1. Большой интерес представляет исследование случая, когда возмущения, действующие на систему, имеют импульсный характер. Примером импульсного возмущения может служить, в частности, функция $u(t)=x_{0} \delta\left(t-t_{0}\right)$, где $x_{0}-$ некоторый фиксированный элемент пространства $E, t_{0} \geqslant 0$, а $\delta\left(t-t_{0}\right)$ – известная функция Дирака.

Если выполнено условие $x(t)=0$ при $t<t_{0}$, то после действия указанного возмущения, как нетрудно видеть, решение задачи
\[
\dot{x}=A(t) x+u(t), \quad x(0)=0
\]

будет при $t>t_{0}$ иметь вид
\[
x(t)=W\left(t, t_{0}\right) x_{0} .
\]

Это значит, что возмущение $a(t)$ вызывает мгновенный переход в момент времени $t=t_{0}$ нулевой точки в точку $x_{0}$.

Рассмотрим функцию $e(t)$ (функцию единичного скачка), определенную следующим образом:
\[
\begin{array}{lll}
e(t)=0 & \text { при } & t<t_{0}, \\
e(t)=1 & \text { при } & t \geqslant t_{0} .
\end{array}
\]

импульСныЕ воздействия
195
Легко видеть, что решение (7.2) может быть представлено формулой
\[
x(t)=\int_{0}^{t} W(t, s) x_{0} d e(s),
\]

где интеграл следует рассматривать как обобщенный интеграл Стилтьеса.

Если рассматривать функцию $e(t)$ как некоторое входное распределение, то соотношение (7.3) показывает, как преобразуется это распределение в новое распределение $x(t)$ при прохождении через некоторое звено автоматической системы, описываемое уравнением (7.1). Таким образом, если встать на ту точку зрения, что уравнение (7.1) описывает закон преобразования входного распределения в выходное, то мы получим новую интересную задачу, относящуюся к теории обобщенных функций. Однако рамки настоящей книги не позволяют провести полное описание перехода входных обобщенных сигналов в выходные. Пользуясь несложным аппаратом интеграла Стилтьеса, который мы коротко рассмотрели в § 1, нетрудно изучить важный класс импульсных воздействий вида
\[
u(t)=u_{0}(t)+\sum_{i=1}^{\infty} a_{i} \delta\left(t-t_{i}\right)
\]

где функция $u_{0}(t)$ интегрируема на любом конечном интервале, $a_{i}$ – элементы пространства $\boldsymbol{E}$.
2. Рассмотрим сначала уравнение
\[
x(t)=\int_{0}^{t} W(t, s) d g(s),
\]

соответствующее задаче (7.1).
Теорема 7.1. Для того чтобы всякой функции $g(t)$ ограниченной вариации на множестве $0 \leqslant t<\infty$ соответствовала в силу (7.5) ограниченная (по норме $\boldsymbol{L}_{\infty}$ ) бункция $x(t)$, необходимо и достаточно выполнения неравенства
\[
\left\|W\left(t, t_{0}\right)\right\| \leqslant W_{0}<\infty
\]

при люоых $0 \leqslant t_{0} \leqslant t<\infty$.

В самом деле, чтобы показать необходимость условия, достаточно взять функцию $g(t)$ в следующем виде:
\[
g(t)=\int_{0}^{t} u(t) d t
\]

где $u(t)$ принадлежит пространству $\boldsymbol{L}$. Таким образом, величина
\[
\int_{0}^{\infty}\|u(t)\| d t
\]

конечна и функция $g(t)$ будет функцией ограниченной вариации на множестве $t \geqslant 0$. По условию теоремы функция $x(t)$ должна быть ограниченной; используя теорему 5.7, получим нужное нам неравенство $\left\|W\left(t, t_{0}\right)\right\| \leqslant W_{0}<\infty$ при $0 \leqslant$ $\leqslant t_{0} \leqslant t$.

