Рассмотрим уравнение третьего порядка
\[
\ddot{x}+a \ddot{x}+b \dot{x}+c x=-\alpha K x,
\]

эквивалентное системе
\[
\dot{x}=y, \dot{y}=z, z=-c x-b y-a z-\alpha K x .
\]

Предположим, что параметры $a, b, c, K$ являются произвольными постоянными, причем коэффициент $K$-положителен. Рассмотрим сначала задачу отыскания закона изменения $\alpha$ при условии $|\alpha| \leqslant 1$, обеспечивающего максимальное относительное быстродействие системы, т.е. попадание точек фазового пространства в достаточно малую окрестность начала координат за минимальное время.
Анализ этой зада-
Рис. 14. чи приводит к необходимости вводить сло-

жный закон переключения величины $\alpha$; этот закон необходимо должен быть нелинейным, так как одна из поверхностей переключения должна быть необходимо нелинейной, хотя и содержащей в качестве своей части плоские многообразия. Учитывая, что нелинейный закон переключения является трудно реализуемым, можно искать решение на пути построения кусочно линейной поверхности переключения, такой, чтобы при движении точки фазового пространства по ней происходило изменение режима скольжения с целью повышения быстродействия.

Детальный анализ оптимальных задач приводит к мысли построения поверхности переключения из двух плоскостей. Такая поверхность (рис. 14), в отличие от поверхности, рассмотренной нами ранее, имеет разрыв на плоскости $x=0$ и обеспечивает, в некотором смысле, первое приближение решения указанной выше оптимальной задачи.

Здесь ставится, однако, задача не оптимизации системы (9.2), а задача стабилизации системы. Это значит, что за счет упрощения структуры поверхности переключения переходный процесс, описываемый системой (9.2), будет несколько отличаться от оптимального. Необходимо также указать такой закон переключения, который осуществлял бы не только стабилизацию (вообще говоря, неустойчивой) системы, но и обеспечивал бы достаточно высокое качество регулирования. С этой целью определим закон изменения величины $\alpha$ следующим образом. Рассмотрим две плоскости:
\[
\left.\begin{array}{r}
R_{1}(x, y, z)=A x+B y+z=0, \\
R_{2}(x, y, z)=A x+B y+z-\theta(x+T y)=0,
\end{array}\right\}
\]

где $A, B, \theta, T$ – положительные постоянные, и разобьем трехмерное фазовое пространство на четыре области. Область $G_{1}$ определим как область, в которой выполнено $x>0$ и одна из пар неравенств
a) $R_{1}>0, R_{2}>0$, b) $R_{1}>0, R_{2} \leqslant 0$, c) $R_{1} \leqslant 0, R_{2}>0$. Область $G_{2}$ определим неравенствами $x<0, R_{1}>0, R_{2}>0$. Область, в которой $x<0$ и выполняется одна из пар неравенств
a) $R_{1}<0, R_{2}<0$,
b) $R_{1} \geqslant 0, R_{2}<0$,
c) $R_{1}<0, \quad R_{2} \geqslant 0$, обозначим через $G_{3}$. Через $G_{4}$, наконец, обозначим область, где $x>0, R_{1}<0, R_{2}<0$. На рис. 14 области $G_{1}$ и $G_{2}$ расположены над поверхностью переключения, а области $G_{3}$ и $G_{4}$ – под поверхностью. Полагаем далее $\alpha=-1$ в областях $G_{2}$ и $G_{4}$ и $\alpha=1$ в области $G$, являющейся объединением областей $G_{1}$ и $G_{3}$ с той частью плоскости $x=0$, в которой $R_{1} R_{2}<0$. Очевидно, закон изменения величины $\alpha$ при $x
eq 0$ может быть задан формулой
\[
\alpha=\operatorname{sign}\left[\left(R_{1}+R_{2}\right) \operatorname{sign} x+\left|R_{1}-R_{2}\right|\right] .
\]

Таким образом, рассматриваемая система является системой с двойным переключением.

При переходе через плоскость $x=0$ величина $\alpha$, очевидно, меняет свой знак, если $R_{1} R_{2}>0$, и не меняет своего значения, если $R_{1} R_{2}<0$. Поверхность переключения, изображенную на рис. 14 , составленную из частей $S_{1}$ и $S_{3}$
плоскости $R_{1}=0$ и частей $S_{2}, S_{4}$ плоскости $R_{2}=0$, будем называть в дальнейшем поверхностью $S$.

На поверхности $S$ около линий $N_{1} N_{3}, N_{2} N_{4}$ выделяются секторы $L_{i} O N_{i}, i=1,2,3,4$, в которых траектории системы (9.2) «прошивают» поверхность $S$, но легко показать, что углы этих секторов путем выбора достаточно большого $K$ можно сделать как угодно малыми. Во всех остальных точках поверхность $S$ является поверхностью скольжения. Плоскость $x=0$, как следует из первого уравнения системы (9.2), является «прошиваемой» плоскостью.

Пусть величины $A$ и $B$ будут заданы так, что выполняются условия
\[
0<A<B^{2} / 4 .
\]

Определим величины $\theta$ и $T$ из (9.3) неравенствами
\[
A<\theta<-\mu_{2} B, \quad \mu_{1} \leqslant-T^{-1} \leqslant \mu_{2},
\]

где $\mu_{1}, \mu_{2}$ – корни уравнения
\[
\mu^{2}+B \mu+A=0 .
\]

Ниже будет показано, что неравенства (9.6) всегда мэгут быть удовлетворены.

