Рассмотрим уравнение третьего порядка
\[
\dddot{x}+a \ddot{x}+b \dot{x}+c x=-\alpha K x,
\]

где $a, b, c$-произвольные постоянные, $K$ – положительная постоянная и величина $\alpha$ удовлетворяет условию $|\alpha| \leqslant 1$.

Рассмотрим функцию $v=C x^{2}+E y^{2}+z^{2}+2 D x y+2 A x z+$ $+2 B y z$, и выберем закон изменения величины $\alpha$ так, чтобы обеспечить максимальную скорость убывания функции $v$ вдоль траекторий системы
\[
\dot{x}=y, \quad \dot{y}=z, \quad \dot{z}=-c x-b y-a z-a K x,
\]

эквивалентной уравнению (3.1).
1 ак как
\[
\dot{v}=\frac{\partial v}{\partial x} y+\frac{\partial v}{\partial y} z-\frac{\partial v}{\partial z}(c x+b y+a z)-\alpha K \frac{\partial v}{\partial z} x,
\]

и так как от $\alpha$ зависит только последнее слагаемое, то, очевидно, величина $\alpha$ должна определяться формулой $\alpha=\operatorname{sign} \frac{\partial v}{\partial z} x$, или, что то же, формулой
\[
\alpha=\operatorname{sign}(A x+B y+z) x .
\]

Структурная схема рассматриваемой стабилизирующей системы изображена на рис. 12. Полагаем в рассматриваемом случае задающий сигнал $\psi$ равным нулю и $L(p)=p^{3}+a p^{2}+$ $+b p+c$. Исследование следящей системы с переменной структурой в случае, когда сигнал \& отличен от нуля, проведено для системы второго порядка в работе [31] и для системы третьего порядка в работах [33, 34].

Выведем теперь условия, обеспечивающие существование скольжения в любой точке плоскости $S$, заданной уравнением
\[
s=A x+B y+z=0 .
\]

Теорема 3.1. Для того чтобы плоскость $S$ была плоскостью скольжения, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия
\[
\left.\begin{array}{l}
A=B^{2}-a B+b, \\
\left|(B-a)^{3}+a(B-a)^{2}+b(B-a)+c\right| \leqslant K .
\end{array}\right\}
\]

Если положить $r=B-a$, то условия (3.5) могут быть переписаны в другом виде:
\[
B=a+r, \quad A=B r+b, \quad|f(r)| \leqslant K,
\]

где введено обозначение $f(r)=r^{3}+a r^{2}+b r+c$. Переидем к доказательству теоремы. В системе (3.2) проведем замену переменных, вводя координату $s=A x+B y+z$. Новая
система будет иметь вид
\[
\left.\begin{array}{rl}
\dot{x} & =y, \\
\dot{y} & =-A x-B y+s \\
\dot{s} & =-(A(B-a)+c+\alpha K) x+ \\
& +\left(A-B^{2}+a B-b\right) y+(B-a) s .
\end{array}\right\}
\]

На плоскости $s=0$ получим две линии:
\[
\begin{array}{l}
(A(B-a)+c+K) x-\left(A-B^{2}+a B-b\right) y=0, \\
(A(B-a)+c-K) x-\left(A-B^{2}+a B-b\right) y=0,
\end{array}
\]

разделяющие эту плоскость на области знакопостоянства двух величин: $R_{1}=\dot{s}$ при $\alpha=1$, и $R_{2}=\dot{s}$ при $\alpha=-1$. Чтобы плоскость $S$ была плоскостью скольжения, необходимо и достаточно, как это следует из § 1 данной главы, выполнения условий $\operatorname{sign} R_{1}=-\operatorname{sign} x$ и $\operatorname{sign} R_{2}=\operatorname{sign} x$. Так как знаки $R_{1}$ и $R_{2}$ зависят только от $x$, то необходимо, чтобы коэффициент при $y$ в уравнениях (3.7) и (3.8) был равен нулю. Таким образом, необходимость первого из условий (3.5) доказана. Если условие (3.5) выполнено, то на плоскости $s=0$ получим
\[
\dot{s}=-[f(B-a)+\alpha K] x .
\]

Отсюда следует, что при наличии скольжения должны быть выполнены неравенства
\[
f(B-a)+K \geqslant 0 \text { и } f(B-a)-K \leqslant 0,
\]

эквивалентные одному неравенству $|f(B-a)| \leqslant K$.
Легко видеть, что условия (3.5), которые мы доказали как необходимые условия существования скольжения, являются и достаточными условиями.

Заметим следующее: если первое из условий (3.5), т. е. условие $A=B^{2}-a B+b$, не выполнено, то на плоскости $S$ около линии $x=0$ образуется сектор, ограниченный линиями (3.7) и (3.8). Легко видеть, что в точках этого сектора траектории системы (3.2) будут прошивать поверхность $S$. Однако, при достаточно большом значении $K$ рассматриваемый сектор становится как угодно узким. Изображающая точка системы, совершая скольжение по плоскости $S$, доходит до границы сектора и затем отходит несколько от этой плоскости, с тем, чтобы через малый промежуток времени снова поласть на $S$ и продолжать в дальнейшем скольжение до нового попадания на границу сектора. Можно показать [34], что свойство устойчивости при указанном нарушении условий скольжения в некотором смысле сохранится, однако подробное рассмотрение этих вопросов мы отнесем в § 7 , где будет рассмотрен нелинейный случай.

Выведем теперь дифференциальные уравнения скольжения. Пользуясь правилом, данным в $\$ 1$ для определения вектора скорости скольжения, и замечая, что векторы $F^{+}(y, z$, $-c x-K x-b y-a z)$ и $F^{-}(y, z,-c x+K x-b y-a z)$ имеют одинаковые проекции на ось $O x$ и на ось $O y$, приходим к выводу, что проекция вектора скорости скольжения на ось $O x$ равна $y$, а на ось $O y$ равна $z$. Таким образом, проекции вектора скорости определяются уравнениями $\dot{x}=y, \dot{y}=z$. Но так как на плоскости $\mathcal{S}$ имеем $z=-A x-B y$, то исключая $z$, получим соответствующую систему дифференциальных уравнений
\[
\dot{x}=y, \quad \dot{y}=-A x-B y,
\]

описывающую процесс скольжения.
Очевидно, что система (3.10) будет тогда и только тогда асимптотически устойчивой, когда выполнены условия $A>0$, $B>0$. Всюду в дальнейшем эти условия будем считать выполненными.

Следует, конечно, заметить, что система (3.10) описывает идеальный процесс скольжения: реальный процесс скольжения должен описываться значительно сложнее, так как в силу запаздываний переключений, наличия инерционностей и т. д. изображающая точка непрерывно колеблется около плоскости $S$ при своем движении к началу координат [65].