1. Рассмотрим некоторое множество $\boldsymbol{E}$, в котором введены две операции: сложение элементов и умножение на число. Пусть эти операции удовлетворяют следующим условиям:
1) $x+y=y+x \quad$ (коммутативность сложения),
2) $(x+y)+z=x+(y+z)$ (ассоциативность сложения),
3) $\lambda(x+y)=\lambda x+\lambda y)$ (дистрибутивность умноже-
4) $(\lambda+\mu) x=\lambda x+\mu x\}$ ния относительно сложения),
5) $\lambda(\mu x)=(\lambda \mu) x$ (ассоциативность умножения),
6) существует в $\boldsymbol{E}$ такой (нулевой) элемент 0 , что $0 x=0$,
7) $1 \cdot x=x$.
Предположим далее, что для каждого элемента $x$ из $E$ определено неотрицательное число $\|x\|$, называемое нормой элемента $x$. Пусть норма $x$ удовлетворяет следующим условиям:
a) $\|x\|=0$ эквивалентно $x=0$,
b) $\|\lambda x\|=|\lambda|\|x\|$ (однородность нормы),
c) $\|x+y\| \leqslant\|x\|+\|y\|$ (неравенство треугольника).
Если в множестве $\boldsymbol{E}$ введены операции сложения и умножения на число, удовлетворяющие условиям $1-7$ и если, кроме того, определено в соответствии с условиями $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ понятие нормы, то множество $\boldsymbol{E}$ назовем линейным нормированным пространством.

Простейшим примером линейного нормированного пространства может служить пример конечномерного векторного пространства. Примеры введения нормы в этом пространстве были приведены в $\$ 1$ первой главы.

Нормированное линейное пространство $\boldsymbol{E}$ назовем полным, если из $\left\|x_{n}-x_{m}\right\| \rightarrow 0,(m, n \rightarrow \infty)$ следует сходимость по норме последовательности $\left\{x_{n}\right\}$ к некоторому элементу $x_{0}$ этого пространства. Полное линейное нормированное пространство будем называть банаховым пространством или B-пространством.

Рассмотрим два линейны нормированных пространства $\boldsymbol{E}_{1}$ и $\boldsymbol{E}_{2}$. Пусть на некотором подмножестве $X$ пространства $E_{1}$ определена некоторая функция $F(x)$ со значениями в пространстве $\boldsymbol{E}_{2}$, иначе говоря, пусть задано некоторое отображение $F(x)$ множества $X$ в пространство $\boldsymbol{E}_{2}$. Отображение $F(x)$ будем называть в дальнейшем оператором. В частюом случае пространства $\boldsymbol{E}_{1}$ и $\boldsymbol{E}_{2}$ могут совпадать. Оператор, отображающий $E_{1}$ на числовую ось, называется функционалом.

Оператор $F(x)$ называется линейным, если он является аддитивным и однородным, т. е. если выполннется соотношение
\[
F\left(\alpha x_{1}+\beta x_{2}\right)=\alpha F\left(x_{1}\right)+\beta F\left(x_{2}\right),
\]

где $\alpha, \beta$ – скалярные величины.
Оператор $F(x)$ называется непрерывным, если он каждую сходящуюся (по норме в $\boldsymbol{E}_{1}$ ) последовательность элементов переводит также в сходящуюся (по норме в $\boldsymbol{E}_{2}$ ) последовательность элементов. Оператор $F(x)$ называется ограниченным, если он переводит каждое ограниченное (по норме) множество в ограниченное множество.

Линейный оператор непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен ([71]). Для линейного непрерывного оператора $F$ можно указать такое положительное число $K$, что для всех элементов $x \subset E_{1}$, на которых оператор $F$ определен, имеет место неравенство
\[
\|F(x)\| \leqslant K\|x\| .
\]

Наименьшее из чисел $K$, при которых выполняется неравенство (1.1), называется нормой оператора $F$ и обозначается через $\|F\|$. В дальнеишем для линейного оператора будет часто использоваться запись $F(x)=F x$.