Теорема 9.1. Если выполнены условия (9.5) $и$ (9.6), то можно выбрать такое число $K_{0}>0$, что при $К>K_{0}$ и при выполнении закона переключения (9.4) всякое решение системы (9.2) будет обладать свойством
\[
\lim _{t \rightarrow \infty} x(t)=\lim _{t \rightarrow \infty} y(t)=\lim _{t \rightarrow \infty} z(t)=0 .
\]

Доказательство этой теоремы складывается из следующих этапов. Сначала показывается, что любая точка $M$ фазового пространства попадает на поверхность $\mathcal{S}$. Дальнейшее поведение этой точки зависит от того, на какую часть поверхности она попадет, т. е. на плоскость $R_{1}=0$ или на плоскость $R_{2}=0$. Если точка $M$ попадет на плоскость $R_{1}=0$ (части $S_{1}$ или $S_{3}$ поверхности $S$; см. рис. 14) в область скольжения, то ее дальнейшее движение будет определяться системои
\[
\dot{x}=y, \quad \dot{y}=-A x-B y,
\]

в силу которой эта точка будет приближаться к началу координат вдоль некоторой прямой $y=\mu_{2} x, R_{1}(x, y, z)=0$

Если точка $M$ попадет на плоскость $R_{2}=0$ ( $\mathcal{S}_{2}$ или $S_{4}$ ), то она будет двигаться по ней в силу системы
\[
\dot{x}=y, \quad \dot{y}=-A x-B y+\theta(x+T y),
\]

и либо придет по сепаратрисе в начало координат, либо по кривой гиперболического типа дойдет до линии $R_{1}=0$, $x+T y=0$ и перейдет на плоскость $R_{1}=0$, либо дойдет до сектора прошиваемости $\mathrm{N}_{2} O L_{2}$ или $\mathrm{N}_{4} O L_{4}$. В последнем случае точка $M$, соидя с поверхности $S$, обязательно снова попадет на нее, но уже на часть $S_{1}$ или $S_{3}$ плоскости $R_{1}=0$ и именно на ту часть, где существует скольжение, следовательно, точка $M$ будет двигаться к началу координат. Доказательство всех этих положений дается ниже.
1. Покажем сначала, что параметры $A, B, \theta, T$ можно выбрать так, чтобы выполнялись неравенства (9.5) и (9.6). Действительно, возьмем произвольную пару положительных чисел $A$ и $B$, удовлетворяющих неравенству (9.5). При этом имеем
\[
(B / 2-A / B)^{2}>B^{2} / 4-A>0 .
\]

Отсюда
\[
|B / 2-A / B|>\left(B^{2} / 4-A\right)^{1 / 2} .
\]

Но $B / 2-A / B>A / B>0$, а потому соотношение (9.10) можно переписать в виде
\[
B / 2-A / B>\left(B^{2} / 4-A\right)^{1 / 2} \text {, откуда } A<-\mu_{2} B \text {. }
\]

Значит, можно выбрать $\theta$ так, что
\[
A<\theta<-\mu_{2} B,
\]

но так как $\mu_{1}<\mu_{2}<0$, то неравенство
\[
\mu_{1} \leqslant-T^{-1} \leqslant \mu_{2}
\]

тоже выполнено, причем $T>0$.
Поскольку неравенства (9.5) и (9.6) осуществимы, то в дальненшем они всюду считаются выполненными.
2. Перейдем к доказательству попадания изображающей точки системы (9.2) на одну из частей $S_{i}(i=1,2,3,4)$ поверхности переключения,

Обозначения $S_{1}$ и $S_{3}$ применяются для частей плоскости $R_{1}=0$, принадлежащих поверхности переключения $S$ и расположенных соответственно в полупространствах $x>0$ и $x<0$.

Части плоскости $R_{2}=0$, принадлежащие поверхности переключения $\mathcal{S}$ и лежащие в полупространствах $x<0$ и $x>0$, обозначены соответственно через $S_{2}$ и $S_{4}$.

Каждая из областей $G_{1}$ и $G_{3}$ разбивается на две части плоскостью, составленной из интегральных кривых системы (9.2) при $\alpha=1$.
Уравнение этой интегральной плоскости имеет вид
\[
\left(\alpha^{2}+\beta^{2}\right) x-2 \alpha y+z=0,
\]

где $\alpha$ и $\beta$ – вещественная и мнимая части комплексных корней характеристического уравнения:
\[
\lambda^{3}+a \lambda^{2}+b \lambda+c+K=0 .
\]

Наличие пары комплексных корней $\alpha \pm i \beta(\alpha>0, \beta>0)$ и вещественного отрицательного корня $-\lambda(\lambda>0)$ для уравнения (9.14) при достаточно больших $K$ следует из формул Кардана. Из этих же формул следует, что при $K$, стремящемся к бесконечности, величины $\alpha, \beta$ и $\lambda$ тоже стремятся к бесконечности.

