Главная > ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ УСТОЙЧИВОСТИ (E. А. БАРБАШИН)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Наряду с линейным уравнением второго порядка
x¨+ax˙+bx=0

рассмотрим нелинейное уравнение
x¨+ax˙+f(x)=0,f(0)=0.

Если a>0 и b>0, то нулевое решение уравнения асимптотически устойчиво в целом. Условие b>0 можно трактовать как условие расположения прямой y=bx в первом и третьем квадранте координатной плоскости. Возникает следующий вопрос: если график однозначной функции y=f(x) будет также расположен в первом и третьем квадранте, то будет ли нулевое решение уравнения (13.2) асимптотически устойчивым в целом? Иными словами, обеспечивают ли условия a>0, f(x)x>0 асимптотическую устоичивость в целом, либо нужны какие-либо дополнительные условия?

Чтобы решить этот вопрос, рассмотрим функцию Ляпунова v=y2+20xf(x)dx. Производная функции v в силу системы
x˙=y,y˙=f(x)ay

имеет вид v˙=2ay2. Чтобы функция v была определенно положительной, необходимо потребовать выполнения условия f(x)x>0. Если a>0, то v˙ будет знакоотрицательной. Очевидно, v˙ обращается в нуль на линии y=0, не содержащей целых траекторий, кроме положения равновесия.

Таким образом, для применения теоремы 12.2 остается проследить, чтобы функция v была бесконечно большой. Для этого достаточно потребовать выполнения условия
0xf(x)dx

при |x|, либо выполнения более простого условия f(x)x>ε>0 при xeq0.

Мы видим, что, вообще говоря, выполнения обобщенных условий Рауза-Гурвица a>0,f(x)x>0 недостаточно для вывода заключения о наличии свойства устойчивости в целом. Рассмотрим теперь вопрос с более общей точки зрения. Наряду с линейной системой
dx1dt=k=1na1kxk+bx1,dxidt=k=1naikxk,i=2,,n,}

рассмотрим нелинейную систему
dx1dt=k=1na1kxk+f(x1),dxidt=k=1naikxk,i=2,,n,f(0)=0.

Пусть нам известно, что нулевое решение системы (13.3) асимптотически устойчиво для всех b, удовлетворяющих условию
α<b<β

Будет ли нулевое решение системы (13.4) устойчивым в целом, если выполнено условие
α<f(x1)x1<β ? 

Иными словами, если график кривой y=f(x) расположен между прямыми y=αx и y=βx (рис. 3 ), то достаточно ли этого для обеспечения устойчивости в целом нулевого реше-
Рис. 3.

ния системы (13.4)? Эта проблема была сформулирована впервые М. А. Аизерманом [12] и явилась источником многочисленных исследований математиков и механиков.

Первый пример, показывающий, что выполнения обобщенного условия (13.5) недостаточно для наличия устойчивости в целом, в случае системы двух уравнений построил Н. Н. Красовский [13].
В. А. Плисс [14] провел глубокие исследования системы третьего порядка и показал, что выполнение условия (13.5) даже в более жесткой форме, т. е. в форме
α1<f(x1)x1<β1, где α1>α,β1<β,

может не обеспечить устойчивости в целом.

Ниже мы приводим примеры на исследование устоћчивости в целом нелинеиных систем. Эти примеры так или иначе связаны с проблемой Айзермана. Однако отметим, что наиболее интересным моментом при изложении примеров является демонстрация функций Ляпунова для нелинейных систем.

1
Оглавление
email@scask.ru