Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Введем сначала одно важное неравенство из теории квадратичных форм. Рассмотрим квадратичную форму $\boldsymbol{v}=(\boldsymbol{x}, B \boldsymbol{x})$ и поставим задачу отыскания наименьшего и наибольшего значений этой квадратичной формы на сфере $x^{2}=\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{*}=r^{8}$. Согласно известным правилам решения задач на относительный экстремум следует искать экстремум квадратичной формы $w=v-\lambda\left(x^{2}-r^{2}\right)$. В точках экстремума должно выполняться условие Так как $\operatorname{grad} v=2 B \boldsymbol{x}$, то необходимые условия экстремума приводят нас к уравнению Это уравнение имеет ненулевое решение только в том случае, когда $\lambda$ является корнем уравнения Так как матрица $B$ является симметричной, то ее собственные значения вещественны. Обозначим через $\lambda_{1}$ наименьшее собственное число матрицы $B$, а через $\lambda_{n}$ — наибольшее собственное число. Умножая уравнение (10.1) слева и справа на $x$, получим $\boldsymbol{v}=(B \boldsymbol{x}, \boldsymbol{x})=\lambda \boldsymbol{x}^{2}$, т. е. $\boldsymbol{v}=\lambda r^{2}$. Таким образом, беря в качестве $\lambda$ наибольшее и наименьшее собственные числа, выводим неравенство справедливое для всех точчек пространства. Перейдем теперь к задаче опенки решений системы линейных дифференциальных уравнений [10]. и предположим, что все собственные числа матрицы $A$ имеют отрицательные вешественные числа. По теореме 9.1 существует определенно положительная квадратичная форма $\boldsymbol{v}=(\boldsymbol{x}, B \boldsymbol{x})$, такая, что в силу системы (10.4) будем иметь С другой стороны, из неравенства (10.3) следует неравенство где $\lambda_{1}, \lambda_{n}$ — соответственно наименьшее и наибольшее собственные числа формы $v$. Таким образом, из соотношений (10.5) и (10.6) следует неравенство которое можно записать в виде Интегрируя (10.7) от нуля до $t$ и обозначая через $v_{\theta}$ значение функции $v$ в начальной точке траектории $p$, получим Используя неравенство (10.6), получаем окончательную оценку $r^{2}$ вдоль решения системы (10.4): Неравенства (10.8) могут быть использованы для оценки времени переходного процесса. В самом деле, разрешая относительно $t$ уравнение $\frac{v_{0}}{\lambda_{1}} e^{-t / \lambda} n=\varepsilon^{2}$, получим $t=-\lambda_{n} \ln \frac{\lambda_{1} \varepsilon^{3}}{v_{0}}$. Таким образом, время переходного процесса $t(p, \varepsilon)$, т. е. время, необходимое для того, чтобы величина $r$ стала и оставалась в дальнейшем меньше $\varepsilon$, удовлетворяет неравенству $t(p, \varepsilon) \leqslant-\lambda_{n} \ln \frac{\lambda_{1} \varepsilon^{2}}{v_{0}}$.
|
1 |
Оглавление
|