1. Рассмотрим уравнение
\[
\dot{x}=A(t) x+R(x, t),
\]

где $A(t)$ – линейный ограниченный оператор, непрерывный по $t$, функция $R(x, t)$ удовлетворяет в области $D:\|x\| \leqslant H$, $0 \leqslant t<\infty$ условию
\[
\|R(x, t)\| \leqslant L\|x\| .
\]

Обозначим через $W(t, \tau)$ оператор Коши уравнения
\[
\dot{x}=A(t) x,
\]

и предположим, что имеет место неравенство
\[
\left\|W\left(t, t_{0}\right)\right\| \leqslant B e^{-\alpha\left(t-t_{0}\right)}
\]

где $\alpha, B$ – положительные постоянные, не зависящие от $t_{0}$. Напомним, что условие (6.4) есть условие экспоненциальной устойчивости нулевого решения уравнения (6.3).

Теорема 6.1 (об устоичивости по первому приближению). Если выполнены условия (6.2) и (6.4) и если, кроме того, постоянные $\alpha, B, L$ удовлетворяют неравенству
\[
\lambda=\alpha-B L>0 \text {, }
\]

то нулевое решение уравнения (6.1) будет экспоненциально устойчнвым.

В самом деле, используя формулу Коши, можем записать интегральное уравнение
\[
x(t)=W\left(t, t_{0}\right) x_{0}+\int_{t_{0}}^{t} W(t, \tau) R(x, \tau) d \tau
\]

эквивалентное уравнению (6.1).
Из условий (6.2) и (6.4) получим оценку:
\[
\|x(t)\| \leqslant B e^{-\alpha\left(t-t_{0}\right)}\left\|x_{0}\right\|+\int_{t_{0}}^{t} B L e^{-\alpha(t-s)}\|x(s)\| d s \text {. (6.7) }
\]

Если ввести обозначение $\varphi(t)=e^{x t}\|x(t)\|$, то из (6.7) следует
\[
\varphi(t) \leqslant B e^{\alpha t_{0}}\left\|x_{0}\right\|+B L \int_{t_{0}}^{t} \varphi(s) d s,
\]

откуда по лемме 1.1 первой главы получим
\[
\varphi(t) \leqslant e^{B L\left(t-t_{0}\right)} B e^{\alpha t_{0}}\left\|x_{0}\right\| .
\]

Таким образом, имеем
\[
\|x(t)\| \leqslant B e^{(B L-\alpha)\left(t-t_{0}\right)}\left\|x_{0}\right\| .
\]

Так как $B L-\alpha<0$, то и получаем требуемое своиство экспоненциальной устоичивости.

Очевидно, неравенство (6.8) имеет место только для тех $x_{0}$, которые лежат в области $\|x\| \leqslant H$, т. е. в области, в которой выполнено неравенство (6.2). Уменьшая $H$, можно уменьшить величину $L$, входяшую в указанное неравенство, и тем самым можно обеспечить выполнение условия (6.5). Таким образом, величина области притяжения нулевого решения уравнения (6.1) зависит в конечном счете от величин $\alpha$ и $B$, входящих в условие (6.4) экспоненциальной устойчивости уравнения (6.3).

Наряду с линенным оператором $A(t)$ рассмотрим теперь другой линеиный оператор, $F(t)$.

Следствие. Eсли выполнено условие (6.4) $и$ неравенство
\[
\|F(t)\| \leqslant L \quad(0 \leqslant t<\infty),
\]

и если, кроме того, величны $а, B, L$ удовлетворяют условию (6.5), то нулевое решение уравнения
\[
\dot{x}=(A(t)+F(t)) x
\]

экспоненциально устойчиво.
2. Рассмотрим теперь вопросы устойчивости нулевого решения уравнения (6.1) при постоянно дейстующих возмущениях. Наряду с уравнением (6.1) рассмотрим уравнение
\[
\dot{x}=A(t) x+R(x, t)+u(x, t) .
\]

