Пример 1 (И. Г. Малкин [15], Н. П. Еругин [16]). Наряду с системой
$$\begin{array}{l}\dot{x}=ax+by\\ \dot{y}=cx+dy\end{array}\}$$

рассмотрим систему
$$\begin{array}{rl}\dot{x}& =f(x)+by\\ \dot{y}& =cx+dy.\end{array}\}$$

Используя результаты $\mathrm{\S }9$, построим для системы (14.1) функцию Ляпунова в виде квадратичной формы, исходя из условия
$$\dot{v}=-2(a+d)(bc-ad)x^2.$$

Полагая $v=\alpha x^2+2\beta xy+\gamma y^2$, легко найдем неопределенные коэффициенты $\alpha ,\beta$, $\gamma$. В результате выкладок получим функцию
$$v=(dx-by{)}^2+ad{x}^2-bc{x}^2.$$

Условия Рауза-Гурвица для системы (14.1) имеют вид $a+d<0,ad-bc>0$, очевидно, что эти условия обеспечивают знакоопределенность функции $v$ и знакоотрицательность $\dot{v}$.

Беря за основу функцию (14.3), построим теперь функцию Ляпунова для системы (14.2). Система (14.2) отличается от системы (14.1) тем, что вместо функции ах стоит нелинейная функция $f(x)$. В выражении (14.3) коэффициент $a$ комбинируется с $x^2$. Если рассматривать выражение $a{x}^2$ как удвоенный интеграл ${\int }_0^{x}axdx$, то естественной кажется мысль принять по аналогии в качестве функции Ляпунова для системы (14.2) функцию
$$u=(dx-by{)}^2+2d{\int }_0^{x}f(x)dx-bc{x}^2.$$

Беря производную функции $u$, в силу системы (14.2) получим
$$\dot{u}=-2(\frac{f(x)}{x}+d)(bc-\frac{f(x)}{x}d)x^2.$$

Так как $u=(dx-by{)}^2+2{\int }_0^x(df(x)-bcx)dx$, то условие знакоопределенности функции $u$ имеет вид
a)
$$d\frac{f(x)}{x}-bc>0\text{ при }xeq0.$$

Условие (a) вместе с условием
b)
$$\frac{f(x)}{x}+d<0\text{ при }xeq0$$

обеспечивает знакоотрицательность $\dot{u}$. Очевидно, множество $x=0$, где $\dot{u}=0$, не содержит целых траекторий. Чтобы функция $t$ была бесконечно большой, достаточно потребовать выполнения условия
c) ${\int }_0^x[df(x)-bcx]dx\to \mathrm{\infty }$ при $|x|\to \mathrm{\infty }$.

Условия а), b), с) обеспечивают на основании теоремы 12.2 устойчивость в целом нулевого решения системы (14.2).

Красовский Н. Н. [13] показал, что невыполнение условия (с) может повести к потере свойства устойчивости при любых начальных возмущениях.

Наряду с системой (14.1) рассмотрим далее систему (Н. Н. Красовский [17])
$$\begin{array}{l}\dot{x}=f(x)+by\\ \dot{y}=\phi (x)+dy.\end{array}\}$$

Беря функцию Ляпунова в виде
$$v=(dx-by{)}^2+2{\int }_0^x[df(x)-b\phi (x)]dx$$

и учитывая, что в силу системы (14.5) будем иметь
$$\dot{v}=-2(\frac{f(x)}{x}+d)(b\phi (x)-df(x))x,$$

получим достаточные условия устойчивости в целом в виде
а) $(b\phi (x)-df(x))x>0$ при $xeq0$,
b) $\frac{f(x)}{x}+d<0$ при $xeq0$,
c) ${\int }_0^x[df(x)-b\phi (x)]dx\to \mathrm{\infty }$ при $|x|\to \mathrm{\infty }$.
Пример 2 (Е. А. Барбашин [6]). Рассмотрим уравнение
$$\ddot{x}+\phi (\dot{x})+g(\dot{x})f(x)=0,$$

