Пример 1 (И. Г. Малкин [15], Н. П. Еругин [16]). Наряду с системой
\[
\left.\begin{array}{l}
\dot{x}=a x+b y \\
\dot{y}=c x+d y
\end{array}\right\}
\]

рассмотрим систему
\[
\left.\begin{array}{rl}
\dot{x} & =f(x)+b y \\
\dot{y} & =c x+d y .
\end{array}\right\}
\]

Используя результаты $\S 9$, построим для системы (14.1) функцию Ляпунова в виде квадратичной формы, исходя из условия
\[
\dot{v}=-2(a+d)(b c-a d) x^{2} .
\]

Полагая $v=\alpha x^{2}+2 \beta x y+\gamma y^{2}$, легко найдем неопределенные коэффициенты $\alpha, \beta$, $\gamma$. В результате выкладок получим функцию
\[
v=(d x-b y)^{2}+a d x^{2}-b c x^{2} .
\]

Условия Рауза-Гурвица для системы (14.1) имеют вид $a+d<0, a d-b c>0$, очевидно, что эти условия обеспечивают знакоопределенность функции $v$ и знакоотрицательность $\dot{v}$.

Беря за основу функцию (14.3), построим теперь функцию Ляпунова для системы (14.2). Система (14.2) отличается от системы (14.1) тем, что вместо функции ах стоит нелинейная функция $f(x)$. В выражении (14.3) коэффициент $a$ комбинируется с $x^{2}$. Если рассматривать выражение $a x^{2}$ как удвоенный интеграл $\int_{0}^{x} a x d x$, то естественной кажется мысль принять по аналогии в качестве функции Ляпунова для системы (14.2) функцию
\[
u=(d x-b y)^{2}+2 d \int_{0}^{x} f(x) d x-b c x^{2} .
\]

Беря производную функции $u$, в силу системы (14.2) получим
\[
\dot{u}=-2\left(\frac{f(x)}{x}+d\right)\left(b c-\frac{f(x)}{x} d\right) x^{2} .
\]

Так как $u=(d x-b y)^{2}+2 \int_{0}^{x}(d f(x)-b c x) d x$, то условие знакоопределенности функции $u$ имеет вид
a)
\[
d \frac{f(x)}{x}-b c>0 \text { при } x
eq 0 .
\]

Условие (a) вместе с условием
b)
\[
\frac{f(x)}{x}+d<0 \text { при } x
eq 0
\]

обеспечивает знакоотрицательность $\dot{u}$. Очевидно, множество $x=0$, где $\dot{u}=0$, не содержит целых траекторий. Чтобы функция $t$ была бесконечно большой, достаточно потребовать выполнения условия
c) $\quad \int_{0}^{x}[d f(x)-b c x] d x \rightarrow \infty$ при $|x| \rightarrow \infty$.

Условия а), b), с) обеспечивают на основании теоремы 12.2 устойчивость в целом нулевого решения системы (14.2).

Красовский Н. Н. [13] показал, что невыполнение условия (с) может повести к потере свойства устойчивости при любых начальных возмущениях.

Наряду с системой (14.1) рассмотрим далее систему (Н. Н. Красовский [17])
\[
\left.\begin{array}{l}
\dot{x}=f(x)+b y \\
\dot{y}=\varphi(x)+d y .
\end{array}\right\}
\]

Беря функцию Ляпунова в виде
\[
v=(d x-b y)^{2}+2 \int_{0}^{x}[d f(x)-b \varphi(x)] d x
\]

и учитывая, что в силу системы (14.5) будем иметь
\[
\dot{v}=-2\left(\frac{f(x)}{x}+d\right)(b \varphi(x)-d f(x)) x,
\]

получим достаточные условия устойчивости в целом в виде
а) $\quad(b \varphi(x)-d f(x)) x>0$ при $x
eq 0$,
b) $\quad \frac{f(x)}{x}+d<0$ при $x
eq 0$,
c) $\quad \int_{0}^{x}[d f(x)-b \varphi(x)] d x \rightarrow \infty$ при $|x| \rightarrow \infty$.
Пример 2 (Е. А. Барбашин [6]). Рассмотрим уравнение
\[
\ddot{x}+\varphi(\dot{x})+g(\dot{x}) f(x)=0,
\]

