Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
1. Рассмотрим уравнение где $A(t)$ — линейный ограниченный оператор, непрерывный по $t$, функция $R(x, t)$ удовлетворяет в области $D:\|x\| \leqslant H$, $0 \leqslant t<\infty$ условию Обозначим через $W(t, \tau)$ оператор Коши уравнения и предположим, что имеет место неравенство где $\alpha, B$ — положительные постоянные, не зависящие от $t_{0}$. Напомним, что условие (6.4) есть условие экспоненциальной устойчивости нулевого решения уравнения (6.3). Теорема 6.1 (об устоичивости по первому приближению). Если выполнены условия (6.2) и (6.4) и если, кроме того, постоянные $\alpha, B, L$ удовлетворяют неравенству то нулевое решение уравнения (6.1) будет экспоненциально устойчнвым. В самом деле, используя формулу Коши, можем записать интегральное уравнение эквивалентное уравнению (6.1). Если ввести обозначение $\varphi(t)=e^{x t}\|x(t)\|$, то из (6.7) следует откуда по лемме 1.1 первой главы получим Таким образом, имеем Так как $B L-\alpha<0$, то и получаем требуемое своиство экспоненциальной устоичивости. Очевидно, неравенство (6.8) имеет место только для тех $x_{0}$, которые лежат в области $\|x\| \leqslant H$, т. е. в области, в которой выполнено неравенство (6.2). Уменьшая $H$, можно уменьшить величину $L$, входяшую в указанное неравенство, и тем самым можно обеспечить выполнение условия (6.5). Таким образом, величина области притяжения нулевого решения уравнения (6.1) зависит в конечном счете от величин $\alpha$ и $B$, входящих в условие (6.4) экспоненциальной устойчивости уравнения (6.3). Наряду с линенным оператором $A(t)$ рассмотрим теперь другой линеиный оператор, $F(t)$. Следствие. Eсли выполнено условие (6.4) $и$ неравенство и если, кроме того, величны $а, B, L$ удовлетворяют условию (6.5), то нулевое решение уравнения экспоненциально устойчиво. Предположим, по-прежнему, что в области $D$ выполнены условия (6.2), (6.4) и (6.5). Кроме того, предположим, что в области $D$ функция $u(x, t)$ удовлетворяет неравенству где $r(t)$ — функция, интегрируемая на любом конечном интервале времени. Функцию $u(x, t)$ будем рассматривать как постоянно действующее возмущение. Определение. Пусть для любого в>0 можно подобрать положительные числа $h$ и о такие, что для решений уравнения (6.10) имеет место неравенство $\|x(t)\|<$ є при $t \geqslant 0$, если только $\|x(0)\|<\delta$ и выполнено одно из условий: Очевидно, перечисленные выше случаи а), b) и с) отвечают оценкам постоянно действуюих возмущений по норме соответственно пространств $\boldsymbol{L}_{\infty}, \boldsymbol{M}$ и $\boldsymbol{M}_{4}$. Лемма 6.1. Всякое решение уравнения (6.10) удовлетворяет оценке где В самом деле, используя формулу Коши, получим откуда следует Вводя обозначение $\varphi(t)=e^{a t}\|x(t)\|$, получим откуда согласно лемме 2.3 (неравенству (2.15)) следует неравенство Таким образом, получаем оценку эквивалентную оценке (6.12). В самом деле, оценка (6.15) непосредственно следует из неравенств $\Phi_{2}(t) \leqslant h_{0} e^{-\lambda t} \int_{0}^{t} e^{\lambda s} d s$ и $\int_{0}^{t} e^{\lambda s} d s \leqslant \frac{e^{\lambda t}}{\lambda}$. Чтобы получить оценку (6.16), выделим из числа $t$ целую часть $k$, т. е. представим $t$ в виде $t=k+\tau_{0}$, где $0 \leqslant \tau_{0}<1$. Тогда будет справедлива оценка откуда следует Докажем теперь справедливость оценки (6.17). Очевидно, имеет место неравенство Таким образом, имеем откуда следует что и доказывает ощенку. Тогда всякое решение уравнения (6.10), определенное условием $\left\|x_{0}\right\|<\varepsilon / 2 B$, будет удовлетворять при $t \geqslant 