Предположим, по-прежнему, что в области $D$ выполнены условия (6.2), (6.4) и (6.5). Кроме того, предположим, что в области $D$ функция $u(x, t)$ удовлетворяет неравенству
\[
\|u(x, t)\| \leqslant r(t)
\]

где $r(t)$ – функция, интегрируемая на любом конечном интервале времени. Функцию $u(x, t)$ будем рассматривать как постоянно действующее возмущение.
Введем обозначения
\[
\begin{array}{c}
h_{0}=\sup _{t \geqslant 0} r(t), \quad h_{1}=\sup _{t \geqslant 0} \int_{t}^{+1} r(\tau) d \tau, \\
h_{2}=\sup _{t \geqslant 0}\left(\int_{t}^{t+1} r^{2}(\tau) d \tau\right)^{1 / 2} .
\end{array}
\]

Определение. Пусть для любого в>0 можно подобрать положительные числа $h$ и о такие, что для решений уравнения (6.10) имеет место неравенство $\|x(t)\|<$ є при $t \geqslant 0$, если только $\|x(0)\|<\delta$ и выполнено одно из условий:
a) $h_{0} \leqslant h$;
b) $h_{1} \leqslant h$;
c) $h_{2} \leqslant h$.
В этом случае будем говорить, что нулевое решение уравнения (6.1) устойчиво при постоянно действующи возмущениях ограниченных (в случае а)), ограниченных в среднем (в случае b)), ограниченных в среднеквадратичном (в случае c)).

Очевидно, перечисленные выше случаи а), b) и с) отвечают оценкам постоянно действуюих возмущений по норме соответственно пространств $\boldsymbol{L}_{\infty}, \boldsymbol{M}$ и $\boldsymbol{M}_{4}$.

Лемма 6.1. Всякое решение уравнения (6.10) удовлетворяет оценке
\[
\|x(t)\| \leqslant B\left(\Phi_{1}(t)+\Phi_{2}(t)\right),
\]

где
\[
\begin{array}{c}
\Phi_{1}(t)=e^{-\lambda t}\left\|x_{0}\right\|, \quad x_{0}=x(0), \\
\Phi_{2}(t)=e^{-\lambda t} \int_{0}^{t} e^{\lambda s} r(s) d s, \\
\lambda=\alpha-B L .
\end{array}
\]

В самом деле, используя формулу Коши, получим
\[
x(t)=W(t, 0) x_{0}+\int_{0}^{t} W(t, s)(R(x, s)+u(x, s)) d s,
\]

откуда следует
\[
\|x(t)\| \leqslant B e^{-\alpha t}\left\|x_{0}\right\|+B \int_{0}^{t} e^{-\alpha(t-s)}[L\|x(s)\|+r(s)] d s .
\]

Вводя обозначение $\varphi(t)=e^{a t}\|x(t)\|$, получим
\[
\varphi(t) \leqslant B\left\|x_{0}\right\|+B \int_{0}^{t}\left[L \varphi(s)+e^{\alpha s} r(s)\right] d s,
\]

откуда согласно лемме 2.3 (неравенству (2.15)) следует неравенство
\[
\varphi(t) \leqslant B e^{B L T}\left(\left\|x_{0}\right\|+\int_{0}^{t} e^{(\alpha-B L) s} r(s) d s\right) .
\]

Таким образом, получаем оценку
\[
\|x(t)\| \leqslant B e^{-\lambda t}\left(\left\|x_{0}\right\|+\int_{0}^{t} e^{\lambda s} r(s) d s\right),
\]

эквивалентную оценке (6.12).
Лемма 6.2. Имеют место при $t \geqslant 0$ следующие оценки:
\[
\begin{array}{l}
\Phi_{2}(t) \leqslant \frac{h_{0}}{\lambda}, \\
\Phi_{2}(t) \leqslant \frac{h_{1} e^{\lambda}}{1-e^{-\lambda}}, \\
\Phi_{2}(t) \leqslant h_{2}\left(1-e^{2}\right)^{-1}\left(\frac{e^{9 \lambda}-1}{2 \lambda}\right)^{1 / 2} .
\end{array}
\]

В самом деле, оценка (6.15) непосредственно следует из неравенств $\Phi_{2}(t) \leqslant h_{0} e^{-\lambda t} \int_{0}^{t} e^{\lambda s} d s$ и $\int_{0}^{t} e^{\lambda s} d s \leqslant \frac{e^{\lambda t}}{\lambda}$.

