Введем сначала одно важное неравенство из теории квадратичных форм. Рассмотрим квадратичную форму $\boldsymbol{v}=(\boldsymbol{x}, B \boldsymbol{x})$ и поставим задачу отыскания наименьшего и наибольшего значений этой квадратичной формы на сфере $x^{2}=\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{*}=r^{8}$. Согласно известным правилам решения задач на относительный экстремум следует искать экстремум квадратичной формы $w=v-\lambda\left(x^{2}-r^{2}\right)$.

В точках экстремума должно выполняться условие
\[
\operatorname{grad} w=\operatorname{grad} v-2 \lambda x=0 .
\]

Так как $\operatorname{grad} v=2 B \boldsymbol{x}$, то необходимые условия экстремума приводят нас к уравнению
\[
B \boldsymbol{x}=\lambda \boldsymbol{x} .
\]

Это уравнение имеет ненулевое решение только в том случае, когда $\lambda$ является корнем уравнения
\[
|B-\lambda E|=0 .
\]

Так как матрица $B$ является симметричной, то ее собственные значения вещественны. Обозначим через $\lambda_{1}$ наименьшее собственное число матрицы $B$, а через $\lambda_{n}$ — наибольшее собственное число.

Умножая уравнение (10.1) слева и справа на $x$, получим $\boldsymbol{v}=(B \boldsymbol{x}, \boldsymbol{x})=\lambda \boldsymbol{x}^{2}$, т. е. $\boldsymbol{v}=\lambda r^{2}$. Таким образом, беря в качестве $\lambda$ наибольшее и наименьшее собственные числа, выводим неравенство
\[
\lambda_{1} r^{2} \leqslant v \leqslant \lambda_{n} r^{2},
\]

справедливое для всех точчек пространства.
Принимая $r^{2}=1$, приходим к выводу, что $\lambda_{1}$ есть минимальное значение функции $v$ на единичной сфере, а $\lambda_{n}$ максимальное значение.

Перейдем теперь к задаче опенки решений системы линейных дифференциальных уравнений [10].
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
\[
\frac{d x}{d t}=A x,
\]

и предположим, что все собственные числа матрицы $A$ имеют отрицательные вешественные числа. По теореме 9.1 существует определенно положительная квадратичная форма $\boldsymbol{v}=(\boldsymbol{x}, B \boldsymbol{x})$, такая, что в силу системы (10.4) будем иметь
\[
\frac{d v}{d t}=-r^{2}, \text { где } r^{2}=\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2} .
\]

С другой стороны, из неравенства (10.3) следует неравенство
\[
-\frac{v}{\lambda_{n}} \geqslant-r^{2} \geqslant-\frac{v}{\lambda_{1}},
\]

где $\lambda_{1}, \lambda_{n}$ — соответственно наименьшее и наибольшее собственные числа формы $v$. Таким образом, из соотношений (10.5) и (10.6) следует неравенство
\[
-\frac{v}{\lambda_{\mathrm{t}}} \leqslant \frac{d v}{d t} \leqslant-\frac{v}{\lambda_{n}},
\]

которое можно записать в виде
\[
-\frac{d t}{\lambda_{1}} \leqslant \frac{d v}{v} \leqslant-\frac{d t}{\lambda_{n}} .
\]

Интегрируя (10.7) от нуля до $t$ и обозначая через $v_{\theta}$ значение функции $v$ в начальной точке траектории $p$, получим
\[
v_{0} e^{-t / \lambda_{1}} \leqslant v \leqslant v_{0} e^{-t / \lambda_{n}} .
\]

Используя неравенство (10.6), получаем окончательную оценку $r^{2}$ вдоль решения системы (10.4):
\[
\frac{v_{0}}{\bar{\lambda}_{n}} e^{-t / \lambda_{1}} \leqslant r^{2} \leqslant \frac{v_{0}}{\lambda_{1}} e^{-t / \lambda_{n}} .
\]

Неравенства (10.8) могут быть использованы для оценки времени переходного процесса. В самом деле, разрешая относительно $t$ уравнение $\frac{v_{0}}{\lambda_{1}} e^{-t / \lambda} n=\varepsilon^{2}$, получим $t=-\lambda_{n} \ln \frac{\lambda_{1} \varepsilon^{3}}{v_{0}}$.

Таким образом, время переходного процесса $t(p, \varepsilon)$, т. е. время, необходимое для того, чтобы величина $r$ стала и оставалась в дальнейшем меньше $\varepsilon$, удовлетворяет неравенству $t(p, \varepsilon) \leqslant-\lambda_{n} \ln \frac{\lambda_{1} \varepsilon^{2}}{v_{0}}$.