Достаточность условия теоремы вытекает из неравенства (1.9). Из этого неравенства следует, что
\[
\|x(t)\| \leqslant W_{0} \bigvee_{0}^{\infty} g(t),
\]

откуда и получаем ограниченность $x(t)$.
Рассмотрим теперь пространство $\boldsymbol{U}$, элементами которого являются функции $g(t)$, такие, что
\[
\|g(t)\|_{\boldsymbol{U}}=\sup _{t>0} \stackrel{V}{t}^{+1} g(t)<\infty .
\]

Теорема 7.2. Пусть выполнено условие
\[
\sup _{t>0} \int_{i}^{t+1}\|A(t)\| d t<\infty .
\]

Для того чтобы всякой функции $g(t) \in \boldsymbol{U}$ соответствовала в силу (7.5) ограниченная функция $x(t)$, необходимо и достаточно выполнения неравенства
\[
\left\|W\left(t, t_{0}\right)\right\| \leqslant B e^{-\alpha\left(t-t_{0}\right)},
\]

где $\alpha>0, B \geqslant 1$ не зависят от $t_{0}$.
В самом деле, чтобы доказать необходимость условия, рассмотрим подпространство пространства $\boldsymbol{U}$, состояцее из всех функций вида $g(t)=\int_{0}^{t} u(t) d t$, где $u(t)$ принадлежит пространству $\boldsymbol{M}$, что соответствует условию
\[
\sup _{t \geqslant 0} \int_{t}^{t+1}\|u(t)\| d t<\infty
\]

Так как $\bigvee_{t}^{t+1} g(t) \leqslant \int_{t}^{t+1}\|u(t)\| d t$, то $g(t)$ принадлежит $\boldsymbol{U}$.
Очевидно, что в данном с.тучае имеем
\[
x(t)=\int_{0}^{t} W(t, s) u(s) d s
\]

Но так как $u(s) \in \boldsymbol{M}$ и $x(t)$ – ограниченная непрерывная функция, то из теоремы 5.6 следует справедливость (7.6).

Докажем достаточность условия. Согласно (7.6) и (1.10) имеем
\[
\|x(t)\| \leqslant B e^{-\alpha t} \int_{0}^{t} e^{\alpha s} d v(s)
\]

где $v(s)=\mathbf{V}_{0}^{s} g(s)$.
Оценим величину
\[
\Phi(t)=e^{-\alpha t} \int_{0}^{t} e^{\alpha s} d v(s) .
\]

Для этого выделим из числа $t$ целую часть, т. е. представим $t$ в виде $t=k+\tau, 0 \leqslant \tau<1$. Следуя идее доказательства леммы 6.2 , имеем
\[
\Phi(t) \leqslant e^{-k \alpha}\left[\sum_{m=1}^{k+1} \int_{m-1}^{m} e^{\alpha m} d v(s)\right] .
\]

Если
\[
\sup _{t \geqslant 0} \bigvee_{t}^{+1} g(t)=\sup _{t \geqslant 0} \int_{t}^{t+1} d v(s)=h<\infty
\]

то получим
\[
\Phi(t) \leqslant h e^{-k \alpha} \sum_{m=1}^{k+1} e^{\alpha m} \leqslant \frac{h e^{\alpha}}{1-e^{-\alpha}} .
\]

Таким образом, оценка (7.7) принимает вид
\[
\|x(t)\| \leqslant \frac{B h e^{\alpha}}{1-e^{-\alpha}},
\]

что и дает требуемый результат.
3. Рассмотрим теперь нелинейную задачу.
Пусть закон преобразования входного воздействия задан формулой
\[
x(t)=\int_{0}^{t} W(t, s) R(x, s) d s+\int_{0}^{t} W(t, s) d g(s) .
\]

Легко видеть, что для случая дифференцируемой функции $g(s)$ задача (7.9) эквивалентна задаче
\[
\dot{x}=A(t) x+R(x, t)+u(t), x(0)=0,
\]

где $u(t)=\dot{g}(t)$.
Предположим выполненными условия (7.6) и
\[
\|R(x, t)\| \leqslant L\|x\|
\]

в области $D:\|x\| \leqslant H, 0 \leqslant t<\infty$.
Предположим также, что справедтиво неравенство
\[
\lambda=\alpha-L B>0 \text {. }
\]

Теорема 7.3. Пусть
\[
\sup _{t \geqslant 0} \bigvee_{t}^{+1} g(t)=h .
\]

Если выполнены условия (7.6), (7.11) и (7.12), то справедлива ощенка
\[
\|x(t)\| \leqslant B \frac{h e^{\lambda}}{1-e^{-\lambda}} .
\]

В самом деле, имеем
\[
\|x(t)\| \leqslant B L e^{-a t} \int_{0}^{t} e^{\alpha s}\|x(s)\| d s+B e^{-a t} \int_{0}^{t} e^{\alpha s} d v(s),
\]