Легко видеть, что норма линейного ограниченного оператора может быть определена соотношением
\[
\|F\|=\sup _{\|x\| \leqslant 1} F x \| .
\]
2. Известно, что линейный оператор, действующий в конехномерном векторном пространстве $\boldsymbol{E}_{n}$, может быть задан матрицей. Таким образом, соотношение (1.2) может служить определением нормы матрицы, эта норма согласована с некоторым заданным способом введения нормы в пространстве $\boldsymbol{E}_{n}$. Рассмотрим примеры определения нормы матрицы $A$, преобразующей векторное пространство $\boldsymbol{E}_{n}$ в свою часть.

Пример 1. Пусть норма вектора в $n$-мерном векторном пространстве $\boldsymbol{E}_{n}$ определяется формулой
\[
\|x\|=\left(\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{\mathrm{g}}\right)^{1 / 2}
\]

и пусть $A$-квадратная $n \times n$ – матрица с элементами $a_{i k}$.
Легко видеть, что
\[
\|A\|^{2}=\sup _{\|x\| \leqslant 1} A x \|^{2}=\sup _{\|x\| \leqslant 1} \sum_{i=1}^{n}\left(\sum_{k=1}^{n} a_{i k} x_{k}\right)^{2}=\sup _{\|x\| 1}\left(A^{*} A x, x\right) .
\]

В силу неравенства (10.3) первой главы величина $\|A\|^{2}$ равна в этом случае наибольщему собственному числу квадратичной формы $\left(A^{*} A x, x\right)$. Заметим также, что для нормы матрицы $A$ имеет место в рассматриваемом случае простая оценка
\[
\|A\| \leqslant\left(\sum_{i, k:=1}^{n} a_{i k}^{\mathfrak{s}}\right)^{1 / 2} .
\]

Пример 2. Пусть норма вектора задается формулой
\[
\|x\|=\max _{i}\left|x_{i}\right| \text {. }
\]

Имеем, очевидно,
\[
\|A x\|=\sup _{i}\left|\sum_{k=1}^{n} a_{i k} x_{k}\right| \leqslant\|x\| \sup _{i} \sum_{k=1}^{n}\left|a_{i k}\right|=L\|x\| .
\]

Таким образом, $\|A\| \leqslant \sup _{i} \sum_{k=1}^{n}\left|a_{i k}\right|=L$.

Покажем теперь, что $\|A\| \geqslant L$. Рассмотрим такое $i_{0}$, для которого $\sum_{k=1}^{n}\left|a_{i_{0} k}\right|=L$, и рассмотрим вектор $x^{0}\left(x_{1}^{0}, \ldots, x_{n}^{0}\right)$, где $x_{k}^{\theta}=\operatorname{sign} a_{i_{0} k}$. Легко видеть, что $\left\|x^{0}\right\|=1$ и $\|A\| \geqslant$ $\geqslant\left\|A x^{0}\right\|=\sum_{k=1}^{n}\left|a_{i_{0} k}\right|=L$. Таким образом, имеем в этом случае
\[
\|A\|=\sup _{i} \sum_{k=1}^{n}\left|a_{i k}\right| .
\]

Пример 3. Зададим норму вектора формулой
\[
\|x\|=\sum_{i=1}^{n}\left|x_{i}\right| \text {. }
\]

Покажем, что для нормы матрицы $A$ справедливо соотношение:
\[
\|A\|=\sup _{k} \sum_{i=1}^{n}\left|a_{i k}\right| .
\]

В самом деле легко видеть, что
\[
\|A x\|=\sum_{i=1}^{n}\left|\sum_{k=1}^{n} a_{i k} x_{k}\right| \leqslant\|x\| \sup _{k} \sum_{i=1}^{n}\left|a_{i k}\right| .
\]