эквивалентное системе
\[
\left.\begin{array}{l}
\dot{x}=y, \\
\dot{y}=-g(y) f(x)-\varphi(y) .
\end{array}\right\}
\]

Используем для построения функции Ляпунова метод деления переменных [18]. Будем искать функцию $v$ в виде $v=F(x)+\Phi(y)$. Имеем в силу системы (14.7)
\[
\dot{v}=F^{\prime}(x) y-\Phi^{\prime}(y)[g(y) f(x)+\varphi(y)] .
\]

Потребуем теперь, чтобы $\dot{v}$ имела такую же структуру, что и функция $v$, т. е. потребуем тождественного выполнения условия
\[
F^{\prime}(x) y-\Phi^{\prime}(y) g(y) f(x)=0 .
\]

Деля переменные, получим
\[
\frac{F^{\prime}(x)}{f(x)}=\frac{\Phi^{\prime}(y) g(y)}{y},
\]

что может иметь место, если каждое из выражений в обоих сторонах равенства является постоянным, например, равным 1. Отсюда сразу следует, что
\[
F(x)=\int_{0}^{x} f(x) d x, \quad \Phi(y)=\int_{0}^{y} \frac{y d y}{g(y)},
\]
T. e.
\[
v=\int_{0}^{x} f(x) d x+\int_{0}^{y} \frac{y d y}{g(y)} \text { и } \dot{v}=-y \frac{\varphi(y)}{g(y)} .
\]

Условия устойчивости нулевого решения запишутся в виде
a)
\[
f(x) x>0 \text { при } x
eq 0,
\]
b)
\[
g(y)>0 \text { при } y
eq 0,
\]
c)
\[
\varphi(y) y>0 \text { при } y
eq 0,
\]
d)
\[
\int_{0}^{x} f(x) d x \rightarrow \infty \text { при }|x| \rightarrow \infty,
\]
e)
\[
\int_{0}^{y} \frac{y d y}{g(y)} \rightarrow \infty \text { при }|y| \rightarrow \infty .
\]

Пример 3. В уравнении
\[
\ddot{x}+\varphi(x) \dot{x}+f(x)=0,
\]

проведя замену переменной (зємену Лиэнара)
\[
y=\dot{x}+\int_{0}^{x} \varphi(x) d x,
\]

получим систему
\[
\left.\begin{array}{l}
\dot{x}=y-\int_{0}^{x} \varphi(x) d x, \\
\dot{y}=-f(x) .
\end{array}\right\}
\]

Используя функцию Ляпунова
\[
v=y^{2}+2 \int_{0}^{x} f(x) d x
\]

и принимая во внимание, что
\[
\dot{v}=-2 f(x) \int_{0}^{x} \varphi(x) d x,
\]

получим следующие достаточные условия устойчивости в целом:
a)
b)
c)
\[
\begin{aligned}
f(x) x & >0 \text { при } x
eq 0, \\
\varphi(x) & >0 \text { при } x
eq 0, \\
\int_{0}^{x} f(x) d x & \rightarrow \infty \text { при }|x| \rightarrow \infty .
\end{aligned}
\]

Пример 4 (Н. Н. Красовский [9]). Рассмотрим уравнение
\[
\ddot{x}=f(x, \dot{x}),
\]

эквивалентное системе
\[
\begin{array}{l}
\dot{x}=y, \\
\dot{y}=f(x, y) .
\end{array}
\]

Беря функцию Ляпунова в виде
\[
v=y^{2}-2 \int_{0}^{x} f(x, 0) d x,
\]

получим
\[
\dot{\boldsymbol{v}}=2[f(x, y)-f(x, 0)] y .
\]

Условия устойчивости в целом имеют вид
a) $\quad f(x, 0) x<0$ при $x
eq 0$,
b) $\quad[f(x, y)-f(x, 0)] y<0$ при $y
eq 0$,
c)
\[
\int_{0}^{x} f(x, 0) d x \rightarrow \infty \text { при }|x| \rightarrow \infty .
\]

