Рассмотрим систему дифференциальных уравнении
\[
\frac{d x_{i}}{d t}=X_{i}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}, t\right), \quad i=1,2, \ldots, n .
\]

Предположим, что правые части системы (1.1), т. е. функции $X_{i}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}, t\right)$, непрерывны в некоторой открытой области $D$, которая может совпадать со всем пространством. Предположим, кроме того, что функции $X_{i}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}, t\right)$ удовлетворяют в любой замкнутой области $G$, лежащей в $D$, условиям Липшица по переменным $x_{1}, \ldots, x_{n}$. Известная теорема гарантирует в этом случае существование единственного решения $x_{i}=x_{i}\left(t, x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}\right), i=1,2, \ldots, n$, удовлетворяющего начальным условиям $x_{i}\left(t_{0}, x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}\right)=x_{i}^{0}$.

Заметим, что решение $x=x_{i}\left(t, x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}\right)$ может существовать не для всех значений $t$, $-\infty<t<\infty$, а только на некотором конечном промежутке. Если же решение определено для любого значения $t$, то назовем это решение продолжаемым. Если решение не выходит за пределы некоторой ограниченной области, то оно будет продолжаемым [3]. Существуют и другие, более общие критерии продолжаемости; мы их приводим в третьей главе.

Правые части системы (1.1) мы будем трактовать в дальнейшем как проекции переменного вектора скоростй $X\left(X_{1}, X_{\mathfrak{q}}, \ldots\right.$, $X_{n}$ ), а величину $t$ будем истолковывать как время. Тогда система (1.1) задает закон движения начальной точки $M_{0}\left(x_{1}^{0}, \ldots\right.$, $x_{n}^{0}, t$ ) $n+1$-мерного фазового пространства по траектории
\[
x_{i}=x_{i}\left(t, x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}\right), i=1,2, \ldots, n .
\]

В дальнейшем систему (1.1) мы часто будем записывать в векторной форме, т. е. в виде
\[
\frac{d x}{d t}=X(x, t) .
\]

Решением этой системы будем считать векторную функцию $\boldsymbol{x}(t)$ с проекциями $x_{1}(t), \ldots, x_{n}(t)$. Через $\|x\|$ обозначим норму вектора $x$. В простейшем случае норма вектора может совпадать с евклидовой длиной вектора, т. е. определяться по формуле
\[
\|x\|=\left(\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}\right)^{1 / 2} .
\]

Норма может быть определена и другим способом; укажем два других часто встречающихся способа задания нормы:
\[
\begin{array}{l}
\|x\|=\max _{i}\left|x_{i}\right| \\
\|x\|=\sum_{i=1}^{n}\left|x_{i}\right| .
\end{array}
\]

Очевидно, введение нормы в фазовом пространстве дает возможность ввести понятие близости точек пространства и, следовательно, понятие предельного перехода. Легко видеть, что если последовательность векторов $x^{m}$ сходится к вектору $x$ в смысле одной из указанных норм, то она сходится и в смысле любой из двух других норм. Принято говорить в этом случае, что указанные нормы топологически эквивалентны.
В дальнейшем нам будет нужна следуюшая лемма.
Лемма 1.1. Пусть $u(t)$ – непрерывная функция, удовлетворяющая при $t>t_{0}$ неравенству
\[
0<u(t)<\delta+\int_{i_{0}}^{t}(\eta+L u(t)) d t
\]

где $\delta, \eta, L-$ постоянные $u \delta \geqslant 0, \eta \geqslant 0, L>0$. Тогда имеет место неравенство
\[
u(t)<\frac{\eta}{L}\left(e^{L\left(t-t_{0}\right)}-1\right)+\delta e^{L\left(t-t_{0}\right)} .
\]

В самом деле, при $t=t_{0}$ неравенство (1.4) выполняется. В силу непрерывности функции $u(t)$ неравенство (1.4) будет справедливым и при $t>t_{0}$, если только разность $t-t_{0}$ достаточно мала. Пусть $t=\tau-$ ближайший момент времени, при котором неравенство (1.4) нарушится, т. е. превратится в равенство.

Рассматривая неравенство (1.3) при $t=\tau$ и помня, что на полуинтервале $t_{0} \leqslant t<\tau$ неравенство (1.3) имеет место, получим
\[
u(\tau)<\delta+\int_{i_{0}}^{\tau}\left(\eta+L\left[\frac{\eta}{L}\left(e^{L\left(t-t_{0}\right)}-1\right)+\delta e^{L\left(t-t_{0}\right)}\right]\right) d t .
\]

Проведя интегрирование и подставив пределы, получим неравенство
\[
u(\tau)<\frac{\eta}{L}\left(e^{L\left(\tau-t_{0} \mid\right.}-1\right)+\delta e^{L\left(\tau-t_{0}\right)},
\]

противоречащее выбору $\tau$.
Используя доказанную сейчас лемму, дадим оценку изменения решений системы (1.2), соответствующего изменению начальных условий и правых частей системы.
Наряду с системой (1.2) рассмотрим систему:
\[
\frac{d y}{d t}=X(y, t)+R(y, t) .
\]