Области $G_{3}$ и $G_{4}$ рассекаются интегральной плоскостью системы (9.2) при $\alpha=-1$.
Уравнение этой плоскости имеет вид
\[
\left(\gamma^{2}+\delta^{2}\right) x-2 \gamma y+z=0,
\]

где $\gamma$ и $\delta$ – вещественная и мнимая части корней уравнения
\[
\lambda^{3}+a \lambda^{2}+b \lambda+c-K=0
\]

Наличие пары комплексных корней $\gamma \pm i \delta(\gamma<0, \delta>0)$ и вещественного положительного корня ц для уравнения (9.16) при достаточно больших $K$ также следует из формул Кардана. Очевидно, при $K$, стремящемся к бесконечности, величины $\gamma, \delta$, и $\mu$ также стремятся к бесконечности.

Рассмотрим в области $G_{2}$ точку $M_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$, расположенную выше интегральной плоскости (9.15).

Решение, соответствующее взятой начальной точке, имеет следующий вид:
\[
x=c_{1} e^{\mu t}+\varphi_{1}(t), y=c_{1} \mu e^{\mu t}+\varphi_{2}(t), z=c_{1} \mu^{2} e^{\mu t}+\varphi_{3}(t),
\]

где
\[
\begin{array}{c}
c_{1}=\left[\left(\gamma^{2}+\delta^{2}\right) x_{0}-2 \gamma y_{0}+z_{0}\right]\left((\mu-\gamma)^{2}+\delta^{2}\right)^{-1}, \\
x_{0}=x(0), \quad y_{0}=y(0), \quad z_{0}=z(0), \\
\varphi_{i}(t) \rightarrow 0 \text { при } t \rightarrow \infty, l=1,2,3 .
\end{array}
\]
$\varphi_{i}(t) \rightarrow 0$ при $t \rightarrow \infty, l=1,2,3$.
Так как $c_{1}>0$ для рассматриваемой точки $M_{0}$, то при $t \rightarrow \infty$ будем иметь $x(t) \rightarrow \infty$. Таким образом, точка $M(t)$, двигаясь с ростом $t$ по траектории, либо попадет на часть $\mathcal{S}_{2}$ поверхности переключения, либо выйдет на плоскость $x=0$ в той ее части, где $y \geqslant 0$.

Если же точка $M_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ лежит в области $G_{2}$ ниже интегральной плоскости (9.15), то для нее имеем $c_{1}<0$. В этом случае изображающая точка $M(t)$ не может выйти из области $G_{2}$ через плоскость $x=0$.

Действительно, точка $M(t)$ может выйти из области $G_{2}$ через плоскость $x=0$ лишь в той ее части, которая заключена между следами плоскостей $R_{1}=0$ и (9.15); уравнения этих прямых запишутся в виде $z+B y=0$ и $z=2 \gamma y$, где $B<-2 \gamma$ при достаточно больших значениях $K$.

Легко видеть, что в указанной части плоскости $x=0$ имеем $\dot{x}=y<0$ и, следовательно, $x$ не может перейти из области $x<0$ в область $x>0$.

Подсчитаем теперь изменение функции $R_{1}(x, y, z)=$ $=A x+B y+z$ вдоль траектории точки $M(t)$. Согласно формулам (9.17) можно записать
\[
R_{1}(t)=c_{2} e^{\mu . t}\left(A+B \mu+\mu^{2}\right) \varphi(t),
\]

где $\varphi(t) \rightarrow 0$ при $t \rightarrow \infty$. Так как $c_{2}<0, \mu>0$ и $A+B \mu+$ $+\mu^{2}>0$, то значение $R_{1}(t)$ из области положительных значений ( $\left.R_{1}(0)>0\right)$ с ростом $t$ перейдет в область отрицательных значений, а это означает, что точка $M(t)$ при некотором конечном значении $t$, не выходя из области $G_{2}$, попадет либо на часть $S_{2}$ плоскости $R_{2}=0$, либо на часть $S_{3}$ плоскости $R_{1}=0$.

Если, наконец, начальная точка $M_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ принадлежит интегральной плоскости (9.15), то изображающая точка $M(t)$, двигаясь по спирали в плоскости (9.15), попадет при некотором конечном значении $t$ на часть $S_{2}$ поверхности переключения.

Итак, для начальных точек $M_{0}$, лежащих в области $G_{2}$ ниже интегральной плоскости (9.15), изображающая точка $M(t)$ при некотором конечном значении $t$, не выходя из области $G_{2}$, попадает на одну из частей $S_{2}$ или $S_{3}$ поверхности переключения.

Для начальных точек $M_{0}$, лежащих в области $G_{2}$ на интегральной плоскости (9.15), изображающая точка $M(t)$ при некотором конечном значении $t$ попадает на часть поверхности переключения $S_{2}$.

Если же начальная точка $M_{0}$ лежит в области $G_{2}$ выше интегральной плоскости (9.15), то изображающая точка $M(t)$ с ростом $t$ либо попадает на часть $S_{2}$, либо выходит на плоскость $x=0$ в той ее части, где $y \geqslant 0$.
3. Пусть теперь начальная точка $M_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ принадлежит области $G_{1}$. Если изображающая точка $M(t)$ с ростом $t$ не покидает область $G_{1}$, то соответствующее этой начальной точке решение может быть записано в виде
\[
x(t)=a_{1} e^{-\lambda t}+e^{a t}\left(a_{2} \cos \beta t+a_{3} \sin \beta t\right) .
\]

Легко видеть, что при $a_{2}
eq 0$, т. е. когда точка $M_{0}$ не принадлежит интегральной прямой $x=-y / \lambda=z / \lambda^{2}$ системы, действующей в области $G_{1}$; точки этой прямой при $t \rightarrow \infty$ стремятся к началу координат, изображающая точка $M(t)$ попадет при некотором значении $t$ на плоскость $x=0$, если она до этого не попала ни на одну из частей $S_{1}$ и $S_{4}$ поверхности переключения.