где
\[
v(s)=\bigvee_{0}^{s} g(s) .
\]

Для функции $\varphi(t)=\|x(t)\| e^{a t}$ справедливо неравенство
\[
\varphi(t) \leqslant B L \int_{0}^{t} \varphi(s) d s+B \int_{0}^{t} e^{\alpha s} d v(s) .
\]

В силу леммы 2.3 (неравенстно (2.14)) имеем
\[
\varphi(t) \leqslant B e^{B L t} \int_{0}^{t} e^{\lambda s} d v(s),
\]

откуда получим
\[
\|x(t)\| \leqslant B e^{-\lambda t} \int_{0}^{t} e^{\lambda s} d v(s) .
\]

Пользуясь теперь оценкой 7.8, получим требуемый результат.

Теорема 7.3 является теоремой об устойчивости по отношению к возмущениям, которые могут в частном случае быть и мгновенными.
4. Рассмотрим уравнение
\[
x(t)=W(t, 0) x_{0}+\int_{0}^{t} W(t, s) R(x, s) d s+\int_{0}^{t} W(t, s) d g(s),
\]

где $R(x, t)$ обладает свойством $R(0, t)=0, g(-0)=g(+0)$. Это уравнение соответствует задаче (7.10) с той лишь разницей, что $x(0)=x_{0}$. Предположим, что оператор Коши удовлетворяет условию
\[
W(t+1, s+1)=W(t, s)
\]

кроме того, предположим, что $R(x, s)$ и $g(s)$ гакже являются периодическими функциями с периодом 1. Очевидно, условие (7.14) эквивалентно требованию периодичности onераторной функции $A(t)$, входящей в уравнение (7.10).

Пусть, кроме того, по-прежнему выполнены условия (7.6) и (7.12). Вместо условия (7.11) потребуем, чтобы в области $D$ выполнялось условие Липшица
\[
\|R(x, t)-R(y, t)\| \leqslant L\|x-y\| .
\]

Теорема 7.4. Пусть $\left\|x_{0}\right\| \leqslant \delta$, где $\delta=H / 2 B \cdot u$
\[
\sup _{t \geqslant 0} \bigvee_{t}^{+1} g(t)=h \leqslant \rho \frac{\delta}{B} e^{-\lambda}\left(1-e^{-\lambda}\right), 0<p<1
\]

Для решения уравнения (7.13) справедлива оценка $\|x(t)\| \leqslant$ $\leqslant H$. Кроме того, можно указать такое $x_{0}, \quad\left\|x_{0}\right\| \leqslant \delta$, что соответствующее решение $x(t)$ будет периодическим и асимптотически устойчивым. Всякое другое решение, определяемое начальной точкой из области $\|x\| \leqslant \delta$, будет притягиваться к указанному периодическому решению.

Докажем теорему. Повторяя доказательство леммы 6.1 и используя снова лемму 2.3 (неравенство (2.14)), установим, что
\[
\|x(t)\| \leqslant B e^{-\lambda t}\left\|x_{0}\right\|+B e^{-\lambda} \int_{0}^{t} e^{i s} d v(s) .
\]

Используя оценку предыдущей теоремы, получим
\[
\|x(t)\| \leqslant B e^{-\lambda t} \delta+B \frac{h e^{\lambda}}{1-e^{-\lambda}},
\]

откуда, в силу (7.16) следует
\[
\|x(t)\| \leqslant B e^{-\lambda t} \delta+p \delta<(B+p) \delta<H .
\]

С другой стороны, при целом $T>\frac{1}{\lambda} \ln \frac{B}{1-p}$ получим $\|x(T)\| \leqslant \delta$ и, следовательно, точка $x_{0}$ переходит снова в $\delta$-окрестность точки $x=0$. Нетрудно видеть, что в данном случае преобразование $x_{0} \rightarrow x(T)$ непрерывно и однозначно. Далее, повторяя доказательство теоремы 6.4 , можно показать, что указанное преобразование удовлетворяет условиям принципа сжатых отображений. Отсюда следует существование и единственность периодического движения, которое, правда, может иметь счетное число разрывов. Асимптотическая устойчивость периодического решения устанавливается точно так же, как и при доказательстве теоремы 6.4.

В конечномерном случае последняя теорема была рассмотрена в статье [113].