1. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений в евклидовом пространстве. Пусть пространство $\boldsymbol{E}$ является конечномерным векторным пространством. Норма в этом пространстве может быть введена, например, одним из способов (1.3), (1.5), (1.7). В $\S 1$ указывалось, как следует определять норму матрицы в соответствии с введенной нормой вектора.

Уравнению (2.26) соответствует в нашем случае линейная система
\[
\dot{x}_{i}=\sum_{k=1}^{n} a_{i k}(t) x_{k}+u_{i}(t), i=1,2, \ldots, n .
\]

Матричное уравнение (2.22) определяет фундаментальную матрицу $U(t)$, знание которой и позволяет найти решение по формуле Коши (2.27).

Легко видеть, что если коэффициенты $a_{i k}(t)$, входящие в систему (3.1), не зависят от $t$, то $U\left(t-t_{0}\right)$ также является решением уравнения (2.22). Но так как $U\left(t-t_{0}\right)$ и $W\left(t, t_{0}\right)=$ $=U(t) U^{-1}\left(t_{0}\right)$ являются решениями уравнения (2.22) и обращаются в единичную матрицу при $t=t_{0}$, то в силу свойства единственности имеем $W\left(t, t_{0}\right)=U\left(t-t_{0}\right)$.
2. Счетные системы дифференциальных уравнений. Рассмотрим пространство $l^{p}$, элементами которого являются все такие числовые последовательности $\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}, \ldots\right)$, что ряд $\sum_{k=1}^{\infty} x_{k}^{p}$ сходится. В $l^{p}$ можно рассматривать счетную систему дифференциальных уравнений
\[
\dot{x}_{i}=\sum_{k=1}^{\infty} a_{i k}(t) x_{k}(t)+u_{i}(t), \quad i=1,2, \ldots
\]

Решением системы (3.2) будет являться бесконечная последовательность функций $\left(x_{1}(t), x_{2}(t), \ldots\right)$. Фундаментальному оператору Коши соответствует бесконечная матрица.

Счетную систему (3.2) можно рассматривать также в пространстве $m$ с нормой $\|x\|=\sup _{k}\left|x_{k}\right|$. Многочисленные исследования вопросов устойчивости решений счетных систем дифференциальных уравнений, а также уравнений, заданных в банаховом пространсгве, проведены К. ГІ. Персидским и его учениками $[80,81]$.
3. Интегро-дифференциальные уравнения. Рассмотрим интегро-дифференциальное уравнение вида
\[
\frac{\partial \varphi(x, t)}{\partial t}=\int_{a}^{b} K(x, s, t) \varphi(s, t) d s+\lambda \varphi(x, t)+t(x, t),
\]

где функции $K(x, s, t), u(x, t)$ полагаем непрерывными в области $D: \quad\{a \leqslant x \leqslant b, a \leqslant s \leqslant b, 0 \leqslant t<\infty\}$. Предиоложим, что в этой области выполнены неравенства $|K(x, s, t)| \leqslant M$, $|u(x, t)| \leqslant m$.

Исследованию уравнений типа (3.3) посвящен ряд работ [82-91]. Наиболее точные результаты, касающиеся вопросов устойчивости решений этого уравнения, приведены в работе [85], где широко использовалось представление решения уравнения (3.3) с помощью формулы Коши. В этой работе было показано, что любое решение $\varphi(x, t)$ уравнения (3.3), удовлетворяющее условию $\varphi\left(x, t_{0}\right)=\varphi_{0}(x)$, может быть представлено формулой
\[
\begin{array}{l}
\varphi(x, t)=e^{\lambda\left(t-t_{0}\right)}\left[\varphi_{0}(x)+\int_{t_{0}}^{t} \int_{a}^{b} R(x, s, t, \tau) \varphi_{0}(s) d s d \tau\right]+ \\
+\int_{t_{0}}^{t} e^{\lambda(t-\tau)}\left[u(x, \tau)+\int_{\tau}^{b} \int_{a} R\left(x, s, t, \tau_{1}\right) u(s, \tau) d s d \tau_{1}\right] d \tau
\end{array}
\]

где $R(x, s, t, \tau)$ — резольвента ядра $K(x, s, t)$, т. е. функция, определяемая соотношением
\[
R(x, s, t, \tau)=\sum_{n=0}^{\infty} K_{n+1}(x, s, t, \tau),
\]