0$ неравенству $\|x(t)\|<\varepsilon$. Докажем теорему. Из леммы 6.1 следует, что решение $x(t)$ удовлетворяет неравенству (6.12). Очевидно, что функция $\Phi_{1}(t)=e^{-\lambda t}\left\|x_{0}\right\|$ удовлетворяет условию $\Phi_{1}(t)<\varepsilon / 2 R$, а функция $\Phi_{2}(t)$, согласно лемме 6.2 , связана при выполнении хотя бы одного из условий А), В), С) аналогичным неравенством $\Phi_{2}(t)<\varepsilon / 2 B$. Из (6.12) сразу следует, что $\|x(t)\|<\varepsilon$. Теорема 6.3. Пусть в в-окрестности точки $x=0$ выполнены условия (6.2), (6.4), (6.5), (6.11) и одно из неравенств где $0<\rho<1$ и $0<\delta<\frac{\varepsilon}{2 B}$. Существует положительное число $T$ такое, что при $t>T$ и $\left\|x_{0}\right\|<\delta$ решение $x(t)$ уравнения (6.10) удовлетворяет неравенству $\|x(t)\|<\delta$. Докажем теорему. Пусть $T$ — целое положительное число такое, что $T>\frac{1}{\lambda} \ln \frac{B}{1-p}$. При $t>T$ получим оценку $\Phi_{1}(t)=e^{-\lambda t}\left\|x_{0}\right\|<(1-\rho) \frac{\delta}{B}$. Если выполнено хотя бы одно из условий а), b), с), то получим, согласно лемме 6.2 , $\Phi_{z}(t)<p \delta / B$. Отсюда следует, что решение $x(t)$ уравнения (6.10) будет удовлетворять при $t>T$ неравенству $\|x(t)\|<\delta$. где операторная функция $A(t)$ и функция $R(x, t)$ и $u(t)$ являются непрерывными и периодическими по $t$. Если период этих функций один и тот же и равен $\omega$, то, очевидно, замена $t=\tau \omega$ приводит к случаю, когда период будет равен 1 . Поэтому будем считать в дальнейшем, что $\omega=1$. Пусть, как и ранее, оператор Коши $W(t, \tau)$ уравнения (6.3) удовлетворяет условию (6.4). Пусть, далее, функция $R(x, t)$ удовлетворяет в области $D$ условию Липшица Предполагая выполненным условие $R(0, t)=0$ при $t \geqslant 0$, можем считать, что условие (6.2) также удовлетворено. Пусть, далее, числа $\alpha, B, L$ удовлетворяют условию (6.5), а функция $u(t)$ условию (6.11). Очевидно, что в условии (6.11) можно положить $r(t)=\|u(t)\|$; отсюда следует, что функцию $r(t)$ можно считать периодической функцией $t$. Теорема 6.4. Пусть для уравнения (6.19) выполнены перечисленные выше условия и хотя бы одно из условий a), b), с) теоремы 6.3. Существует в области $\|x\| \leqslant H / 2 B$ единственное периодическое решение $z(t)$ уравнения (6.19). Если $x(t)$-любое другое решение этого уравнения, такое, что $\|x(0)\| \leqslant H / 2 B$, mо $\|x(t)-z(t)\| \rightarrow 0$ nри $t \rightarrow \infty$; это значит, что периодическое решение $z(t)$ асимптотически устойчиво в смысле Ляпунова. Докажем теорему. Из теоремы 6.3 следует, что если $\|x(0)\| \leqslant \delta=H / 2 B$, то можно указать такое положительное число $T$, что будем иметь $\|x(T)\| \leqslant \delta$. Это значит, что шар $\|x\| \leqslant \delta$ за промежуток времени $T$ перейдет по траекториям уравнения в свою часть. Покажем, что отображение $x(0) \rightarrow$ $\rightarrow x(T)$ удовлетворяет условиям принципа сжатых отображений, т. е. условиям теоремы 1.2. Заметим сначала, что число $T$ было выбрано так, чтобы выполнялось неравенство Если $x_{0}$ и $y_{0}$-два каких-то элемента из $\delta$-окрестности нулевой точки, то по формуле Коши получим огкуда сразу следует оценка Принимая во внимание условия (6.4) и (6.20), получим Вводя обозначение $\varphi(t)=e^{x t}\|y(t)-x(t)\|$, получим откуда согласно лемме 1.1 первой главы, получим В силу условия (6.21) имеем $B e^{-\lambda T}<1$, что и цоказывает возможность применения принципа сжатых отображений. Таким образом, в шаре $\|x\| \leqslant \delta$ существует единственная точка $z(0)$ такая, что $z(T)=z(0)$. Этой точке соответствует периодическое движение; покажем, что период этого движения в точности равен 1. В самом деле, рассмотрим точку $z(1)$; очевидно, в силу периодичности правой части (6.19) имеем $z(1)=z(T+1)$, следовательно, $z(1)$ также является неподвижной точкой рассмотренного выше отображения. Но так как неподвижная точка должна быть единственной, то должно выполняться равенство $z(0)=z(1)$. Из неравенства ( $6.21^{\prime}$ ) следует теперь справедливость заключительной части доказываемой теоремы. рассмотрим уравнение Предположим, что выполнены условия, обеспечивающие существование и продолжаемость решений обоих уравнений в области $D:\|x\| \leqslant M, 0 \leqslant t<\infty$. Приведем определения, необходимые для формулировки дальнейших результатов: Всюду в дальнейшем через $x(t)$ будем обозначать решение уравнения (6.22), а через $y(t)$ решение уравнения (6.23). Лемма 6.3. Пусть решение $x=0$ уравнения (6.22) равномерно асимптотически устойчиво. Определим согласно а) $u$ b) числа $\delta<\varepsilon$ и $T>0$ такие, что из $\left\|x\left(t_{0}\right)\right\|<\delta$ следует Пусть $x\left(t_{0}\right)=y\left(t_{0}\right)$. Если справедливо неравенство где $t_{0}$ — любое положительное число, то точка $x=0$ будет є-устойчивой по отношению к системе (6.23). В самом деле, из условий леммы (6.24) и (6.26) получаем $\|y(t)\|<\varepsilon / 2-\delta / 2<\varepsilon$ при $t_{0} \leqslant t \leqslant t_{0}+T$. Далее из (6.24) и (6.25) следует $\left\|y\left(t_{0}+T\right)\right\|<\delta$. Таким образом, за промежуток времени $\left[t_{0}, t_{0}+T\right]$ точка $y(t)$ не выйдет за пределы области $\|y\|<\varepsilon$ и в момент времени $t=t_{0}+T$ будет лежать в области $\|y\|<\delta$. Беря теперь момент времени $t=t_{0}+T$ за начальный и проводя аналогичные рассуждения, т. е. рассматривая решение $x(t)$, определяемое условием $x\left(t_{0}+T\right)=y\left(t_{0}+T\right)$, убедимся, что точка $y(t)$ не выйдет за пределы области $\|y\|<\varepsilon$ при $t_{0}+T \leqslant t \leqslant t_{0}+2 T$, и, кроме того, получим $\left\|y\left(t_{0}+2 T\right)\right\|<\delta$. Продолжая далее аналогичные рассуждения, убедимся, что $\|y(t)\|<\varepsilon$ при $t_{0}+(n-1) T \leqslant t \leqslant t_{0}+n T$ и $\left\|y\left(t_{0}+n T\right)\right\|<$ $<\delta$, что и доказывает лемму. Положение равновесия $x=0$ назовем экспоненциально устойчивым в малом, если можно указать такое $\varepsilon>0$, что любое решение $x(t)$ уравнения (6.22) при. $\left\|x\left(i_{0}\right)\right\|<\varepsilon$, $t \geqslant t_{0}$ удовлетворяет неравенству где $\alpha>0, B>0$ не зависят от $t_{0}$. где $t_{0}$-любое положительное число и точка $x=0$ экспоненциально устойчива в малом для уравнения (6.22), то эта точка будет экспоненциально устойчивой в малом и для уравнения (6.23). Докажем лемму. Пусть $T=1 / \alpha \ln 4 B$ и $\delta=\varepsilon / 2 B$, где $\varepsilon$ — произвольное положительное число, для которого справедливо неравенство (6.27). Если $\left\|x\left(t_{0}\right)\right\|<0$, то имеем $\|x(t)\|<\varepsilon / 2$ при $t_{0} \leqslant t \leqslant$ $\leqslant t_{0}+T$, и, кроме того, $\left\|x\left(t_{0}+T\right)\right\|<\delta / 4$. Из условия (6.28) следует, что $\|y(t)-x(t)\|<\delta / 4$ при $t_{0} \leqslant t \leqslant t_{0}+T$, откуда получим $\|y(t)\|<\varepsilon$ при $t_{0} \leqslant t \leqslant t_{0}+T$ и $\left\|y\left(t_{0}+T\right)\right\|<\delta / 2$. и $\left\|y\left(t_{0}+n T\right)\right\|<\delta / 2^{n}$ Покажем, что имеют место неравенства и В самом деле, из (6.27) следует, что если $\left\|x\left(t_{0}\right)\right\|<\delta / 2^{n}$, то $\|x(t)\|<\varepsilon / 2^{n+1}$ при $t_{0} \leqslant t \leqslant t_{0}+T$ и $\left\|x\left(t_{0}+T\right)\right\|<$ $<\delta / 2^{n+2}$. Условие (6.28) дает $\|x(t)-y(t)\|<\delta / 2^{n+2}$ при $t_{0} \leqslant t \leqslant t_{0}+T$, откуда следует, что $\|y(t)\|<\varepsilon / 2^{n+1}+$ $+\delta / 2^{n+2}<\varepsilon / 2^{n}$ при $t_{0} \leqslant t \leqslant t_{0}+T$ и $\left\|y\left(t_{0}+T\right)\right\|<\delta / 2^{n+1}$. Принимая теперь в качестве $t_{0}$ число $t_{0}+n T$, убеждаемся в справедливости неравенств (6.29) и (6.30). Из этих неравенств легко выводится неравенство доказывающее утверждение нашей леммы. а функция $R(x, t)$ — условию где $\eta$ — положительная постоянная. В самом деле, согласно лемме 6.3 выберем для заданного в $>0$ числа $T>0$ и $\delta>0$ так, чтобы выполнялись неравенства (6.24) и (6.25). Из теоремы 2.6 выводим неравенство Очевидно, если $\eta$ выбрать исходя из неравенства $\eta / L \times$ $\times\left(e^{L T}-1\right)<\delta / 2$, то все условия леммы 6.3 будут выполнены и мы получим требуемый результат. Теорема 6.5 может быть усилена в том смысле, что вместо неравенства (6.32) можно потребовать выполнение неравенства $\|R(x, t)\| \leqslant \eta(t)$ с оценкой $\eta(t)$ по норме в пространствах $\boldsymbol{M}, \boldsymbol{M}_{2}$, как это делалось при доказательстве леммы 6.2 . Теорема 6.6. Пусть выполнено в области $D$ условие (6.31) и условие Если нулевое решение уравнения (6.22) экспоненцально устойчиво в малом, то при достаточно малом значении $M$ нулевое решение уравнения (6.23) также будет экспоненциально устойчивым в малом. Докажем теорему. Пусть $T=\frac{1}{\alpha} \ln 4 B$, где $\alpha$ и $B$ взяты из условия (6.27). Принимая во внимание условия (6.31), (6.33) и неравенство $\|x(t)\| \leqslant \delta B$, вытекающее из (6.27), можно получить при $t_{0} \leqslant t \leqslant t_{0}+T$ неравенство которое мы установили при доказательстве леммы 4.4 второй главы. Выбирая $M$ достаточно малым, мы можем добиться, чтобы правая часть (6.34) стала меньше $\delta / 4$. Далее применяем лемму 6.4 . Наиболее ранние работы, посвященные вопросам исследования устойчивости при ограниченных постоянно действующих возмущениях, принадлежат С. И. Горшину [108] и И. Г. Малкину ( $[8]$, стр. 308). Устойчивость движений при возмущениях, ограниченных в среднем, исследовалась в работе В. Е. Гермаидзе и Н. Н. Красовского [109]. Исследование устофчивости периодического движения при ограниченных постоянно деиствующих возмущениях было проведено Н. А. Артемьевым [110]. Вопросы существования, сохранения и устоћчивости периодического движения при ограниченных по модулю внешних воздействиях рассмотрены в работах Н. Н. Красовского [111] и А. Антосевича [112] на основе метода функций Ляпунова. Исследование влияния возмущений, ограниченных в среднеквадратичном, исследование периодических движений при возмущениях, ограниченных в среднем и среднеквадратичном, проведено в работе [113]. Идеи этой работы послужили основой для исследования действия случайных возмущений [114] и для исследования вопросов устойчивости решений интегро-дифференциальных уравнений [85, 91]. Леммы 6.3 и 6.4 даны в работе [115], где рассматривался более общий случай, а именно, не требовалось свойство единственности решений и исследовалась устойчивость множества. Теорема 6.6 опубликована в статье [116]. Идеи лемм 6.3 и 6.4 послужили основой целого ряда работ по теории разностных уравнений $[117,118]$, уравнений с запаздываниями [77], интегро-дифференциальных уравнений [84] и уравнении в банаховом пространстве [119].
|
1 |
Оглавление
|