Рассмотрим уравнение второго порядка
\[
\ddot{x}+a \dot{x}+b x=-a K x .
\]

Здесь $a, b$-произвольные постоянные, $K$ — положительная постоянная, величина $\alpha$ удовлетворяет условию $|\alpha| \leqslant 1$. Найдем закон изменения величины $\alpha$, обеспечивающий асимптотическую устойчивость нулевого решения уравнения (2.1).

Представив уравнение (2.1) в виде системы
\[
\dot{x}=y, \quad \dot{y}=-b x-a y-a K x,
\]

попытаемся отыскать $\alpha$, исходя из следующих соображений. Пусть $v(x, y)$-какая-либо функция переменных $x, y$. Такой функцией может служить, например, потенциал некоторого векторного поля в фазовом пространстве переменных $x$ и $y$.

Подберем величину $\alpha$ так, чтобы обеспечить наибольшую скорость убывания функции $v$ вдоль траекторий системы (2.2) $[66,79]$. Так как
\[
\dot{v}=\frac{\partial v}{\partial x} y-\frac{\partial v}{\partial y}(b x+a y)-\alpha K \frac{\partial v}{\partial y} x,
\]

и так как от $\alpha$ зависит только последнее слагаемое, то $\min \dot{v}$ достигается, если положить
\[
\alpha=\operatorname{sign} \frac{\partial v}{\partial y} x .
\]

Если, например, $v=\frac{1}{2} B x^{2}+A x y+\frac{1}{2} y^{2}$, то получим
\[
\alpha=\operatorname{sign}(A x+y) x \text {. }
\]

Итак, рассмотрим систему (2.2), считая, что величина $\alpha$ определяется соотношением (2.4). Система (2.2) может быть записана теперь в виде двух систем:
\[
\begin{array}{c}
\dot{x}=y, \quad \dot{y}=-b x-a y-K x, \\
\text { при } x(A x+y)>0, \text { и } \\
\dot{x}=y, \quad \dot{y}=-b x-a y+K x, \\
\text { при } x(A x+y)<0 .
\end{array}
\]

при $x(A x+y)<0$.
Фазовая плоскость делится прямыми $x=0$ и $s=A x+y=0$ на четыре части, $G_{1}, G_{2}, G_{3}, G_{4}$, заданные соответственно неравенствами $\left(G_{1}\right): x>0, s>0 ;\left(G_{2}\right): x<0, s>0 ;\left(G_{3}\right): x<0$, $s<0$ и $\left(G_{4}\right): x>0, s<0$.

Линии $x=0$ и $A x+y=0$ являются линиями переключения, на них совершается переход с траекторий одной системы на траектории другой системы.

Так как при $x=0$ имеем $\dot{x}>0$, если $y>0$, и $\dot{x}<0$, если $y<0$, в силу обеих систем (2.5) и (2.6), то линия $x \equiv 0$ пересекается траекториями в направлении хода часовой стрелки, т. е. все точки линии $x=0$ (кроме точки, где $y=0$ ) являются точками «прошивания». Исследуем теперь точки прямой $s=A x+y=0$, которую в дальнейшем будем называть прямой $S$. Чтобы найти условия, при выполнении которых прямая $S$ будет прямой скольжения, найдем $\dot{s}$ в силу системы (2.2) на этой прямон:
\[
\dot{s}=-\left(A^{2}-a A+b+\alpha K\right) x .
\]

Имеем при $x>0$
\[
\begin{array}{l}
\lim _{s \rightarrow+0} \dot{s}=-\left(A^{2}-a A+b+K\right) x, \\
\lim _{s \rightarrow-0} \dot{s}=-\left(A^{2}-a A+b-K\right) x,
\end{array}
\]

а при $x<0$
\[
\begin{array}{l}
\lim _{s \rightarrow+0} \dot{s}=-\left(A^{2}-a A+b-K\right) x, \\
\lim _{s \rightarrow-0} \dot{s}=-\left(A^{2}-a A+b+K\right) x .
\end{array}
\]

