Наряду с линейным уравнением второго порядка
\[
\ddot{x}+a \dot{x}+b x=0
\]

рассмотрим нелинейное уравнение
\[
\ddot{x}+a \dot{x}+f(x)=0, \quad f(0)=0 .
\]

Если $a>0$ и $b>0$, то нулевое решение уравнения асимптотически устойчиво в целом. Условие $b>0$ можно трактовать как условие расположения прямой $y=b x$ в первом и третьем квадранте координатной плоскости. Возникает следующий вопрос: если график однозначной функции $y=f(x)$ будет также расположен в первом и третьем квадранте, то будет ли нулевое решение уравнения (13.2) асимптотически устойчивым в целом? Иными словами, обеспечивают ли условия $a>0$, $f(x) x>0$ асимптотическую устоичивость в целом, либо нужны какие-либо дополнительные условия?

Чтобы решить этот вопрос, рассмотрим функцию Ляпунова $v=y^{2}+2 \int_{0}^{x} f(x) d x$. Производная функции $v$ в силу системы
\[
\dot{x}=y, \quad \dot{y}=-f(x)-a y
\]

имеет вид $\dot{v}=-2 a y^{2}$. Чтобы функция $v$ была определенно положительной, необходимо потребовать выполнения условия $f(x) x>0$. Если $a>0$, то $\dot{v}$ будет знакоотрицательной. Очевидно, $\dot{v}$ обращается в нуль на линии $y=0$, не содержащей целых траекторий, кроме положения равновесия.

Таким образом, для применения теоремы 12.2 остается проследить, чтобы функция $v$ была бесконечно большой. Для этого достаточно потребовать выполнения условия
\[
\int_{0}^{x} f(x) d x \rightarrow \infty
\]

при $|x| \rightarrow \infty$, либо выполнения более простого условия $\frac{f(x)}{x}>\varepsilon>0$ при $x
eq 0$.

Мы видим, что, вообще говоря, выполнения обобщенных условий Рауза-Гурвица $a>0, f(x) x>0$ недостаточно для вывода заключения о наличии свойства устойчивости в целом. Рассмотрим теперь вопрос с более общей точки зрения. Наряду с линейной системой
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d x_{1}}{d t}=\sum_{k=1}^{n} a_{1 k} x_{k}+b x_{1}, \\
\frac{d x_{i}}{d t}=\sum_{k=1}^{n} a_{i k} x_{k}, \quad i=2, \ldots, n,
\end{array}\right\}
\]

рассмотрим нелинейную систему
\[
\begin{aligned}
\frac{d x_{1}}{d t} & =\sum_{k=1}^{n} a_{1 k} x_{k}+f\left(x_{1}\right), \\
\frac{d x_{i}}{d t} & =\sum_{k=1}^{n} a_{i k} x_{k}, \quad i=2, \ldots, n, \quad f(0)=0 .
\end{aligned}
\]

Пусть нам известно, что нулевое решение системы (13.3) асимптотически устойчиво для всех $b$, удовлетворяющих условию
\[
\alpha<b<\beta \text {. }
\]

Будет ли нулевое решение системы (13.4) устойчивым в целом, если выполнено условие
\[
\alpha<\frac{f\left(x_{1}\right)}{x_{1}}<\beta \text { ? }
\]

Иными словами, если график кривой $y=f(x)$ расположен между прямыми $y=\alpha x$ и $y=\beta x$ (рис. 3 ), то достаточно ли этого для обеспечения устойчивости в целом нулевого реше-
Рис. 3.

ния системы (13.4)? Эта проблема была сформулирована впервые М. А. Аизерманом [12] и явилась источником многочисленных исследований математиков и механиков.

Первый пример, показывающий, что выполнения обобщенного условия (13.5) недостаточно для наличия устойчивости в целом, в случае системы двух уравнений построил Н. Н. Красовский [13].
В. А. Плисс [14] провел глубокие исследования системы третьего порядка и показал, что выполнение условия (13.5) даже в более жесткой форме, т. е. в форме
\[
\alpha_{1}<\frac{f\left(x_{1}\right)}{x_{1}}<\beta_{1}, \text { где } \alpha_{1}>\alpha, \beta_{1}<\beta,
\]

может не обеспечить устойчивости в целом.

Ниже мы приводим примеры на исследование устоћчивости в целом нелинеиных систем. Эти примеры так или иначе связаны с проблемой Айзермана. Однако отметим, что наиболее интересным моментом при изложении примеров является демонстрация функций Ляпунова для нелинейных систем.