где
\[
\begin{array}{c}
K_{n+1}(x, s, t, \tau)=\int_{\tau}^{t} \int_{a}^{b} K\left(x, s_{1}, \tau_{1}\right) K_{n}\left(s_{1}, s, \tau_{1}, \tau\right) d s_{1} d \tau_{1}, \\
(n=1,2, \ldots), K_{1}(x, s, t, \tau)=K(x, s, \tau) .
\end{array}
\]

Можно показать, что $R(x, s, t, \tau)$ удовлетворяет уравнению
\[
\frac{\partial R(x, s, t, \tau)}{\partial t}=\int_{a}^{b} K\left(x, s_{1}, t\right) R\left(s_{1}, s, t, \tau\right) d s_{1},
\]

которое соответствует уравнению (2.22).
Естественно рассматривать функцию $\varphi(x, t)$ при фиксированном $t=t_{0}$ как элемент пространства $\boldsymbol{C}$ непрерывных функций с метрикой $\left\|\varphi\left(x, t_{0}\right)\right\|_{c}=\left.\sup _{a \leqslant x \leqslant b}\right|_{i}(x, t) \mid$. Решению $\varphi(x, t)$ уравнения (3.3) тогда будет соответствовать в $\boldsymbol{C}$ некоторая траектория. Если нас интересует влияние на эту траекторию «внешнего возмущения» $u(x, t)$, то следует при решении вопроса пользоваться формулой (3.4); при этом не обязательно, конечно, считать $u\left(x, t_{0}\right)$ элементом пространсгва $\boldsymbol{C}$, это предположение значительно уменьшило бы ценность исследования. Можно считать, например, $u(x, t)$ принадлежащей пространству $\boldsymbol{L}_{p}, 1 \leqslant p \leqslant \infty$. В этом случае можно ставить вопрос о влиянии на решение $\varphi(x, t)$ возмущений, ограниченных в среднем в том или ином смысле.
4. Системы с неполной информацией. В $n$-мерном векторном пространстве $\boldsymbol{R}$ рассмотрим дифференциальное уравнение
\[
\dot{x}=f(x, t),
\]

где для данного значения $t$ и фиксированного вектора $\boldsymbol{x}$ векторная функция $f(\boldsymbol{x}, t)$ представляет собой не один вектор, а целое множество векторов из $\boldsymbol{R}$. Таким образом, функция $f(x, t)$ предполагается многозначной функцией К системам вида (3.6) обычно приходят, когда нет полной информации о значениях некоторых параметров системы; известно только, что эти параметры могут принимать любое значение из некоторого заданного множества. Назовем подобные системы системами с неполной информацией.

Системы с неполной информацией могут, например, привлекаться для описания регулируемых систем, содержащих звенья с гистерезисными и релейными характеристиками $[92,93]$.

Обозначим через $S$ некоторое ограниченное замкнутое множество, лежащее в $\boldsymbol{R}$. Пусть $\gamma$ — некоторое однозначное непрерывное отображение множества $S$ в $\boldsymbol{R}$. Образ множества $S$, т. е. $\gamma(S)$, назовем $S$-множеством.

Рассмотрим пространство $\boldsymbol{E}(\boldsymbol{R})$ всех непрерывных отображений $\gamma$, определяя норму следующим образом:
\[
\|\gamma\|=\sup _{x \subset S}\|\gamma(x)\|_{R} .
\]

Легко видеть, что пространство $\boldsymbol{E}(\boldsymbol{R})$ является банаховым пространством и изометрично пространству соответствующих $S$-множеств $\gamma(S), \quad$ с метрикой $\|\gamma(S)\|=\sup _{\boldsymbol{x} \subset S}\|\gamma(\boldsymbol{x})\|_{\boldsymbol{R}}$.

Поэтому в дальнеишем будем отождествлять элемент $\gamma$ пространства $\boldsymbol{E}(\boldsymbol{R})$ с $\mathcal{S}$-множеством $\gamma(S)$ — лежащим в $\boldsymbol{R}$. Однако подчеркнем, что $S$-множество не следует рассматривать как простое подмножество пространства $\boldsymbol{R}$, а необходимо приписывать к $S$-множеству соответствующее отображение $\gamma$. Только в этом случае в пространстве $\mathcal{S}$-множеств вводится естественным образом линеиная операция. Очевидно, следует полагать $\gamma_{1}(S)+\gamma_{2}(S)=\gamma(S)$, если для всякого вектора $x \subset S$ имеет место $\gamma_{1}(x)+\gamma_{2}(x)=\gamma(x)$.

