Ранее было показано, что решение задачи Коши
\[
\dot{x}=A(t) x+u(t), \quad x\left(t_{0}\right)=0
\]

может быть представлено формулой
\[
x(t)=\int_{t_{0}}^{t} W(t, \tau) u(\tau) d \tau, \quad t_{0} \geqslant 0,
\]

где $W(t, \tau)=U(t) U^{-1}(\tau)$ – оператор Коши.
Функцию $u(t)$ будем рассматривать как элемент некоторого банахова пространства $\boldsymbol{B}$. Рассмотрим типичные способы задания нормы в этом пространстве. Обозначим через $J$ множество чисел $0 \leqslant t<\infty$.
1. Пространство $\boldsymbol{C}$ определим как пространство ограниченных непрерывных на $J$ функций с нормой
\[
\|a\| c=\sup _{i \geqslant 0}\|u(t)\| .
\]
2. Пространство $\boldsymbol{L}_{p}$ – это пространство (измеримых по Бохнеру ([73], стр. 85) функций $u(t)$ с нормой
\[
\|u\|_{p}=\left(\int_{0}^{\infty}\|u(t)\|^{p} d t\right)^{1 / p}<\infty .
\]

В первую очередь нас будут интересовать здесь случаи $p=1, p=2$.
3. Пространство $\boldsymbol{M}_{p}$ определим как пространство функций, для которых интеграл $\int_{t}^{t+1}\|u(\tau)\|^{p} d \tau$ существует и равномерно ограничен при любом $t \geqslant 0$. Норму в $\boldsymbol{M}_{p}$ зададим следующим образом:
\[
\|u\|_{M_{p}}=\sup _{t \geqslant 0}\left(\int_{i}^{+1}\|u(\tau)\|^{p} d \tau\right)^{1 / p} .
\]

Наиболее интересный случай это снова случай $p=1$ и $p=2$. В работах Л. Массера и Д. Шеффера $[94,95]$ подчеркнута особо важная роль пространства $\boldsymbol{M}=\boldsymbol{M}_{1}$, которую оно играет при изучении вопросов устойчивости в банаховых пространствах.

4. Пространство $\boldsymbol{C}_{\theta}$ будем рассматривать как подпространство функций из $\boldsymbol{C}$, обладающих свойством $\lim _{t \rightarrow \infty}\|u(t)\|=0$.
5. Через $\boldsymbol{L}_{\infty}$ обозначим пространство (измеримых по Бохнеру) функций $u(t)$, существенно ограниченных на $J$. Норму определим по правилу *)
\[
\|u(t)\|_{\infty}=\operatorname{vrai} \sup _{t \geqslant 0}\|u(t)\| .
\]

Заметим, что при $1 \leqslant p \leqslant \infty$ имеет место соотношение
\[
\|u(t)\|_{M} \leqslant\|u(t)\|_{M_{p}} \leqslant\|u\|_{p}
\]

Для $p=\infty$ неравенство (4.7) очевидно, так как
\[
\int_{i}^{t+1}\|u(\tau)\| d \tau \leqslant\|u(t)\|_{\infty} .
\]

При $p<\infty$ справедливость неравенства (4.7) следует из неравенства Гельдера (|71], стр. 64)
\[
\int_{t}^{t+1}\|u(\tau)\| d \tau \leqslant\left(\int_{i}^{t+1}\|u(\tau)\|^{p} d \tau\right)^{1 / p} \leqslant\|u(t)\|_{p} .
\]

Если вместо полуоси $J$ взять отрезок $t_{0} \leqslant t \leqslant t_{1}$, где $t_{0} \geqslant 0$, то, определяя аналогичным образом норму, получим пространство $\boldsymbol{B}\left(t_{0}, t_{1}\right)$ (например, $\boldsymbol{C}\left(t_{0}, t_{1}\right), \boldsymbol{L}_{\boldsymbol{p}}\left(t_{0}, t_{1}\right)$ и т. д.).

В дальнейшем будем считать, что функция $x(t)$, определенная соотношением (4.2), всегда принадлежит пространству $\boldsymbol{C}$. В этом случае формула (4.2) задает линейный оператор $\Phi$, переводящий пространство $\boldsymbol{B}$ в пространство $\boldsymbol{C}$. Если вместо полуоси $J$ рассматривать отрезок $t_{0} \leqslant t \leqslant t_{1}$, то оператор $\Phi$ превращается в линейный оператор $\Phi\left(t_{0}, t_{1}\right)$, действующий на подпространстве $\boldsymbol{B}\left(t_{0}, t_{1}\right)$.
Очевидно, что справедливо соотношение
\[
\sup _{t_{0} \leqslant t \leqslant t_{1}}\|x(t)\| \leqslant\left\|\Phi\left(t_{0}, t_{1}\right)\right\|\|u\|_{B\left(t_{0}, t_{1} .\right.}
\]

Таким образом, зная величину нормы оператора $\Phi\left(t_{0}, t_{1}\right)$ или, в крайнем случае, зная оценку этой нормы, мы можем
*) Функция $u(t)$ называется существенно ограниченной на $J$, если можно указать постоянную величину $c>0$ такую, что множество точек, где выполняется неравенство $\|u(t)\|>c$, имеет меру нуль; vrai up $t \geqslant 0(t) \|$ есть точная нижняя граница таких чисел $c$.

оценить максимум отклонения $\|x(t)\|$ от нуля при действии функции $u(t)$, которую можно трактовать как внешнее возмущение, вызывающее возмущение выходного сигнала $x(t)$.

Сформулированная сейчас задача о накоплении возмущений была поставлена и решалась в конечномерном случае Б. В. Булгаковым [96]. Мы видим, что с точки зрения функционального анализа задача Б. В. Булгакова сводится к отысканию точного значения нормы оператора $\Phi\left(t_{0}, t_{1}\right)$. Однако вычисление точного значения нормы указанного оператора является обычно трудной задачей. Исключение составляет тот случай, когда функции пространства $\boldsymbol{B}$ являются функциями с числовыми значениями, что соответствует в нашем случае одномерности фазового пространства $\boldsymbol{E}$.

Нетрудно, однако, получить оценки оператора $\Phi\left(t_{0}, t_{1}\right)$ в некоторых конкретных пространствах. Эти оценки имеют, например, следующий вид:
1. В пространстве $\boldsymbol{C}\left(t_{0}, t_{1}\right)$
\[
\left\|\Phi\left(t_{0}, t_{1}\right)\right\| \leqslant \sup _{t_{0} \leqslant t \leqslant t_{1}} \int_{t_{0}}^{t}\|W(t, \tau)\| d \tau .
\]
2. В пространстве $L\left(t_{0}, t_{1}\right)$
\[
\left\|\Phi\left(t_{0}, t_{1}\right)\right\| \leqslant \sup _{t_{0} \leqslant \tau \leqslant t \leqslant t_{1}}\|W(t, \tau)\| .
\]
3. В пространстве $\boldsymbol{L}_{2}\left(t_{0}, t_{1}\right)$
\[
\left\|\Phi\left(t_{0}, t_{1}\right)\right\| \leqslant \sup _{t_{0} \leqslant t \leqslant t_{1}}\left(\int_{t_{0}}^{t}\|W(t, \tau)\|^{2} d \tau\right)^{1 / 2} .
\]