Дадим теперь ряд достаточных признаков устойчивости, в основе которых лежит понятие функции Ляпунова.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
\[
\frac{d x_{i}}{d t}=X_{i}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right), \quad i=1,2, \ldots, n,
\]

правые части которой $X_{i}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ непрерывны и удовлетворяют условиям Липшица в некоторой области $D$ фазового пространства, включающей точку $O(0, \ldots, 0)$ вместе с ее некоторой окрестностью. Предположим выполненными условия $X_{i}(0, \ldots, 0)=0$, тогда точка $O$ будет особой точкой системы (4.1) или, что то же, положением равновесия этой системы. Правые части системы (4.1) в рассматриваемом случае мы полагаем не зависящими явно от $t$, т. е. считаем систему автономной.

Теорема 4.1 (теорема Ляпунова об устойчивости). Если для системы (4.1) существует в области D знакоопределенная бункция $v$, производная которой по копостоянной функцией знака, противоположного знаку бункции $v$, то положение равновесия устойчиво в смысле Ляпунова.

Докажем теорему. Будем обозначать через $J_{\varepsilon}$ внутренность шара радиуса \& с центром в точке $O$, через $S_{\varepsilon}$ – сферическую поверхность этого шара.

Пусть для определенности $v$ будет определенно положительной функцией. Предположим \& таким, что $J_{\mathrm{e}}$ лежит в области $D$, и пусть $l$-минимальное значение функции $v$ на сфере $S_{\varepsilon}$. Выберем положительное число $\delta$ таким, чтобы в точках шара $J_{\hat{\delta}}$ выполнялось неравенство $v<l$ и пусть $p$ произвольная точка из $J_{\delta}$. Рассмотрим траекторию $f(p, t)$, выходящую из точки $p$, и допустим, что она пересечет сферу $S_{\varepsilon}$ в некоторой точке $q$. Так как $\dot{v}=\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial v}{\partial x_{i}} X_{i} \leqslant 0$, то функция $v$ не возрастает вдоль траектории и поэтому будем иметь $v(q) \leqslant v(p)<l$. С другой стороны, так как $l$-минимум функции $v$ на $\mathcal{S}_{\mathrm{s}}$, то должно выполняться неравенство $v(q) \geqslant l$. Полученное противоречие доказывает, что точка $f(p, t)$ не выйдет с ростом времени за пределы сферы $S_{\mathrm{a}}$. Теорема доказана.

Покажем теперь, как можно использовать схему доказательства теоремы для оценки области допустимых возмущений. Областью допустимых возмущений данной области $G$ называется такая область $E$, что все траектории, выходящие из ее точек, не выходят за пределы области $G$. В данном случае, очевидно, область $J_{\hat{\delta}}$ будет областью допустимых возмущенић для области $J_{\mathrm{e}}$. Таким образом, для определения области допустимых возмущений необходимо найти минимум $l$ функции $v$ на границе области $G$, и в качестве области $E$ взять область, в которой выполняется неравенство $v<l$.

Теорема 4.2 (теорема Ляпунова об асимптотической устой чивости). Если для системы дифференциальных уравнений (4.1) существует знакоопределенная функция $v$, полная производная которой по времени, найденная в силу системы (4.1), будет также знакоопределенной, знака противоположного с $v$, то положение равновесия будет асимптотически устойчивым.

Докажем теорему. Пусть для определенности функция $v$ будет определенно положительной функцией. Пусть число $R$ таково, что $\bar{J}_{R}$ лежит в обласги $D$.

Так как из предыдущей теоремы следует, что положение равновесия будет устойчивым, то существует такое $r>0$, что если точка $p$ лежит в $J_{r}$, то точка $f(p, t)$ не выидет из шара $J_{R}$. Пусть $\varepsilon$ – положительное как угодно малое число. Corласно предыдущей теореме снова можем указать число $\delta>0$, такое, что из $p \subset J_{\delta}$ будет следовать $f(p, t) \subset J_{\varepsilon}$ при $t>0$. Пусть точка $p$ лежит в $J_{\mathrm{s}}$. Предположим, что точка $f(p, t)$ не попадет при $t>0$ в шар $J_{8}$. Тогда полутраектория $f(p, t)$ при $t>0$ будет лежать в шаровом слое $\vec{J}_{R} \backslash J_{z}$. Так как в этом шаровом слое имеем $\dot{v}<0$ всюду, то существует постоянная $m>0$, такая, что будем иметь $\dot{v}<-m$ во всех точках указанного слоя. Из равенства
\[
v(f(p, t))=v(p)+\int_{0}^{t} \dot{v} d t
\]

мы немедленно выводим неравенство
\[
v(f(p, t))<v(p)-m t .
\]

Если $t$ растет неограниченно, то правая часть неравенства становится отрицательной, что и приводит нас к противоречию, так как в левой части этого неравенства стоит значение функции Ляпунова, которое не может стать отрицательным. Таким образом, чтобы уничтожить противоречие, мы должны допустить, что точка $f(p, t)$ попадет в некоторый момент в шар $J_{\delta}$, но число $\delta$ выбрано так, что, попав в $J_{\delta}$, точка $f(p, t)$ не сможет уже выйти за пределы $J_{\varepsilon}$. Так как $\varepsilon$ было взято произвольным сколь угодно малым числом, то отсюда следует, что $\lim _{t \rightarrow \infty} f(p, t)=0$.
Теорема доказана.
Покажем теперь, как можно использовать схему доказательства последней теоремы для оценки времени переходного процесса. Временем переходного процесса назовем время $t(p, \varepsilon)$, необходимое для того, чтобы точка $p$, двигаясь по траектории $f(p, t)$, попала в заданную окрестность $J_{\mathrm{s}}$ точки $O$ и при $t>t(p, \varepsilon)$ там оставалась.

Пусть число $l$ будет минимумом функции $v$ на сфере $S_{0}$. Если $f\left(p, t_{0}\right) \subset J_{\hat{\delta}}$, то при $t \geqslant t_{0}$ будем иметь $f(p, t) \subset J_{\mathbf{e}}$. Но, очевидно, число $t_{0}$ можно найти из равенства $v(p)-m t_{0}=$ $=l$, так как при $t_{0}=\frac{v(p)-l}{m}$ левая часть неравенства (4.2)

заведомо будет меньше l. Таким образом, получаем оценку
\[
t(p, \varepsilon)<\frac{v(p)-l}{m} .
\]

В теории регулирования время переходного пронесса часто называют временем регулирования.

Как первая, так и вторая теоремы Ляпунова имеют простой геометрический смысл. Неравенство $\dot{v}=\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial v}{\partial x_{i}} X_{i}<0$ означает, что траектории системы (4.1) направлены в сторону убывания функции $v$, т. е. пересекают поверхности уровня этой функции в направлении, противоположном направлению вектора grad $v$.