Пусть в области $D$ при $t_{0} \leqslant t \leqslant t_{0}+T$ выполняется неравенство
\[
\|R(y, t)\|<\eta \text {. }
\]

Рассмотрим решение $x=x\left(t, x^{0}\right)$ системы (1.2) и решение $y=y\left(t, y^{0}\right)$ системы (1.5). Предположим, что начальные условия, определяющие рассматриваемые решения, удовлетворяют условиям
\[
\left\|y^{0}-x^{0}\right\|<\delta \text {. }
\]

Запишем теперь условия Липшица для системы (1.2) в виде неравенства
\[
\|X(y, t)-X(x, t)\|<L\|y-x\|,
\]

где $L$ – некоторая постоянная.
Tеорема 1.1 (об оценке отклонения решении). Пусть выполнены условия (1.6)-(1.8), тогда при $t_{0} \leqslant t \leqslant t_{0}+T$ имеет место оценка
\[
\|y(t)-x(t)\|<\frac{\eta}{L}\left(e^{L\left(t-t_{0}\right)}-1\right)+\delta e^{L\left(t-t_{0}\right)} .
\]

Для доказательства оценки представим уравнения (1.2) и (1.5) в виде интегральных уравнений
\[
\begin{array}{l}
x(t)=x^{0}+\int_{t_{0}}^{t} X(x, t) d t, \\
y(t)=y^{0}+\int_{t_{0}}^{t}[X(y, t)+R(y, t)] d t .
\end{array}
\]

Имеем
\[
\begin{array}{r}
\|y(t)-x(t)\| \leqslant\left\|y^{0}-x^{0}\right\|+\int_{t_{0}}^{t}\{\|X(y, t)-X(x, t)\|+ \\
+\|R(y, t)\|\} d t .
\end{array}
\]

Используя неравенства (1.6)-(1.8), получим
\[
\|y(t)-x(t)\|<\delta+\int_{t_{0}}^{t}\{\eta+L\|y(t)-x(t)\|\} d t .
\]

Нужная нам оценка непосредственно вытекает теперь из леммы 1.1.

Отметим частные случаи. Если возмущены только начальные условия, а правые части неизменны (случай действия мгновенных возмущений), то имеем $\eta=0$ и оценка (1.9) имеет вид
\[
\|y(t)-x(t)\|<8 e^{L\left(t-t_{0}\right)} .
\]

Отсюда, в частности, видно, что, выбирая $\delta$ достаточно малым на отрезке $t_{0} \leqslant t \leqslant t_{0}+T$, можно удовлетворить неравенству $\|y(t)-x(t)\|<\varepsilon$, где в – произвольное положительное число. Это означает, что решение уравнения (1.2) является непрерывной функцией начальных данных. Отмеченный сейас факт можно трактовать как свойство устойчивости решений системы (1.2) на конечном интервале времени. Таким образом, свонство устойчивости решений на конечном интервале времени присуще любой системе обыкновенных дифференциальных уравнении.

Если же $\delta=0$, а $\eta
eq 0$, то мы имеем случай постоянно действующих возмущений, и оценка (1.9) принимает вид
\[
\|y(t)-x(t)\|<\frac{\eta}{L}\left(e^{L\left(t-t_{0}\right)}-1\right) .
\]

Очевидно, для заданного \& можно подобрать такое значение $\eta$, что на отрезке $t_{0} \leqslant t \leqslant t_{0}+T$ будем иметь
\[
\|y(t)-x(t)\|<\varepsilon .
\]

Этот последний факт есть выражение свойства непрерывности решения в некотором функциональном пространстве правых џастей. В частности, если правые части системы (1.2) непрерывно зависят от некоторого параметра $\lambda$, то из полученных оценок следует непрерывность решения системы по данному параметру.

Если правые части системы (1.1) не зависят от времени $t$, то мы назовем эту систему автономной. Пусть теперь система (1.1) автономна и предположим, кроме того, что все решения системы (1.1) продолжаемы, т. е. определены для любого момента времени $t$.

Рассмотрим в фазовом пространстве автономной системы точку $p\left(x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}\right)$ и обозначим точку
\[
q\left(x_{1}\left(t, x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}\right), \ldots, \quad x_{n}\left(t, x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}\right)\right)
\]

через $f(p, t)$. Таким образом, через $f(p, t)$ обозначается положение точки $p$, которое она зайет через промежуток времени $t$, двигаясь по траектории системы (1.1). Если $t$ фиксировано, то функция $f(p, t)$ осуществляет отображение фазового пространства на себя. Это отображение, как следует из теоремы существования и единственности решений и из полученных нами оценок отклонения решений, \”будет взаимно однозначным и взаимно непрерывным. Кроме того, легко видеть, что функция $f(p, t)$ обладает свойством
\[
f\left(f\left(p, t_{1}\right), t_{2}\right)=f\left(p, t_{1}+t_{3}\right) .
\]

Из свойства (1.11) (которое мы будем называть групповым свойством динамической системы) следует, что совокупность отображений образует однопараметрическую группу отображений фазового пространства [3].