Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
$$\frac{dy}{dt}=Y(y,t).$$

Выделим некоторое движение $y=f(t)$ системы (2.1) и назовем его невозмущенным движением.

Движение $y=f(t)$ назовем устойчивым в смысле Ляпунова, если для всякого $\epsilon >0$ можно указать $\delta >0$ такое, что из неравенства $\Vert y\left(t_0\right)-f\left(t_0\right)\Vert <\delta$ следует неравенство
$\Vert y(t)-f(t)\Vert <\epsilon$ при $t⩾t_0$. Здесь через $y(t)$ обозначено любое другое решение системы (2.1), определяемое начальными условиями $y\left(t_0\right)$. Движение $y=f(t)$ называется асимптотически устойчивым в смысле Ляпунова, если оно устойчиво в смысле Ляпунова и если существует такое положительное число $h$, что при $\Vert y\left(t_0\right)-f\left(t_0\right)\Vert <h$ будем иметь
$$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}\Vert y(t)-f(t)\Vert =0.$$

Если решение $y(t)$ стремится к $f(t)$ при $t\to \mathrm{\infty }$ равномерно по отношению к $t_0$, то асимптотическая устойчивость называется равномерной относительно $t_0$. Если равномерность стремления к пределу имеет место по отношению к начальным условиям $y\left(t_0\right)$, то говорят, что решение $y=f(t)$ равномерно асимптотически устойчиво по отношению к начальным условиям. Если система (2.1) автономна, т. е. правые части не зависят от $t$, то асимптотическая устойчивость будет всегда равномерной относительно начальных данных. Этот факт был установлен в работе Массера [4].

Если движение $y=f(t)$ устойчиво по Ляпунову и соотношение (2.2) справедливо для решений $y(t)$, определяемых любыми начальными данными, то говорят, что движение $y=f(t)$ асимптотически устойчиво при любых начальных данных (или асимптотически устойчиво в целом).

Проведем в системе (2.1) замену переменных $x=y-f(t)$. Новая система будет иметь вид
$$\frac{dx}{dt}=Y(x+f(t),t)-Y(f(t),t);$$

вводя обозначение
$$X(x,t)=Y(x+f(t),t)-Y(f(t),t),$$

получим систему
$$\frac{dx}{dt}=X(x,t),$$

где $X(0,t)=0$ при $t⩾t_0$.
Система (2.3) определяет дифференциальные уравнения возмущенного движения. Движение $y=f(t)$ перешло при рассматриваемой замене переменных в положение равновесия $x=0$ новой системы. Задача устойчивости движения $y=f(t)$ переходит, таким образом, в задачу устойчивости нулевого решения $x=0$ системы (2.3).

Сформулируем теперь определение устойчивости нулевого решения $x=0$ системы (2.3).

Решение $x=0$ системы (2.3) называется устойчивым в смысле Ляпунова, если для любого положительного числа в можно указать положительное число $\delta$ такое, что из неравенства $\Vert x\left(t_0\right)\Vert <\delta$ следует при $t>t_0$ неравенство $\Vert x(t)\Vert <\epsilon$. Если же, кроме того, всякое решение $x(t)$, начальные данные которого определяются условием $\Vert x\left(t_0\right)\Vert <h$, обладает свойством $\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}\Vert x(t)\Vert =0$, то нулевое решение называется асимптотически устойчивым в смысле Ляпунова. Аналогично вводятся понятия равномерной асимптотической устойчивости и устойчивости в целом.