Таким образом, $\|A\| \leqslant \sup _{k} \sum_{i=1}^{n}\left|a_{i k}\right|=M$.
Пусть $k_{0}$ – то значение индекса, для которого $M=$ $=\sum_{i=1}^{n}\left|a_{i k_{0}}\right|$. Рассмотрим вектор $\vec{x}$ с проекциями $x_{i}=0$ при $i
eq k_{0}$ и $x_{k_{0}}=1$. Очевидно, имеем $\|\bar{x}\|=1$ и, кроме того,
\[
\|A\| \geqslant\|A \bar{x}\|=\sum_{i=1}^{n}\left|a_{i k_{0}}\right|=M .
\]
3. Рассмотрим теперь случай, когда $\boldsymbol{E}$ – линейное нормированное пространство и $\boldsymbol{B}$ – банахово пространство. Рассмотрим совокупность всех линейных операторов, переводящих пространство $\boldsymbol{E}$ в пространство $\boldsymbol{B}$; эту совокупность будем обозначать символом $[\boldsymbol{E} \rightarrow \boldsymbol{B}]$. Пусть $F_{1}$ и $F_{2}$ – операторы из $[\boldsymbol{E} \rightarrow \boldsymbol{B}]$. По определению, $F=F_{1}+F_{2}$, если для любого $x \subset E$ имеем $F x=F_{1} x+F_{2} x$. Линейные операторы можно также умножать. Пусть $\boldsymbol{E}_{1}, \boldsymbol{E}_{2}, \boldsymbol{E}_{3}$ – линейные нормированные пространства и пусть $F \in\left[\boldsymbol{E}_{1} \rightarrow \boldsymbol{E}_{2}\right]$ и $\Phi \in\left[\boldsymbol{E}_{2} \rightarrow \boldsymbol{E}_{3}\right]$. Под произведением операций $F$ и $\Phi$ будем понимать оператор $\Phi F$, переводящий $\boldsymbol{E}_{1}$ в $\boldsymbol{E}_{3}$ по правилу $\Phi F(x)=\Phi(F(x))$, где $x \in E_{1}$.
Легко видеть, что справедливо неравенство
\[
\|\Phi F\| \leqslant\|\Phi\|\|F\| .
\]

Если в пространстве $[\boldsymbol{E} \rightarrow \boldsymbol{B}]$ ввести норму согласно (1.2), то можно показать, что пространство $[\boldsymbol{E} \rightarrow \boldsymbol{B}]$ будет полным линейным нормированным пространством, т. е. банаховым пространством.
В дальнейшем нам понадобятся следующие теоремы:
Tеорема 1.1 (Банаха-Штей ихауса) ([71]). Ecлu последовательность линейных ограниченных операций $\left\{F_{n}\right\}$, переводящих банахово пространство $E_{1}$ в линейное нормированное пространство $\boldsymbol{E}_{2}$, ограничена в каждой точке, т. е. если
\[
\sup _{n}\left\|F_{n} x\right\|<\infty
\]

то нормы этих операций ограничены в совокупности $\left\|F_{n}\right\| \leqslant M<\infty(n=1,2, \ldots)$.

Теорема 1.2 (принцип сжатых отображенин ([72])). Пусть оператор $F$ переводит шар $T$ банахова пространства в себя и пусть выполнено условие
\[
\left\|F\left(x_{1}\right)-F\left(x_{2}\right)\right\| \leqslant \alpha\left\|x_{1}-x_{2}\right\|,
\]

где $0<\alpha<1$.
Уравнение $F(x)=x$ имеет в шаре $T$ единственное решение $x^{*}$, которое может быть найдено методом последовательных приближений.
4. Пусть на числовой оси задана функіия $x(t)$ со значениями в банаховом пространстве $\boldsymbol{E}$.

Следуя обычным правилам, можно дать определение производной и интеграла от функции $x(t)$.

Так, например, производная (по Фреше) функции $x(t)$ в точке $t_{0}$ может быть определена по правилу
\[
\dot{x}\left(t_{0}\right)=\lim _{t \rightarrow t_{0}} \frac{x(t)-x\left(t_{0}\right)}{t-t_{0}},
\]

если указанный предел (в смысле сходимости по норме) существует. Определенный интеграл (по Бохнеру) от функции $x(t)$ определим как предел интегральных сумм вида
\[
S_{n}=\sum_{k=0}^{n-1} x\left(\tau_{k}\right)\left(t_{k+1}-t_{k}\right)
\]

где $\alpha=t_{0}<t_{1}<t_{2}<\ldots<t_{n}=\beta, t_{k} \leqslant \tau_{k} \leqslant t_{k+1}, k=0,1, \ldots$ $\ldots, n-1$, при условии, что $n \rightarrow \infty$ и $\sup _{k}\left|t_{k+1}-t_{k}\right| \rightarrow 0$.
Если указанный предел существует и не зависит ни от способа деления отрезка $[\alpha, \beta]$ на частичные отрезки, ни от способа выбора точек $\tau_{k}$ на частичных отрезках, то будем говорить, что интеграл от функции $x(t)$ по \”отрезку $[\alpha, \beta]$ существует, и будем обозначать этот интеграл символом $\int_{\alpha}^{\beta} x(t) d t$.

