1. Рассмотрим некоторое множество $\mathit{E}$, в котором введены две операции: сложение элементов и умножение на число. Пусть эти операции удовлетворяют следующим условиям:
1) $x+y=y+x$ (коммутативность сложения),
2) $(x+y)+z=x+(y+z)$ (ассоциативность сложения),
3) $\lambda (x+y)=\lambda x+\lambda y)$ (дистрибутивность умноже-
4) $(\lambda +\mu )x=\lambda x+\mu x\}$ ния относительно сложения),
5) $\lambda (\mu x)=(\lambda \mu )x$ (ассоциативность умножения),
6) существует в $\mathit{E}$ такой (нулевой) элемент 0 , что $0x=0$,
7) $1\cdot x=x$.
Предположим далее, что для каждого элемента $x$ из $E$ определено неотрицательное число $\Vert x\Vert$, называемое нормой элемента $x$. Пусть норма $x$ удовлетворяет следующим условиям:
a) $\Vert x\Vert =0$ эквивалентно $x=0$,
b) $\Vert \lambda x\Vert =|\lambda |\Vert x\Vert$ (однородность нормы),
c) $\Vert x+y\Vert ⩽\Vert x\Vert +\Vert y\Vert$ (неравенство треугольника).
Если в множестве $\mathit{E}$ введены операции сложения и умножения на число, удовлетворяющие условиям $1-7$ и если, кроме того, определено в соответствии с условиями $\mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{c}$ понятие нормы, то множество $\mathit{E}$ назовем линейным нормированным пространством.

Простейшим примером линейного нормированного пространства может служить пример конечномерного векторного пространства. Примеры введения нормы в этом пространстве были приведены в $\mathrm{\$}1$ первой главы.

Нормированное линейное пространство $\mathit{E}$ назовем полным, если из $\Vert x_n-x_m\Vert \to 0,(m,n\to \mathrm{\infty })$ следует сходимость по норме последовательности $\left\{x_n\right\}$ к некоторому элементу $x_0$ этого пространства. Полное линейное нормированное пространство будем называть банаховым пространством или B-пространством.

Рассмотрим два линейны нормированных пространства ${\mathit{E}}_1$ и ${\mathit{E}}_2$. Пусть на некотором подмножестве $X$ пространства $E_1$ определена некоторая функция $F(x)$ со значениями в пространстве ${\mathit{E}}_2$, иначе говоря, пусть задано некоторое отображение $F(x)$ множества $X$ в пространство ${\mathit{E}}_2$. Отображение $F(x)$ будем называть в дальнейшем оператором. В частюом случае пространства ${\mathit{E}}_1$ и ${\mathit{E}}_2$ могут совпадать. Оператор, отображающий $E_1$ на числовую ось, называется функционалом.

Оператор $F(x)$ называется линейным, если он является аддитивным и однородным, т. е. если выполннется соотношение
$$F(\alpha x_1+\beta x_2)=\alpha F\left(x_1\right)+\beta F\left(x_2\right),$$

где $\alpha ,\beta$ — скалярные величины.
Оператор $F(x)$ называется непрерывным, если он каждую сходящуюся (по норме в ${\mathit{E}}_1$ ) последовательность элементов переводит также в сходящуюся (по норме в ${\mathit{E}}_2$ ) последовательность элементов. Оператор $F(x)$ называется ограниченным, если он переводит каждое ограниченное (по норме) множество в ограниченное множество.

Линейный оператор непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен ([71]). Для линейного непрерывного оператора $F$ можно указать такое положительное число $K$, что для всех элементов $x\subset E_1$, на которых оператор $F$ определен, имеет место неравенство
$$\Vert F(x)\Vert ⩽K\Vert x\Vert .$$

Наименьшее из чисел $K$, при которых выполняется неравенство (1.1), называется нормой оператора $F$ и обозначается через $\Vert F\Vert$. В дальнеишем для линейного оператора будет часто использоваться запись $F(x)=Fx$.