Чтобы получить оценку (6.16), выделим из числа $t$ целую часть $k$, т. е. представим $t$ в виде $t=k+\tau_{0}$, где $0 \leqslant \tau_{0}<1$. Тогда будет справедлива оценка
\[
\Phi_{2}(t) \leqslant e^{-k \lambda}\left[\sum_{m=1}^{k+1} \int_{m}^{m} e^{m \lambda} r(s) d s\right],
\]

откуда следует
\[
\Phi_{2}(t) \leqslant h_{1} e^{-k \lambda}\left[\sum_{m=1}^{k+1} e^{m \lambda}\right] \leqslant h_{1} \frac{e^{\lambda}}{1-e^{-\lambda}} .
\]

Докажем теперь справедливость оценки (6.17). Очевидно, имеет место неравенство
\[
\begin{aligned}
\Phi_{2}(t) \leqslant e^{-k \lambda} \sum_{m=1}^{k+1} \int_{m}^{m} e^{\lambda s} r(s) d s & \\
& \leqslant e^{-k \lambda} \sum_{m=1}^{k+1}\left(\int_{m-1}^{m} e^{2 \lambda s} d s\right)^{1 / 2}\left(\int_{m-1}^{m} r^{2}(s) d s\right)^{1 / 2} .
\end{aligned}
\]

Таким образом, имеем
\[
\Phi_{2}(t) \leqslant h_{2}(2 \lambda)^{-1 / 2} e^{-k \lambda} \sum_{m=1}^{k+1}\left(e^{2 \lambda m}-e^{2 \lambda(m-1)}\right)^{1 / 2},
\]

откуда следует
\[
\Phi_{2}(t) \leqslant h_{9}(2 \lambda)^{-1 / 2}\left(e^{2 \lambda}-1\right)^{1 / 2}\left(1-e^{-\lambda}\right)^{-1},
\]

что и доказывает ощенку.
Теорема 6.2 (об устойчивости при постоянно действующих возмущениях). Пусть в в-окрестности точки $x=0$ выполнены условия (6.2), (6.4), (6.5), (6.11) и одно из неравенств
A)
\[
h_{0}<\frac{\varepsilon}{2 B} \lambda,
\]
B)
\[
h_{1}<\frac{\varepsilon}{2 B} e^{-\lambda}\left(1-e^{-\lambda}\right) \text {, }
\]
C)
\[
h_{2}<_{2 B}^{\varepsilon}\left(\frac{2 \lambda}{e^{2 \lambda}-1}\right)^{1 / 2}\left(1-e^{-\lambda}\right) \text {. }
\]

Тогда всякое решение уравнения (6.10), определенное условием $\left\|x_{0}\right\|<\varepsilon / 2 B$, будет удовлетворять при $t \geqslant 0$ неравенству $\|x(t)\|<\varepsilon$.

Докажем теорему. Из леммы 6.1 следует, что решение $x(t)$ удовлетворяет неравенству (6.12). Очевидно, что функция $\Phi_{1}(t)=e^{-\lambda t}\left\|x_{0}\right\|$ удовлетворяет условию $\Phi_{1}(t)<\varepsilon / 2 R$, а функция $\Phi_{2}(t)$, согласно лемме 6.2 , связана при выполнении хотя бы одного из условий А), В), С) аналогичным неравенством $\Phi_{2}(t)<\varepsilon / 2 B$. Из (6.12) сразу следует, что $\|x(t)\|<\varepsilon$.
3. Рассмотрим теперь еще одну теорему, которую можно бы было назвать теоремой о диссипативной устойчивости.

