Рассмотрим уравнение
\[
x^{(n)}+a_{1} x^{(n-1)}+\ldots+a_{n} x=-\alpha K x,
\]

где величина $\alpha$ определяется соотношением
\[
\alpha=\operatorname{sign}\left(c_{n-1} x_{1}+\ldots+c_{0} x_{n}\right) x_{1},
\]

где $c_{0}, \ldots, c_{n-1}$ – постоянные.
Уравнение (5.1) эквивалентно, очевидно, системе
\[
\left.\begin{array}{l}
\dot{x}_{i}=x_{i+1}, \quad i=1, \ldots, n-1, \\
\dot{x}_{n}=-a_{n} x_{1}-a_{n-1} x_{2}-\ldots-a_{1} x_{n}-a K x_{1} .
\end{array}\right\}
\]

Рассмотрим гиперплоскость
\[
s=c_{n-1} x_{1}+\ldots+c_{0} x_{n}=0,
\]

где $c_{0}=1$.
Теорема 5.1 (Емельянов С. В., Таран В. А. [50]). Для того чтобы гиперплоскость $s=0$ была гиперплоскостью скольжения, необходимо и достаточно выполнения условий:
\[
\begin{array}{c}
c_{i+1}=r c_{i}+a_{i+1}, \quad i=0,1, \ldots, n-2, \\
\left|a_{n}+r c_{n-1}\right| \leqslant K,
\end{array}
\]

где $r$ – некоторый вещественный параметр.
Докажем необходимость условий. Введем вместо координаты $x_{n}$ новую координату $s=c_{n-1} x_{1}+\ldots+c_{0} x_{n}$.

Система (5.3) запишется следующим образом:
\[
\left.\begin{array}{c}
\dot{x}_{i}=x_{i+1}, i=1, \ldots, n-2, \\
\dot{x}_{n-1}=-\sum_{i=1}^{n-1} c_{n-i} x_{i}+s, \\
\quad \dot{s}=-\left[\left(a_{n}+r c_{n-1}\right)+\alpha K\right] x_{1}+\left(c_{n-1}-a_{n-1}+\right. \\
\left.+r c_{n-2}\right) x_{2}+\ldots+\left(c_{2}-a_{2}+r c_{1}\right) x_{n-1}+r s,
\end{array}\right\}
\]

где введено обозначение $r=c_{1}-a_{1}$.
Для того чтобы производная $\dot{s}$ меняла знак на гиперплоскости $s=0$ только тогда, когда меняет знак величина $x_{1}$, как это требуется для выполнения условии скольжения (см. §1)
\[
\left.x_{1} \dot{s}\right|_{\alpha=1} \leqslant 0,\left.\quad x_{1} \dot{s}\right|_{\alpha=-1} \geqslant 0,
\]

необходимо, чтобы все коэффициенты при $x_{0}, \ldots, x_{n-1}$ в последнем уравнении системы (5.7) обращались в нуль. Таким образом, получаем условия (5.5). Кроме того, чтобы удовлетворить условиям (5.8), необходимо, очевидно, считать выполненным неравенство (5.6), так как последнее уравнение системы (5.7) превращается при выполнении условий (5.5) в уравнение
\[
\dot{s}=-\left[a_{n}+r c_{n-1}+\alpha K\right] x_{1} .
\]

Достаточность условий теоремы доказывается аналогично. Рассмотрим теперь функцию
\[
f(r)=r^{n}+a_{1} r^{n-2}+\ldots+a_{n} .
\]

Из условии (5.5) следует
\[
f(r)=a_{n}+r c_{n-1} .
\]

Таким образом, неравенство (5.6) может быть записано в форме
\[
|f(r)| \leqslant K .
\]

Перейдем теперь к исследованию вопросов устоичивости рассматриваемой системы.

Те же рассуждения, которые были проведены нами в § 3 при выводе системы (3.10), приводят нас к выводу, что пронесс скольжения описывается в рассматриваемом случае
системой
\[
\left.\begin{array}{rl}
\dot{x}_{i} & =x_{i+1}, \quad l=1, \ldots, n-2, \\
\dot{x}_{n-1} & =-\sum_{i=1}^{n-1} c_{n-i} x_{i} .
\end{array}\right\}
\]

Очевидно, система (5.10) может быть получена из системы (5.7), если взять из нее только первые $n-1$ уравнении и положить $s=0$.

Если выполнены условия существования скольжения (5.5) и (5.6), система (5.7) будет иметь вид
\[
\left.\begin{array}{rl}
\dot{x}_{i} & =x_{i+1}, \quad i=1, \ldots, n-2, \\
\dot{x}_{n-1} & =-\sum_{i=1}^{n-1} c_{n-i} x_{i}+s, \\
\dot{s} & =-[f(r)+\alpha K] x_{1}+r s .
\end{array}\right\}
\]

Рассмотрим теперь условия, обеспечивающие асимптотическую устойчивость нулевого решения системы (5.10), описывающей процесс скольжения.