Таким образом, остается рассмотреть только те точки $M_{0}$, для которых изображающая точка $M(t)$ с ростом $t$ может покинуть область $G_{1}$, пересекая плоскость $x=0$.

Допустим, что точка $M(t)$ покидает область $G_{1}$, пересекая плоскость $x=0$ между прямыми $z+(B-\theta T) y=0$ и $z+B y=0$, т. е. попадает в область $G_{3}$. Тогда она за конечное время попадет на часть $S_{3}$ поверхности переключения.

Деиствительно, пусть точка $M(t)$ попадает в область $G_{3}$ выше интегральной плоскости (9.13). Тогда в согласии с формулой (9.18), точка $M(t)$ за конечный промежуток времени должна покинуть область $G_{3}$. Поскольку траектория точки
$M(t)$ при выходе из области $G_{3}$ не может пересечь ни плоскость $x=0$, ни интегральную плоскость (9.13), то она неизбежно при конечном значении $t$ пересекает часть $S_{3}$ поверхности переключения.

В случае, когда точка $M(t)$ покидает область $G_{1}$, пересекая плоскость $x=0$ между прямыми $z+B y=0$ и $z-2 ү y=0$, по доказанному ранее, она, не выходя из области $G_{2}$, попадет на одну из частей $S_{z}$ или $S_{3}$ поверхности $S$.

Если же изображающая точка $M(t)$, покидая область $G_{1}$, попадает на плоскость $x=0$ между прямой $z-2 \gamma y=0$ и осью $z$, то она может вернуться в область $G_{1}$, пересекая плоскость $x=0$ при $y \geqslant 0$. Поэтому рассмотрим далее движение оси $z$ вдоль траектории системы (9.2) при $\alpha=1$, действущей в области $G_{1}$. Поскольку эта система линейна, то для любого момента $t$ образ оси $z$ является прямой линией. Если эта прямая не попадает ни на одну из частей $S_{1}$ и $S_{4}$ поверхности переключения, то она в некоторый момент $t$ снова окажется в плоскости $x=0$ и займет положение $z=k y$, где $k<0$.

Покажем, что при достаточно большом $K$ имеет место неравенство $k>2 \gamma$, т. е. полупрямая $z=k y$ при $y<0$ лежит ниже полупрямой $z=2 \gamma y$. Отсюда будет следовать, что любая точка плоскости $x=0$, у которой $y \geqslant 0$, переходя с ростом $t$ с плоскости $x=0$ в область $G_{1}$, либо попадет на одну из частей $S_{1}$ или $S_{4}$ поверхности переключения, либо выйдет из области $G_{1}$, пересекая плоскость $x=0$ между прямыми $z+(B-\theta T) y=0$ и $z-2 \gamma y=0$, а тогда, согласно приведенным выше рассуждениям, она за конечное время попадет на одну из частей $\mathcal{S}_{2}$ или $S_{3}$ поверхности переключения.

Для получения оценки для $k$ найдем в выражении (9.18) значения произвольных постоянных $a_{1}, a_{2}, a_{3}$, учитывая начальные условия $x(0)=0, y(0)=0, z(0)=z_{0}$. Очевидно, получим
\[
a_{1}=\frac{z_{0}}{\Delta}, \quad a_{2}=-\frac{z_{0}}{\Delta}, \quad a_{3}=\frac{a+\lambda}{\beta \Delta} z_{0},
\]

где $\Delta=(\alpha+\lambda)^{2}+\beta^{2}$. Значение момента $T$ – времени встречи образа оси $z$ с плоскостью $x=0$, является корнем уравнения
\[
e^{-(\alpha+\lambda)} 7-\cos \beta T+\frac{\alpha+\lambda}{\beta} \sin \beta T=0 .
\]

Используя равенства (9.19), найдем значения $y=\dot{x}$ и $z=\ddot{x}$, как функции времени
\[
\begin{array}{c}
y(t)=\frac{z_{0}}{\Delta}\left[-\lambda e^{-\lambda t}+e^{a t}\left(\lambda \cos \beta t+\frac{\alpha^{2}+a \lambda+\beta^{2}}{\beta} \sin \beta t\right)\right], \\
z(t)=\frac{z_{0}}{\Delta}\left\{\lambda^{2} e^{-\lambda t}+e^{\alpha t}\left[\left(\alpha^{2}+2 \alpha \lambda+\beta^{2}\right) \cos \beta t+\right.\right. \\
\left.\left.\quad+\frac{\alpha^{2}(\alpha+\lambda)+\beta^{2}(\alpha-\lambda)}{\beta} \sin \beta t\right]\right\} .
\end{array}
\]

Используя уравнение (9.20), получим $y(T)=\frac{z_{0}}{\beta} e^{\alpha T} \sin \beta T$ и
\[
z(T)=\frac{z_{0}}{\beta} e^{\alpha T}[\beta \cos \beta T+(\alpha-\lambda) \sin \beta T],
\]

