А. М. Ляпунов установил ряд общих достаточных условий устойчивости и неустойчивости невозмущенного движения, описываемого системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Сводя вопрос устойчивости невозмущенного движения к вопросу устойчивости положения равновесия, А. М. Ляпунов связывал факт устойчивости или неустойчивости с наличием функции $v\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$, производная которой по времени, взятая согласно системе дифференциальных уравнении, обладает определенными свойствами.

Однако значение функций Ляпунова далеко не исчерпывается проблемой установления факта устойчивости, как и неустой чивости. Знание функции Ляпунова для конкретной системы автоматического регулирования позволяет дать оценку изменения регулируемой величины, оценку времени протекания переходного процесса (времени регулирования), оценку качества регулирования.

С помощью функций Ляпунова можно оценить область притяжения, т. е. многообразие всех начальных возмущений, исчезаюцих во времени, можно оценить влияние постоянно денствующих возмущений. Знание функции Ляпунова позволяет решить вопрос о наличии или отсутствии перерегулирования, с помощью этих функций можно решать задачи устойчивости «в большом», т. е. оценивать область начальных возмущений, не выходящих с течением времени за пределы заданной заранее области. В некоторых случаях знание функции Ляпунова позволяет также решить вопрос о наличии периодического решения.

Одним из наиболее трудных и интересных вопросов теории устойчивости был вопрос об обращении теорем Ляпунова. Необходимо было выяснить, являются ли достаточные условия устойивости и неустойчивости, указанные А. М. Ляпуновым, необходимыми условиями. Этот вопрос оказался важным не только в силу стремления к логической завершенности теории. Обращение теорем Ляпунова, осуществленное в работах К. П. Персидского [141], Л. Массера [4], Е. А. Барбашина [25], И. Г. Малкина [142], Н. Н. Красовского [7], обеспечило уверенность в силе метода функций Ляпунова, как универсального метода для решения задач устойчивости.

Однако методы построения функций Ляпунова, хорошо разработанные указанными авторами, хотя и позволили установить факт существования этих функций, но не были настолько эффективными, чтобы ими можно было пользоваться при исследовании конкретных систем.

Следует заметить, что для автономной линеиной системы способ построения функцић Ляпунова был указан еще самим А. М. Ляпуновым. Этот способ дает возможность получить также функцию Ляпунова в достаточно малой окрестности положения равновесия нелинейной системы. Значительно более трудной является проблема построения функции в заданной области фазового пространства нелинейной системы. В направлении решения этой проблемы работали многие математики и механики; ими создан достаточно богатый запас конкретных функций Ляпунова для нелиненных систем специального вида, но до настоящего времени не существует надежного, простого и хорошо разработанного алгоритма, позволяющего построить функцию Ляпунова для любой нелинейной системы.

В этой главе, наряду с изложением теорем об устойчивости и неустойчивости, мы даем примеры использования функции Ляпунова для решения задач оценки времени регулирования, оценки области допустимых возмущений, оценки области притяжения и т. д.

Кроме того, нами указаны наиболее распространенные приемы построения функций Ляпунова для нелинеиннх систем и приведены соответствующие примеры применения этих приемов.