Главная > ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ УСТОЙЧИВОСТИ (E. А. БАРБАШИН)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Рассмотрим теперь теоремы о неустойчивости.
Теоремы 6.1 и 6.2 принадлежат А. М. Ляпунову, теорема 6.3 доказана Н. Н. Красовским [7].

Теорема 6.1. Если существует функция v, имеющая знакоопределенную производную по времени, и такая, что знакопостоянной, знака противоположного с ˙, то нулевое решение системы (4.1) неустойчиво.

Пусть в шаре Jε выполнены условия теоремы. Полагая для определенности функцию i определенно положительной, рассмотрим көк угодно малую окрестность Jδ^ точки O. Покажем, что существует точка p, траектория которой при t>0 выйет за пределы Jε. По условию теоремы в J8 имеется точка p, в которой v(p)=v0>0. В силу непрерывности функции v существует такое число η, что в Jη будем иметь |v|<v0. Так как функция v˙ определенно положительна, то v(f(p,t)) растет с ростом t, и поэтому точка f(p,t) не сможет попасть в Jη. Допустим, что точка f(p,t) не выйдет за пределы Jz. Так как v˙ имеет в области J¯sJη положительный минимум m, то будет справедливым неравенство
v(f(p,t))=v(p)+0tv˙dt>v(p)+mt.

Отсюда видим, что с ростом t функция v(f(p,t)) растет неограниченно, но, с другой стороны, функция v как непрерывная функция должна быть ограниченнои в шаровом слое J¯tJη. Полученное противоречие доказывает теорему.

Теорема 6.2. Если существует функция v такая, что ее производная по времени имеет вид
dvdt=λv+w

где λ — положительная постоянная, а ш или тождественно обращается в нуль илт является знакопостоянной, и если в последнем случае функция у не является в любой окрестности точки О знакопостоянной, знака противоположного сю, то нулевое решение системы (4.1) неустойчиво.

Полагая для определенности w0, в произвольно малой окрестности Jδ выберем точку p, в которой v(p)=v0>0, и покажем, что точка f(p,t) с ростом t выйдет за пределы любой окрестности Js, в которой выполнены условия теоремы. Рассматривая функции v(f(p,t)) и w(f(p,t)) как функции времени, из дифференциального уравнения (6.2) можем определить v(f(p,t)) по известной формуле Коши:
v(f(p,t))=eλt[0teλtwdt+v0].

Из условия w0 имеем
v(f(p,t))v0eλt.

Так как λ>0, то с ростом t функция v(f(p,t)) растет неограниченно, а это значит, что точка f(p,t) выйдет за пределы области Jε.

Теорема 6.3. Если существует функция v, не являющаяся знакоотрицательной в произвольной окрестности точки O, и такая, что
dvdt>0 вне M,dvdt0 на M,

где M-множество, не содержащее целых траекторий (кроме точки O), то положение равновесия неустойчиво.

Так же как и в доказательстве теоремы 6.1 , в произвольно малой окрестности Jδ выберем точку p, в которой v(p)= =v0>0, и выберем затем шар Jη, во всех точках которого имеет местс неравенство v<v0. Допустим теперь, что точка f(p,t) не выйдет за пределы некоторого шара J¯ε. Так как f(p,t) не может попасть и в Jη, то точка f(p,t) будет при всех t>0 лежать в шаровом слое J¯εJη, следовательно, непустое множество Qω-предельных точек точки p также будет лежать в этом шаровом слое. Но по лемме 5.1 множество Q лежит на поверхности v=c, а по теореме 5.1 множество Ω является замкнутым и состоит из целых траекторий. Таким образом, на Q имеем v˙=0, откуда следует, что QM, а это противоречит предположению теоремы, так как множество M не содержит целых траекторий.

В заключение отметим, что возможны различные обобщения рассмотренных теорем. Так, например, можно отказаться от требования выполнения условий Јипшица для правых частей системы (4.1) или даже от требования непрерывности правых частей. Все теоремы §46, безусловно, будут справедливы, если правые части системы (4.1) кусочно-непрерывны. Можно также снять требования непрерывности и дифференцируемости функции Ляпунова, заменив их другими требованиями, очевидным образом вытекающими из доказательств приведенных теорем. Более подробно эти вопросы разобраны в монографии Н. Н. Красовского [7]. В этой же монографии проведено фундаментальное исследование условий обратимости теорем Ляпунова, теорем 5.2 и 6.3, а также многих других теорем рассматриваемого метода.

1
Оглавление
email@scask.ru