откуда следует
\[
k=\frac{z(T)}{y(T)}=\beta \operatorname{ctg} \beta T+\alpha-\lambda .
\]

Введем обозначение $\beta T=r, \sigma=\frac{\alpha+\lambda}{\beta}$ и изучим функцию $F(r)=f_{1}(r)-f_{2}(r)$, где $f_{1}(r)=e^{-\sigma r}$ и $f_{2}(r)=\cos r-\sigma \sin r$. Нуль функции $F(r)$ соответствует значению $r$ точки пересечения графиков функций $f_{1}(r)$ и $f_{2}(r)$. Очевидно, имеем $f_{1}(0)=f_{2}(0)=1$. Значения производных этих функций при $r=0$ совпадают, т. е. графики функций $f_{1}(r)$ и $f_{2}(r)$ имеют в этой точке общую касательную. Кроме того, поскольку $f_{1}^{\prime \prime}(r)=\sigma^{2} e^{-\sigma r}>0$ всюду, то график функции $f_{1}(r)$ вогнут и расположен для всех значений $r$ выше касательной к графику в точке при $r=0$. С другой стороны, имеем $\operatorname{sign} f_{2}^{\prime \prime}(r)=$ $=-\operatorname{sign} f_{2}(r)$ для всех $r$.

Поэтому для значений $r$ из интервала ( $0, r_{1}$ ), где $r_{1}$ – нуль функции $f_{2}(r)$, график функции $f_{2}(r)$ является выпуклым и расположен ниже указанной касательной. Легко проверить, что следующий нуль функции $f_{2}(r), r=r_{2}$ удовлетворяет неравенству $r_{2}>\pi$, т. е. на интервале $\left(r_{1}, r_{2}\right)$ эта функция принимает отрицательные значения, а ее график расположен ниже оси $r$. Поэтому, по крайней мере на интервале $\left(0, r_{2}\right)$, имеем $f_{1}(r)>f_{2}(r)$. Пересекутся же графики этих функций лишь на интервале $\left(r_{2}, 3 / 2 \pi\right.$ ), поскольку $f_{2}\left(\frac{3}{2} \pi\right)>f_{1}\left(\frac{3}{2} \pi\right)$. Итак, первый положительный нуль функции $F(r)$ лежит на интервале $\left(\pi, \frac{3}{2} \pi\right)$, а это означает, что наименьший положительный корень уравнения (9.20) расположен в интервале $\pi / \beta<T<3 \pi / 2 \beta$. Но из (9.21) немедленно следует неравенство $k=\beta \operatorname{ctg} \beta T+\alpha-\lambda>\alpha-\lambda$. В силу формул Кардана получим
\[
\alpha-\lambda=\frac{u_{1}+v_{1}}{2}-\frac{2}{3} a, 2_{\gamma}=-u_{2}-v_{3}-\frac{2}{3} a,
\]

где
$u_{1}=\left(-q_{1}+\sqrt{q_{1}^{2}+p_{1}^{3}}\right)^{1 / 3}, \quad v_{1}=\left(-q_{1}-\sqrt{q_{1}^{2}+p_{1}^{8}}\right)^{1 / 3}$,
$u_{2}=\left(-q_{2}+\sqrt{q_{2}^{2}+p_{2}^{3}}\right)^{1 / 3}, \quad v_{2}=\left(-q_{2}-\sqrt{q_{2}^{2}+p_{2}^{3}}\right)^{1 / 3}$,
$q_{1}=\frac{1}{2}\left[\frac{2 a^{3}}{27}-\frac{a b}{3}+c+K\right], \quad q_{2}=\frac{1}{2}\left[\frac{2 a^{3}}{27}-\frac{a b}{3}+c-K\right]$.
Очевидно, при $K \rightarrow \infty$ имеем $u_{1} \rightarrow 0, \quad v_{1} \rightarrow-\infty, \quad u_{2} \rightarrow \infty$, $v_{2} \rightarrow 0$, причем $u_{2}$ и $v_{2}$ имеют одинаковый порядок роста. Отсюда следует, что при достаточно большом значении $K$ будет выполнено неравенство:
\[
\frac{u_{1}+v_{1}}{2}+u_{2}+v_{2}>0,
\]

которое и обеспечит нам требуемое соотношение $k>2 \gamma$.
Заметим теперь, что если начальная точка $M_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ расположена в области $G_{1}$ ниже интегральной плоскости (9.13), то ее изображающая точка за конечное время, не выходя из области $G_{1}$, попадает на часть $S_{1}$ поверхности переключения. Действительно, в этом случае точка $M(t)$, в согласии с формулой (9.18), должна выити из области $G_{1}$. Но, выходя из области $G_{1}$, она не может пересечь ни плоскости $x=0$ (так как в момент попадания на плоскость $x=0$ для нее оказалось бы, что $\dot{x}=y>0$ ), ни (в силу теоремы единственности) интегральной плоскости (9.13). Поэтому выйти из области $G_{1}$ точка $M(t)$ может только через часть $S_{1}$ поверхности $S$.

Можно показать, что на частях $S_{i}(i=1,2,3,4)$ поверхности переключения имеются секторы прошиваемости.