Легко видеть, что норма линейного ограниченного оператора может быть определена соотношением
$$\Vert F\Vert =\underset{\Vert x\Vert ⩽1}{sup}Fx\Vert .$$
2. Известно, что линейный оператор, действующий в конехномерном векторном пространстве ${\mathit{E}}_n$, может быть задан матрицей. Таким образом, соотношение (1.2) может служить определением нормы матрицы, эта норма согласована с некоторым заданным способом введения нормы в пространстве ${\mathit{E}}_n$. Рассмотрим примеры определения нормы матрицы $A$, преобразующей векторное пространство ${\mathit{E}}_n$ в свою часть.

Пример 1. Пусть норма вектора в $n$-мерном векторном пространстве ${\mathit{E}}_n$ определяется формулой
$$\Vert x\Vert ={\left(\sum _{i=1}^n{x}_i^{\mathrm{g}}\right)}^{1/2}$$

и пусть $A$-квадратная $n\times n$ — матрица с элементами $a_{ik}$.
Легко видеть, что
$$\Vert A{\Vert }^2=\underset{\Vert x\Vert ⩽1}{sup}Ax{\Vert }^2=\underset{\Vert x\Vert ⩽1}{sup}\sum _{i=1}^n{\left(\sum _{k=1}^n{a}_{ik}{x}_k\right)}^2=\underset{\Vert x\Vert 1}{sup}(A^{\ast }Ax,x).$$

В силу неравенства (10.3) первой главы величина $\Vert A{\Vert }^2$ равна в этом случае наибольщему собственному числу квадратичной формы $(A^{\ast }Ax,x)$. Заметим также, что для нормы матрицы $A$ имеет место в рассматриваемом случае простая оценка
$$\Vert A\Vert ⩽{\left(\sum _{i,k:=1}^n{a}_{ik}^{\mathfrak{s}}\right)}^{1/2}.$$

Пример 2. Пусть норма вектора задается формулой
$$\Vert x\Vert =\underset{i}{max}\left|x_i\right|\text{. }$$

Имеем, очевидно,
$$\Vert Ax\Vert =\underset{i}{sup}\left|\sum _{k=1}^n{a}_{ik}{x}_k\right|⩽\Vert x\Vert \underset{i}{sup}\sum _{k=1}^n\left|a_{ik}\right|=L\Vert x\Vert .$$

Таким образом, $\Vert A\Vert ⩽\underset{i}{sup}\sum _{k=1}^n\left|a_{ik}\right|=L$.

Покажем теперь, что $\Vert A\Vert ⩾L$. Рассмотрим такое $i_0$, для которого $\sum _{k=1}^n\left|a_{i_{0}k}\right|=L$, и рассмотрим вектор $x^0(x_1^0,\dots ,x_n^0)$, где $x_k^{\theta }=\mathrm{sign}{a}_{i_{0}k}$. Легко видеть, что $\Vert x^0\Vert =1$ и $\Vert A\Vert ⩾$ $⩾\Vert A{x}^0\Vert =\sum _{k=1}^n\left|a_{i_{0}k}\right|=L$. Таким образом, имеем в этом случае
$$\Vert A\Vert =\underset{i}{sup}\sum _{k=1}^n\left|a_{ik}\right|.$$

Пример 3. Зададим норму вектора формулой
$$\Vert x\Vert =\sum _{i=1}^n\left|x_i\right|\text{. }$$

Покажем, что для нормы матрицы $A$ справедливо соотношение:
$$\Vert A\Vert =\underset{k}{sup}\sum _{i=1}^n\left|a_{ik}\right|.$$

В самом деле легко видеть, что
$$\Vert Ax\Vert =\sum _{i=1}^n\left|\sum _{k=1}^n{a}_{ik}{x}_k\right|⩽\Vert x\Vert \underset{k}{sup}\sum _{i=1}^n\left|a_{ik}\right|.$$