эквивалентное системе
$$\begin{array}{l}\dot{x}=y,\\ \dot{y}=-g(y)f(x)-\phi (y).\end{array}\}$$

Используем для построения функции Ляпунова метод деления переменных [18]. Будем искать функцию $v$ в виде $v=F(x)+\mathrm{\Phi }(y)$. Имеем в силу системы (14.7)
$$\dot{v}=F^{\prime }(x)y-{\mathrm{\Phi }}^{\prime }(y)[g(y)f(x)+\phi (y)].$$

Потребуем теперь, чтобы $\dot{v}$ имела такую же структуру, что и функция $v$, т. е. потребуем тождественного выполнения условия
$$F^{\prime }(x)y-{\mathrm{\Phi }}^{\prime }(y)g(y)f(x)=0.$$

Деля переменные, получим
$$\frac{F^{\prime }(x)}{f(x)}=\frac{{\mathrm{\Phi }}^{\prime }(y)g(y)}{y},$$

что может иметь место, если каждое из выражений в обоих сторонах равенства является постоянным, например, равным 1. Отсюда сразу следует, что
$$F(x)={\int }_0^{x}f(x)dx,\mathrm{\Phi }(y)={\int }_0^y\frac{ydy}{g(y)},$$
T. e.
$$v={\int }_0^{x}f(x)dx+{\int }_0^y\frac{ydy}{g(y)}\text{ и }\dot{v}=-y\frac{\phi (y)}{g(y)}.$$

Условия устойчивости нулевого решения запишутся в виде
a)
$$f(x)x>0\text{ при }xeq0,$$
b)
$$g(y)>0\text{ при }yeq0,$$
c)
$$\phi (y)y>0\text{ при }yeq0,$$
d)
$${\int }_0^{x}f(x)dx\to \mathrm{\infty }\text{ при }|x|\to \mathrm{\infty },$$
e)
$${\int }_0^y\frac{ydy}{g(y)}\to \mathrm{\infty }\text{ при }|y|\to \mathrm{\infty }.$$

Пример 3. В уравнении
$$\ddot{x}+\phi (x)\dot{x}+f(x)=0,$$

проведя замену переменной (зємену Лиэнара)
$$y=\dot{x}+{\int }_0^x\phi (x)dx,$$

получим систему
$$\begin{array}{l}\dot{x}=y-{\int }_0^x\phi (x)dx,\\ \dot{y}=-f(x).\end{array}\}$$

Используя функцию Ляпунова
$$v=y^2+2{\int }_0^{x}f(x)dx$$

и принимая во внимание, что
$$\dot{v}=-2f(x){\int }_0^x\phi (x)dx,$$

получим следующие достаточные условия устойчивости в целом:
a)
b)
c)
$$\begin{array}{rl}f(x)x& >0\text{ при }xeq0,\\ \phi (x)& >0\text{ при }xeq0,\\ {\int }_0^{x}f(x)dx& \to \mathrm{\infty }\text{ при }|x|\to \mathrm{\infty }.\end{array}$$

Пример 4 (Н. Н. Красовский [9]). Рассмотрим уравнение
$$\ddot{x}=f(x,\dot{x}),$$

эквивалентное системе
$$\begin{array}{l}\dot{x}=y,\\ \dot{y}=f(x,y).\end{array}$$

Беря функцию Ляпунова в виде
$$v=y^2-2{\int }_0^{x}f(x,0)dx,$$

получим
$$\dot{\mathit{v}}=2[f(x,y)-f(x,0)]y.$$

Условия устойчивости в целом имеют вид
a) $f(x,0)x<0$ при $xeq0$,
b) $[f(x,y)-f(x,0)]y<0$ при $yeq0$,
c)
$${\int }_0^{x}f(x,0)dx\to \mathrm{\infty }\text{ при }|x|\to \mathrm{\infty }.$$

Пример 5 (Е. А. Барбашин [20]). Рассмотрим уравнение
$$\ddot{x}+a\ddot{x}+\phi (\dot{x})+f(x)=0,$$

