Рассмотрим функцию $v\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$, определенную в фазовом пространстве переменных $x_{1}, \ldots, x_{n}$, непрерывную в некоторой области $D$, включающей в себя начало координат. Предположим также, что функция $v\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ обладает в области $D$ непрерывными частными производными.

Функцию $v\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ назовем определенно положительной в области $D$, если всюду в области $D$, кроме точки $O(0, \ldots, 0)$, имеет место неравенство $v>0$. Если же выполняется неравенство $v<0$, то функция $v$ называется определенно отрицательной. В том и другом случае функция может называться также знакоопределенной.

Если в области $D$ имеет место всюду неравенство $v \geqslant 0$ или неравенство $v \leqslant 0$, то функция $v$ называется знакопостоянной, причем в первом случае функция $v$ может быть также названа знакоположительной, а во втором – знакоотрицательной.

Если функция $v$ принимает в области $D$ значения как положительного знака, так и отрицательного, то в этом случае $v$ называют знакопеременной функцией. Например, функция $v=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2}$ будет знакопеременной функцией в пространстве переменных $x_{1}, x_{2}, x_{3}$, а функция $v=x_{1}^{2}+$ $+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}$ – определенно положительной в этом пространстве. функция $v=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$ будет, однако, знакопостоянной в

пространстве переменных $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ (так как она обращается в нуль на оси $O x_{3}$ ) и знакоопределенной в пространстве переменных $x_{1}, x_{2}$.

Чаще всего мы будем иметь дело только с квадратичными формами переменных $x_{1}, \ldots, x_{n}$. Очевидно, любую квадратичную форму можно записать в виде
\[
v=\sum_{i, k=1}^{n} a_{i k} x_{i} x_{k}, \quad \text { где } a_{i k}=a_{k i} .
\]

Составим матрицу коэффициентов этой формы:

и рассмотрим определители

Если имеют место неравенства $\Delta_{k}>0$ при $k=1,2, \ldots, n$, то форма $v$ будет определенно положительной.

Справедлива и обратная теорема, т. е. условия $\Delta_{k}>0$, называемые критерием Сильвестра [5], являются необходимыми и достаточными для определенной положительности формы v. Из критерия Сильвестра легко выводится необходимое и достаточное условие определенной отрицательности формы v. Это условие записывается в виде неравенств
\[
\Delta_{1}<0, \quad \Delta_{\mathrm{z}}>0, \quad \Delta_{3}<0, \ldots,
\]
т. е. определители $\Delta_{k}$ должны последовательно чередовать знак, причем знак $\Delta_{1}$ должен быть отрицательным.

В дальнейшем мы будем изучать поведение функции $v\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ вдоль траекторий изучаемой системы дифференциальных уравнений, и на основании этого изучения будем делать вынод о поведении траекторий рассматриваемой системы. Функиии $v\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$, имеюцие указанное сейчас назначение, принято теперь называть функциями Ляпунова.

Сформулируем теорему о структуре поверхности уровня знакоопределенной функции Ляпунова,

Теорема 3.1. Если функция $v\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ знакоопределенна, то существует такое положительное число $h$, что все поверхности уровня $v=c$, где $|c|<h$, являются замкнутыми относительно точки $О$ поверхностями.

Заметим, что мы называем поверхность $v=c$ замкнутой относительно точки $O$, если на любой непрерывной линии, соединяющей точку $O$ с точкой границы области $D$, имеется по крайней мере одна точка, в которой $v=c$.
Рис. 1.
Для доказательства теоремы предположим для определенности $v>0$ и рассмотрим шар $J_{R}$ с центром в начале координат и радиусом, равным $R$. Предположим, что функция $v$ определена на этом шаре (включая его границу $S_{R}$ ). Таким образом, в качестве области $D$ мы возьмем шар $\bar{J}_{R}=J_{R} \cup S_{R}$. Так как функция $v$ непрерывна, то на замкнутом ограниченном множестве $S_{R}$, границе шара, эта функция достигает своего минимального значения, которое обозначим через $h$.

Соединим теперь точку $O$ с какой-либо точкой $p$, лежащей на границе $S_{R}$, некоторой непрерывной линией $x=x(s)$. Так как в точке $O$ функция $v$ равна нулю, а $v(p) \geqslant h$, и так как функция $v$ меняется непрерывно вдоль непрерывной кривой $x=x(s)$, то функция $v$ необходимо в некоторой точке этой кривой примет значение $v=c$.

Таким образом, внутри шара $\bar{J}_{R}$ лежит замкнутая часть поверхности $v=c$; не исключается возможность, что другие части этой поверхности расположены за пределами этого шара. Такая возможность реализуется, например, для функции
\[
v=\frac{x^{2}}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}+\frac{y^{2}}{\left(1+y^{2}\right)^{2}} .
\]

С другой стороны, функция $v=\frac{x^{2}}{1+x^{2}}+y^{2}$ дает нам пример функции, линии уровня которой $\frac{x^{2}}{1+x^{2}}+y^{2}=c$ при $c \geqslant 1$ неограничены, а при $0<c<1$ замкнуты и ограничены (рис. 1).

Однако заметим, что если определенно положительная функция $v$ является неограниченно растущей при $x \rightarrow \infty$, т. е. для любого числа $A>0$ можно указать сферу $S_{R}$, вне которой будем иметь $v>A$, то поверхности уровня этой функции будут ограниченными поверхностями.