Если точка $M(t)$ попадет в сектор прошиваемости, принадлежащий части $S_{3}$, то она прошьет поверхность переключения $\mathcal{S}$ и окажется в области $G_{2}$ ниже интегральной плоскости (9.15), а поэтому за конечное время попадет на одну из частеи $S_{2}$ или $\mathcal{S}_{3}$, причем в случае попадания на часть $\mathcal{S}_{3}$ точка оказывается в области скольжения.

4. Исследуя знак полной производной от функции $R_{1}(x, y, z)$, взятой в силу каждой из систем (9.2), убеждаемся в том, что при $A-B^{2}+a B-b
eq 0$ (в случае равенства нулю указанного выражения плоскость $R_{1}=0$ является для системы (9.2) плоскостью скольжения) на частях $S_{1}$ и $S_{3}$ поверхности переключения имеются секторы прошиваемости, заключенные между плоскостью $x=0$ и одной из плоскостей
\[
(A B-a A+c \pm K) x=\left(A-B^{2}+a B-b\right) y .
\]

Поступив аналогичным образом с функцией $R_{9}(x, y, z)$, убедимся в том, что при $A-\theta-(B-\theta T)^{2}+(B-\theta T) a-b
eq 0$ (т. е. когда для плоскости $R_{2}
eq 0$ не выполнено условие скольжения; см. §3) на частях $S_{2}$ и $S_{4}$ поверхности переключения имеются секторы прошиваемости, заключенные между плоскостью $x=0$ и одной из плоскостей
\[
\begin{array}{l}
{[(A-\theta)(B-\theta T)-a(A-\theta)+c \pm K] x=} \\
=\left[A-\theta-(B-\theta T)^{2}+(B-\theta T) a-b\right] y .
\end{array}
\]

Выбор знака $K$ в уравнения плоскостей (9.22) и (9.23) зависит от знаков коэффициентов при $y$ в этих уравнениях.

Углы секторов прошиваемости при достаточном увеличении можно сделать как угодно малыми.

Попав на какую-либо из частей $S_{1}$ или $S_{3}$ поверхности переключения в область скольжения, изображающая точка $M(t)$ движется по поверхности переключения $S$ в силу уравнения
\[
\ddot{x}+B \dot{x}+A x=0
\]

до тех пор, пока не попадет в сектор прошиваемости. Поведение интегральных кривых уравнения (9.24) на фазовой плоскости определяется корнями $\mu_{1}$ и $\mu_{2}$ характеристического уравнения (9.7). В силу неравенств $\mu_{1}<0, \mu_{2}<0$ начало координат для уравнения (9.24) суть особая точка узел. В силу. тех же неравенств любая точка фазовой плоскости, двигаясь по своей траектории, при $t \rightarrow \infty$ стремится попасть в начало координат. При этом все траектории, за исключением интегральной прямой $y=\mu_{1} x$, в начале координат касаются интегральной прямой $y=\mu_{2} x$.

Попав на какую-либо из частей $S_{2}$ или $S_{4}$ поверхности переключения в область скольжения, изображающая точка $M(t)$ движется по поверхности переключения $\mathcal{S}$ в силу уравнения
\[
\ddot{x}+(B-\theta T) \dot{x}+(A-\theta) x=0
\]

до тех пор, пока не попадет в сектор прошиваемости. Поведение интегральных кривых уравнения (9.25) на фазовой плоскости определяется корнями характеристического уравнения
\[
\lambda^{2}+(B-\theta T) \lambda+A-\theta=0 .
\]

В силу условий (9.5) и (9.6) имеем
\[
\begin{array}{l}
\lambda_{1}=-\frac{B-\theta T}{2}-\left(\frac{(B-\theta T)^{2}}{4}+\theta-A\right)^{1 / 2}<0, \\
\lambda_{2}=-\frac{B-\theta T}{2}+\left(\frac{(B-\theta T)^{2}}{4}+\theta-A\right)^{1 / 2}>0 .
\end{array}
\]

Поэтому начало координат для уравнения (9.25) является особой точкой типа седло.

Если точка $M(t)$ движется по интегральной прямой $y=\lambda_{1} x$, то при $t \rightarrow \infty$ она стремится попасть в начало координат. Если же точка $M(t)$ движется по интегральной прямой $y=\lambda_{2} x$, то при $t \rightarrow \infty$ она уходит в бесконечность.
Из условий (9.5) и (9.6) следует, что
\[
-T^{-1} \geqslant \lambda_{1} \text {, }
\]

причем знак равенства в соотношении (9.29) достигается тогда и только тогда, когда он достигается справа или слева в системе неравенств
\[
\mu_{1} \leqslant-T^{-1} \leqslant \mu_{9} .
\]

Опишем движение точки, попавшей в область скольжения на поверхности переключения.

Из равенств (9.28) и (9.29) следует, что интегральная прямая $y=\lambda_{9} x$ уравнения (9.25) не принадлежит поверхности переключения. В силу неравенств (9.30) интегральная прямая $y=\mu_{1} x$ уравнения (9.24) либо не принадлежит поверхности переключения, либо совпадает с прямой $x+T y=0$, принадлежацей этой поверхности.

Из того же неравенства (9.30) следует, что интегральная прямая $y=\mu_{9} x$ уравнения (9.24) принадлежит поверхности переключения и может совпасть с прямой $x+T y=0$, принадлежащей этой поверхности.