Теорема 6.3. Пусть в в-окрестности точки $x=0$ выполнены условия (6.2), (6.4), (6.5), (6.11) и одно из неравенств
a)
\[
h_{0}<\rho \frac{\delta}{B} \lambda,
\]
b)
\[
h_{1}<\rho \frac{\delta}{B} e^{-\lambda}\left(1-e^{-\lambda}\right),
\]
c)
\[
h_{2}<\rho \frac{\delta}{B}\left(\frac{2 \lambda}{e^{-\lambda}-1}\right)^{1 / 2}\left(1-e^{-\lambda}\right),
\]

где $0<\rho<1$ и $0<\delta<\frac{\varepsilon}{2 B}$. Существует положительное число $T$ такое, что при $t>T$ и $\left\|x_{0}\right\|<\delta$ решение $x(t)$ уравнения (6.10) удовлетворяет неравенству $\|x(t)\|<\delta$.

Докажем теорему. Пусть $T$ – целое положительное число такое, что $T>\frac{1}{\lambda} \ln \frac{B}{1-p}$. При $t>T$ получим оценку $\Phi_{1}(t)=e^{-\lambda t}\left\|x_{0}\right\|<(1-\rho) \frac{\delta}{B}$. Если выполнено хотя бы одно из условий а), b), с), то получим, согласно лемме 6.2 , $\Phi_{z}(t)<p \delta / B$. Отсюда следует, что решение $x(t)$ уравнения (6.10) будет удовлетворять при $t>T$ неравенству $\|x(t)\|<\delta$.
4. Рассмотрим теперь уравнение
\[
\dot{x}=A(t) x+R(x, t)+u(t),
\]

где операторная функция $A(t)$ и функция $R(x, t)$ и $u(t)$ являются непрерывными и периодическими по $t$. Если период этих функций один и тот же и равен $\omega$, то, очевидно, замена $t=\tau \omega$ приводит к случаю, когда период будет равен 1 . Поэтому будем считать в дальнейшем, что $\omega=1$. Пусть, как и ранее, оператор Коши $W(t, \tau)$ уравнения (6.3) удовлетворяет условию (6.4). Пусть, далее, функция $R(x, t)$ удовлетворяет в области $D$ условию Липшица
\[
\|R(x, t)-R(y, t)\| \leqslant L\|x-y\| .
\]

Предполагая выполненным условие $R(0, t)=0$ при $t \geqslant 0$, можем считать, что условие (6.2) также удовлетворено. Пусть, далее, числа $\alpha, B, L$ удовлетворяют условию (6.5), а функция $u(t)$ условию (6.11). Очевидно, что в условии (6.11) можно положить $r(t)=\|u(t)\|$; отсюда следует, что функцию $r(t)$ можно считать периодической функцией $t$.

Теорема 6.4. Пусть для уравнения (6.19) выполнены перечисленные выше условия и хотя бы одно из условий a), b), с) теоремы 6.3. Существует в области $\|x\| \leqslant H / 2 B$ единственное периодическое решение $z(t)$ уравнения (6.19). Если $x(t)$-любое другое решение этого уравнения, такое, что $\|x(0)\| \leqslant H / 2 B$, mо $\|x(t)-z(t)\| \rightarrow 0$ nри $t \rightarrow \infty$; это значит, что периодическое решение $z(t)$ асимптотически устойчиво в смысле Ляпунова.