Таким образом, $\Vert A\Vert ⩽\underset{k}{sup}\sum _{i=1}^n\left|a_{ik}\right|=M$.
Пусть $k_0$ — то значение индекса, для которого $M=$ $=\sum _{i=1}^n\left|a_{i{k}_0}\right|$. Рассмотрим вектор $\overrightarrow{x}$ с проекциями $x_i=0$ при $ieq{k}_0$ и $x_{k_0}=1$. Очевидно, имеем $\Vert \overline{x}\Vert =1$ и, кроме того,
$$\Vert A\Vert ⩾\Vert A\overline{x}\Vert =\sum _{i=1}^n\left|a_{i{k}_0}\right|=M.$$
3. Рассмотрим теперь случай, когда $\mathit{E}$ — линейное нормированное пространство и $\mathit{B}$ — банахово пространство. Рассмотрим совокупность всех линейных операторов, переводящих пространство $\mathit{E}$ в пространство $\mathit{B}$; эту совокупность будем обозначать символом $[\mathit{E}\to \mathit{B}]$. Пусть $F_1$ и $F_2$ — операторы из $[\mathit{E}\to \mathit{B}]$. По определению, $F=F_1+F_2$, если для любого $x\subset E$ имеем $Fx=F_{1}x+F_{2}x$. Линейные операторы можно также умножать. Пусть ${\mathit{E}}_1,{\mathit{E}}_2,{\mathit{E}}_3$ — линейные нормированные пространства и пусть $F\in [{\mathit{E}}_1\to {\mathit{E}}_2]$ и $\mathrm{\Phi }\in [{\mathit{E}}_2\to {\mathit{E}}_3]$. Под произведением операций $F$ и $\mathrm{\Phi }$ будем понимать оператор $\mathrm{\Phi }F$, переводящий ${\mathit{E}}_1$ в ${\mathit{E}}_3$ по правилу $\mathrm{\Phi }F(x)=\mathrm{\Phi }(F(x))$, где $x\in E_1$.
Легко видеть, что справедливо неравенство
$$\Vert \mathrm{\Phi }F\Vert ⩽\Vert \mathrm{\Phi }\Vert \Vert F\Vert .$$

Если в пространстве $[\mathit{E}\to \mathit{B}]$ ввести норму согласно (1.2), то можно показать, что пространство $[\mathit{E}\to \mathit{B}]$ будет полным линейным нормированным пространством, т. е. банаховым пространством.
В дальнейшем нам понадобятся следующие теоремы:
Tеорема 1.1 (Банаха-Штей ихауса) ([71]). Ecлu последовательность линейных ограниченных операций $\left\{F_n\right\}$, переводящих банахово пространство $E_1$ в линейное нормированное пространство ${\mathit{E}}_2$, ограничена в каждой точке, т. е. если
$$\underset{n}{sup}\Vert F_{n}x\Vert <\mathrm{\infty }$$

то нормы этих операций ограничены в совокупности $\Vert F_n\Vert ⩽M<\mathrm{\infty }(n=1,2,\dots )$.

Теорема 1.2 (принцип сжатых отображенин ([72])). Пусть оператор $F$ переводит шар $T$ банахова пространства в себя и пусть выполнено условие
$$\Vert F\left(x_1\right)-F\left(x_2\right)\Vert ⩽\alpha \Vert x_1-x_2\Vert ,$$

где $0<\alpha <1$.
Уравнение $F(x)=x$ имеет в шаре $T$ единственное решение $x^{\ast }$, которое может быть найдено методом последовательных приближений.
4. Пусть на числовой оси задана функіия $x(t)$ со значениями в банаховом пространстве $\mathit{E}$.

Следуя обычным правилам, можно дать определение производной и интеграла от функции $x(t)$.

Так, например, производная (по Фреше) функции $x(t)$ в точке $t_0$ может быть определена по правилу
$$\dot{x}\left(t_0\right)=\underset{t\to t_0}{lim}\frac{x(t)-x\left(t_0\right)}{t-t_0},$$

если указанный предел (в смысле сходимости по норме) существует. Определенный интеграл (по Бохнеру) от функции $x(t)$ определим как предел интегральных сумм вида
$$S_n=\sum _{k=0}^{n-1}x\left({\tau }_k\right)(t_{k+1}-t_k)$$

где $\alpha =t_0<t_1<t_2<\dots <t_n=\beta ,t_k⩽{\tau }_k⩽t_{k+1},k=0,1,\dots$ $\dots ,n-1$, при условии, что $n\to \mathrm{\infty }$ и $\underset{k}{sup}|t_{k+1}-t_k|\to 0$.
Если указанный предел существует и не зависит ни от способа деления отрезка $[\alpha ,\beta ]$ на частичные отрезки, ни от способа выбора точек ${\tau }_k$ на частичных отрезках, то будем говорить, что интеграл от функции $x(t)$ по \»отрезку $[\alpha ,\beta ]$ существует, и будем обозначать этот интеграл символом ${\int }_{\alpha }^{\beta }x(t)dt$.

