаточно большого коэффициента $K$, а обеспечение помехоустойчивости системы ведет к требованию выполнения условий Рауза – Гурвица для полинома $L(\lambda)+K$. Покажем, что уже для системы третьего порядка эти требования противоречивы. В самом деле, пусть $L(\lambda)=\lambda^{3}+a \lambda^{2}+b \lambda+c$. Условия Рауза – Гурвица для полинома $L(\lambda)+K$ имеют вид $c+K>0, b>0, a b>c+K$. Мы видим, что уже третье условие может нарушиться для достаточно большого значения $K$.

Возникает вопрос: не следует ли для уничтожения указанного противоречия сделать величину $K$ достаточно большой, но переменной по знаку? Нельзя ли выбрать такой закон изменения знака величины $\alpha(|\alpha| \leqslant 1)$, чтобы уравнение
\[
L(p) x=-\alpha K x
\]

обладало свойством устойчивости. В дальнейшем мы этот вопрос решим положительно. Оказывается, что следящие системы со знакопеременным а обладают тем свойством, что переходный процесс, начиная с некоторого момента времени, входит в скользящии режим, не зависящий от параметров системы и от величины $K$. Это ценное свойство системы, обычно называемое свойством грубости, вызывает большой интерес к системам указанного типа со стороны инженеров.

В дальнейшем все системы, работа которых основана на принципе скачкообразного изменения параметров, будем называть системами с переменной структурой.

Фундаментальные результаты по теории скользящих режимов принадлежат Ю. В. Долголенко [27], Ю. И. Неймарку [28] и И. Флюгге-Лотц [29]. На ряд преимуществ, которыми обладают системы с изменяемым коэффициентом усиления, обратил внимание в 1957 г. А. М. Летов [30].

Исследования по теории устоћчивости систем с переменной структурой проводились под руководством Е. А. Барбашина в Свердловске [31-48] и под руководством С. В. Емельянова в Москве [49-61]. Несколько иной подход к указанным системам имеется в работе С. Дж. Гаррета [62].
3. Рассмотрим теперь систему дифференциальных уравнений
\[
\frac{d x_{i}}{d t}=X_{i}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right), \quad i=1,2, \ldots, n .
\]

Предположим, что на некоторой поверхности $\mathcal{S}$, заданной уравнением $s\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=0$, правые части системы (1.3) допускают разрывы первого рода. Это значит, что в любой точке $\left(x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}\right)$ поверхности $S$ для любой функции $X_{i}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ существуют конечные пределы $\lim _{s \rightarrow+0} X_{i}, \lim _{s \rightarrow-0} X_{i}$, и эти пределы могут не совпадать. Пусть поверхность $S$ делит фазовое пространство $E$ системы (1.3) на две части, $E_{1}$ и $E_{2}$. Рассмотрим вектор $F$ с проекциями $X_{1}, \ldots, X_{n}$ и введем обозначения $F^{+}=\lim _{s \rightarrow+0} F, F^{-}=\lim _{s \rightarrow-0} F$. Очевидно, векторы $F^{+}$и $F^{-}$
определены в точках поверхности $S$, кроме того, имеем $\lim _{s \rightarrow+0} \dot{s}=F^{+} N$ и $\lim _{s \rightarrow-0} \dot{s}=F^{-} N$, где через $N$ обозначен вектор-градиент функции $s\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ в соответствующей точке поверхности $\mathcal{S}$.

Точки поверхности $S$ можно разделить на следующие три группы [63].

К первой группе отнесем те точки поверхности $S$, в котоpых $\lim _{s \rightarrow+0} \dot{s} \cdot \lim _{s \rightarrow-0} \dot{s}>0$. В этих точках векторы $F^{-}$и $F^{+}$ направлены в одну сторону от поверхности $S$. Если точка фазового пространства, двигаясь по траектории системы (1.3), попадет в точку рассматриваемого типа, то она немедленно сойдет с поверхности $S$ и перейдет в другую часть пространства $E$. Здесь имеет место случай «прошивания» поверхности (рис. 6, участок $B C$ ).
Вторая группа точек поверхности $S$ определяется неравенствами $\lim _{s \rightarrow+0} \dot{s}>0, \lim _{s \rightarrow-0} \dot{s}<0$. Точки второй группы должны немедленно сойти с поверхности $S$ по одной из траекторий системы (1.3), выходящей из данной точки (см. рис. 6 , участок $C D$ ). Вопрос о том, по какой именно траектории будет совершен уход с поверхности $S$, должен решаться дополнительно, так как в данном случае имеет место свойство неединственности. Часто считают, что уход будет совершаться в направлении того из векторов $F^{+}$и $F^{-}$, который имеет наибольшую по абсолютной величине проекцию на нормаль $N$.

Наконец, точки третьего типа – это точки поверхности $\mathcal{S}$, в которых $\lim _{s \rightarrow+0} \dot{s} \leqslant 0$ и $\lim _{s \rightarrow-0} \dot{s} \geqslant 0$. В этом случае траектории системы (1.3) либо втыкаются в поверхность $\mathcal{S}$, либо идут вдоль этой поверхности. В случае попадания изображающей точки на поверхность $\mathcal{S}$ в конечный момент времени движение этой точки не заканчивается, начинается процесс скольжения изображающей точки по поверхности до тех пор, пока точка не выйдет за пределы области скольжения (участок $A B$ на рис. 6).

Перечисленные три группы точек на поверхности переключения отделены друг от друга в общем случае некоторыми $n$ – 2-мерными многообразиями, в точках которых либо $\lim _{s \rightarrow+0} \dot{s}=0, \quad$ либо $\lim _{s \rightarrow-0} \dot{s} \stackrel{s \rightarrow+0}{=}$, либо выполняются оба равенства вместе.

Остановимся более подробно на точках третьего типа. Пусть точка $M$ лежит в области скольжения на поверхности $S$. Рассмотрим векторы $F^{-}$и $F^{+}$, выходящие из этой точки. Концы этих векторов соединим прямой линией и найдем точку пересечения $P$ полученной прямой с касательной плоскостью, проведенной к поверхности $S$ в точке $M$ (рис. 7). Всюду в дальнейшем мы будем исходить из следующей гипотезы [63]. Вектор скорости скольжения в точке $M$ совпадает с вектором $\overrightarrow{M P}$.

Указанное рабочее правило, подтвержденное на практике, даст нам в дальнейшем возможность выводить дифференциальные уравнения скольжения.