Докажем теорему. Из теоремы 6.3 следует, что если $\|x(0)\| \leqslant \delta=H / 2 B$, то можно указать такое положительное число $T$, что будем иметь $\|x(T)\| \leqslant \delta$. Это значит, что шар $\|x\| \leqslant \delta$ за промежуток времени $T$ перейдет по траекториям уравнения в свою часть. Покажем, что отображение $x(0) \rightarrow$ $\rightarrow x(T)$ удовлетворяет условиям принципа сжатых отображений, т. е. условиям теоремы 1.2. Заметим сначала, что число $T$ было выбрано так, чтобы выполнялось неравенство
\[
T>\frac{1}{\lambda} \ln \frac{B}{1-\rho}>\frac{1}{\lambda} \ln B .
\]

Если $x_{0}$ и $y_{0}$-два каких-то элемента из $\delta$-окрестности нулевой точки, то по формуле Коши получим
\[
\begin{array}{l}
x(T)=W(T, 0) x_{0}+\int_{0}^{T} W(T, s)[R(x, s)+u(s)] d s, \\
y(T)=W(T, 0) y_{0}+\int_{0}^{T} W(T, s)[R(y, s)+u(s)] d s,
\end{array}
\]

огкуда сразу следует оценка
\[
\begin{array}{l}
\|y(T)-x(T)\| \leqslant\|W(T, 0)\|\left\|y_{0}-x_{0}\right\|+ \\
\quad+\int_{0}^{T}\|W(T, s)\| R(y, s)-R(x, s) \| d s .
\end{array}
\]

Принимая во внимание условия (6.4) и (6.20), получим
\[
\begin{aligned}
\|y(T)-x(T)\| \leqslant B e^{-\alpha T} \| & y_{0}-x_{0} \|+ \\
& +\int_{0}^{T} B L e^{-\alpha(T-s)}\|y(s)-x(s)\| d s .
\end{aligned}
\]

Вводя обозначение $\varphi(t)=e^{x t}\|y(t)-x(t)\|$, получим
\[
\varphi(t) \leqslant B\left\|y_{0}-x_{0}\right\|+B L \int_{0}^{T} \varphi(s) d s,
\]

откуда согласно лемме 1.1 первой главы, получим
\[
\varphi(T) \leqslant B e^{B L T}\left\|y_{0}-x_{0}\right\|,
\]
T. e.
\[
\|y(T)-x(T)\| \leqslant B e^{-\lambda t}\left\|y_{0}-x_{0}\right\| .
\]

В силу условия (6.21) имеем $B e^{-\lambda T}<1$, что и цоказывает возможность применения принципа сжатых отображений.

Таким образом, в шаре $\|x\| \leqslant \delta$ существует единственная точка $z(0)$ такая, что $z(T)=z(0)$. Этой точке соответствует периодическое движение; покажем, что период этого движения в точности равен 1. В самом деле, рассмотрим точку $z(1)$; очевидно, в силу периодичности правой части (6.19) имеем $z(1)=z(T+1)$, следовательно, $z(1)$ также является неподвижной точкой рассмотренного выше отображения. Но так как неподвижная точка должна быть единственной, то должно выполняться равенство $z(0)=z(1)$.

Из неравенства ( $6.21^{\prime}$ ) следует теперь справедливость заключительной части доказываемой теоремы.
5. Перейдем теперь к рассмотрению теорем об устойчвости при постоянно действущих возмущениях и об устончивости по первому приближению, доказательства которых не укладываются в схему, приведенную ранее.
Наряду с уравнением
\[
\dot{x}=X(x, t), \text { где } \quad X(0, t)=0, .
\]

рассмотрим уравнение
\[
\dot{y}=X(y, t)+R(y, t) .
\]

Предположим, что выполнены условия, обеспечивающие существование и продолжаемость решений обоих уравнений в области $D:\|x\| \leqslant M, 0 \leqslant t<\infty$.