Если точка $M(t)$ попала на какую-либо из частей $S_{2}$ или $S_{4}$ поверхности переключения в область скольжения между прямыми $x=0$ и $y=\lambda_{1} x$, то она за кс. :ечное время попадает в сектор прошиваемости. Если же она попала на какую-либо из частей $S_{2}$ или $S_{4}$ между прямыми $y=\lambda_{1} x$ и $T y+x=0$ (при $-T^{-1}>\lambda_{1}$ ), то она за конечное время попадает на прямую $T y+x=0$, прошивает ее и продолжает двигаться уже по части $S_{3}$ или $S_{1}$, стремясь при $t \rightarrow \infty$ попасть в начало координат.

При попадании в область скольжения на какую-либо из частей $S_{1}$ или $S_{3}$ поверхности переключения, точка $M(t)$, не сходя с этой части, движется по $S$ и при $t \rightarrow \infty$ стремится попасть в начало координат.
5. Для исследования поведения точки $M(t)$, попавшей на сектор прошиваемости какой-либо из частей $S_{2}$ или $S_{4}$ поверхности переключения, в системе (9.2) произведем замену переменных
\[
t=p \tau, X=x, Y=p y, Z=\rho^{2} z,
\]

где $p=K^{-1 / 8}$. Тогда получим систему
\[
\frac{d X}{d \tau}=Y, \quad \frac{d Y}{d \tau}=Z, \quad \frac{d Z}{d \tau}=-\alpha X+\rho\left(-a Z-\rho b Y-\rho^{2} c X\right) ;
\]

здесь $\rho$ играет роль малого параметра, если считать значение $K$ достаточно большим. При такой замене переменных плоскости $R_{1}=0$ и $R_{2}=0$ перейдут соответственно в плоскости
\[
r_{1}=A \rho^{2} X+B \rho Y+Z=0
\]

и
\[
r_{2}=-(\theta-A) \rho^{2} X+(B-\theta T) \rho Y+Z=0 .
\]

При этом области $G$ и $G_{i}$ перейдт соответственно в области $Q$ и $Q_{i}(l=1,2,3,4)$, причем в новых областях величины $X, r_{1}$ и $r_{2}$ удовлетворяют таким же неравенствам, что и $x, R_{1}$ и $R_{2}$ в прежних областях.

Пусть начальная точка $M_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ принадлежит сектору прошиваемости системы (9.2), расположенному на части $S_{9}$ поверхности переключения. При замене переменных (9.31) точка $M_{0}$ перейдет в точку $L_{0}\left(X_{0}, Y_{0}, Z_{0}\right)$, причем $X_{0}<0$, $Y_{0}>0$ и
\[
Z_{0}=(A-\theta) \rho^{2} X_{0}-(B-\theta T) \rho Y_{0}<0 .
\]

Уравнение (9.23) в новых координатах имеет вид
\[
\begin{aligned}
\lfloor(A-\theta) & \left.(B-\theta T) \rho^{3}-a(A-\theta) \rho^{3}+c \rho^{3} \pm 1\right] X= \\
& =\rho^{2}\left\lfloor A-\theta-(B-\theta T)^{2}+(B-\theta T) a-b\right\rfloor Y .
\end{aligned}
\]

из формулы (9.34) видно, что $X_{0} / Y_{0}$ есть малая величина порядка $\rho^{2}$. Из соотношения (9.33) следует, что $Z_{0} / Y_{0}$ есть малая величина порядка $p$.
Для взятой начальной точки $L_{0}$ имеем:
\[
\begin{aligned}
q X(\tau)= & r e^{-
u \tau}+e^{\sigma \tau}\left\{\left[\left(
u^{2}+2 \sigma
u\right) X_{0}+2 \sigma Y_{0}-Z_{0}\right] \cos \psi \tau+\right. \\
& +\psi^{-1}\left[
u\left(\psi^{2}-\sigma
u-\sigma^{2}\right) X_{0}+\left(\psi^{2}-
u^{2}-\sigma^{2}\right) Y_{0}+\right. \\
& \left.\left.+(
u+\sigma) Z_{0}\right] \sin \psi \tau\right\},
\end{aligned}
\]
$q Y(\tau)=-
u r e^{-
u \tau}+e^{\sigma \tau}\left\{\left[
u\left(\sigma^{2}+\psi^{2}\right) X_{0}+\right.\right.$
\[
\begin{array}{c}
\left.+\left(\sigma^{2}+\psi^{2}+
u^{2}\right) Y_{0}+v Z_{0}\right] \cos \psi \tau+\psi^{-1}\left[-
u(\sigma+
u)\left(\sigma^{2}+\right.\right. \\
\left.\left.\left.+\psi^{2}\right) X_{0}+\sigma\left(-\psi^{2}+
u^{2}-\sigma^{2}\right) Y_{0}+\left(\sigma^{2}+\psi^{2}+\sigma
u\right) Z_{0}\right] \sin \psi \tau\right\}, \\
q Z(\tau)=
u^{2} r e^{-
u \tau}+e^{\sigma \tau}\left\{\left[-
u^{2}\left(\sigma^{2}+\psi^{2}\right) X_{0}+2 \sigma
u^{2} Y_{0}+\right.\right. \\
\left.+\left(\sigma^{2}+\psi^{2}+2 \sigma
u\right) Z_{0}\right] \cos \psi \tau+\psi^{-1}\left[-
u\left(\sigma^{2}+\psi^{2}\right)\left(\sigma^{2}+\psi^{2}+\right.\right. \\
+\sigma v) X_{0}+\left[-\left(\sigma^{2}+\psi^{2}\right)^{2}+
u\left(\sigma^{2}-\psi^{2}\right)\right] Y_{0}+ \\
\left.\left.\quad+\left[\left(\sigma^{2}-\psi^{2}\right)
u+
u\left(
u^{2}+\psi^{2}\right)\right] Z_{0}\right] \sin \psi \tau\right\} .
\end{array}
\]

