Наряду с линейным уравнением второго порядка
$$\ddot{x}+a\dot{x}+bx=0$$

рассмотрим нелинейное уравнение
$$\ddot{x}+a\dot{x}+f(x)=0,f(0)=0.$$

Если $a>0$ и $b>0$, то нулевое решение уравнения асимптотически устойчиво в целом. Условие $b>0$ можно трактовать как условие расположения прямой $y=bx$ в первом и третьем квадранте координатной плоскости. Возникает следующий вопрос: если график однозначной функции $y=f(x)$ будет также расположен в первом и третьем квадранте, то будет ли нулевое решение уравнения (13.2) асимптотически устойчивым в целом? Иными словами, обеспечивают ли условия $a>0$, $f(x)x>0$ асимптотическую устоичивость в целом, либо нужны какие-либо дополнительные условия?

Чтобы решить этот вопрос, рассмотрим функцию Ляпунова $v=y^2+2{\int }_0^{x}f(x)dx$. Производная функции $v$ в силу системы
$$\dot{x}=y,\dot{y}=-f(x)-ay$$

имеет вид $\dot{v}=-2a{y}^2$. Чтобы функция $v$ была определенно положительной, необходимо потребовать выполнения условия $f(x)x>0$. Если $a>0$, то $\dot{v}$ будет знакоотрицательной. Очевидно, $\dot{v}$ обращается в нуль на линии $y=0$, не содержащей целых траекторий, кроме положения равновесия.

Таким образом, для применения теоремы 12.2 остается проследить, чтобы функция $v$ была бесконечно большой. Для этого достаточно потребовать выполнения условия
$${\int }_0^{x}f(x)dx\to \mathrm{\infty }$$

при $|x|\to \mathrm{\infty }$, либо выполнения более простого условия $\frac{f(x)}{x}>\epsilon >0$ при $xeq0$.

Мы видим, что, вообще говоря, выполнения обобщенных условий Рауза-Гурвица $a>0,f(x)x>0$ недостаточно для вывода заключения о наличии свойства устойчивости в целом. Рассмотрим теперь вопрос с более общей точки зрения. Наряду с линейной системой
$$\begin{array}{l}\frac{d{x}_1}{dt}=\sum _{k=1}^n{a}_{1k}{x}_k+b{x}_1,\\ \frac{d{x}_i}{dt}=\sum _{k=1}^n{a}_{ik}{x}_k,i=2,\dots ,n,\end{array}\}$$

рассмотрим нелинейную систему
$$\begin{array}{rl}\frac{d{x}_1}{dt}& =\sum _{k=1}^n{a}_{1k}{x}_k+f\left(x_1\right),\\ \frac{d{x}_i}{dt}& =\sum _{k=1}^n{a}_{ik}{x}_k,i=2,\dots ,n,f(0)=0.\end{array}$$

Пусть нам известно, что нулевое решение системы (13.3) асимптотически устойчиво для всех $b$, удовлетворяющих условию
$$\alpha <b<\beta \text{. }$$

Будет ли нулевое решение системы (13.4) устойчивым в целом, если выполнено условие
$$\alpha <\frac{f\left(x_1\right)}{x_1}<\beta \text{ ? }$$

Иными словами, если график кривой $y=f(x)$ расположен между прямыми $y=\alpha x$ и $y=\beta x$ (рис. 3 ), то достаточно ли этого для обеспечения устойчивости в целом нулевого реше-
Рис. 3.

ния системы (13.4)? Эта проблема была сформулирована впервые М. А. Аизерманом [12] и явилась источником многочисленных исследований математиков и механиков.

Первый пример, показывающий, что выполнения обобщенного условия (13.5) недостаточно для наличия устойчивости в целом, в случае системы двух уравнений построил Н. Н. Красовский [13].
В. А. Плисс [14] провел глубокие исследования системы третьего порядка и показал, что выполнение условия (13.5) даже в более жесткой форме, т. е. в форме
$${\alpha }_1<\frac{f\left(x_1\right)}{x_1}<{\beta }_1,\text{ где }{\alpha }_1>\alpha ,{\beta }_1<\beta ,$$

может не обеспечить устойчивости в целом.

Ниже мы приводим примеры на исследование устоћчивости в целом нелинеиных систем. Эти примеры так или иначе связаны с проблемой Айзермана. Однако отметим, что наиболее интересным моментом при изложении примеров является демонстрация функций Ляпунова для нелинейных систем.