Пример 5 (Е. А. Барбашин [20]). Рассмотрим уравнение
\[
\ddot{x}+a \ddot{x}+\varphi(\dot{x})+f(x)=0,
\]

где $\varphi(0)=f(0)=0, a>0$, функция $f(x)$ непрерывно дифференцируема, а функция $\varphi(x)$ непрерывна при всех значениях аргумента. В дальнейшем введем в рассмотрение функцию
\[
w(x, y)=a F(x)+f(x) y+\Phi(y),
\]

где
\[
\begin{array}{r}
F(x)=\int_{0}^{x} f(x) d x, \\
\Phi(y)=\int_{0}^{y} \varphi(y) d y .
\end{array}
\]

Вводя обозначения $y=\dot{x}, \quad z=\dot{y}+a y$, уравнение (14.9) приведем к системе
\[
\dot{x}=y, \quad \dot{y}=z-a y, \quad \dot{z}=-\varphi(y)-f(x) .
\]

Рассмотрим функцию
\[
v=a F(x)+f(x) y+\Phi(y)+\frac{1}{2} z^{2}=w(x, y)+\frac{1}{2} z^{2} .
\]

Имеем
\[
\dot{v}=\left[f^{\prime}(x)-a \frac{\varphi(y)}{y}\right] y^{2} .
\]

Пусть выполнены условия
a)
\[
f(x) x>0 \text { при } x
eq 0,
\]
b)
\[
a \frac{\varphi(y)}{y}-f^{\prime}(x)>0 \text { при } y
eq 0,
\]
c) $\quad \lim _{r \rightarrow \infty} w(x, y)=\infty$, где $r=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{1 / 2}$.

Из условия (b) следует, что $\dot{v}<0$ при $y
eq 0$ и $\dot{v}=0$ при $y=0$. Покажем, что на плоскости $y=0$ нет целых траекторий, кроме нулевого положения равновесия. В самом деле, если такая траектория имелась бы, то вдоль нее мы должны иметь $y \equiv \dot{y} \equiv 0$. Из второго уравнения системы (14.10) следовало бы $z \equiv 0$ и $z \equiv 0$, из третьего уравнения следует тогда (так как $\varphi(y)=0$ ) тождество $f(x) \equiv 0$. Условие (а) с учетом непрерывности $f(x)$ приводит нас к тождеству $x \equiv 0$. Таким образом, рассматриваемое движение может быть только нулевым.

Покажем теперь, что функция $w$ является определенно положительной. Имеем
\[
w(x, y)=\frac{(2 \Phi(y)+y f(x))^{9}}{4 \Phi(y)}+\frac{4 a F(x) \Phi(y)-y^{2} f^{2}(x)}{4 \Phi(y)} .
\]

Заметим, что $\Phi(y)>0$ при $y
eq 0$. В самом деле, так как $f(x)$ меняет знак в точке $x=0$, то $f^{\prime}(x)$ принимает положительные значения для некоторых значений $x$; эти значения, как видно из условия (b), не превышают нижней грани значений $\frac{\varphi(y)}{y}$, что и обеспечивает нам положительность $\frac{\varphi(y)}{y}$ илу что то же самое, положительность $\Phi(y)$.
Покажем, далее, что функция
\[
u(x, y)=4 a F(x) \Phi(y)-y^{2} f^{2}(x)
\]

положительна при $x
eq 0, y
eq 0$. В самом деле, имеем
\[
u(x, y)=4 \int_{0}^{x} \int_{0}^{y} f(x)\left[a \frac{\varphi(y)}{y}-f^{\prime}(x) y\right] d y d x .
\]

Условие (b) обеспечивает положительность внутреннего интеграла, а условие (а) — положительность функции $u(x, y)$. Итак, $w(x, y)$ является определенно положительной функцией аргументов $x$ и $y$ и, следовательно, функция $v(x, y, z)=$ $=w(x, y)+\frac{z^{2}}{2}$ является определенно положительной функцией аргументов $x, y, z$.