Приведем определения, необходимые для формулировки дальнейших результатов:
a) Положение равновесия $x=0$ уравнения (6.22) назовем равномерно устойчивым в смысле Ляпунова, если для любого $\varepsilon>0$ и $t_{0} \geqslant 0$ можно указать такое положительное число $\delta$, зависящее только от $\varepsilon$, что из $\left\|x\left(t_{0}\right)\right\|<\delta$ следует $\|x(t)\|<\varepsilon$ при $t \geqslant t_{0}$.
b) Положение равновесия $x=0$ уравнения (6.22) называется равномерно асимптотически устойчивым, если оно равномерно устойчиво в смысле Ляпунова и, кроме того, существует $\varepsilon>0$ такое, что для любых $\delta>0, t_{0} \geqslant 0$ можно указать число $T>0$, зависяшее только от $\varepsilon$ и $\delta$, и такое, что из $\left\|x\left(t_{0}\right)\right\|<\varepsilon$ следует $\left\|x\left(t_{0}+T\right)\right\|<\delta$. В следующем определении не предполагается, что точка $x=0$ является положением равновесия.
c) Точка $x=0$ называется $\varepsilon-$ стойчивой, если можно указать $\delta>0$ такое, что из $\left\|x\left(t_{0}\right)\right\|<\delta$ следует $\|x(t)\|<\varepsilon$ при $t \geqslant t_{0}$.

Всюду в дальнейшем через $x(t)$ будем обозначать решение уравнения (6.22), а через $y(t)$ решение уравнения (6.23).

Лемма 6.3. Пусть решение $x=0$ уравнения (6.22) равномерно асимптотически устойчиво. Определим согласно а) $u$ b) числа $\delta<\varepsilon$ и $T>0$ такие, что из $\left\|x\left(t_{0}\right)\right\|<\delta$ следует
\[
\begin{array}{c}
\|x(t)\|<\varepsilon / 2 \quad \text { npt } \quad t \geqslant t_{0}, \\
\left\|x\left(t_{0}+T\right)\right\|<\frac{\delta}{2} .
\end{array}
\]

Пусть $x\left(t_{0}\right)=y\left(t_{0}\right)$. Если справедливо неравенство
\[
\|y(t)-x(t)\|<\delta / 2 \quad \text { npn } \quad t_{0} \leqslant t \leqslant t_{0}+T,
\]

где $t_{0}$ – любое положительное число, то точка $x=0$ будет є-устойчивой по отношению к системе (6.23).

В самом деле, из условий леммы (6.24) и (6.26) получаем $\|y(t)\|<\varepsilon / 2-\delta / 2<\varepsilon$ при $t_{0} \leqslant t \leqslant t_{0}+T$. Далее из (6.24) и (6.25) следует $\left\|y\left(t_{0}+T\right)\right\|<\delta$.

Таким образом, за промежуток времени $\left[t_{0}, t_{0}+T\right]$ точка $y(t)$ не выйдет за пределы области $\|y\|<\varepsilon$ и в момент времени $t=t_{0}+T$ будет лежать в области $\|y\|<\delta$.

Беря теперь момент времени $t=t_{0}+T$ за начальный и проводя аналогичные рассуждения, т. е. рассматривая решение $x(t)$, определяемое условием $x\left(t_{0}+T\right)=y\left(t_{0}+T\right)$, убедимся, что точка $y(t)$ не выйдет за пределы области $\|y\|<\varepsilon$ при $t_{0}+T \leqslant t \leqslant t_{0}+2 T$, и, кроме того, получим $\left\|y\left(t_{0}+2 T\right)\right\|<\delta$.

Продолжая далее аналогичные рассуждения, убедимся, что $\|y(t)\|<\varepsilon$ при $t_{0}+(n-1) T \leqslant t \leqslant t_{0}+n T$ и $\left\|y\left(t_{0}+n T\right)\right\|<$ $<\delta$, что и доказывает лемму.

Положение равновесия $x=0$ назовем экспоненциально устойчивым в малом, если можно указать такое $\varepsilon>0$, что любое решение $x(t)$ уравнения (6.22) при. $\left\|x\left(i_{0}\right)\right\|<\varepsilon$, $t \geqslant t_{0}$ удовлетворяет неравенству
\[
\|x(t)\| \leqslant B e^{-a\left(t-t_{0}\right)}\left\|x\left(t_{0}\right)\right\|,
\]

где $\alpha>0, B>0$ не зависят от $t_{0}$.
Лемма 6.4. Если при $x\left(t_{0}\right)=y\left(t_{0}\right)$ и $t_{0} \leqslant t \leqslant t_{0}+T$ имеет место неравенство
\[
\|x(t)-y(t)\| \leqslant 1 / 4\left\|x\left(t_{0}\right)\right\|,
\]

где $t_{0}$-любое положительное число и точка $x=0$ экспоненциально устойчива в малом для уравнения (6.22), то эта точка будет экспоненциально устойчивой в малом и для уравнения (6.23).

