Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
1. Большой интерес представляет исследование случая, когда возмущения, действующие на систему, имеют импульсный характер. Примером импульсного возмущения может служить, в частности, функция $u(t)=x_{0} \delta\left(t-t_{0}\right)$, где $x_{0}-$ некоторый фиксированный элемент пространства $E, t_{0} \geqslant 0$, а $\delta\left(t-t_{0}\right)$ — известная функция Дирака. Если выполнено условие $x(t)=0$ при $t<t_{0}$, то после действия указанного возмущения, как нетрудно видеть, решение задачи будет при $t>t_{0}$ иметь вид Это значит, что возмущение $a(t)$ вызывает мгновенный переход в момент времени $t=t_{0}$ нулевой точки в точку $x_{0}$. Рассмотрим функцию $e(t)$ (функцию единичного скачка), определенную следующим образом: импульСныЕ воздействия где интеграл следует рассматривать как обобщенный интеграл Стилтьеса. Если рассматривать функцию $e(t)$ как некоторое входное распределение, то соотношение (7.3) показывает, как преобразуется это распределение в новое распределение $x(t)$ при прохождении через некоторое звено автоматической системы, описываемое уравнением (7.1). Таким образом, если встать на ту точку зрения, что уравнение (7.1) описывает закон преобразования входного распределения в выходное, то мы получим новую интересную задачу, относящуюся к теории обобщенных функций. Однако рамки настоящей книги не позволяют провести полное описание перехода входных обобщенных сигналов в выходные. Пользуясь несложным аппаратом интеграла Стилтьеса, который мы коротко рассмотрели в § 1, нетрудно изучить важный класс импульсных воздействий вида где функция $u_{0}(t)$ интегрируема на любом конечном интервале, $a_{i}$ — элементы пространства $\boldsymbol{E}$. соответствующее задаче (7.1). при люоых $0 \leqslant t_{0} \leqslant t<\infty$. В самом деле, чтобы показать необходимость условия, достаточно взять функцию $g(t)$ в следующем виде: где $u(t)$ принадлежит пространству $\boldsymbol{L}$. Таким образом, величина конечна и функция $g(t)$ будет функцией ограниченной вариации на множестве $t \geqslant 0$. По условию теоремы функция $x(t)$ должна быть ограниченной; используя теорему 5.7, получим нужное нам неравенство $\left\|W\left(t, t_{0}\right)\right\| \leqslant W_{0}<\infty$ при $0 \leqslant$ $\leqslant t_{0} \leqslant t$. Достаточность условия теоремы вытекает из неравенства (1.9). Из этого неравенства следует, что откуда и получаем ограниченность $x(t)$. Теорема 7.2. Пусть выполнено условие Для того чтобы всякой функции $g(t) \in \boldsymbol{U}$ соответствовала в силу (7.5) ограниченная функция $x(t)$, необходимо и достаточно выполнения неравенства где $\alpha>0, B \geqslant 1$ не зависят от $t_{0}$. Так как $\bigvee_{t}^{t+1} g(t) \leqslant \int_{t}^{t+1}\|u(t)\| d t$, то $g(t)$ принадлежит $\boldsymbol{U}$. Но так как $u(s) \in \boldsymbol{M}$ и $x(t)$ — ограниченная непрерывная функция, то из теоремы 5.6 следует справедливость (7.6). Докажем достаточность условия. Согласно (7.6) и (1.10) имеем где $v(s)=\mathbf{V}_{0}^{s} g(s)$. Для этого выделим из числа $t$ целую часть, т. е. представим $t$ в виде $t=k+\tau, 0 \leqslant \tau<1$. Следуя идее доказательства леммы 6.2 , имеем Если то получим Таким образом, оценка (7.7) принимает вид что и дает требуемый результат. Легко видеть, что для случая дифференцируемой функции $g(s)$ задача (7.9) эквивалентна задаче где $u(t)=\dot{g}(t)$. в области $D:\|x\| \leqslant H, 0 \leqslant t<\infty$. Теорема 7.3. Пусть Если выполнены условия (7.6), (7.11) и (7.12), то справедлива ощенка В самом деле, имеем где Для функции $\varphi(t)=\|x(t)\| e^{a t}$ справедливо неравенство В силу леммы 2.3 (неравенстно (2.14)) имеем откуда получим Пользуясь теперь оценкой 7.8, получим требуемый результат. Теорема 7.3 является теоремой об устойчивости по отношению к возмущениям, которые могут в частном случае быть и мгновенными. где $R(x, t)$ обладает свойством $R(0, t)=0, g(-0)=g(+0)$. Это уравнение соответствует задаче (7.10) с той лишь разницей, что $x(0)=x_{0}$. Предположим, что оператор Коши удовлетворяет условию кроме того, предположим, что $R(x, s)$ и $g(s)$ гакже являются периодическими функциями с периодом 1. Очевидно, условие (7.14) эквивалентно требованию периодичности onераторной функции $A(t)$, входящей в уравнение (7.10). Пусть, кроме того, по-прежнему выполнены условия (7.6) и (7.12). Вместо условия (7.11) потребуем, чтобы в области $D$ выполнялось условие Липшица Теорема 7.4. Пусть $\left\|x_{0}\right\| \leqslant \delta$, где $\delta=H / 2 B \cdot u$ Для решения уравнения (7.13) справедлива оценка $\|x(t)\| \leqslant$ $\leqslant H$. Кроме того, можно указать такое $x_{0}, \quad\left\|x_{0}\right\| \leqslant \delta$, что соответствующее решение $x(t)$ будет периодическим и асимптотически устойчивым. Всякое другое решение, определяемое начальной точкой из области $\|x\| \leqslant \delta$, будет притягиваться к указанному периодическому решению. Докажем теорему. Повторяя доказательство леммы 6.1 и используя снова лемму 2.3 (неравенство (2.14)), установим, что Используя оценку предыдущей теоремы, получим откуда, в силу (7.16) следует С другой стороны, при целом $T>\frac{1}{\lambda} \ln \frac{B}{1-p}$ получим $\|x(T)\| \leqslant \delta$ и, следовательно, точка $x_{0}$ переходит снова в $\delta$-окрестность точки $x=0$. Нетрудно видеть, что в данном случае преобразование $x_{0} \rightarrow x(T)$ непрерывно и однозначно. Далее, повторяя доказательство теоремы 6.4 , можно показать, что указанное преобразование удовлетворяет условиям принципа сжатых отображений. Отсюда следует существование и единственность периодического движения, которое, правда, может иметь счетное число разрывов. Асимптотическая устойчивость периодического решения устанавливается точно так же, как и при доказательстве теоремы 6.4. В конечномерном случае последняя теорема была рассмотрена в статье [113].
|
1 |
Оглавление
|