где $\phi (0)=f(0)=0,a>0$, функция $f(x)$ непрерывно дифференцируема, а функция $\phi (x)$ непрерывна при всех значениях аргумента. В дальнейшем введем в рассмотрение функцию
$$w(x,y)=aF(x)+f(x)y+\mathrm{\Phi }(y),$$

где
$$\begin{array}{r}F(x)={\int }_0^{x}f(x)dx,\\ \mathrm{\Phi }(y)={\int }_0^y\phi (y)dy.\end{array}$$

Вводя обозначения $y=\dot{x},z=\dot{y}+ay$, уравнение (14.9) приведем к системе
$$\dot{x}=y,\dot{y}=z-ay,\dot{z}=-\phi (y)-f(x).$$

Рассмотрим функцию
$$v=aF(x)+f(x)y+\mathrm{\Phi }(y)+\frac{1}{2}{z}^2=w(x,y)+\frac{1}{2}{z}^2.$$

Имеем
$$\dot{v}=[f^{\prime }(x)-a\frac{\phi (y)}{y}]y^2.$$

Пусть выполнены условия
a)
$$f(x)x>0\text{ при }xeq0,$$
b)
$$a\frac{\phi (y)}{y}-f^{\prime }(x)>0\text{ при }yeq0,$$
c) $\underset{r\to \mathrm{\infty }}{lim}w(x,y)=\mathrm{\infty }$, где $r={(x^2+y^2)}^{1/2}$.

Из условия (b) следует, что $\dot{v}<0$ при $yeq0$ и $\dot{v}=0$ при $y=0$. Покажем, что на плоскости $y=0$ нет целых траекторий, кроме нулевого положения равновесия. В самом деле, если такая траектория имелась бы, то вдоль нее мы должны иметь $y\equiv \dot{y}\equiv 0$. Из второго уравнения системы (14.10) следовало бы $z\equiv 0$ и $z\equiv 0$, из третьего уравнения следует тогда (так как $\phi (y)=0$ ) тождество $f(x)\equiv 0$. Условие (а) с учетом непрерывности $f(x)$ приводит нас к тождеству $x\equiv 0$. Таким образом, рассматриваемое движение может быть только нулевым.

Покажем теперь, что функция $w$ является определенно положительной. Имеем
$$w(x,y)=\frac{(2\mathrm{\Phi }(y)+yf(x){)}^9}{4\mathrm{\Phi }(y)}+\frac{4aF(x)\mathrm{\Phi }(y)-y^2{f}^2(x)}{4\mathrm{\Phi }(y)}.$$

Заметим, что $\mathrm{\Phi }(y)>0$ при $yeq0$. В самом деле, так как $f(x)$ меняет знак в точке $x=0$, то $f^{\prime }(x)$ принимает положительные значения для некоторых значений $x$; эти значения, как видно из условия (b), не превышают нижней грани значений $\frac{\phi (y)}{y}$, что и обеспечивает нам положительность $\frac{\phi (y)}{y}$ илу что то же самое, положительность $\mathrm{\Phi }(y)$.
Покажем, далее, что функция
$$u(x,y)=4aF(x)\mathrm{\Phi }(y)-y^2{f}^2(x)$$

положительна при $xeq0,yeq0$. В самом деле, имеем
$$u(x,y)=4{\int }_0^x{\int }_0^{y}f(x)[a\frac{\phi (y)}{y}-f^{\prime }(x)y]dydx.$$

Условие (b) обеспечивает положительность внутреннего интеграла, а условие (а) — положительность функции $u(x,y)$. Итак, $w(x,y)$ является определенно положительной функцией аргументов $x$ и $y$ и, следовательно, функция $v(x,y,z)=$ $=w(x,y)+\frac{z^2}{2}$ является определенно положительной функцией аргументов $x,y,z$.