Перейдем теперь к понятию полной вариации абстрактной функции $g(t)$, принимающей значения в $\boldsymbol{E}$.

Рассмотрим снова промежуток $[\alpha, \beta]$ оси $t$ и всевозможные разбиения этого промежутка $\alpha=t_{0}<t_{1}<\ldots<t_{n}=\beta$ на конечное число частичных интервалов. По определению, величина
\[
\sup \sum_{k=0}^{n-1}\left\|g\left(t_{k+1}\right)-g\left(t_{k}\right)\right\|=\bigvee_{\alpha}^{\beta} g(t)
\]

где верхняя грань берется по всевозможным разбиениям отрезка $[\alpha, \beta]$, называется полной вариащией функции $g(t)$ на отрезке $[\alpha, \beta]$. В данном определении можно, конечно, полагать $\beta=\infty$. В этом случае будем считать, что функция $g(t)$ имеет ограниченное изменение на множестве $\alpha \leqslant t<\infty$, если $g(t)$ имеет ограниченное изменение в любой конечной части $[\alpha, t]$, и полные вариации $\bigvee_{\alpha}^{t} g(t)$ ограничены в их
совокупности. В этом случае полагаем
\[
\bigvee_{a}^{\infty} g(t)=\sup _{t \geqslant a} \bigvee_{a}^{t} g(s) \text {. }
\]

Известно ([73], стр. 73), что если $\boldsymbol{E}$ является банаховым пространством, то функция $g(t)$ с ограниченной вариацией может иметь не более счетного числа точек разрыва, и в любой точке промежутка $[\alpha, \beta]$ существуют ее односторонние пределы.

Дадим теперь определение интеграла Стилтьеса. Пусть $U(t)$ – непрерывный по $t$ линейный оператор, переводящий элементы $\boldsymbol{E}$ в $\boldsymbol{E}$, и пусть $g(t)$ – функция с ограниченной вариацией на отрезке $[\alpha, \beta]$.
Составим интегральную сумму вида
\[
S_{n}=\sum_{k=0}^{n-1} U\left(\tau_{k}\right)\left(g\left(t_{k+1}\right)-g\left(t_{k}\right)\right), t_{k} \leqslant \tau_{k} \leqslant t_{k+1},
\]

где точки $t_{k}\left(t_{0}=\alpha, t_{n}=\beta\right)$ осуществляют разбиение отрезка $[\alpha, \beta]$. Если существует предел $S_{n}$ при $n \rightarrow \infty, \sup _{k} \mid t_{k+1}$ $-t_{k} \mid \rightarrow 0$, не зависящий от способа разбиения отрезка $[\alpha, \beta]$ на частичные отрезки, то будем говорить, что этот предел является обобщенным интегралом Стилтьеса от оператора $U(t)$ по функции $g(t)$. Введем обозначение для таким образом введенного интеграла $\int_{\alpha}^{\beta} U(t) d g$.
Нетрудно проверить, что имеет место неравенство
\[
\left\|\int_{\alpha}^{\beta} U(t) d g\right\| \leqslant M \bigvee_{\alpha}^{\beta} g(t)
\]

где $M=\sup _{\alpha \leqslant t \leqslant \beta}\|U(t)\|$.
Рассмотрим скалярную функцию $v(t)=\bigvee_{\alpha}^{t} g(t)$. Легко видеть, что имеет место также неравенство
\[
\left\|\int_{\alpha}^{\beta} U(t) d g\right\| \leqslant \int_{\alpha}^{\beta}\|U(t)\| d v,
\]

где интеграл в правой части есть обычный интеграл Стилтьеса с интегрирующей функцией $v(t)$.