Докажем лемму. Пусть $T=1 / \alpha \ln 4 B$ и $\delta=\varepsilon / 2 B$, где $\varepsilon$ – произвольное положительное число, для которого справедливо неравенство (6.27).

Если $\left\|x\left(t_{0}\right)\right\|<0$, то имеем $\|x(t)\|<\varepsilon / 2$ при $t_{0} \leqslant t \leqslant$ $\leqslant t_{0}+T$, и, кроме того, $\left\|x\left(t_{0}+T\right)\right\|<\delta / 4$. Из условия (6.28) следует, что $\|y(t)-x(t)\|<\delta / 4$ при $t_{0} \leqslant t \leqslant t_{0}+T$, откуда получим $\|y(t)\|<\varepsilon$ при $t_{0} \leqslant t \leqslant t_{0}+T$ и $\left\|y\left(t_{0}+T\right)\right\|<\delta / 2$.
Предположим теперь, что доказано
\[
\|y(t)\|<\varepsilon / 2^{n-1} \quad \text { при } \quad t_{0}+(n-1) T \leqslant t \leqslant t_{0}+n T
\]

и $\left\|y\left(t_{0}+n T\right)\right\|<\delta / 2^{n}$

Покажем, что имеют место неравенства
\[
\|y(t)\|<\varepsilon / 2^{n} \quad \text { при } \quad t_{0}+n T \leqslant t \leqslant t_{0}+(n+1) T
\]

и
\[
\left\|y\left(t_{0}+(n+1) T\right)\right\|<\delta / 2^{n+1} .
\]

В самом деле, из (6.27) следует, что если $\left\|x\left(t_{0}\right)\right\|<\delta / 2^{n}$, то $\|x(t)\|<\varepsilon / 2^{n+1}$ при $t_{0} \leqslant t \leqslant t_{0}+T$ и $\left\|x\left(t_{0}+T\right)\right\|<$ $<\delta / 2^{n+2}$. Условие (6.28) дает $\|x(t)-y(t)\|<\delta / 2^{n+2}$ при $t_{0} \leqslant t \leqslant t_{0}+T$, откуда следует, что $\|y(t)\|<\varepsilon / 2^{n+1}+$ $+\delta / 2^{n+2}<\varepsilon / 2^{n}$ при $t_{0} \leqslant t \leqslant t_{0}+T$ и $\left\|y\left(t_{0}+T\right)\right\|<\delta / 2^{n+1}$. Принимая теперь в качестве $t_{0}$ число $t_{0}+n T$, убеждаемся в справедливости неравенств (6.29) и (6.30). Из этих неравенств легко выводится неравенство
\[
\|y(t)\| \leqslant 4 B \delta \exp \left(-\alpha \ln 2 / \ln 4 B\left(t-t_{0}\right)\right),
\]

доказывающее утверждение нашей леммы.
Пусть теперь в области $D$ функция $X(x, t)$ удовлетворяет условию Липшица
\[
\|X(x, t)-X(y, t)\| \leqslant L\|x-y\|,
\]

а функция $R(x, t)$ – условию
\[
\|R(x, t)\| \leqslant \eta,
\]

где $\eta$ – положительная постоянная.
Теорема 6.5 (об устойчивости при постоянно действующих возмущениях). Если нулевое решение уравнения (6.22) равномерно асимптотически устойчиво, то для любого $\varepsilon>0$ можно указать такие числа $\delta>0$ и $\eta>0$, что для любого решения $y(t)$ уравнения (6.23) из неравенств (6.32) u $\left\|y\left(t_{0}\right)\right\|<\delta$ следует при $t \geqslant t_{0}$ неравенство
\[
\|y(t)\|<\varepsilon .
\]