Перейдем теперь к понятию полной вариации абстрактной функции $g(t)$, принимающей значения в $\mathit{E}$.

Рассмотрим снова промежуток $[\alpha ,\beta ]$ оси $t$ и всевозможные разбиения этого промежутка $\alpha =t_0<t_1<\dots <t_n=\beta$ на конечное число частичных интервалов. По определению, величина
$$sup\sum _{k=0}^{n-1}\Vert g\left(t_{k+1}\right)-g\left(t_k\right)\Vert =\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\bigvee }}g(t)$$

где верхняя грань берется по всевозможным разбиениям отрезка $[\alpha ,\beta ]$, называется полной вариащией функции $g(t)$ на отрезке $[\alpha ,\beta ]$. В данном определении можно, конечно, полагать $\beta =\mathrm{\infty }$. В этом случае будем считать, что функция $g(t)$ имеет ограниченное изменение на множестве $\alpha ⩽t<\mathrm{\infty }$, если $g(t)$ имеет ограниченное изменение в любой конечной части $[\alpha ,t]$, и полные вариации $\underset{\alpha }{\overset{t}{\bigvee }}g(t)$ ограничены в их
совокупности. В этом случае полагаем
$$\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\bigvee }}g(t)=\underset{t⩾a}{sup}\underset{a}{\overset{t}{\bigvee }}g(s)\text{. }$$

Известно ([73], стр. 73), что если $\mathit{E}$ является банаховым пространством, то функция $g(t)$ с ограниченной вариацией может иметь не более счетного числа точек разрыва, и в любой точке промежутка $[\alpha ,\beta ]$ существуют ее односторонние пределы.

Дадим теперь определение интеграла Стилтьеса. Пусть $U(t)$ — непрерывный по $t$ линейный оператор, переводящий элементы $\mathit{E}$ в $\mathit{E}$, и пусть $g(t)$ — функция с ограниченной вариацией на отрезке $[\alpha ,\beta ]$.
Составим интегральную сумму вида
$$S_n=\sum _{k=0}^{n-1}U\left({\tau }_k\right)(g\left(t_{k+1}\right)-g\left(t_k\right)),t_k⩽{\tau }_k⩽t_{k+1},$$

где точки $t_k(t_0=\alpha ,t_n=\beta )$ осуществляют разбиение отрезка $[\alpha ,\beta ]$. Если существует предел $S_n$ при $n\to \mathrm{\infty },\underset{k}{sup}\mid t_{k+1}$ $-t_k\mid \to 0$, не зависящий от способа разбиения отрезка $[\alpha ,\beta ]$ на частичные отрезки, то будем говорить, что этот предел является обобщенным интегралом Стилтьеса от оператора $U(t)$ по функции $g(t)$. Введем обозначение для таким образом введенного интеграла ${\int }_{\alpha }^{\beta }U(t)dg$.
Нетрудно проверить, что имеет место неравенство
$$\Vert {\int }_{\alpha }^{\beta }U(t)dg\Vert ⩽M\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\bigvee }}g(t)$$

где $M=\underset{\alpha ⩽t⩽\beta }{sup}\Vert U(t)\Vert$.
Рассмотрим скалярную функцию $v(t)=\underset{\alpha }{\overset{t}{\bigvee }}g(t)$. Легко видеть, что имеет место также неравенство
$$\Vert {\int }_{\alpha }^{\beta }U(t)dg\Vert ⩽{\int }_{\alpha }^{\beta }\Vert U(t)\Vert dv,$$

где интеграл в правой части есть обычный интеграл Стилтьеса с интегрирующей функцией $v(t)$.