Пусть теперь $\boldsymbol{R}_{m}$ — некоторое $m$-мерное евклидово пространство, а $f(p)$ — многозначная функция, определенная на этом пространстве, значения которой представляют собою некоторые $\mathcal{S}$-множества пространства $\boldsymbol{R}$. С многозначной функцией $f(p)$ свяжем однозначную функцию $F(p)$, значения которой лежат в $\boldsymbol{E}(\boldsymbol{R})$ и определяются по правилу $F(p)=\gamma$, если $\gamma(S)=f(p)$. Такой подход позволяет нам перенести на многозначные функции все понятия дескриптивной теории функций. Так, например, многозначную функцию $f(p)$ назовем непрерывной, если соответствующая ей однозначная функция $F(p)$ непрерывна. Аналогично можно определить класс многозначных функций, множество точек непрерывности которых есть $G_{\delta}$ второй категории. Этим функциям соответствуют точечно разрывные функции $F(p)$, являюшиеся пределом последовательности непрерывных функций.

Так, например, релейная характеристика $f(x)=\operatorname{sign} x$, с дополнительным условием, что $f(0)$ есть множество чисел из огрезка $[-1,1]$, оказывается как раз одной из таких функций.

Вернемся теперь к уравнению (3.6) и потребуем выполнения следующего условия.

Пусть $X$ есть $S$-множество и пусть $f(X, t)=\bigcup_{x \subset X} f(x, t)$; тогда $f(X, t)$ является при любом $t$ тоже $S$-множеством.

В частности, так как всякий вектор $\boldsymbol{x}$ из $\boldsymbol{R}$ есть $\mathcal{S}$-множество, то, очевидно, $f(x, t)$ должно быть тоже $\mathcal{S}$-множеством.
Наряду с уравнением (3.6) рассмотрим уравнение
\[
\dot{X}=f(X, t)
\]

решениями которого считаются многозначные функции $X(t)$ скалярного аргумента $t$ со значениями, представляющими собон $\mathcal{S}$-множества пространства $\boldsymbol{R}$. Траектории системы (3.7), в отличие от траекторий системы (3.6), задаются в начальный момент не точками, а, вообе говоря, некоторыми $S$-множествами пространства $R$, и представляют собой трубки, расположенные в этом пространстве. Траектории — воронки уравнения (3.6) — включаются в число траекторий уравнения (3.7), поскольку точки пространства $R$ являются, очевидно, $S$-множествами.

Если считать $X$ и $f(X, t)$ не $S$-множествами пространства $\boldsymbol{R}$, а элементами пространства $\boldsymbol{E}(\boldsymbol{R})$, то дифференциальное уравнение (3.7) будет дифференциальным уравнением с однозначной правой частью в банаховом пространстве, и к этому уравнению может быть применена полностью вся теория, развиваемая в данной главе.
5. Системы со случайными параметрами. Рассмотрим в конечномерном евклидовом пространстве $\boldsymbol{R}$ дифференциальное уравнение
\[
\dot{x}=f(x, t, \eta(t)),
\]

где правая часть зависит от случайной функции $\eta(t)$. Очевидно, решение уравнения (3.8) также будет случайной функцией времени. Как известно, случайная величина может быть определена как измеримая функция, определенная на некотором пространстве выборок $\mathcal{Q}$ (или пространстве элементарных событий). Если в линейном пространстве случайных величин определена каким-либо образом норма, то дифференциальное уравнение (3.8) преврапается в дифференциальное уравнение, заданное в линейном нормированном пространстве $\boldsymbol{E}$, элементы которого являются случайными векторными величинами. При этом в качестве начальных векторов при решении задачи Коши следует брать не только детерминированные векторы, но и любые другие случайные векторы из $\boldsymbol{E}$. Интеграл и производную от случайной функции скалярного аргумента $t$ следует понимать, как было показано в § 1 данной главы.

В частности, если в качестве квадрата нормы случайного вектора брать математическое ожидание квадрата длины вектора, то понятие производной и интеграла случайной величины совпадает с общепринятым.