Рассмотрим функцию $v(x_1,\dots ,x_n)$, определенную в фазовом пространстве переменных $x_1,\dots ,x_n$, непрерывную в некоторой области $D$, включающей в себя начало координат. Предположим также, что функция $v(x_1,\dots ,x_n)$ обладает в области $D$ непрерывными частными производными.

Функцию $v(x_1,\dots ,x_n)$ назовем определенно положительной в области $D$, если всюду в области $D$, кроме точки $O(0,\dots ,0)$, имеет место неравенство $v>0$. Если же выполняется неравенство $v<0$, то функция $v$ называется определенно отрицательной. В том и другом случае функция может называться также знакоопределенной.

Если в области $D$ имеет место всюду неравенство $v⩾0$ или неравенство $v⩽0$, то функция $v$ называется знакопостоянной, причем в первом случае функция $v$ может быть также названа знакоположительной, а во втором — знакоотрицательной.

Если функция $v$ принимает в области $D$ значения как положительного знака, так и отрицательного, то в этом случае $v$ называют знакопеременной функцией. Например, функция $v=x_1^2+x_2^2-x_3^2$ будет знакопеременной функцией в пространстве переменных $x_1,x_2,x_3$, а функция $v=x_1^2+$ $+x_2^2+x_3^2$ — определенно положительной в этом пространстве. функция $v=x_1^2+x_2^2$ будет, однако, знакопостоянной в

пространстве переменных $x_1,x_2,x_3$ (так как она обращается в нуль на оси $O{x}_3$ ) и знакоопределенной в пространстве переменных $x_1,x_2$.

Чаще всего мы будем иметь дело только с квадратичными формами переменных $x_1,\dots ,x_n$. Очевидно, любую квадратичную форму можно записать в виде
$$v=\sum _{i,k=1}^n{a}_{ik}{x}_i{x}_k,\text{ где }{a}_{ik}=a_{ki}.$$

Составим матрицу коэффициентов этой формы:

и рассмотрим определители

Если имеют место неравенства ${\mathrm{\Delta }}_k>0$ при $k=1,2,\dots ,n$, то форма $v$ будет определенно положительной.

Справедлива и обратная теорема, т. е. условия ${\mathrm{\Delta }}_k>0$, называемые критерием Сильвестра [5], являются необходимыми и достаточными для определенной положительности формы v. Из критерия Сильвестра легко выводится необходимое и достаточное условие определенной отрицательности формы v. Это условие записывается в виде неравенств
$${\mathrm{\Delta }}_1<0,{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{z}}>0,{\mathrm{\Delta }}_3<0,\dots ,$$
т. е. определители ${\mathrm{\Delta }}_k$ должны последовательно чередовать знак, причем знак ${\mathrm{\Delta }}_1$ должен быть отрицательным.

В дальнейшем мы будем изучать поведение функции $v(x_1,\dots ,x_n)$ вдоль траекторий изучаемой системы дифференциальных уравнений, и на основании этого изучения будем делать вынод о поведении траекторий рассматриваемой системы. Функиии $v(x_1,\dots ,x_n)$, имеюцие указанное сейчас назначение, принято теперь называть функциями Ляпунова.

Сформулируем теорему о структуре поверхности уровня знакоопределенной функции Ляпунова,

Теорема 3.1. Если функция $v(x_1,\dots ,x_n)$ знакоопределенна, то существует такое положительное число $h$, что все поверхности уровня $v=c$, где $|c|<h$, являются замкнутыми относительно точки $О$ поверхностями.

Заметим, что мы называем поверхность $v=c$ замкнутой относительно точки $O$, если на любой непрерывной линии, соединяющей точку $O$ с точкой границы области $D$, имеется по крайней мере одна точка, в которой $v=c$.
Рис. 1.
Для доказательства теоремы предположим для определенности $v>0$ и рассмотрим шар $J_R$ с центром в начале координат и радиусом, равным $R$. Предположим, что функция $v$ определена на этом шаре (включая его границу $S_R$ ). Таким образом, в качестве области $D$ мы возьмем шар ${\overline{J}}_R=J_R\cup S_R$. Так как функция $v$ непрерывна, то на замкнутом ограниченном множестве $S_R$, границе шара, эта функция достигает своего минимального значения, которое обозначим через $h$.

Соединим теперь точку $O$ с какой-либо точкой $p$, лежащей на границе $S_R$, некоторой непрерывной линией $x=x(s)$. Так как в точке $O$ функция $v$ равна нулю, а $v(p)⩾h$, и так как функция $v$ меняется непрерывно вдоль непрерывной кривой $x=x(s)$, то функция $v$ необходимо в некоторой точке этой кривой примет значение $v=c$.

Таким образом, внутри шара ${\overline{J}}_R$ лежит замкнутая часть поверхности $v=c$; не исключается возможность, что другие части этой поверхности расположены за пределами этого шара. Такая возможность реализуется, например, для функции
$$v=\frac{x^2}{{(1+x^2)}^2}+\frac{y^2}{{(1+y^2)}^2}.$$

С другой стороны, функция $v=\frac{x^2}{1+x^2}+y^2$ дает нам пример функции, линии уровня которой $\frac{x^2}{1+x^2}+y^2=c$ при $c⩾1$ неограничены, а при $0<c<1$ замкнуты и ограничены (рис. 1).

Однако заметим, что если определенно положительная функция $v$ является неограниченно растущей при $x\to \mathrm{\infty }$, т. е. для любого числа $A>0$ можно указать сферу $S_R$, вне которой будем иметь $v>A$, то поверхности уровня этой функции будут ограниченными поверхностями.