Теорема 5.2 (Е. И. Геращенко [37]). 7 (Усть выполнены условия (5.5) и (5.6) при данном фиксированном значении $r$. Для того чтобы нулевое решение системы (5.10) было асимптотически устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы все корни уравнения
\[
\lambda^{n}+a_{1} \lambda^{n-1}+\ldots+a_{n}=f(r),
\]

помимо очевидного $\lambda=r$, лежали в левой полуплоскости комплексного переменного.

В самом деле, нетрудно видеть, что уравнение (5.12) является характеристическим уравнением системы
\[
\left.\begin{array}{rl}
\dot{x}_{i} & =x_{i+1}, i=1, \ldots, n-2, \\
\dot{x}_{n-1} & =-\sum_{i=1}^{n-1} c_{n-i} x_{i}+s, \\
\dot{s} & =r s .
\end{array}\right\}
\]

Действительно, при $\alpha=-1$ характеристическое уравнение системы (5.11), эквивалентной уравнению (5.1), имеет вид $\lambda^{n}+a_{1} \lambda^{n-1}+\ldots+a_{n}=K$. С другой стороны, система

(5.13) получается из системы (5.11), если в последней положить $\alpha=-1$ и $f(r)=K$.

Так как все корни уравнения (5.12), помимо очевидного $\lambda=r$, лежат в левой полуплоскости, и так как эти корни являются также корнями характеристического уравнения системы (5.10), то отсюда и следует истинность утверждения теоремы.

В частности, если уравнение $\lambda^{n-1}+a_{1} \lambda^{n-2}+\ldots+a_{n-1}=0$ имеет только корни с отрицательной вещественной частью, то при $r=0$ (или даже при $|r|<\varepsilon$, где $\varepsilon$ – достаточно малая величина), условия теоремы 5.2 выполнены и нулевое ренение системы (5.10) будет асимптотически устойчивым.

Перейдем теперь к формулировке и выводу условий устойчивости нулевого решения основной системы (5.11).

Теорема 5.3 (Е. И. Геращенко [39]). Если выполнены условия скольжения (5.5) и (5.6), и при этом все корни уравнения (5.12) имеют отрицательные вещественные части, то нулевое решение системы (5.11) будет асимптотически устойчивым при любых начальных возмущениях.

Докажем теорему. Из условия теоремы следует асимптотическая устойчивость нуленого решения системы (5.10). Кроме того, в рассматриваемом случае очевидный корень $\lambda=r$ уравнения (5.12) должен быть отрицательным.

В силу теоремы 9.1 первой главы существует определенно положительная квадратичная форма $v\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$, такая, что ее производная, взятая в силу системы (5.10), будет равна функции $w=-x_{1}^{2}-\ldots-x_{n-1}^{2}$. Рассмотрим функцию $v=v_{1}\left(x_{1}, \ldots, x_{n-1}\right)+\frac{1}{2} A s^{2}$, где $A>0$. Производная по времени этой функции, взятая в силу системы (5.11), будет иметь вид
\[
\dot{v}=w+\frac{\partial v_{1}}{\partial x_{n-1}} s+A r s^{2}-A[f(r)+\alpha K] x_{1} s .
\]

Очевидно, выражение $A[f(r)+\alpha K] x_{1} s$ в силу условий (5.2) и (5.6) всегда будет положительным, так как
\[
A[f(r)+\alpha K] x_{1} s=A\left|x_{1} s\right|\left[\frac{f(r)}{\alpha}+K\right]
\]

и выражение в квадратной скобке положительно.

С другой стороны, квадратичная форма $w+\frac{\partial v_{1}}{\partial x_{n-1}} s+$ $+A r s^{2}$, как это следует из критерия Сильвестра, при достаточно большом значении $A$ будет определенно отрицательной формой переменных $x_{1}, \ldots, x_{n-1}, s$. Таким образом, асимптотическая устойчивость в целом нулевого решения системы (5.11) следует из теоремы 12.1 первой главы.

Мы уже видели, что требование отрицательности вещественных частей всех корней уравнения (5.12) эквивалентно требованию асимптотической устойчивости нулевого решения системы (5.10) при $r<0$. Таким образом, теорема 5.3 может быть сформулирована следующим образом.

Пусть выполнено условие $r<0$. Нулевое решение системы (5.11) будет асимптотически устойчивым в целом, если этим же свойством обладает нулевое решение системы (5.10).