Так как условия существования скольжения имеют вид
\[
\lim _{s \rightarrow+0} \dot{s} \leqslant 0 \quad \text { и } \quad \lim _{s \rightarrow-0} \dot{s} \geqslant 0,
\]

то они в рассматриваемом случае эквивалентны условиям
\[
A^{2}-a A+b+K \geqslant 0, \quad A^{2}-a A+b-K \leqslant 0,
\]

которые можно записать в более компактной форме:
\[
\left|A^{2}-a A+b\right| \leqslant K .
\]

Таким образом, условие (2.8) является необходимым и достаточным условием существования скользящего режима у системы (2.2). Очевидно, выполнение этого условия всегда можно обеспечить за счет выбора достаточно большого значения коэффициента усиления $K$.

Перейдем теперь к исследованию системы (2.2) в каждой из областей $G_{i}, i=1,2,3,4$. В областях $G_{1}$ и $G_{3}$ имеем $\alpha=1$, здесь действует система (2.5). Характеристическое уравнение этой системы имеет вид
\[
\lambda^{2}+a \lambda+b+K=0 .
\]

При достаточно большом значении $K$ корни этого уравнения будут комплексными, следовательно, интегральные кривые будут спиралевидными кривыми, а начало координат будет особой точкой типа «фокус». Если $a>0$, то изображающая точка будет приближаться по траектории к началу координат, которое будет в этом случае асимптотически устойчивым положением равновесия (рис. 8). Если же $a<0$, то точки фазового пространства будут уходить от начала координат.

В областях $G_{2}$ и $G_{4}$ дейстнует система (2.6); ее характеристическое уравнение имеет вид
\[
\mu^{2}+a \mu+b-K=0 .
\]

При достаточно большом значении $K$ корни этого уравнения
\[
\mu_{1}=-\frac{a}{2}+\sqrt{\frac{a^{2}}{4}-b+K}, \quad \mu_{2}=-\frac{a}{2}-\sqrt{\frac{a^{2}}{4}-b+K}
\]

будут вещественными противоположных знаков. Начало координат в данном случае будет особой точкой типа «седло». Система (2.6) будет иметь среди своих интегральных кривых две интегральные прямые, $y=\mu_{1} x$ и $y=$ $=\mu_{2} x$. Это обстоятельство может быть установлено путем простой подстановки функций $y=\mu_{1} x, y=\mu_{2} x$ в уравнение $\frac{d y}{d x}=-b \frac{x}{y}-$ $-a+K \frac{x}{y}$, эквивалентное Рис. 8. системе (2.6). Указанные интегральные прямые выполняют роль асимптот, к которым приближаются остальные интегральные кривые системы, имеющие гиперболический тип (рис. 9).

Отметим теперь следующий факт. Графиком функции $f(\mu)=\mu^{2}+a \mu+b-K$ будет парабола, пересекающая ось $\mu$ в точках $\mu=\mu_{1}$ и $\mu=\mu_{2}$ (рис. 10 ).

Если выполнено неравенство $\mu_{2} \leqslant \mu \leqslant \mu_{1}$, то $f(\mu) \leqslant 0$. Пусть $A>0$; полагая $\mu=-A \geqslant \mu_{2}$, получим $f(-A)=$ $=A^{2}-a A+b-K \leqslant 0$. Таким образом, второе неравенство условии (2.7) будет удовлетворено, если $-A \geqslant \mu_{2}$, т. е. если угол между линией переключения $S$ и осью $x$ меньше угла между прямой $y=\mu_{2} x$ и той же осью.
Рис. 9.
Первое из неравенств (2.7) всегда может быть удовлетворено за счет выбора достаточно большого значения $K$. Таким образом, выбирая достаточно большое значение $K$ и выбирая $A$ согласно условию $0<A \leqslant-\mu_{2}$, обеспечим наличиескольжения во всех точках прямой $S$. Из рис. 11 , где приведен фазовый портрет системы (2.2), видно, что любая точка фазового пространства, двигаясь по траекториям системы (2.2), попадет на $\mathcal{S}$. Попав на $S$, изображающая точка начинает совершать скольжение по этой линии
Рис. 10.