Таким образом, мы находимся в условиях применения теоремы 12.2, из которой следует, что условия a), b), с) обеспечивают устойчивость в целом нулевого решения системы (14.10).
Пример 6. (Е. И. Железнов [21]). Рассмотрим уравнение
$$\stackrel{⃛}{x}+a\ddot{x}+f(x)\dot{x}+cx=0.$$

Вводя новые переменные
$$\begin{array}{c}y=\ddot{x}+a\dot{x}+{\int }_0^{x}f(x)dx,\\ z=\dot{x}+ax,\end{array}$$

получим систему
$$\dot{x}=z-ax,\dot{y}=-cx,\dot{z}=y-F(x),$$

где
$$F(x)={\int }_0^{x}f(x)dx.$$

Рассмотрим функцию
$$v={\int }_0^{x}F(x)dx-xy+\frac{a}{2c}{y}^2+\frac{z^2}{2},$$

вычисляя производную функции $v$ в силу системы (14.12), получим
$$\dot{v}=-[a\frac{F(x)}{x}-c]x^2.$$

Условия
a)
$a>0,c>0$,
b) $af(x)>c+\epsilon$, где
$\epsilon >0$

обеспечат нам устойчивость в целом нулевого решения системы (14.12).

В самом деле, из условия (b) по теореме о среднем значении следует, что
$$a\frac{F(x)}{x}-c>\epsilon >0;$$

отсюда получим знакоотрицательность производной $\dot{v}$.
Чтобы показать знакоопределенность функции $v$, представим ее в следующем виде:
$$v=\frac{(ay-cx{)}^2}{2ac}+\frac{{\int }_0^x(a\frac{F(x)}{x}-c)xdx}{a}+\frac{z^2}{2}.$$

Условие (b) очевидно обеспечивает положительность интеграла, входящего в запись функции $v$, а условие (а) обеспечивает положительность обоих слагаемых. Легко также доказывается, что на плоскости $x=0$ нет цельх траекторий.

Пример 7. (Е. А. Барбашин [18]). Построим функцию Ляпунова для системы
$${\dot{x}}_i=\sum _{k=1}^n{p}_{ik}{f}_k\left({\sigma }_k\right),l=1,2,\dots ,n,$$

где $f_k\left({\sigma }_k\right){\sigma }_k>0$ при ${\sigma }_{k}eq0,{\sigma }_k=\sum _{m=1}^n{a}_{km}{x}_m,k=1,2,\dots ,n$, $a_{km}$ — постоянные, $p_{ik}$ могут быть функциями координат, параметров и времени. Рассмотрим функцию
$$v=\sum _{i=1}^n{\int }_0^{\sigma }{f}_i(\sigma )d\sigma$$

Очевидно, что эта функция будет определенно положительной и, кроме того,
$$\dot{v}=2\sum _{m,k=1}^n{b}_{km}{f}_k\left({\sigma }_k\right)f_m\left({\sigma }_m\right),$$

где
$$b_{km}=\frac{1}{2}\sum _{i=1}^n(a_{ki}{p}_{im}+a_{mi}{p}_{ik}).$$

Таким образом, $\dot{v}$ будет определенно отрицательной, или знакоотрицательной, если этим же свойтвом обладает форма
$$\sum _{m,k=1}^n{b}_{km}{u}_k{u}_m$$

Как известно, критерий Сильвестра и критерий знакоотрицательности легко переносятся на случай квадратичных форм с переменными коэффициентами, и поэтому эти критерии с успехом могут быть здесь использованы.

Заметим, что перечень указанных интересных примеров может быть значительно продолжен. Подробные библиографические указания можно наити в докладе [18]. Существенным критерием ценности построенной функции Јяпунова может служить требование, чтобы достаточные условия устойчивости, вытекающие из рассмотрения полученной функции Ляпунова, были бы в линенном случае и необходимыми условиями.

Мы не останавливаемся здесь также на интересных проблемах абсолютной устойчивости нелинейных систем. Исчерпывающее изложение этих вопросов читатель найдёт в монографиях А. И. Лурье [22], А. М. Летова [23], М. А. Айзермана и Ф. Р. Гантмахера [24].