Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
\[
\frac{d y}{d t}=Y(y, t) .
\]

Выделим некоторое движение $y=f(t)$ системы (2.1) и назовем его невозмущенным движением.

Движение $y=f(t)$ назовем устойчивым в смысле Ляпунова, если для всякого $\varepsilon>0$ можно указать $\delta>0$ такое, что из неравенства $\left\|y\left(t_{0}\right)-f\left(t_{0}\right)\right\|<\delta$ следует неравенство
$\|y(t)-f(t)\|<\varepsilon$ при $t \geqslant t_{0}$. Здесь через $y(t)$ обозначено любое другое решение системы (2.1), определяемое начальными условиями $y\left(t_{0}\right)$. Движение $y=f(t)$ называется асимптотически устойчивым в смысле Ляпунова, если оно устойчиво в смысле Ляпунова и если существует такое положительное число $h$, что при $\left\|y\left(t_{0}\right)-f\left(t_{0}\right)\right\|<h$ будем иметь
\[
\lim _{t \rightarrow \infty}\|y(t)-f(t)\|=0 .
\]

Если решение $y(t)$ стремится к $f(t)$ при $t \rightarrow \infty$ равномерно по отношению к $t_{0}$, то асимптотическая устойчивость называется равномерной относительно $t_{0}$. Если равномерность стремления к пределу имеет место по отношению к начальным условиям $y\left(t_{0}\right)$, то говорят, что решение $y=f(t)$ равномерно асимптотически устойчиво по отношению к начальным условиям. Если система (2.1) автономна, т. е. правые части не зависят от $t$, то асимптотическая устойчивость будет всегда равномерной относительно начальных данных. Этот факт был установлен в работе Массера [4].

Если движение $y=f(t)$ устойчиво по Ляпунову и соотношение (2.2) справедливо для решений $y(t)$, определяемых любыми начальными данными, то говорят, что движение $y=f(t)$ асимптотически устойчиво при любых начальных данных (или асимптотически устойчиво в целом).

Проведем в системе (2.1) замену переменных $x=y-f(t)$. Новая система будет иметь вид
\[
\frac{d x}{d t}=Y(x+f(t), t)-Y(f(t), t) ;
\]

вводя обозначение
\[
X(x, t)=Y(x+f(t), t)-Y(f(t), t),
\]

получим систему
\[
\frac{d x}{d t}=X(x, t),
\]

где $X(0, t)=0$ при $t \geqslant t_{0}$.
Система (2.3) определяет дифференциальные уравнения возмущенного движения. Движение $y=f(t)$ перешло при рассматриваемой замене переменных в положение равновесия $x=0$ новой системы. Задача устойчивости движения $y=f(t)$ переходит, таким образом, в задачу устойчивости нулевого решения $x=0$ системы (2.3).

Сформулируем теперь определение устойчивости нулевого решения $x=0$ системы (2.3).

Решение $x=0$ системы (2.3) называется устойчивым в смысле Ляпунова, если для любого положительного числа в можно указать положительное число $\delta$ такое, что из неравенства $\left\|x\left(t_{0}\right)\right\|<\delta$ следует при $t>t_{0}$ неравенство $\|x(t)\|<\varepsilon$. Если же, кроме того, всякое решение $x(t)$, начальные данные которого определяются условием $\left\|x\left(t_{0}\right)\right\|<h$, обладает свойством $\lim _{t \rightarrow \infty}\|x(t)\|=0$, то нулевое решение называется асимптотически устойчивым в смысле Ляпунова. Аналогично вводятся понятия равномерной асимптотической устойчивости и устойчивости в целом.