к началу координат.
В- самом деле, нетрудно показать, пользуясь правилом определения вектора скорости скольжения, данным в конце предыдущего параграфа, что дифференциальное уравнение скольжения имеет вид $\dot{x}+A x=0$. Действительно, из этого правила следует, что векторы $F^{-}$и $F^{+}$, выходящие из точки $M$ (см. рис. 7 ), имеют одинаковые проекции на ось $O X$, равные ординате $y$ точки $M$. Отсюда следует, что проекция вектора скорости скольжения $\overrightarrow{M P}$ тоже равна $y$, таким образом, имеем уравнение $\dot{x}=y$. C другой стороны абсцисса $x$ и ордината $y$ точки $M$ связаны соотношением $\quad A x+y=0$. Отсюда и получается треРис. 11. буемое дифференциальное уравнение $\dot{x}+A x=0$, из

которого следует, что при $A>0$ скольжение будет совершаться по направлению к началу координат по закону $x=x_{0} e^{-A\left(t-t_{0}\right)}$.

Структурная схема системы, соответствующей уравнению (2.1), изображена на рис. 12.

Здесь, так как рассматривается система стабилизации, соответствующая некоторой следящей системе, полагаем $\psi=0$ и $\varphi=-x$. Передаточная функция $L(p)$ имеет вид $L(p)=p^{2}+a p+b . \mathrm{B}$ блоке $F$ формируется по
значениям величины $x$ и ее производных величина $\alpha$, в блоке $N$ величина $x$ умножается на $\alpha$.

В заключение покажем, как в случае $a>0$ можно применить к исследованию устойчивости рассмотренной системы метод функций Ляпунова. Сначала рассмотрим функцию $v=$

(3]
СТАБИЛИЗАЦИЯ СИСТЕМЫ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА, 1
71
$=(b+K) x^{2}+y^{2}$, производная которой, взятая в силу системы (2.2), имеет вид $\dot{v}=-2 a y^{2}+2 K(1-\alpha) x y$.

В областях $G_{1}$ и $G_{3}$ имеем $\alpha=1$ и, следовательно, $\dot{v}=$ $=-2 a y^{2}$. В областях $G_{2}$ и $G_{4}$ имеем $\alpha=-1$, отсюда получим $\dot{v}=-2 a y^{2}+4 K x y$, но так как в этих областях $x y<0$, то получаем $\dot{v} \leqslant 0$ всюду на рассматриваемой фазовой плоскости. Пусть $|b|<K$. Множество точек $y=0$, в которых $\dot{v}=0$ очевидно не содержит целых траекторий, поэтому можем применить теорему 12.2 первой главы, из которой следует асимптотическая устойчивость в целом нулевого положения равновесия. Анализ доказательства указанной теоремы позволяет игнорировать факт разрывности производной на прямой переключения $S$ и факт неединственности в отрицательном направлении оси времени.

Теперь рассмотрим функцию $v=b x^{2}+y^{2}+\alpha K x^{2}$. Эта функция имеет разрывы на прямой $S$; если $0 \leqslant K<b$, то $v$ будет определенно положительной и бесконечно большой, если же $K \geqslant b$, то нетрудно видеть, что для сохранения этих свойств необходимо потребовать выполненным условие $A>\sqrt{K-b}$. Легко видеть, что в силу системы (2.2) получим, вне линии переключения $\mathcal{S}, \dot{v}=-2 a y^{2}$. С другой стороны, при переходе линии переключения траекторией системы функция $v$ убывает скачком на величину $2 K x^{2}$. Снова проводя рассуждения, использованные при доказательстве теоремы 12.2 первой главы, придем к выводу, что любая точка фазового пространства либо попадает непосредственно в начало координат, либо попадает на линию $S$ и совершает по ней скольжение к началу координат.

Возможные обобщения указанной выше теоремы 12.2 на системы с разрывными правыми частями получил Ю. И. Алимов [64].