Здесь $q=(\sigma+v)^{2}+\psi^{2}, r=\left(\sigma^{2}+\psi^{2}\right) X_{0}-2 \sigma Y_{0}+Z_{0}$ и при $\rho \rightarrow 0$ имеем $\vee \rightarrow 1, \sigma \rightarrow 0,5, \varphi \rightarrow \sqrt{3} / 2$.
Уравнение (9.22) в новых координатах имеет вид
\[
\rho^{2} m Y-\left(1+\eta \rho^{3}\right) X=0,
\]

где $m>0$ и $\eta$ – постоянные. Введем в рассмотрение вспомогательную функцию:
\[
p(\tau)=p^{2} m Y(\tau)-\left(1+\eta p^{3}\right) X(\tau) .
\]

Уравнения
\[
\begin{array}{c}
X(\tau)=0, \\
r_{1}(\tau)=r_{1}(X(\tau), \quad Y(\tau), \quad Z(\tau))=0, \\
r_{2}(\tau)=r_{2}(X(\tau), \quad Y(\tau), \quad Z(\tau))=0, \\
p(\tau)=0,
\end{array}
\]

соответственно представим в виде
\[
\begin{array}{l}
e^{-(v+\sigma) \tau}=p_{0} \cos \left(\psi \tau-\varphi_{0}\right), \\
e^{-(v+\sigma) \tau}=p_{1} \cos \left(\psi \tau+\varphi_{1}\right), \\
e^{-(v+\sigma) \tau}=p_{2} \cos \left(\psi \tau+\varphi_{2}\right), \\
e^{-(v+\sigma) \tau}=p_{3} \cos \left(\psi \tau-\varphi_{3}\right) .
\end{array}
\]

Здесь $p_{i} \rightarrow 2$, а $\varphi_{i} \rightarrow \pi / 3$ при $\dot{\rho} \rightarrow 0(i=0,1,2,3)$.
Обозначим соответственно, через $\tau_{0}, \tau_{1}, \tau_{2}, \tau_{3}$ наименьшие положительные нули уравнений (9.35) – (9.38).

Легко проверить, что $1-p_{0} \cos \varphi_{0}>0$ и $1-p_{3} \cos \varphi_{3}>0$ суть малые величины порядка $\rho^{2}$, а $1-p_{1} \cos \varphi_{1}<0$ суть малая величина порядка $\rho$. Отсюда следует, что величины $\tau_{i}(l=0,1,2,3)$ удовлетворяют неравенствам
\[
0<\tau_{0}<\tau_{3}<\tau_{1}<\tau_{2} .
\]

Возвращаясь к старым переменным, в согласии с неравенствами (9.39) заключаем, что траектория точки $M_{0}$, принадлежащей сектору прошиваемости на части $S_{2}$ поверхности переключения, при $x_{0}<0$, не выходя из области $G$, в некоторый конечный момент $t$ попадает в область скольжения на части $S_{1}$ поверхности $S$.

Если же $X_{0}=0$, то $p(\tau)$ обратится в нуль раньше, чем $r_{1}(\tau)$, а $r_{1}(\tau)$ обратится в нуль раньше, чем $X(\tau)$ и $r_{9}(\tau)$. Поэтому и в случае $x_{0}=0$ траектория точки $M_{0}$ за конечное время, не выходя из области $G$, пересечет часть $S_{1}$ поверхности переключения в области скольжения.

Отсюда следует, что траектории начальных точек $M_{0}$ области $G_{2}$, выходящие из области $G_{2}$ в область $G_{1}$ ниже интегральной плоскости (9.13), за конечное время $t$, не выходя из области $G_{1}$, попадают на часть $S_{1}$ поверхности $S$ в область скольжения.

Итак, доказано, что для каждой начальной точки $M_{0}$, принадлежащей замыканиям областей $G_{1}$ и $G_{2}$, изображающая точка $M(t)$, двигаясь в силу уравнений системы (9.2), при $t \rightarrow \infty$ стремится попасть в начало координат.

Для областей $G_{3}$ и $G_{4}$ можно провести аналогичные рассуждения, а потому для любой начальной точки $M_{0}$, взятой в трехмерном пространстве, изображающая точка $M(t)$, двигаясь в силу уравнений системы (9.2), при $t \rightarrow \infty$ стремится к началу координат. Теорема доказана.

Проверка задачи на модели МН-14 показала, что при $c=0$ и положительных значениях $b$ значение величины $\theta$ несущественно влияет на качество переходного процесса. Поэтому оказалось желательным искать другие пути улучшения динамических свойств рассматриваемых систем. Одним из таких путей оказался прием форсирования скользящих режимов в системах с переменной структурой.