Таким образом, мы находимся в условиях применения теоремы 12.2, из которой следует, что условия a), b), с) обеспечивают устойчивость в целом нулевого решения системы (14.10).
Пример 6. (Е. И. Железнов [21]). Рассмотрим уравнение
\[
\dddot{x}+a \ddot{x}+f(x) \dot{x}+c x=0 .
\]

Вводя новые переменные
\[
\begin{array}{c}
y=\ddot{x}+a \dot{x}+\int_{0}^{x} f(x) d x, \\
z=\dot{x}+a x,
\end{array}
\]

получим систему
\[
\dot{x}=z-a x, \quad \dot{y}=-c x, \quad \dot{z}=y-F(x),
\]

где
\[
F(x)=\int_{0}^{x} f(x) d x .
\]

Рассмотрим функцию
\[
v=\int_{0}^{x} F(x) d x-x y+\frac{a}{2 c} y^{2}+\frac{z^{2}}{2},
\]

вычисляя производную функции $v$ в силу системы (14.12), получим
\[
\dot{v}=-\left[a \frac{F(x)}{x}-c\right] x^{2} .
\]

Условия
a)
$a>0, \quad c>0$,
b) $a f(x)>c+\varepsilon$, где
$\varepsilon>0$

обеспечат нам устойчивость в целом нулевого решения системы (14.12).

В самом деле, из условия (b) по теореме о среднем значении следует, что
\[
a \frac{F(x)}{x}-c>\varepsilon>0 ;
\]

отсюда получим знакоотрицательность производной $\dot{v}$.
Чтобы показать знакоопределенность функции $v$, представим ее в следующем виде:
\[
v=\frac{(a y-c x)^{2}}{2 a c}+\frac{\int_{0}^{x}\left(a \frac{F(x)}{x}-c\right) x d x}{a}+\frac{z^{2}}{2} .
\]

Условие (b) очевидно обеспечивает положительность интеграла, входящего в запись функции $v$, а условие (а) обеспечивает положительность обоих слагаемых. Легко также доказывается, что на плоскости $x=0$ нет цельх траекторий.

Пример 7. (Е. А. Барбашин [18]). Построим функцию Ляпунова для системы
\[
\dot{x}_{i}=\sum_{k=1}^{n} p_{i k} f_{k}\left(\sigma_{k}\right), \quad l=1,2, \ldots, n,
\]

где $f_{k}\left(\sigma_{k}\right) \sigma_{k}>0$ при $\sigma_{k}
eq 0, \sigma_{k}=\sum_{m=1}^{n} a_{k m} x_{m}, k=1,2, \ldots, n$, $a_{k m}$ — постоянные, $p_{i k}$ могут быть функциями координат, параметров и времени. Рассмотрим функцию
\[
v=\sum_{i=1}^{n} \int_{0}^{\sigma} f_{i}(\sigma) d \sigma
\]

Очевидно, что эта функция будет определенно положительной и, кроме того,
\[
\dot{v}=2 \sum_{m, k=1}^{n} b_{k m} f_{k}\left(\sigma_{k}\right) f_{m}\left(\sigma_{m}\right),
\]

где
\[
b_{k m}=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n}\left(a_{k i} p_{i m}+a_{m i} p_{i k}\right) .
\]

Таким образом, $\dot{v}$ будет определенно отрицательной, или знакоотрицательной, если этим же свойтвом обладает форма
\[
\sum_{m, k=1}^{n} b_{k m} u_{k} u_{m}
\]

Как известно, критерий Сильвестра и критерий знакоотрицательности легко переносятся на случай квадратичных форм с переменными коэффициентами, и поэтому эти критерии с успехом могут быть здесь использованы.

Заметим, что перечень указанных интересных примеров может быть значительно продолжен. Подробные библиографические указания можно наити в докладе [18]. Существенным критерием ценности построенной функции Јяпунова может служить требование, чтобы достаточные условия устойчивости, вытекающие из рассмотрения полученной функции Ляпунова, были бы в линенном случае и необходимыми условиями.

Мы не останавливаемся здесь также на интересных проблемах абсолютной устойчивости нелинейных систем. Исчерпывающее изложение этих вопросов читатель найдёт в монографиях А. И. Лурье [22], А. М. Летова [23], М. А. Айзермана и Ф. Р. Гантмахера [24].