В самом деле, согласно лемме 6.3 выберем для заданного в $>0$ числа $T>0$ и $\delta>0$ так, чтобы выполнялись неравенства (6.24) и (6.25). Из теоремы 2.6 выводим неравенство
\[
\|x(t)-y(t)\| \leqslant \int_{t_{0}}^{t_{0}-T^{T}} e^{L(t-s)} \eta_{1} d s=\gamma_{/} / L\left(e^{L T}-1\right) .
\]

Очевидно, если $\eta$ выбрать исходя из неравенства $\eta / L \times$ $\times\left(e^{L T}-1\right)<\delta / 2$, то все условия леммы 6.3 будут выполнены и мы получим требуемый результат.

Теорема 6.5 может быть усилена в том смысле, что вместо неравенства (6.32) можно потребовать выполнение неравенства $\|R(x, t)\| \leqslant \eta(t)$ с оценкой $\eta(t)$ по норме в пространствах $\boldsymbol{M}, \boldsymbol{M}_{2}$, как это делалось при доказательстве леммы 6.2 .

Теорема 6.6. Пусть выполнено в области $D$ условие (6.31) и условие
\[
\|R(x, t)\| \leqslant M\|x\| .
\]

Если нулевое решение уравнения (6.22) экспоненцально устойчиво в малом, то при достаточно малом значении $M$ нулевое решение уравнения (6.23) также будет экспоненциально устойчивым в малом.

Докажем теорему. Пусть $T=\frac{1}{\alpha} \ln 4 B$, где $\alpha$ и $B$ взяты из условия (6.27). Принимая во внимание условия (6.31), (6.33) и неравенство $\|x(t)\| \leqslant \delta B$, вытекающее из (6.27), можно получить при $t_{0} \leqslant t \leqslant t_{0}+T$ неравенство
\[
\|x(t)-y(t)\| \leqslant \frac{M B 8}{M+L}\left(e^{(M+L)\left(t-t_{0}\right)}-1\right),
\]

которое мы установили при доказательстве леммы 4.4 второй главы. Выбирая $M$ достаточно малым, мы можем добиться, чтобы правая часть (6.34) стала меньше $\delta / 4$. Далее применяем лемму 6.4 .
6. Отметим теперь работы, в которых в случае конечномерного фазового пространства рассматривались затронутые выше вопросы.

Наиболее ранние работы, посвященные вопросам исследования устойчивости при ограниченных постоянно действующих возмущениях, принадлежат С. И. Горшину [108] и И. Г. Малкину ( $[8]$, стр. 308). Устойчивость движений при возмущениях, ограниченных в среднем, исследовалась в работе В. Е. Гермаидзе и Н. Н. Красовского [109]. Исследование устофчивости периодического движения при ограниченных постоянно деиствующих возмущениях было проведено Н. А. Артемьевым [110]. Вопросы существования, сохранения и устоћчивости периодического движения при ограниченных по модулю внешних воздействиях рассмотрены в работах Н. Н. Красовского [111] и А. Антосевича [112] на основе метода функций Ляпунова.

Исследование влияния возмущений, ограниченных в среднеквадратичном, исследование периодических движений при возмущениях, ограниченных в среднем и среднеквадратичном, проведено в работе [113]. Идеи этой работы послужили основой для исследования действия случайных возмущений [114] и для исследования вопросов устойчивости решений интегро-дифференциальных уравнений [85, 91].

Леммы 6.3 и 6.4 даны в работе [115], где рассматривался более общий случай, а именно, не требовалось свойство единственности решений и исследовалась устойчивость множества. Теорема 6.6 опубликована в статье [116].

Идеи лемм 6.3 и 6.4 послужили основой целого ряда работ по теории разностных уравнений $[117,118]$, уравнений с запаздываниями [77], интегро-дифференциальных уравнений [84] и уравнении в банаховом пространстве [119].